2020年山东省青岛市中考数学试题

2020年山东省青岛市中考数学试题

山东省青岛市 2020 年中考数学真题 （考试时间：120 分钟；满分：120 分） 说明： 1．本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 24 题，第 I 卷为选择题，共 8 小题，24 分； 第 II 卷为填空题、作图题、解答题，共 16 小题，96 分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效. 第 I 卷（共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1.－4 的绝对值是（ ） A. 4 B. 1 4 C. －4 D. 1 4  【答案】A 【解析】 【分析】 根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.） 【详解】根据绝对值的概念可得-4 的绝对值为 4. 【点睛】错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆. 2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合． 3.2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号 的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22 纳米=0.000000022 米，将 0.000000022 用科学记数法表示为（ ） A. 22×108 B. 2.2×10-8 C. 0.22×10-7 D. 22×10-9 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的形式是： 10 na  ，其中1 a ＜10， n 为整数．所以 2.2a  ， n 取决于原数小数点的移动 位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数。本题小数点往 右移动到 2 的后面，所以 8.n   【详解】解：0.000000022 82.2 10 .  故选 .B 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定 好 ,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 4.如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据俯视图的定义即可求解． 【详解】由图形可知，这个几何体的俯视图为 故选 A． 【点睛】此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义． 5.如图，将 ABC 先向上平移 1 个单位，再绕点 P 按逆时针方向旋转 90 ，得到 'A B C  ，则点 A 的对应 点 'A 的坐标是（ ） A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平移的规律找到 A 点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点 'A ，即可得出 'A 的坐标． 【详解】解：如图所示：A 的坐标为（4，2），向上平移 1 个单位后为（4，3），再绕点 P 逆时针旋转 90° 后对应 'A 点的坐标为（-1，4）． 故选：D． 【点睛】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 6.如图， BD 是 O 的直径，点 A ，C 在 O 上，  AB AD ， AC 交 BD 于点G ．若 126COD   ．则 AGB 的度数为（ ） A. 99 B. 108 C. 110 D. 117 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据圆周角定理得到∠ BAD 90 ，再根据等弧所对的弦相等，得到 AB AD ，∠ ABD 45  ，最后 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD= 63，∠BAG= 27，即可求解． 【详解】解：∵ BD 是 O 的直径 ∴∠ BAD 90  ∵  AB AD ∴ AB AD ∴∠ ABD 45  ∵ 126COD   ∴∠ 1CAD 632 COD    ∴∠ BAG 90 63 27     ∴∠ AGB 180 27 45 108      故选：B． 【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系 是解题关键． 7.如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ，EF 与 AC 交于点 .O 若 5AE  ， 3BF  ， 则 AO 的长为（ ） A. 5 B. 3 52 C. 2 5 D. 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先证明 ,AE AF 再求解 , ,AB AC 利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得： , ,AFO CFO AF CF     矩形 ABCD ， / / , 90 ,AD BC B    ,CFO AEO   ,AFO AEO   5 ,AE AF CF    3,BF  2 2 4,AB AF BF    BC=8 2 2 16 64 4 5,AC AB BC      由对折得： 1 2 5.2OA OC AC   故选 C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识 是解题的关键． 8.已知在同一直角坐标系中二次函数 2y ax bx  和反比例函数 cy x  的图象如图所示，则一次函数 cy x ba   的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出 c a ﹤0，一次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，对照四个选项即可解答． 【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴 2 bx a   ﹥0， ∴a﹤0，b﹥0， 由反比例函数图象知：c﹥0， ∴ c a ﹤0，一次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴， 对照四个选项，只有 B 选项符合一次函数 cy x ba   的图象特征． 故选：B· 【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间 的关系是解答的关键· 第Ⅱ卷（共 96 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9.计算 412 33       的结果是___． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据二次根式的混合运算计算即可. 