寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第十讲 抛物线的对称平移问题（教师版）

寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第十讲 抛物线的对称平移问题（教师版）

抛物线的对称平移问题 1 第十讲 抛物线的对称平移问题 明确目标﹒定位考点 在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。掌握其对称 和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 抛物线关于 x轴、y轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。 二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x轴对称 2y ax bx c   关于 x轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c    ；  2y a x h k   关于 x轴对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ； 2. 关于 y轴对称 2y ax bx c   关于 y轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c   ；  2y a x h k   关于 y轴对称后，得到的解析式是  2y a x h k   ； 3. 关于原点对称 2y ax bx c   关于原点对称后，得到的解析式是 2y ax bx c    ；  2y a x h k   关于原点对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） 2y ax bx c   关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 by ax bx c a      ；  2y a x h k   关于顶点对称后，得到的解析式是  2y a x h k    注： 对于以上四种对称要在结合开个方向、对称轴的位置以及与 y轴的交点三个方面结合图像 理解记忆。而对于抛物线关于定点对称问题我们一般都是化成顶点式再变换. 【例 1】二次函数 432  xxy 关于 Y 轴的对称图象的解析式为 ，关于 X轴的对 称图象的解析式为 ，关于原点的对称图象的解析式为 ，关 于顶点旋转 180 度的图象的解析式为 。 【例 2】将抛物线 22 12 16y x x   绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式是（ ）． 抛物线的对称平移问题 2 A． 22 12 16y x x    B． 22 12 16y x x    C． 22 12 19y x x    D． 22 12 20y x x    【变式训练 1】 1.在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2y x x   关于 x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A． 2 2y x x    B． 2 2y x x    C． 2 2y x x    D． 2 2y x x   【规律方法】掌握抛物线的四种对称方式，理解公式的推导过程。 考点 2 求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。 二次函数图象平移 ①二次函数图象平移的本质是点的平移，关键在坐标． ②图象平移口诀：左加右减、上加下减． 平移口诀主要针对二次函数顶点式． 【例 1】把抛物线 2y x  向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A． 2( 1) 3y x    B． 2( 1) 3y x    C． 2( 1) 3y x    D． 2( 1) 3y x    【例 2】抛物线 cbxxy  2 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3个单位，所得图像的解析式为 322  xxy ，则 b、c 的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 【变式训练 2】 1.将抛物线 y=x2-2x 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线是__________________． 2.抛物线 y=(x+2)2-3 可以由抛物线 2y x 平移得到，则下列平移方法正确的是（ ） A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 3.抛物线 2y x bx c   的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函数解析式为 抛物线的对称平移问题 3 2 2 3y x x   ，则 b，c 的值为（ ） A．b=2，c=3 B．b=2，c=6 C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=2 4.如图，将抛物线 2( 1) 7y x   沿 x 轴平移，若平移后的抛物线经过点 P(2，2)，则平移后的抛物线解 析式为（ ） A． 2( 5) 7y x   B． 2( 5) 7y x   或 2( 1) 1y x   C． 2( 1) 1y x   D． 2( 5) 7y x   或 2( 1) 7y x   【规律方法】掌握 二次函数图象平移口诀和方法。 考点 3 与抛物线平移有关的压轴题。 【例 1】如图，已知抛物线 bxxy  2 4 1 经过点 )0,4( ,顶点为M ． (1)求 b 的值； (2)将该抛物线沿它的对称轴向下平移 n 个单位长度，平移后的抛物线经过点 )0,6(A ，分别与 x 轴、y 轴 交于点 B C、 ． ①试求 n的值； ②在第二象限内的抛物线 bxxy  2 4 1 上找一个点 P，使得 MBCPBC SS   ， 并求出点 P的坐标． 【规律方法】 （1）把点（4，0）代入抛物线的解析式即可求出 b 的值； 第 1 题图 抛物线的对称平移问题 4 （2）①把（1）中的解析式化成顶点式，把 A(6,0)代入平移后的解析式求出 n 的值即可； ②通过同底等高三角形面积相等这一性质，再利用平行线所夹高相等，算出 BC 解析式，利用平行线 k值相等设出过点 M的直线，再代 M 点坐标可求出直线解析式，通过直线与抛物线联立即可求出交 点 P 的坐标。 【例 2】已知二次函数 21 3 4 2 y x x   的图象如图. （1）求它的对称轴与 x轴交点 D 的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x轴， y轴的交点分别为 A、B、C 三点， 若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作⊙D，试判断直线 CM 与⊙D 的位置 关系，并说明理由. 【规律方法】 (1)考察对称轴公式代入直接求解； (2)①假设出平移之后的解析式即可得出图像与 X轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可； ②表示出各点坐标，利用射影定理求解. 