中考数学复习 瓜豆原理 ——旋转相似之主动从动

中考数学复习 瓜豆原理 ——旋转相似之主动从动

1 旋转相似之主动从动(瓜豆原理) 例题 1、如图等腰 Rt△ABC,AB=AC=2,点 E 是半径为 1 的圆 C 上的一动点，连接 AE,过点 A 向左侧作 AD⊥AE，且使得 AE=AD。其中点 D 是因 E 动而动，所以我们称点 E 为主动点，点 D 为从动点。 (1)问随着主动点 E 的运动，求从动点 D 的运动路径长？ (2)连接 CD,求 CD 的最大值与最小值 (3)△ABC 与△ADE 是我们之前学过的旋转相似，那么请问：主动点 E 和圆心 C 这两 点在旋转相似中我们称他们的位置关系是 。 例题 2、如图半径为 1 的圆 C，圆外有一定点 A,且 AC=2,圆 C 上有一动点 E,连接 AE,以 A 为直角顶点向左侧作等腰直角△EAD. (1)求点 D 的运动路径长。 (2)求 CD 的最大与最小值。 定义：①把主动点所在的圆心称之为：主心 2 ②把“动而形不变”的三角形中的三个顶点中的定点称之为旋转中心(公共顶点)。 总结：作主动与从动类型题目步骤：以“主动点”和“主心”为旋转同位点，将“动而形不 变”的三角形绕“旋转中心”进行放大旋转，使得“主动点”与“主心”重合(即： 使得同位点重合)，从而构建旋转相似的两个三角形，之后就可以利用旋转相似得到” 从动点”的运动轨迹了。 变式 1、在△ABC 中,BC= 2 ,AC=1,以 AB 为边作等腰直角△ABD(B 为直角顶点,C、D 两 点在直线 AB 的两侧).当∠C 变化时，求线段 CD 长的最大值为多少? 变式 2、在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0)，点 P 为线段 AB 外一 动点，且 PA=2，以 PB 为边作等边△PBM，则线段 AM 的长最大值为___. 3 变式 3、已知：PA= 2 ，PB=4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧. (1)如图，当∠APB=45°时，求 AB 及 PD 的长； (2)当∠APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值及相应∠APB 的大小、正方 形 ABCD 的面积． 4 变式 4、△ABC 中，AB＝4，AC＝2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为 ． 5 例题 3、如图，点 O 在线段 AB 上，OA=1,OB=3，以 O 为圆心，OA 为半径作圆 O，点 M 在圆 O 上运动，连接 MB，以 MB 为腰作等腰 Rt△ABC，使∠MBC=90°，M，B， C 三点按逆时针顺序排列，连接 AC，则 AC 长的取值范围是_____. 变式 1、如图，P 是圆 O 上一个动点，A 是圆 O 外的的一个定点，且 AO=4，连接 AP，作 AQ⊥AP，且 AQ=AP。若圆 O 的半径为 1，则当点 P 在圆 O 上运动时，求 OQ 的 最值. 6 变式 2、如图，点 P 是半径为 1 的圆 O 上的一个动点，点 A 是圆外的一个定点，且 OA=3， 连接 AP，以 AP 为边作等边三角形 APQ,随着点 P 运动的过程中，求 OQ 的最值 变式 3、如图，点 P 是半径为 1 的圆 O 上的一个动点，点 A 是圆外的一个定点，且 OA= 12  ， 连接 AP，以 AP 为斜边作等腰直角三角形 APQ,当点 P 绕着点 O 运动一周后，求点 Q 的运动路径长. 7 变式 4、已知⊙O 的半径为 2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰 Rt△ APG，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为_____. 变式 5、如图,已知 A、C 是半径为 2 的⊙O 上的两动点,以 AC 为直角边在⊙O 内作等腰 Rt△ABC,∠C=90°.连接 OB.求 OB 的最值. 8 变式 6、已知⊙O 的半径为 2，A 为圆内一定点，AO＝1．P 为圆上一动点，以 AP 为边作等 腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG 的最大值为 . 变式 7、(2018·南通市)如图，正方形 ABCD 中，AB＝2 5 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是 正方形内一动点，OE＝2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF， 连接 AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若 A，E，O 三点共线，连接 OF，求线段 OF 的长． （3）求线段 OF 长的最小值． 9 A B C D A B CO E D F 变式 8、如图,线段 PA=3,点 B 是线段 PA 外一点,PB=5,连接 AB,将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到线段 AC，随着点 B 的位置的变化，直接写出 PC 的范围。 