【详解】解： 4 412 3= 12 3 3=6 2=43 3           . 故答案为 4. 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键. 10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了 测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按 2:1:3 的比例确定两人的最终得分， 并以此为依据确定录用者，那么__________将被录用（填甲或乙） 应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度 5 7 【答案】乙 【解析】 【分析】 直接根据加权平均数比较即可． 【详解】解：甲得分： 1 1 1 209 7 53 6 2 3       乙得分： 1 1 1 438 6 73 6 2 6       ∵ 43 6 > 20 3 故答案为：乙． 【点睛】此题主要考查加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题关键． 11.如图，点 A 是反比例函数 ( 0)ky xx   图象上的一点，AB 垂直于 x 轴，垂足为 B ． OAB 的面积为 6．若 点  ,7P a 也在此函数的图象上，则 a __________． 【答案】 12 7 【解析】 【分析】 由 OAB 的面积可得 k 的值，再把  ,7P a 代入解析式即可得到答案． 【详解】解： OAB 的面积为 6． 2 6 12,k    k ＞ 0 ， 12,k  12 ,y x   把  ,7P a 代入 12 ,y x  127 ,a   12.7a  经检验： 12 7a  符合题意． 故答案为：12.7 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质， k 的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 12.抛物线  22 2 1y x k x k    （ k 为常数）与 x 轴交点的个数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 求出∆的值，根据∆的值判断即可． 【详解】解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0， ∴抛物线与 x 轴有 2 个交点． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象 与 x 轴的交点横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根．当∆=0 时，二次函数与 x 轴有一个交点，一元二次 方程有两个相等的实数根；当∆>0 时，二次函数与 x 轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当∆<0 时，二次函数与 x 轴没有交点，一元二次方程没有实数根． 13.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O ，点 E 在CD 的延长线上，连接 AE ，点 F 是 AE 的中点，连接 OF 交 AD 于点G ．若 2DE  ， 3OF  ，则点 A 到 DF 的距离为__________． 【答案】 4 5 5 【解析】 【分析】 先根据正方形的性质与中位线定理得到 CD,FG 的长，故可求出 AE、DF 的长，再等面积法即可得到 AH 的 长，故可求解． 【详解】如图，过点 A 作 AH⊥DF 的延长线于点 H， ∵在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ∴O 为 AC 中点 ∵F 点是 AE 中点， ∴OF 是△ACE 的中位线， ∴CE=2OF=6 ∴G 点是 AD 的中点， ∴FG 是△ADE 的中位线， ∴GF= 1 2 DE =1 ∴CD=CE-DE=4, ∴AD=CD=4 在 Rt△ADE 中，AD=4,DE=2 ∴AE= 2 24 2 2 5  ∴DF= 1 2 AE= 5 ∴S△AFD= 1 2 AD·GF= 1 2 FD·AH 即 1 2 ×4×1= 1 2 × 5 ×AH ∴AH= 4 5 5 ∴点 A 到 DF 的距离为 4 5 5 ， 故答案为： 4 5 5 ． 【点睛】此题主要考查正方形内的线段求解，解题的关键是熟知正方形的性质、中位线定理、勾股定理及 三角形的面积公式． 14.如图，在 ABC 中，O 为 BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与 AB ， AC 相切于点 M ， N ．已 知 120BAC   ， 16AB AC  ， MN 的长为 ，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 24 3 3 3  【解析】 【分析】 连接 OM、ON、OA，易证得∠MON=60º，即∠MOE+∠NOF=120º， 1 3MOE NOFS S S  圆扇形 扇形 ，再由弧长 公式求得半径 OM，然后证得 Rt△AMO≌Rt△ANO，即∠AOM=30º，进而解得 AM，则可得 AMONS四边形 ， 代入相关数值即可解得阴影面积· 【详解】如图，连接 OM、ON、OA，设半圆分别交 BC 于点 E，F， 则 OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO=∠ANO=90º， ∵∠BAC=120º， ∴∠MON=60º， ∵ MN 的长为 ， ∴ 60 180 OM  ， ∴OM=3， ∵在 Rt△AMO 和 Rt△ANO 中， OM ON OA OA    ， ∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)， ∴∠AOM=∠AON= 1 2 ∠MON=30º， ∴AM=OM·tan30º= 33 33   ， ∴ 12 2 3 32AMOAMONS S AM OM     四边形 ， ∵∠MON=60º， ∴∠MOE+∠NOF=120º， ∴ 21 1= 3 =33 3MOE NOFS S S    圆扇形 扇形 ， ∴图中阴影面积为 ( )AOB AOC AMON MOE NOFS S S S S     四边形 扇形 扇形 = 1 3 ( ) 3 3 32 AB AC     = 24 3 3 3  ， 故答案为： 24 3 3 3  ． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL 定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知识， 解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算． 三、作图题（本大题满分 4 分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15.已知： ABC ．． 求作： O ，使它经过点 B 和点 C ，并且圆心O 在 A 的平分线上， 【答案】见详解． 