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文档介绍
2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数的应用专题详解
2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数的应用专题详解 专题 03 二次函数的应用..................................................................................................................... 1 22.3 二次函数的应用 ................................................................................................................... 2 知识框架 .................................................................................................................................. 2 一、基础知识点 ...................................................................................................................... 2 知识点 1 列二次函数解决实际问题的一般步骤.......................................................... 2 知识点 2 实际问题中自变量的取值.............................................................................. 3 二、典型题型 .......................................................................................................................... 5 题型 1 面积问题.............................................................................................................. 5 题型 2 利润问题.............................................................................................................. 6 题型 3 球类运动问题...................................................................................................... 9 题型 4 拱桥问题............................................................................................................ 10 三、难点题型 ........................................................................................................................ 13 题型 1 分段函数............................................................................................................ 13 题型 2 二次函数的综合应用........................................................................................ 15 22.3 二次函数的应用 知识框架 { 基础知识点 { 列二次函数解决实际问题的一般步骤 实际问题中自变量的取值 典型题型 { 面积问题 利润问题 球类运动问题 拱桥问题 难点题型 { 分段函数 二次函数的综合应用 一、基础知识点 知识点 1 列二次函数解决实际问题的一般步骤 1)列二次函数解决实际问题的原则,与一元二次方程的实际问题原则类似: ①根据题意和实际问题涉及的类型,建立等量关系式; ②以利于表示等量关系式为原则,设出 2 个变量,注意区分自变量和因变量(与一元二次方程不同 的地方); ③依据等量关系式和变量建立函数关系式,转化为二次函数问题; ④解决二次函数,并解答。 注:一元二次方程通常有 2 解,但是,应检验方程的 2 个根是否都符合实际情况。 例 1.某商品现在的销售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件。市场调查发现,若果每降价 1 元,每星期多 少卖 20 件。已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大? 【答案】每件降价 5 元利润最大,最大利润为:6250 元 【解析】①建立等量关系式: 此题是利润问题,等量关系式为:总利润=每件的利润×售出的件数 ②设出 2 个变量: ∵题目研究总利润,∴设总利润为因变量 y,便于研究 ∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关,∴设每件降价 x 元 ③建立函数关系式: 总利润为:y 每件的利润为:(60-x-40)=(20-x)元 售出的件数为:(300+20x)件 ∴函数关系式为:y=(20-x)( 300+20x) 化简得:y=−10푥2 + 100푥 + 6000 ④解决二次函数问题,并解答: 题干求最值,2 种方法: 方法一:配方法求最值 函数配方得:y=−10(푥 − 5)2 + 6250 ∴当 x=5 时,y 有最大值,为 6250 方法二:利用函数的性质求最值: ∵a=-10<0,∴函数有最小值 当 x=− 푏 2푎 = − 100 2∙(−10) = 5时有最小值,最小值 y=4푎푐−푏2 4푎 = 4∙(−10)∙6000−1002 4∙(−10) = 6250 ∴降价 5 元时有最大利润,为 6250 元 知识点 2 实际问题中自变量的取值 1)根据二次函数的性质知:函数的顶点为(− 푏 2푎 ,4푎푐−푏2 4푎 ),故当 x=− 푏 2푎 时,函数取得最值,即: ①当 a>0 时,x=− 푏 2푎 时函数有最小值,最小值 y=4푎푐−푏2 4푎 ②当 a<0 时,x=− 푏 2푎 时函数有最大值,最大值 y=4푎푐−푏2 4푎 2)在实际问题中,由于受自变量取值的限制,自变量有可能无法取到 x=− 푏 2푎 ,这是就需要根据二次函 数的性质进一步分析了。因此,在解决实际问题中,自变量的取值范围非常重要,必须要着重考虑,则解 决实际问题的步骤为: ①根据题意和实际问题涉及的类型,建立等量关系式; ②以利于表示等量关系式为原则,设出 2 个变量,注意区分自变量和因变量; ③依据等量关系式和变量建立函数关系式,转化为二次函数问题; ④根据实际问题,确定自变量的取值范围;(添加步骤) ⑤解决二次函数,并解答。 例 1.某商品现在的销售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件。市场调查发现,若果每降价 1 元,每星期多 少卖 20 件。已知商品的进价为每件 40 元,商务部规定商品价格不得低于 56 元,如何定价才能使利润最大? 【答案】每件降价 5 元利润最大,最大利润为:6250 元 【解析】①建立等量关系式: 此题是利润问题,等量关系式为:总利润=每件的利润×售出的件数 ②设出 2 个变量: ∵题目研究总利润,∴设总利润为因变量 y,便于研究 ∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关,∴设每件降价 x 元 ③建立函数关系式: 总利润为:y 每件的利润为:(60-x-40)=(20-x)元 售出的件数为:(300+20x)件 ∴函数关系式为:y=(20-x)( 300+20x) 化简得:y=−10푥2 + 100푥 + 6000 ④确定自变量取值范围: 根据题意,x≤60-56,且 x≥0,且 x 为整数 ∴自变量的取值范围为:0≤x≤4(x 为整数) ⑤解决二次函数问题,并解答: ∵a=-10<0,∴函数有最小值 当 x=− 푏 2푎 = − 100 2∙(−10) = 5时有最小值,但是 x 无法取到 5 根据函数图像性质,当 x=4 时,有最大值,最大值 y=6240 二、典型题型 题型 1 面积问题 解题技巧:面积问题中,常考察矩形的面积,关系式为:面积=长×宽。