10 变式 9、如图，已知圆 O 的半径为 2，A 是圆上一定点，B 是 OA 的中点，E 是圆上一动点， 以 BE 为边作正方形 BEFG（B、E、F、G 四点按逆时针顺序排列），当点 E 绕⊙O 圆 周旋转时，点 F 的运动轨迹围成的图形的面积是 。 变式 10、如图，已知在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为 2，点 A 是⊙O 上一动点，点 B 是反比例函数 xy 4 （x＞0）图象上一动点，以 AB 为斜边作等腰直角△ABC，连 结 OC，则 OC 的最小值为 . 11 变式 11、如图,正方形 ABCD 中,AB=3cm,以 B 为圆心,1cm 长为半径画 B,点 P 在 B 上移动, 连接 AP,并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AP′,连接 BP′.在点 P 移动的过程中,BP′ 长度的最小值为___cm. 变式 12、如图，已知扇形 AOB 中 OA=3,∠AOB=120。C 是弧 AB 上的动点，以 BC 为边向 右上方作正方形 BCDE.当点 C 从点 A 移动至点 B 时，求点 D 经过的路径长。 12 变式 13、在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2,0）点 B 的坐标为（5,0），点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段 AM 的最大值及此时点 P 的坐标。 变式 14、如图，线段 AB，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PC，连接 AC，则线段 AC 长度的最大值是____ 13 旋转相似之构建相似三角形 例题 4、如图点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，点 A 是圆 O 外的一个定点，且 AO=6，连接 AP，过点 A 向上作 AQ⊥AP，且 AQ:AP=1:2。 ①问当点 P 绕点 O 运动一圈后，求点 Q 的运动轨迹长。 ②问在点 P 运动过程中，求 OQ 的最值。 14 变式 1、如图点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，点 A 是圆 O 外的一个定点，且 AO=6，连接 AP，过点 A 向上作 AQ⊥AP，且 tan∠QPA= 5 5 。 ①问当点 P 绕点 O 运动一圈后，求点 Q 的运动轨迹长。 ②问在点 P 运动过程中，求 OQ 的最值。 15 变式 2、如图，点 O 在线段 AB 上，OA=1，OB=2，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O，点 M 在⊙O 上运动，连接 MB，以 MB 为直角边作 Rt△ABC，使∠MBC=90°，且 tan ∠MCB= 2 1 ,M,B,C 三点按逆时针顺序排列，连接 AC，则 AC 长的取值范围是_____. 变式 3、(1)如图 1，在△ACB=90°，CH⊥AB 于点 H，若 AB=6,则 CH 的最大值为 。 (2)如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=12,BC=CD,∠BCD=60°，AD=9,连接 AC，求 △ABC 面积的最大值。 (3)如图 3.某市郊区点 O 处有棵古树，点 A 处是某市古树名木保护研究中心，且 16 OA=40km.为加强对该古树的检测和保护.拟在距古树 3km 处设置三个观测点 B, C,D.以形成保护区域四边形 ABCD.那么，是否可以形成一个满足要求的面积最 大的四边形 ABCD?若可以，求出满足条件的四边形 ABCD 的最大面枳；若不可 以，并说明理由.（研究中心及各观测点的占地面枳爸略不计） 构建旋转全等进行边的转换 【条件】 CODAOBODOCOBOA  ,, 将△OCD 绕点 O 旋转。 【1】求证：△OAC≌△OBD； 【2】若 AC=3，求 BD 的长。 17 例题 1.1、如图,在四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求 BD 的长. 变式 1、如图，点 A 是△DBC 内一点，AB= 32 ,BC=8，∠DAC=120°，∠ABC=60°， AD=AC，求 BD 的长。 变式 2、①如左图,四边形 ABCD 中,AB=7cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45∘ ,求 BD 的长。 18 ②如右图,在①的条件下，当△ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长。 变式 3、如图,四边形 ABCD 中,∠CAB=90°,∠ADC=∠ACB=α,tanα=43，CD=5，AD=12， 求 BD 的长。 19 变式 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC=5,CD=8,AB=AC= AD2 1 ,∠BAC=2∠ADC,请直接写 出 BD 的长。