【解析】 【分析】 要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A 的角平分线，再作线段 BC 的垂直平分线相交于点 O，即 O 点为 圆心． 【详解】解：根据题意可知，先作∠A 的角平分线， 再作线段 BC 的垂直平分线相交于 O， 即以 O 点为圆心，OB 为半径，作圆 O， 如下图所示： 【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用． 四、解答题（本大题共 9 小题，共 74 分） 16.（1）计算: 1 1 a b a b b a             （2）解不等式组: 2 3 5 1 23 x x x      【答案】（1） 1 a b ；（2）x>3 【解析】 【分析】 （1）先算括号里，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式= 2 2a b a b ab ab   =    a b ab ab a b a b     = 1 a b ； （2） 2 3 5 1 23 x x x      ① ② 解①得，x≥-1， 解②得，x>3， ∴不等式组的解集是 x>3． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算法则是解（1）的关 键，掌握解一元一次不等式组得步骤是解（2）的关键． 17.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A ， B 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一 个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮 去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析 【解析】 【分析】 画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解． 【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下： 如图， ∵由树状图可知，所有可能发生的组合有 6 种，能配成紫色的组合有 3 种， ∴P（紫色）= 3 1=6 2 ， ∴这个游戏对双方公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平， 否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． 18.如图，在东西方向的海岸上有两个相距 6 海里的码头 B ， D ．某海岛上的观测塔 A 距离海岸 5 海里，在 A 处测得 B 位于南偏西 22方向．一艘渔船从 D 出发，沿正北方向航行至C 处，此时在 A 处测得C 位于南 偏东 67方向，求此时观测塔 A 与渔船C 之间的距离（结果精确到 0.1 海里）． （参考数据: 3sin 22 8 o  ， 15cos22 16 ≈ ， 2tan 22 5 ≈ ， 12sin67 13   ， 5cos67 13   ， 12tan 67 5   ） 【答案】4.3 海里 【解析】 【分析】 过点 A 作 AE⊥BD，过点 C 作 CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解． 【详解】过点 A 作 AE⊥BD，过点 C 作 CF⊥AE，则四边形 CDEF 是矩形， ∵∠BAE=22°，AE=5（海里）， ∴BE=AE∙tan22°=5× 2 5 =2（海里）， ∵DE=BD-BE=6-2=4（海里）， ∵四边形 CDEF 是矩形， ∴CF=DE=4（海里）， ∴AC=CF÷sin67°=4÷12 13 ≈4.3（海里）． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n 名学生进行测试，测试成绩进行 整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比 m  __________； （3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的 n 名学生 测试成绩的中位数是__________分； （4）若成绩达到 80 分以上（含 80 分）为优秀，请你估计全校 1200 名学生对海洋科普知识了解情况为优 秀的学生人数． 【答案】（1）见解析；（2）20％；（3）84．5 分；（4）672 人 【解析】 【分析】 （1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~1000”这组的频数，从而补全 频数直方图； （2）用“70~80”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用 1200 乘以 80 分以上人数所占的比例即可． 【详解】解：（1）8÷16％=50 人， 50-4-8-10-12=16 人， 补全频数直方图如下： （2）m= 0 0 10 10050  =20％； （3）∵“50~80”分的人数已有 22 人， ∴第 25 和 26 名的成绩分别是是 84 分，85 分， ∴中位数是 84 85 =84.52  分； （4） 12 161200 =67250  人． ∴优秀人数是 672 人． 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图 获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估 计总体． 20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为 3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口， 注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量  3y m 与 注水时间  t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量  3y m 与注水时间  t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个 进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是 单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 4 3 倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法即可求出 y 与 t 的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、 乙两个进水口的注水速度； （2）设甲的注水速度是 x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时 间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 4 3 倍列方程求解即可． 