设面积为 y,长(宽)为 x,宽(长) 利用题干中的关系,用 x 表示。 在求解最大面积时,需要注意实际问题中自变量的取值范围。 例 1.投资 1 万元围一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造.墙长 24m,平行于 墙的边的费用为 200 元/m,垂直于墙的边的费用为 150 元/m,设平行于墙的边长为 xm (1)设垂直于墙的一边长为 ym,直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 (2)若菜园面积为 384푚2,求 x 的值 (3)求菜园的最大面积 【答案】(1)y=− 2 3 푥 + 100 3 (0<x≤24) (2)x=18 (3)416푚2 【解析】(1)平行于墙的长度为 x,则费用为 200x 垂直于墙的长度为 y,则费用为 150y∙ 2 = 300y 300y+200x=10000 化简得:y=− 2 3 푥 + 100 3 ∵墙的长度为 24m,∴自变量的取值范围为:0<x≤24 (2)设面积为 S,则 S=xy=x(− 2 3 푥 + 100 3 )=− 2 3 푥2 + 100 3 푥 菜园面积为 384푚2,则 384=− 2 3 푥2 + 100 3 푥 解得:푥1 = 18,푥2 = 32 푥1 = 18在取值范围内,符合;푥2 = 32不在取值范围内,舍去 所以当 x=18 时,面积为 384 (3)S=− 2 3 푥2 + 100 3 푥 函数开口向下,最大值为顶点处 顶点横纵标 x=− 100 3 2×(−2 3)=25 x=25 不在取值范围内,而在取值范围的右侧 则最大值为当 x=24 时,最值为 y=− 2 3 × 242 + 100 3 × 24 = 416 所以当 x=24 时,面积最大,为 416푚2。 例 2.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各 留 1m 宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27m,求能建成的饲养室面积最大值? 【答案】当垂直于墙的长度为 5m 时,面积最大,为 75푚2 【解析】设垂直于墙的长度为 xm,则中间墙的长度为(x-1)m,平行于墙的长度为[27-x-( x-1)- x+2]m 面积 S=x[27-x-(x-1)-x+2]=−3푥2 + 30푥 取值范围为:{ 푥>0 푥 − 1>0 27 − x-(x-1)-x>0 化简得:1<x<26 3 二次函数开口向下,最大值为顶点处 顶点横坐标 x=− 30 2×(−3) = 5,在取值范围内 则最大值为当 x=5 时,S=−3 × 52 + 30 × 5=75 当垂直于墙的长度为 5m 时有最大值,最大面积为 75푚2。 题型 2 利润问题 解题技巧:利润问题中,,关系式为:总利润=单件利润×销售件数。设总利润为 y,降价(涨价)为 x,结 合题干信息,用 x 表示单件利润和销售件数。 销售件数=初始件数±增加(减少)件数 在求解最大利润时,同样需要注意实际问题中自变量的取值范围。 例 1.某公式产销一种商品,为保证质量,每个周期产销商品件数控制在 100 以内,产销成本 C 是商品件数 x 的二次函数,调查数据如下表: 产销商品件数(x/件) 10 20 30 产销成本(C/元) 120 180 260 商品的销售价格(单位:元)为 P=35- 1 10 푥。(每个周期的产销利润=Px-C) (1)直接写出产销成本 C 与商品件数 x 的函数关系式(不要求写自变量的取值范围) (2)该公司每个周期产销多少件商品时,利润达到 220 元? (3)求该公司每个周期的产销利润的最大值。 【答案】(1)C= 1 10 푥2 + 3푥 + 80 (2)10 件 (3)当 x=90 时有最大利润,为 1180 元 【解析】(1)因为 C 是 x 的二次函数,读表得:A(10,120), B(20,180), C(30,260) 设函数为:C = ax2 + bx + c,利用待定系数法,将 3 点代入得: { 120 = a × 102 + b × 10 + c 180 = a × 202 + b × 20 + c 260 = a × 302 + b × 30 + c 解得:{ 푎 = 1 10 푏 = 3 푐 = 80 所以函数为:C= 1 10 푥2 + 3푥 + 80 (2)因为产销商品控制在 100 以内 所以 0<x≤100 设利润 W 为:W=(35- 