2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数y=ax2加bx加c的图像和性质

2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数y=ax2加bx加c的图像和性质

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 1．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的交点为（x1，0）、（x2， 0），其中 0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a+1＞2b﹣c；④4ac﹣b2+4a＜0；⑤a> 1 3 ．其 中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】【分析】由抛物线开口方向得 a＞0，由抛物线的对称轴为直线 12 bx a    得 b＝2a＞0，由抛物 线与 y 轴的交点位置得 c＜0，则 abc＜0；由于抛物线与 x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根 据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴另一个交点在点（−3，0）与点（−2，0）之间，即有−3＜x2＜−2；由 于 b＝2a，c＜−1，则 4a＋1＜2b−c；由于 b＝2a，则 4ac−b2＋4a＝4a（c−a＋1），利用 c＜−1，−a＜0，所以 4ac−b2＋4a＝4a（c−a＋1）＜ 0；由于 x＝1 时，函数为正值，则 a＋b＋c＞0，即 a＋2a＋c＞0，解得 1 3ac ， 然后利用 c＜−1 得到 1 3a  ． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴ 0a  ， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为直线 x＝﹣1， ∴抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴另一个交点在点（﹣3，0）与点（﹣2，0）之间， ∴﹣3＜x2＜﹣2，所以②正确； ∵b＝2a，c＜﹣1， ∴4a+1＜2b﹣c，所以③错误； ∵b＝2a， ∴ 22444444(1)acbaacaaaca ， ∵ 1c  ，即 10c  ， 而 0a ， ∴c﹣a+1＜0， ∴4ac﹣b2+4a＝4a（c﹣a+1）＜0，所以④正确； ∵x＝1 时，y＞0，即 a+b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，即 1 3ac ， 而 c＜﹣1， ∴ 1 3a  ，所以⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象为抛物线，当 a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线 2 bx a ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b2−4ac＞0，抛物 线与 x 轴有两个交点；当 b2−4ac＝0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2−4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列判断错误的是 ( ) A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【解析】【分析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可 【详解】 解：图象开口向上，所以 a＞0.故 A 正确； 抛物线与 y 轴交于负半轴，所以 c＜0，故 B 正确； 抛物线有最低点，即函数有最小值，故 C 正确； 在对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大，故 D 错误. 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的系数和图象的关系及增减性是解答此题的关键． 3．一次函数 (0)yaxba 与二次函数 2 (0)yaxbxca 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与 y 轴的位置关系，即可得 出 a、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】 A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系， 是解题的关键． 4．若抛物线 2( 1) 2 1y k x x    的开口向上，则 k 的取值范围是（ ） A． 0k  B． 0k  C． 1k  D． 1k ³ 【答案】C 【解析】【分析】 二次函数的图象的开口向上时，二次项系数大于 0． 【详解】 因为抛物线 y=（k-1）x2+2x+1 的开口向上， 所以 k-1＞0， 解得 k＞1． 故选 C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质．二次项系数 a 决定二次函数图象的开口方向：①当 a＞0 时，二次函数图象向上开口；②当 a＜0 时，抛物线向下开口． 5．二次函数 2yaxbxc 的图象的顶点坐标是（2,3），则 a，b，c 取值可以是（ ） A． 1a  ， 4b  ， 7c  B． ， -4b  ， 1c  C． 2a  ， 8b  ， 5c  D． -2a  ， ， -5c  【答案】D 【解析】【分析】 设这个二次函数的关系式为 y=a（x-2）2+3，然后整理成一般式，即可得到 a、b、c 之间的关系，从而得到 正确选项． 【详解】 设这个二次函数的关系式为 y=a（x-2）2+3， 整理得，y=ax2-4ax+4a+3， b=-4a，c=4a+3， 故 a=-2，则 b=8，c=-5， 故选 D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，设出顶点式整理成一般式解题的关键． 6．已知二次函数 y=-2x2+4x-3，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是（ ） A． 1x  B． 0x  C． 1x  D． 2x  【答案】A 【解析】【分析】 把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于 x 的不等式，可求得答案． 【详解】 ∵y=-2x2+4x-3=-2（x-1）2-1， ∴抛物线开口向下，对称轴为 x=1， ∴当 x≥1 时，y 随 x 的增大而减小， 故选 A． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a（x-h）2+k 中，对 称轴为 x=h，顶点坐标为（h，k）． 