【详解】解：（1）设 y=kt+100，把(2，380)代入得， 2k+100=380， 解得 k=140， ∴y=140t+100， 当 y=480 时， 则 480=140t+100， 解得 t=19 7 ， (480-100)÷19 7 =140m3/h； ∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是 140m3/h； （2）设甲的注水速度是 x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得 480 4 480 3 140x x    ， 解得 x=60， 经检验 x=60 符合题意， 480 =860 (h)， ∴单独打开甲进水口注满游泳池需 8h． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系 列出方程是解（2）的关键． 21.如图，在 ABC 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O ，点 E ，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE BF ， 连接 AE ， CF ． （1）求证： ADE ≌ CBFV ； （2）连接 AF ，CE ，当 BD 平分 ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）菱形，见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 SAS 证明 ADE ≌ CBFV 即可求解； （2）先证明四边形 AFCE 是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形． 【详解】（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC,∠ADB=∠CBD， 又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°， ∴∠ADE=∠CBF 在△ADE 和△CBF 中 AD BC ADE CBF DE BF       ∴△ADE≌△CBF； （2）四边形 AFCE 是菱形 理由如下： 如图，连接 AF ，CE ， 由（1）得△ADE≌△CBF ∴CF=AE, ∠E=∠F ∴AE∥CF ∴AEPCF ∴四边形 AFCE 是平行四边形 当 BD 平分∠ABC 时，∠ABD=∠CBD 又∵AD∥CB， ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ABD ∴AD=AB=BC ∴△ABC 为等腰三角形 由等腰三角形性质三线合一可得 AC⊥EF ∴平行四边形 AFCE 是菱形 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理． 22.某公司生产 A 型活动板房成本是每个 425 元．图①表示 A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构 成，长方形的长 4AD m ，宽 3AB m ，抛物线的最高点 E 到 BC 的距离为 4m ． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用  2 0y kx m k   表示，求该抛物线的函数表达式； （2）现将 A 型活动板房改造为 B 型活动板房．如图②，在抛物线与 AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户 FGMN ，点G ， M 在 AD 上，点 N ， F 在抛物线上，窗户的成本为 50 元 2/m ．已知 2GM m ，求每 个 B 型活动板房的成本是多少？（每个 B 型活动板房的成本＝每个 A 型活动板房的成本+一扇窗户 FGMN 的成本） （3）根据市场调查，以单价 650 元销售（2）中的 B 型活动板房，每月能售出 100 个，而单价每降低 10 元， 每月能多售出 20 个．公司每月最多能生产 160 个 B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价 n（元） 定为多少时，每月销售 B 型活动板房所获利润 w （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 21 14y x   （2）500（3）n=620 时，w 最大=19200 元 【解析】 【分析】 （1）根据图形及直角坐标系可得到 D,E 的坐标，代入  2 0y kx m k   即可求解； （2）根据 N 点与 M 点的横坐标相同，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面积，故可求解； （3）根据题意得到 w 关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题可知 D（2,0），E（0,1） 代入到  2 0y kx m k   得 0 4 1 k m m     解得 1 4 1 k m      ∴抛物线的函数表达式为 21 14y x   ； （2）由题意可知 N 点与 M 点的横坐标相同，把 x=1 代入 21 14y x   ，得 y= 3 4 ∴N（1， 3 4 ） ∴MN= 3 4 m， ∴S 四边形 FGMN=GM×MN=2× 3 4 = 3 2 ， 则一扇窗户的价格为 3 2 ×50=75 元 因此每个 B 型活动板的成本为 425+75=500 元； （3）根据题意可得 w=(n-500)（100+20× 650 10 n ）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月最多生产 160 个， ∴100+20× 650 10 n ≤160 解得 n≥620 ∵-2＜0 ∴n≥620 时，w 随 n 的增大而减小 ∴当 n=620 时，w 最大=19200 元． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质． 23.实际问题： 某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从 100 张面值分 别为 1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取 2 张、3 张、4 张、…等若干张 奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取 5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共 有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取  1a a n  个整数，这 a 个整数之和共有多 少种不同的结果？ 