1 10 푥)x-( 1 10 푥2 + 3푥 + 80) 化解得:W=− 1 5 푥2 + 32푥 − 80 利润为 220 则− 1 5 푥2 + 32푥 − 80 = 220 解得:푥1 = 10,푥2 = 150 因为 0<x≤100 所以푥1 = 10满足,푥2 = 150需要舍去 所以当周销售 10 件时,利润为 220 元 (3)W=− 1 5 푥2 + 32푥 − 80 a<0,开口向下,顶点处为最大值 顶点横坐标为 x=− 32 2×−1 5 =90 x=90 在取值范围内,即最大值就是函数在顶点处的值 y=− 1 5 × 902 + 32 × 90 − 80=1180 所以当周销售量为 90 件时,利润有最大值,为 1180 元。 例 2.某商家销售一种成本为 20 元的商品,销售一段时间后发现,每天的销量 y(件)与当天的销售单价 x (元/件)满足一次函数关系,并且当 x=25 时, y=550;当 x=30 时,y=500.物价部门规定,该商品的 销售单价不能超过 48 元/件。 (1)求出 y 与 x 的函数关系式 (2)问销售单价定为多少元时,商家销售该商品每天获得的利润是 8000 元? (3)直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润 【答案】(1)y=-10x+800 (2)当售价为 40 元时,利润为 8000 元 (3)当售价为 48 元时,有最大利润,为 8960 元 【解析】(1)销量和售价为一次函数,利用待定系数法 设一次函数为 y=kx+b,则 {550 = 25푘 + 푏 500 = 30푘 + 푏 解得:k=-10,b=800 一次函数为:y=-10x+800 (2)设利润为 W,则 W=(-10x+800)( x-20) 化简得:W=−10푥2 + 1000푥 − 1600 令−10푥2 + 1000푥 − 1600 = 8000 解得:푥1 = 40,푥2 = 60 因为该商品的销售单价不能超过 48 元/件,所以 20<x≤48 푥1 = 40符合条件,푥2 = 60不符合条件,舍去 所以当售价为 40 元时,利润为 8000 元 (3)W=−10푥2 + 1000푥 − 1600 二次函数开口向下,最大值为顶点处 顶点横坐标 x=− 1000 2×(−10)=50 发现顶点在取值范围右侧,则根据函数图像性质,最大值为当 x=48 时 当 x=48 时,y=−10 × 482 + 1000 × 48 − 1600=8960 所以当售价为 48 元时,有最大值,为 8960 元 例 3.某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量 y(件)是售价 x(元/件)的一次函数, 其售价、周销售量、周销售利润 w(元)的三组对应值如下表: 售价 x(元/件) 50 60 80 周销售量 y(件) 100 80 40 周销售利润 w(元) 1000 1600 1600 注:周销售利润=周销售量×(售价-进价) (1)①求 y 关于 x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围) ②该商品进价是_________元/件;当售价是________元/件时,周销售利润最大,最大利润是__________元 (2)由于某种原因,该商品进价提高 m 元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件,该商店 在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是 1400 元,求 m 的值 【答案】(1)①y=-2x+200 (1)②进价为:40,售价是:70,最大利润是:1800 (2)m=5 【分析】:(1)y 是 x 的一次函数,利用待定系数法求解 设 y=kx+b,则 {100 = 50푘 + 푏 80 = 60푘 + 푏 解得:{ 푘 = −2 푏 = 200 所以 y=-2x+200 设利润为 W,则 W=(-2x+200)( x-40) 化简得:W=−2푥2 + 280푥 − 8000 售价必须高于进价,即 x>40 售价不能太高,最高只能当高到刚好卖不出产品为止,即 0=-2x+200,即 x<100 所以 40<x<100 二次函数开口向下,最值为顶点处 顶点横坐标 x=− 280 2×(−2) = 70,在取值范围内 所以当 x=70 时,函数有最大值,最大值 W=−2 × 70 + 280 × 70 − 8000=1800 (2)W=(-2x+200)( x-40-m) 取值范围为:40<x<65 化简二次函数为:W=−2푥2 + (280 + 2푚)푥 − (8000 + 200푚) 函数开口向下,顶点处取得最大值 顶点横坐标 x=− 280+2푚 2×(−2)=70+푚 2 >65 所以顶点横坐标不在取值范围内,而在取值范围的右侧 则函数最大值为当 x=65 时 y=−2 × 652 + (280 + 2푚) × 65 − (8000 + 200푚)=1750-70m 因为最大值为 1400 所以 1750-70m=1400 解得:m=5 题型 3 球类运动问题 解题技巧:球类运动与抛物线息息相关,如运动轨迹、速度的变化等。在分析球类问题时,题干一般并未 告知函数的解析式,仅告知了某些特殊点的坐标,因此,球类问题的解题步骤为: ①根据图形中的特殊点,利用待定系数法,求解函数解析式; ②转化为二次函数问题进行求解,并解答 例 1.如图,校运动会上,一名男生推铅球,出手点 A 距地面5 3m,出手后的运动路线时抛物线,当铅球运行 的水平距离是 4m 时,达到最大高度 3m,那么该名男生的成绩是的多远? 【答案】10m 【解析】根据题意可得点 A(0,5 3 ),顶点坐标为(4,3) 设函数的解析式为:y=a(푥 − 4)2 + 3 将点 A 代入得:a=− 1 12 ∴函数解析式为:y=− 1 12 (푥 − 4)2 + 3 令 y=0 得:0=− 1 12 (푥 − 4)2 + 3 解得:푥1 = −2(舍),푥2 = 10 ∴成绩为 10m 例 2.如图,有一建筑工人从 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水,喷水的水呈抛物线状,如果抛物线的最高 点 M 离墙 1m,离地面40 3 m,求水流落地点 B 离墙的距离 OB。 【答案】3m 【解析】根据题意,可得点 A(0,10),顶点 M(1,40 3 ) 设函数的解析式为:y=a(푥 − 1)2 + 40 3 将点 A 代入得:a=− 10 3 ∴函数解析式为:y=− 10 3 (푥 − 1)2 + 40 3 令 y=0 得:0=− 10 3 (푥 − 1)2 + 40 3 解得:푥1 = −1(舍),푥2 = 3 ∴OB=3m 题型 4 拱桥问题 解题技巧:此类题型,需要我们自己建立合适坐标系,然后求解函数解析式,最后根据解析式求响应问题。 建立坐标系原则:纵坐标建在对称轴上,横坐标依题意,可随意选择 优点:①顶点坐标容易得出,便于利用二次函数顶点坐标求解解析式; ②函数关于 y 轴对称,函数解析式可设为:푦 = 푎푥2 + 푘 ③二次函数关于 y 轴对称,实际问题方便求解 (2)解题步骤: ①建立合适的坐标系(纵坐标建在对称轴上),得出特殊点的坐标值 ②利用顶点式求出函数解析式 ③实际问题,需确定函数取值范围 ④根据题干要求,分析二次函数解析式,求解相应内容。 例 1.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m.水面下降 2.5m,水面宽度增加___________m 【答案】2 【解析】建立直角坐标系,如下图所示。 则函数顶点坐标为(0,2),与 x 轴交点两个点的坐标分别为(-2,0),( 2,0) 设函数解析式为:y=a푥2 + 2 代入(-2,0)得:0= a× ( − 2)2 + 2 解得:a=− 1 2 所以函数解析式为:y=− 1 2 푥2 + 2 目前,水面宽度为 2-(-2)=4m 当水面下降 2.5m 时,纵坐标为-2.5,求横坐标 -2.5=− 1 2 푥2 + 2 解得:x=±3 所以,下降后的宽度为:3-(-3)=6m 所以增加的宽度为:6-4=2m 例 2.如图为一座拱桥,桥下面处于目前的水位时,水面宽 AB=10m,如果水位上升 2m,就将达到警戒线 CD, 这时水面的宽为 8m。若洪水到来,水位以每小时 0.1m 的速度上升,经过多少小时会达到拱顶? 【答案】500 9 时 【解析】建立直角坐标系,以 AB 为 x 轴,AB 中点为原点,作垂线建立 y 轴,与拱桥的顶点交于点 E。 根据坐标系得:点 B(5,0),点 D(4,2) 设函数解析式为:푦 = 푎푥2 + 푘,将点 B、D 代入得: a=− 2 9 ,k=50 9 ,∴函数为:y=− 2 9 푥2 + 50 9 则点 E 的坐标为:(0,50 9 ) ∴时间 t=50 9 ÷ 0.1 = 500 9 时 例 3.一条河上有座抛物线形涵洞,当水面距涵洞顶 5m 时,水面宽 8m。