人教版 九年级 数学 总复习 第七讲 二次函数与面积问题（教师版）

人教版 九年级 数学 总复习 第七讲 二次函数与面积问题（教师版）

二次函数与面积问题 1 第七讲 二次函数与面积问题 明确目标﹒定位考点 二次函数是初中代数的重要内容之一，中考通常放在压轴题的位置来考查，主要考查二次函数的图 像及性质（解析式、增减性、最值），并且通常以二次函数图像抛物线为背景，综合考查函数图像与几何 图形性质。占比 15 分左右。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 直接求三角形的面积 【例 1】 若抛物线 2 6y x x    与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，则△ABC 的面积为________。 【变式训练 1】已知二次函数 2 1 3 2 2 y x x   与 x轴交于 AB两点，顶点为 C，则△ABC 的面积为________。 【规律方法】直接套三角形面积公式。 考点 2 分割法求图形的面积 【例 2】）如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 21 2 y x 交于 A，B 两点． （1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标； （2）当 k=﹣ 1 2 时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使△ABP 的面积等于 5； 【变式训练 2】已知二次函数 21 4 2 y x x    的图像与 x 轴的交点从右向左为 A、B 两点，与 y 轴交点 二次函数与面积问题 2 为 C，顶点为 D，求四边形 ABCD 的面积。 【规律方法】分割法求图形面积适于斜三角形及四边形。三角形分割成两个底和高与坐标轴平行（或垂直） 的三角形，四边形分割成几个三角形。 考点 3 扩充法求图形面积 【例 3】已知：如图抛物线 2 1 4y x x a   过点 A（0,3），抛物线 1y 与抛物线 2y 关于 y 轴对称，抛 物线 2y 的对称轴交 x轴于点 B，点 Q是第四象限内抛物线 1y 上的一点。 （1）求出抛物线 1y 的解析式； （2）是否存在点 Q使得△QAB 的面积最大？若存在，请求出△QAB 的最大面积；若不存在，说明理由. 1y 【变式训练 3】如图， △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 3 3 4 y x   的图像 二次函数与面积问题 3 与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 21 8 y x bx c   的图像上，且该二次函数图像上存在一点 D使四边 形 ABCD 能构成平行四边形． （1）试求 b、c 的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P 运动到何处时， 四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？ 【规律方法】 扩充法求图形面积即把原图扩为可求的图形，再用减法求所求图形的面积。 考点 4 动态问题与面积 【例 4】如图 11，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底 边 QR=6cm，点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上，且 C、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形 ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为 S平方厘米。 （1）当 t=4 时，求 S 的值 （2）当 4 t ，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值 【变式训练 4】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0， 3）三点，其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合），过点 P 作 y 轴的垂线， 二次函数与面积问题 4 垂足点为 E，连接 AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标； （2）如果 P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为 S，求 S与 x之间的函数关系式，直接写出自变量 x的 取值范围，并求出 S的最大值。 【规律方法】 动态问题中求图形的最大面积，利用二次函数的最值性质来解决。 归纳总结﹒思维升华 抛物线背景下，常见的有以下几何图形： 二次函数与面积问题 5 注意： （1） 取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边。 （2） 三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解。（即采用割补法的方法把它分解成易 于求出面积的图形） （3） 在求图形的面积时常常使用到以下公式： 抛物线解析式： 2 ( 0)y ax bx c a    抛物线与 x 轴两交点的距离 AB= 1 2AB x x a     抛物线顶点坐标 24( , ) 2 4 b ac b a a   抛物线与 y 轴交点（0，c） 专题训练﹒对接中考 一、解答题。 1.已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的两点 A、B，点 A的 二次函数与面积问题 6 坐标是（1，0） （1）求 c 的值； （2）求 a 的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点，设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P， 记△PCD 的面积为 S1，△PAB 的面积为 S2，当 0

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