一元二次方程的知识点总结

一元二次方程的知识点总结

一元二次方程知识点的总结 知识结构梳理 ‎ ‎ ‎（1）含有 个未知数。‎ ‎ （2）未知数的最高次数是 ‎ ‎ 1、概念 （3）是 方程。‎ ‎ （4）一元二次方程的一般形式是 。‎ ‎ （1） 法，适用于能化为 的一元。‎ ‎ 二次方程 一元二次方程 ‎ （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，‎ ‎ 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 ‎ ‎ （3） 法 ‎ （4） 法，其中求根公式是 ‎ ‎ ‎ ‎ 当 时，方程有两个不相等的实数根。‎ ‎ （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。‎ ‎ 当 时，方程有没有的实数根。‎ ‎ 可用于解某些求值题 ‎ ‎ （1） ‎ ‎ 一元二次方程的应用 （2） ‎ ‎ （3） ‎ ‎ 可用于解决实际问题的步骤 （4） ‎ ‎ （5） ‎ ‎ （6） ‎ 知识点归类 建立一元二次方程模型 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。‎ 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。‎ ‎③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。‎ 例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？‎ ‎⑴；⑵；（3）；（4）；（5）‎ 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。‎ 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。‎ ‎（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。‎ ‎ （3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。‎ 例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ 例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 ‎ 知识点三 一元二次方程的解 ‎ 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。‎ 知识点四 建立一元二次方程模型 建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。‎ 注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。‎ 例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，‎ 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，‎ 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场 ‎（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。） ‎ 因式分解法、直接开平方法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。‎ 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。‎ 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。‎ ‎ 例 用因式分解法解下列方程：‎ ‎（1）； （2）； （3）。‎ 知识点二 直接开平方法解一元二次方程 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。‎ ‎（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。‎ 例 用直接开平方法解下列一元二次方程 ‎（1）； （2）； （3）‎ 知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程 形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。‎ 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。‎ ‎（1）； （2）‎ 知识点四 用提公因式法解一元二次方程 把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。‎ 如：，将原方程变形为，由此可得出 注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。‎ 知识点五 形如“”的方程的解法。‎ 对于形如“”‎ 的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。‎ 注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。‎ 例 解下列方程：（1）； （2）‎ 配方法 知识点一 配方法 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。‎ 注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。‎ 例 用配方法解下列方程：‎ ‎（1）； （2）‎ 知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：‎ （1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；‎ （2） 把原方程变为的形式。‎ （3） 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。‎ 例 解下列方程：‎ 知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；‎ ‎ (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；‎ ‎（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。‎ 例 用配方法解下列方程：‎ ‎（1）； （2）‎ 公式法 知识点一 一元二次方程的求根公式 一元二次方程的求根公式是：‎ 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。‎ 例 用公式法解下列方程 ‎（1）； （2）； （3）‎ 知识点二 选择适合的方法解一元二次方程 ‎ 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程 因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；‎ 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。‎ 注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。‎ 例 用适当的方法解下列一元二次方程：‎ ‎（1）；（2）；（3）‎ 知识点三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 △=‎ 运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：‎ （1） ‎△=﹥0方程有两个不相等的实数根；‎ （2） ‎△==0方程有两个相等的实数根；‎ （3） ‎△=﹤0方程没有实数根；‎ 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。‎ 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：‎ ‎（1）；（2）；（3）‎ 知识点四 根的判别式的逆用 在方程中，‎ ‎（1）方程有两个不相等的实数根﹥0‎ ‎（2）方程有两个相等的实数根=0‎ ‎ （3）方程没有实数根﹤0‎ 注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。‎ 例 为何值时，方程的根满足下列情况：‎ ‎（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；‎ 知识点五 一元二次方程的根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则有， ‎ 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3）；‎ ‎（4）││==‎ 例 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。‎ ‎（1）； （2）。‎ 知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程 ‎ 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。‎ 例 当取什么值时，代数式与代数式的值相等？‎ 一元二次方程的应用 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。‎ 关键点：找出题中的等量关系。‎ 知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。‎ 例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为 ‎ 知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量 例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。‎ ‎（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。‎ ‎（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。‎ 第二章 一元二次方程（补充）‎ ‎※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。‎ ‎※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。‎ ‎※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为的形式>‎ ‎②公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）‎ ‎③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）‎ ‎※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；‎ 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；‎ 当b2-4ac<0时，方程无实数根。‎ ‎※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。‎ ‎※一元二次方程的根与系数的关系的作用：‎ ‎（1）已知方程的一根，求另一根；‎ ‎（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：‎ ‎① ② ③‎ ‎④ ⑤ ‎ ‎⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。‎ ‎（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：‎ ‎（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根 ‎※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。‎ ‎※处理问题的过程可以进一步概括为： ‎