一船宽 4m,高 2,载货后,船露在 水面的部分为 0.75m。问水面涨到距涵洞顶多少米时,船就不能通航? 【答案】不能通过 【解析】建立如图坐标系 设 AA’是原来的水面位置 由条件知 A(4,-5) 设抛物线的解析式为 y=a푥2,代入点 A 得: a=− 5 16 푥2 当穿棉两侧与抛物线接触是,船不能通过 因为船宽 4m 所以 B 的横坐标为 2 因为 B 在抛物线上,所以 B 的纵坐标 y=− 5 16 × 22=− 5 4 此刻水面距离涵洞顶的距离为:5 4 + 3 4=2m 所以当水面涨到离涵洞顶 2m 时,船不能通过。 三、难点题型 题型 1 分段函数 解题技巧:当单价或者销售量不能用单一函数表示时,这是的函数为分段函数。分段函数求解最值,与二 次函数求最值方法相同,就是增加一步:每一段函数的最值都求解出来,然后比较这几段函数的最值,从 而找出最终的最值。 例 1.某大学生利用暑假 40 天进行社会实践,他参加了一家网店的经营,了解到一种成本为 20 元/件的新型 商品在第 x 天销售的相关信息如表所示: 销售量 P(件) P=50-x 销售单价 q(元/件) 当 1≤x≤20 时,q=30+1 2 푥 当 21≤x≤40 时,q=x (1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件? (2)求该网站第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式。 (3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)10 天或 35 天 (2)y={ − 1 2 푥2 + 15푥 + 500,0 ≤ 푥 ≤ 20 −푥2 + 70푥 − 1000,21 ≤ 푥 ≤ 40 (3)第 15 天有最大值,最大值为:612.5 元 【解析】∵此题销售单价有 2 类情况 ∴此题需要分段考虑 (1)情况一:当 1≤x≤20 时 35=30+1 2 푥,解得:x=10 情况二:当 21≤x≤40 时 30=x,解得:x=35 综上得:第 10 天和 35 天时售价为 35 元/件 (2)情况一:当 1≤x≤20 时 利润 y=p(q-20)得:y=(50-x)( 30+1 2 푥 − 20),化简得:y=− 1 2 푥2 + 15푥 + 500 情况二:当 21≤x≤40 时 利润 y=P(q-20)得:y=(50-x)( x-20),化简得:y=−푥2 + 70푥 − 1000 ∴利润 y={ − 1 2 푥2 + 15푥 + 500,0 ≤ 푥 ≤ 20 −푥2 + 70푥 − 1000,21 ≤ 푥 ≤ 40 (3)∵有 2 段函数 ∴要分别讨论这 2 段函数的最大值 情况一:当 y=− 1 2 푥2 + 15푥 + 5000,0 ≤ 푥 ≤ 20 ∵a=− 1 2 <0 ∴当 x=− 푏 2푎 = − 15 2∙(−1 2) = 15时有最大值,最大值 y=612.5 情况二:当−푥2 + 70푥 − 1000,21 ≤ 푥 ≤ 40 ∵a=-1<0 ∴x=− 푏 2푎 = − 70 2∙(−1) = 35时有最大值,最大值 y=225 综上得:第 15 天有最大值,最大值为:612.5 元 例 2.饰品店购进一种新饰品,进价为 40 元,售价为 60 元,每月可卖出 300 件。市场调查反映:调整价格 时,售价每涨 1 元每月少卖 10 件;收件每降 1 元,每月多卖 20 件。为了获得最大利润,先将饰品售价调 整为 60+x(元/件),每月销售量为 y,每月利润为 w。 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系; (2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大利润; 【答案】(1)y={ −10푥2 + 100푥 + 6000,0 ≤ 푥 ≤ 30 −20푥2 − 100푥 + 6000, − 20 ≤ 푥 ≤ 0 (2)售价定位 65 元时有最大利润,为 6250 元 【解析】∵有降价和涨价 2 种情况 ∴此题需要分段讨论 (1)情况一:涨价,即 x≥0 时 商品利润为:(60+x-40)=(20+x)元 商品销量为:(300-10x)件 ∴y=(20+x)( 300-10x),化简得:y=−10푥2 + 100푥 + 6000 涨价最大涨至商品销售不出,即 300-10x≥0 ∴自变量的取值范围为:0≤x≤30,且 x 为整数 情况二:降价,即 x≤0 