【变式训练 3】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为（2，4），直线 x＝2与 x轴相交于点 B，连结 OA，抛物 抛物线的对称平移问题 5 线 y＝x 2 从点 O 沿 OA 方向平移，与直线 x＝2交于点 P，顶点 M 到 A 点时停止移动． （1）求线段 OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点 M 的横坐标为 m． ①用 m 的代数式表示点 P 的坐标； ②当 m 为何值时，线段 PB 最短； （3）当线段 PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点 Q，使△QMA 的面积与△ PMA 的面积相等，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，已知点 A（－2，4）和点 B（1，0）都在抛物线 y＝mx 2 ＋2mx＋n 上． （1）求抛物线的解析式； （2）向右平移抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B的对应点为 B′，四边形 AA′B′B 为菱形． B A P x＝2 O x y M 抛物线的对称平移问题 6 ①求平移后抛物线的解析式； ②记平移后抛物线的对称轴与直线 AB′的交点为点 C，试在 x 轴上找点 D，使得以点 B′、C、D为顶点 的三角形与 ABC△ 相似． 专题训练﹒对接中考 1.把二次函数 2y x bx c   的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为 2 4 5y x x   ，则有（ ） －1 1 BO x y A 1 －1 抛物线的对称平移问题 7 A．b=10，c=24 B．b=2，c=4 C．b=10，c=28 D．b=2，c=0 2.抛物线 2axy  向左平移 5 个单位,再向下移动 2个单位得到抛物线 3.二次函数 1)3(2 2  xy 由 1)1(2 2  xy 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______ 个单位得到。 4.抛物线 3)2(3 2  xy 可由抛物线 2)2(3 2  xy 向 平移 个单位得到． 5.将函数 2y x x  的图象向右平移 a ( 0)a  个单位，得到函数 2 3 2y x x   的图象，则 a的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 6.把抛物线 2y x  向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为 A． 2( 1) 3y x    B． 2( 1) 3y x    C． 2( 1) 3y x    D． 2( 1) 3y x    7.要得到二次函数 2 2 2y x x    的图象，需将 2y x  的图象（ ）． A．向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位 C．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 8.在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2y x x   关于 x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y轴作 轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A． 2 2y x x    B． 2 2y x x    c. 2 2y x x    D． 2 2y x x   抛物线的对称平移问题 8 9.如图，已知经过原点的抛物线 y＝－2x 2 ＋4x 与 x 轴的另一交点为 A，现将它向右平移 m （m＞0）个单位，所得抛物线与 x 轴交于 C、D 两点，与原抛物线交于点 P． （1）求点 A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）； （2）在 x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含 m 的式子 表示）；若不存在，请说明理由； （3）设△PCD 的面积为 S，求 S 关于 m 的关系式． 作业： 1.抛物线 2y ax bx c   的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为 2 2 3y x x   ，则 b，c 的值为（ ） A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=2 O A P x y C D 抛物线的对称平移问题 9 2.把二次函数 3 4 1 2  xxy 用配方法化成   khxay  2 的形式 （ ） A.   22 4 1 2  xy B.   42 4 1 2  xy C.   42 4 1 2  xy D. 3 2 1 2 1 2        xy 3.在平面直角坐标系中，将二次函数 22xy  的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为（ ） A． 22 2  xy B． 22 2  xy C． 2)2(2  xy D． 2)2(2  xy 4.将抛物线 22y x 向下平移 1个单位，得到的抛物线是（ ） A． 22( 1)y x  B． 22( 1)y x  C． 22 1y x  D． 22 1y x  5.将抛物线 5)3( 5 3 2  xy 向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线是 6.把抛物线 2)1( 2  xy 是由抛物线 3)2( 2  xy 向 平移 个单位，再向_____平移 _______个单位得到。 7.把抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的图象先向右平移 3个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象的解析式是 y＝ x 2 －3x+5，则 a+b+c=__________ 8.抛物线 y＝x 2 －5x+4 的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 9.如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是（0， 3 ），以点 C为顶 点的抛物线 y＝ax 2 ＋bx＋c恰好经过 x 轴上 A、B 两点． （1）求 A、B、C 三点的坐标； O A B x y CD E 抛物线的对称平移问题 10 （2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少 个单位？ 答案： 考点 1 ： 【例 1】 432  xxy ； 432  xxy ； 432  xxy ； 4 25-) 2 3(- 2 xy . 【例 2】 D 【变式训练 1】 抛物线的对称平移问题 11 1.C 考点 2： 【例 1】 D 【例 2】 B 【变式训练 2】 1． 2 10 27y x x   2．B 3．B 4．D 考点 3： 【例 1】 抛物线的对称平移问题 12 【例 2】 抛物线的对称平移问题 13 抛物线的对称平移问题 14 【变式训练 3】 1. 抛物线的对称平移问题 15 2. 抛物线的对称平移问题 16 抛物线的对称平移问题 17 专题训练﹒对接中考 1. B 2. 2)5( 2  xay 3. 左，4，下，2 4. 下，5 5. B 6. D 7. D 8. C 9. 抛物线的对称平移问题 18 抛物线的对称平移问题 19 作业： 1. B 2. C 3. B 4. D 5. 7)6( 5 3 2  xy 6. 右，3，上，1 7. 11 8. y＝x 2 －11x+25 9.