模型探究： 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： （1）从 1，2，3 这 3 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 表① 所取的 2 个整数 1，2 1，3， 2，3 2 个整数之和 3 4 5 如表①，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，也就是从 3 到 5 的连续整数，其中最小是 3，最大是 5，所 以共有 3 种不同的结果． （2）从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 表② 所取的 2 个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4 2 个整数之和 3 4 5 5 6 7 如表②，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，6，7，也就是从 3 到 7 的连续整数，其中最小是 3，最大是 7，所以共有 5 种不同的结果． （3）从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有______种不同的结果． （4）从 1，2，3，…，n （ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有______ 种不同的结果． 探究二： （1）从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有______种不同的结果． （2）从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 4n  ）这 n 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有______ 种不同的结果． 探究三： 从 1，2，3，…， n （ n 为整数，且 5n  ）这 n 个整数中任取 4 个整数，这 4 个整数之和共有______种不 同的结果． 归纳结论： 从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取  1a a n  个整数，这 a 个整数之和共有______ 种不同的结果． 问题解决： 从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取 5 张奖券，共有 ______种不同的优惠金额． 拓展延伸： （1）从 1，2，3，…，36 这 36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结 果？（写出解答过程） （2）从 3，4，5，…， 3n  （ n 为整数，且 2n  ）这 1n  个整数中任取  1 1a a n   个整数，这 a 个整数之和共有______种不同的结果． 【答案】探究一：（3）7 ；（4）2 3n  （ 3n  ，n 为整数）；探究二：（1）4,（2）3 8n  ；探究三：4 15,n  归纳结论： 2 1an a  （ n 为整数，且 3n  ，1＜ a ＜ n ）；问题解决： 476 ；拓展延伸：（1） 29 个或 7 个；（2）   21 1a n a   ． 【解析】 【分析】 探究一： （3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案； （4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案； 探究二： （1）仿探究一的方法列表可得答案； （2）由前面的探究概括出规律即可得到答案； 探究三： 根据探究一，探究二，归纳出从 1，2，3，…， n （ n 为整数，且 5n  ）这 n 个整数中任取 4 个整数的和 的结果数， 再根据上面探究归纳出从 1，2，3，…， n （ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取  1a a n  个整数， 这 a 个整数之和的结果数； 问题解决： 利用前面的探究计算出这 5 张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案； 拓展延伸： （1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可， （2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案． 【详解】解：探究一： （3）如下表： 取的 2 个 整数 1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 2 个 整数 之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，6，7，8，9 也就是从 3 到 9 的连续整数，其中最小是 3，最大是 9， 所以共有 7 种不同的结果． （4）从 1，2，3，…，n （ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和的最小值是 3，和的最大值是 2 1,n  所以一共有  2 1 3 1 2 3n n     种． 探究二： （1）从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，如下表： 取的 3 个整数 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4 3 个整数之和 6 7 8 9 从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 4 种， （2）从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 3 个整数， 这 3 个整数之和的最小值是 6，和的最大值是 12, 所以从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 7 种， 从而从 1，2，3，…， n （ n 为整数，且 4n  ）这 n 个整数中任取 3 个整数， 这 3 个整数之和的最小值是 6，和的最大值是3 3,n  所以一共有  3 3 6 1 3 8n n     种， 探究三： 从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这 4 个整数之和一共有 5 种， 从 1，2，3，4，5，6 这 6 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和最小是10, 最大是18, ， 所以这 4 个整数之和一共有 9 种， 从 1，2，3，…， n （ n 为整数，且 5n  ）这 n 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和的最小值是 10，和的最大值是 4 6n  ， 所以一共有  4 6 10 1 4 15n n     种不同的结果． 归纳结论： 由探究一，从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有  2 3n  种． 探究二，从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 4n  ）这 n 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 3 8n  种， 探究三，从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 5n  ）这 n 个整数中任取 4 个整数，这 4 个整数之和共有 4 15n  种不同的结果． 