时 商品利润为:(60+x-40)=(20+x)元 商品销量为:(300-20x)件 ∴y=(20+x)( 300-20x),化简得:y=−20푥2 − 100푥 + 6000 降价最大至商品无利润,即 20+x≥0 ∴自变量的取值范围为:-20≤x≤0,且 x 为整数 综上得:y={ −10푥2 + 100푥 + 6000,0 ≤ 푥 ≤ 30 −20푥2 − 100푥 + 6000, − 20 ≤ 푥 ≤ 0 (2)情况一:当 0≤x≤30 时,푦 = −10푥2 + 100푥 + 6000 ∵a=-10<0 ∴x=− 푏 2푎 = − 100 2∙(−10) = 5时有最大值,最大值 y=6250 元 情况二:当−20 ≤ 푥 ≤ 0时,푦 = −20푥2 − 100푥 + 6000 ∵a=-20<0 ∴x=− 푏 2푎 = − −100 2∙(−20) = − 5 2 时有最大值 ∵x 为整数 ∴最大为 x=-3 或 x=-2 时取得,y=6120 元 综上得:当 x=5 时 y 值最大,为 6250 ∴定价为 65 元时有最大利润,为 6250 元。 题型 2 二次函数的综合应用 解题技巧:此类题通常为中考的最后一道大题,型综合性较强,要求读者在平时学习中多钻研与积累。 例 1.已知抛物线 y=a푥2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点,一次函数 y=kx+b 的图象 l 经过抛物 线上的点 C(m,n) (1)求抛物线的解析式 (2)若 m=3,直线 l 与抛物线只有一个公共点,求 k 的值 (3) 若 k=-2m+2,直线 l 与抛物线的对称轴相交于点 D,点 P 在对称轴上.当 PD=PC 时,求点 P 的坐标 【答案】(1)y=−푥2 + 2푥 + 3 (2)k=-4 (3)P(1,15 4 ) 【解析】(1)∵点 A(-1,0), B(3,0)在抛物线 y=a푥2+2x+c 上 ∴0=a-2+c,0=9a+6+c 解得:a=-1,c=3 ∴抛物线解析式为:y=−푥2 + 2푥 + 3 (2)∵C(m,n)在抛物线上 ∴n=−m2 + 2m + 3 当 m=3 时,求得 n=0 ∴C(3,0) ∵直线经过点 C ∴b=-3k,则直线解析式为 y=kx-3k 联立直线与抛物线:kx-3k=−푥2 + 2푥 + 3 化简得:−푥2 + (2 − 푘)푥 + (3 + 3푘) = 0 ∵直线与抛物线只有一个公共点 ∴Δ = (푘 − 2)2 − 4 × (−1) × (3 + 3푘) = 0 解得:k=-4 (3)当 k=-2m+2 时,y=(-2m+2)x+b,且 m≠1 将 C(m,n)代入 y=(-2m+2)+b 中得: n=-푚2+2m+3 ∵n=−푚2 + 2푚 + 3 ∴b=푚2 + 3,直线的解析式为 y=-(-2m+2)x+푚2 + 3 ∵D 为直线与抛物线的交点 ∴D 的横坐标 x=1,y=푚2 − 2푚 + 5 ∴D(1,푚2 − 2푚 + 5), C(m,−푚2 + 2푚 + 3) 设 P(1,a) ∵PC=PD ∴푃퐶2 = 푃퐷2 即:(푚 − 1)2 +( − 푚2 + 2푚 + 3 − 푎)2 =(푚2 − 5푚 + 5 − 푎)2 解得:a=15 4 ∴P(1,15 4 ) 例 2.已知抛物线 y=푥2 + 푏푥 + 3√3与 x 轴交于点 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C.P 为抛物线的对 称轴上的动点,且在 x 轴的上方,直线 AP 与抛物线交于另一点 D. (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,连接 AC,DC,若∠ACD=60°,求点 D 的横坐标; (3)如图 2,过点 D 作直线 y=−√3푥的垂线,垂足为点 E,若 PE=√2푃퐷,求点 P 的坐标. 【答案】(1)y=√3푥2-4√3푥+3√3 (2)19 5 (3)P(2,1) 【解析】(1)将点 A(1,0), B(3,0)代入抛物线有: { 0 = 푎 + 푏 + 3√3 ① 0 = 9푎 + 3푏 + 3√3 ② 得 a=√3,b=-4√3 (2) 过点 A 作直线 AH⊥CA,交直线 CD 于 H,作 HQ⊥AB 于点 Q, ∵∠COA=∠CAH=∠HQA=90° ∴∠OCA=∠HAQ,∠CAO=∠AHQ ∴△COA∽△AQH 又∵△CAH 为直角三角形 ∴퐶퐴 퐴퐻 =tan∠CHA=tan30°=√3 3 ∴퐻퐴 퐶퐴 =퐻푄 푂퐴 =퐴푄 퐶푂 =√3,OC=3√3,OA=1 ∴HQ=√3,AQ=9,H(10,√3) 设直线 CH 的解析式为 y=mx+n,将点 C(0,3√3)和 H(10,√3)代入有 CH 直线的解析式为 y=-√3 5 x+3√3 D 为 CH 与抛物线交点 { 푦 = √3푥2 − 4√3푥 + 3√3 푦 = − √3 5 푥 + 3√3 解得√3푥2-19 5 √3 푥=0,所以푥1=0,푥2=19 5 ,即 D 点的横坐标为19 5 (3) 设直线 AP:y=kx-k {푦 = √3푥2 − 4√3푥 + 3√3 푦 = 푘푥 − 푘 消去 y 得:√3푥2 − (4√3+k)x + 3√3+k=0 ∴푥퐴 푥퐷=3+ 푘 √3 ,푥퐴=1,∴푥퐷=3+ 푘 √3 ∴D(3+ 푘 √3 ,2k+ 푘 √3 ) ∴E(3+ 푘 √3 ,-√3) 抛物线的顶点 F(2,-√3),∴直线 y=-√3经过点 F,点 P(2,k) 过点 D 作 DM⊥PF 于 M,在 Rt△PDM 中,由勾股定理得: 푃퐷2=(1+푘2)( 1 + 푘 √3 )2 在 Rt△PEF 中,由勾股定理得: 푃퐸2=(1 + 푘 √3 )2 +3(1 + 푘 √3 )2 由题意得:푃퐸2=2푃퐷2 (1 + 푘 √3 )2 +3(1 + 푘 √3 )2 =2(1+푘2)( 1 + 푘 √3 )2 ∴4=2(1+푘2) ∴k=1 或 k=-1(舍) ∴点 P 的坐标为(2,1) 例 3.抛物线 L:y=-푥2+bx+c 经过点 A(0,1),与它的对称轴直线 x=1 交于点 B (1)直接写出抛物线 L 的解析式 (2)如图 1,过定点的直线 y=kx-k+4(k<0)与抛物线 L 交于点 M、N.若△BMN 的面积等于 1,求 k 的值 (3)如图 2,将抛物线 L 向上平移 m(m>0)个单位长度得到抛物线퐿1,抛物线퐿1与 y 轴交于点 C,过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线퐿1于另一点 D.F 为抛物线퐿1的对称轴与 x 轴的交点,P 为线段 OC 上一点.若△PCD 与△POF 相似,并且符合条件的点 P 恰有 2 个,求 m 的值及相应点 P 的坐标。 【答案】(1)y=-푥2+2x+1 (2)-3 (3)m=2√2-1 时,点 P 的坐标为(0,√2)和(0,2√2 3 ); m=2 时,点 P 的坐标为(0,1)和(0,2) 【解析】(1)由题意知: { − 푏 2×(−1) =1 푐=1 解得 b=2,c=1. ∴抛物线的解析式为 y=-푥2+2x+1 (2)如图 1, ∵y=kx-k+4=k(x-1)+4 ∴当 x=1 时,y=4,即该直线所过定点 G 坐标为(1,4) ∵y=-푥2+2x+1=(푥 − 1)2+2 ∴点 B(1,2) 则 BG=2, ∵푆△퐵푀푁=1,即푆△퐵푁퐺-푆△퐵푀퐺=1 2BG·푥푁-1 2BG·푥푀=1 ∴푥푁-푥푀=1 由{y=kx-k+4 y=-푥2+2x+1 得푥2+(k-2)x-k+3=0 解得:x=2−k±√(k−2)2 −4(3−k) 2 =2−k±√k2−8 2 则xN=2−k+√k2−8 2 ,xM=2−k−√k2−8 2 由xN-xM=1 得√k2 − 8=1 ∴k=±3, ∵k<0,∴k=-3 (3)如图 2 设抛物线퐿1的解析式为 y=-푥2+2x+1+m, ∴C(0,1+m), D(2,1+m), F(1,0) 设 P(0,t), 当△PCD∽△FOP 时,푃퐶 퐶퐷 =퐹푂 푂푃 , ∴1+푚−푡 2 =1 푡 ∴푡2 − (1 + 푚)푡 + 2 = 0 ① 当△PCD∽△POF 时,푃퐶 퐶퐷 =푃푂 푂퐹 , ∴1+푚−푡 2 =푡 1 ∴t=1 3 (m + 1) ② 1)当方程①有两个相等实数根时, Δ=(1 + 푚)2 − 8 = 0 解得:m=2√2-1(负值舍去) 此时方程①有两个相等实数根t1 = t2 = √2, 方程②有一个实数根 t=2√2 3 ∴m=2√2-1 此时点 P 的坐标为(0,√2)和(0,2√2 3 ) 2)当方程①有两个不相等实数根时,把②代入①得: 1 9 (m + 1)2-1 3 (m+1)+2=0 解得 m=2(负值舍去) 此时,方程①有两个不相等的实数根t1 = 1,t2 = 2 方程①有一个实数根 t=1 ∴m=2,此时点 P 的坐标为(0,1)和(0,2) 综上,当 m=2√2-1 时,点 P 的坐标为(0,√2)和(0,2√2 3 ); m=2 时,点 P 的坐标为(0,1)和(0,2)查看更多