从而可得： 从 1，2，3，…， n （ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取  1a a n  个整数，这 a 个整数之和共有  2 1an a  种不同的结果． 问题解决： 从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数）， 一次任意抽取 5 张奖券，这 5 张奖券和的最小值是 15，和的最大值是 490， 共有 490 15 1 476   种不同的优惠金额． 拓展延伸： （1） 从 1，2，3，…，n（ n 为整数，且 3n  ）这 n 个整数中任取  1a a n  个整数，这 a 个整数之 和共有 2 1an a  种不同的结果．  当 36,n  有 236 1 204,a a   2 36 203,a a     218 121,a   18 11a   或 18 11,a    29a  或 7.a  从 1，2，3，…，36 这 36 个整数中任取 29 个或 7 个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结 果． （2）由探究可知：从 3，4，5，…， 3n  （ n 为整数，且 2n  ）这 1n  个整数中任取  1 1a a n   个整数，等同于从 1，2，3，…， 1n  （ n 为整数，且 2n  ）这 1n  个整数中任取  1 1a a n   个 整数， 所以：从 3，4，5，…， 3n  （ n 为整数，且 2n  ）这 1n  个整数中任取  1 1a a n   个整数，这 a 个整数之和共有   21 1a n a     种不同的结果． 【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究 的方法是解题的关键． 24.已知：如图，在四边形 ABCD 和 Rt EBF△ 中， //AB CD ，CD AB ，点C 在 EB 上， 90ABC EBF     ， 8AB BE cm  ， 6BC BF cm  ，延长 DC 交 EF 于点 M ，点 P 从点 A 出 发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2cm s ；同时，点 Q 从点 M 出发，沿 MF 方向匀速运动，速度为1cm s ， 过点 P 作GH AB 于点 H ，交 CD 于点G ．设运动时间为   0 5t s t  ． 解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 M 在线段CQ 的垂直平分线上？ （2）连接 PQ ，作QN AF 于点 N ，当四边形 PQNH 为矩形时，求 t 的值； （3）连接 QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为  2S cm ，求 S 与 t 的函数关系式； （4）点 P 在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使点 P 在 AFE 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不 存在，请说明理由． 【答案】（1） t= 3 2 ；（2）t=3;（3）S 与 t 的函数关系式为 216 1 57 25 5 2S t t    ；（4）存在，t= 7 2 , 【解析】 【分析】 （1）要使点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上，只需证 CM=MQ 即可； （2）由矩形性质得 PH=QN，由已知和 AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出 PH、QN，进而得关于 t 的方 程，解之即可； （3）分别用 t 表示出梯形 GHFM 的面积、△QHF 的面积、△CMQ 的面积，即可得到 S 与 t 的函数关系式； （4）延长 AC 交 EF 与 T，证得 AT⊥EF，要使点 P 在∠AFE 的平分线上，只需 PT=PH，分别用 t 表示 PT、 PH，代入得关于 t 的方程，解之即可． 【详解】（1）当 t = 3 2 时，点 M 在线段CQ 的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CM∥BF， ∴ CM CE BF BE  即： 2 6 8 CM  ， 解得：CM= 3 2 ， 要使点 M 在线段CQ 的垂直平分线上， 只需 QM=CM= 3 2 ， ∴t= 3 2 ； （2）如图，∵ 90ABC EBF     ， 8AB BE  ， 6BC BF  ， ∴AC=10，EF=10，sin∠PAH= 3 5 BC AC  ，cos∠PAH= 4 5 AB AC  ，sin∠EFB= 4 5 BE EF  ， 在 Rt△APH 中，AP=2t， ∴PH=AP·sin∠PAH= 6 5 t ， 在 Rt△ECM 中，CE=2,CM= 3 2 ,由勾股定理得：EM= 5 2 ， 在 Rt△QNF 中，QF=10-t- 5 2 = 15 2 t ， ∴QN=QF·sin∠EFB=( 15 2 t )× 4 5 = 46 5 t ， 四边形 PQNH 为矩形， ∴PH=QN， ∴ 6 5 t = 46 5 t ， 解得：t=3； （3）如图，过 Q 作 QN⊥AF 于 N， 由（2）中知 QN= 46 5 t ，AH=AP·cos∠PAH= 8 5t ， ∴BH=GC=8- 8 5t ， ∴GM=GC+CM= 8 3 19 88 5 2 2 5t t    ，HF=HB+BF= 814 5 t ， ∴ QHF CMQGHFMS S S S   梯形 = 1 1 1( ) 6 (6 )2 2 2GM HF HF QN CM QN         = 1 19 8 8 1 8 4 1 3 4( 14 ) 6 (14 ) (6 ) (6 6 )2 2 5 5 2 5 5 2 2 5t t t t t              = 216 1 57 25 5 2t t   ， ∴S 与 t 的函数关系式为： 216 1 57 25 5 2S t t    ； （4）存在，t= 7 2 ． 证明：如图，延长 AC 交 EF 于 T， ∵AB=BF,BC=BF, 90ABC EBF     ， ∴△ABC≌△EBF， ∴∠BAC=∠BEF， ∵∠EFB+∠BEF=90º， ∴∠BAC+∠EFB=90º， ∴∠ATE=90º即 PT⊥EF， 要使点 P 在 AFE 的平分线上，只需 PH=PT， 在 Rt△ECM 中，CE=2,sin∠BEF= 3 5 CT BF CE EF   ， CT=CE·sin∠BEF = 6 5 ， PT=10+ 6 5 -2t= 56 25 t ，又 PH= 6 5 t ， 6 5 t = 56 25 t ， 解得：t= 7 2 ． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形 的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用 参数构建方程解决问题，是中考常考题型．