7．如图，已知△ ABC 的顶点坐标分别为 A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数 y=x2+bx+1 的图像与阴影 部分(含边界)一定有公共点，则实数 b 的取值范围是( ) A．b≤-2 B．b<-2 C．b≥-2 D．b>-2 【答案】C 【解析】【分析】根据 y=x2+bx+1 与 y 轴交于点（0，1），且与点 C 关于 x=1 对称，则对称轴 x≤1 时，二次 函数 y=x2+bx+1 与阴影部分一定有交点，据此可求出 b 的取值范围. 【详解】 当二次函数 y=x2+bx+1 的图象经过点 B（1，0）时，1+b+1=0.解得 b=-2，故排除 B、D； 因为 y=x2+bx+1 与 y 轴交于点（0，1），所以（0，1）与点 C 关于直线 x=1 对称，当对称轴 x≤1 时，二次函 数 y=x2+bx+1 与阴影部分一定有交点，所以- 2 b ≤1，解得 b≥-2，故选 C. 【点评】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解. 8．二次函数 2y a x b x c   的图像如图所示，那么 abc 、 2 4b a c 、 2ab 、 42a b c 这四个代数式 中，值为正的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】A 【解析】【分析】由抛物线开口向上，a＞0，由对称轴- 2 b a ＞0，可得 b＜0，抛物线与 y 轴交点为负半轴， 可知 c＜0，由抛物线与 x 轴有两个交点可得△ =b2-4ac＞0，再根据特殊点进行推理判断即可得答案． 【详解】 ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴- ＞0， ∴b＜0， ∵抛物线与 y 轴交点为负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴△=b2-4ac＞0， ∵对称轴- 2 b a ＜1， ∴2a+b＞0， 当 x=-2 时，y=4a-2b+c＞0， 故值为正的有四个， 故选 A． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握根据图象获取信息的能力是解题关键． 9．如图，正方形 ABCD 边长为 4，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．设 A、E 两点间的距离为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三 角形的面积，得函数 y 的表达式，结合选项的图象可得答案． 【详解】 解：∵正方形 ABCD 边长为 4，AE＝BF＝CG＝DH ∴AH＝BE＝CF＝DG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∴y＝4×4﹣ 1 2 x（4﹣x）×4 ＝16﹣8x+2x2 ＝2（x﹣2）2+8 ∴y 是 x 的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上， 从 4 个选项来看，开口向上的只有 A 和 B，C 和 D 图象开口向下，不符合题意； 但是 B 的顶点在 x 轴上，故 B 不符合题意，只有 A 符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 10．如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ） A．甲 乙 B．甲 丙 C．乙 丙 D．丙 丁 【答案】B 【解析】根据题意，可知： 甲：直线 4 43yx 与 x 轴交点为（3，0），与 y 轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为 1 2 ×3×4=6； 乙：阴影部分为斜边为 4 的等腰直角三角形，其面积为 ×4×2=4； 丙：抛物线 22 29yx与 x 轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面 积为 ×6×2=6； 丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为 ×6=3； 因此甲、丙的面积相等， 故选：B． 【点评】此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，熟练掌握各类函数的图象特 点是解决问题的关键． 11．如图，直线 2yx与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ， ABBC ，且点 C 在 轴上，若抛物线 2y ax bx c   以 为顶点，且经过点 ，则这条抛物线的关系式为________． 【答案】 21 222y x x   【解析】【分析】 求出 B,C 的坐标,再用顶点式求出解析式即可. 【详解】 解：∵抛物线 2y a x b x c   以 C 为顶点，且经过点 B ， ∴C 为抛物线的最小值,a  0, 由图可知 B（0,2）,A（-2,0）,∠A=45°, ∵ ABBC ， ∴C（2,0）, 设抛物线解析式为 2ya(x2), 将 B（0,2）代入解析式得： 21yx2x22 . 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的表达式,中等难度,熟悉待定系数法的解题步骤是解题关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 2 22yxx 上运动，过点 作 A C x 轴于点 C ，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 ． 【答案】1 【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得 BD=AC，由于 AC 的长等于点 A 的纵坐标，所以当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1，从而得到 BD 的最小值． 【详解】 ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴BD=AC， 而 AC⊥x 轴， ∴AC 的长等于点 A 的纵坐标， 当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1， ∴对角线 BD 的最小值为 1． 故答案为 1． 13．如右图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，点 P 是 AB 边上的一个动点，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，PF⊥AC 于点 F，当 PB＝___________时，四边形 PECF 的面积最大，最大值为_____________. 【答案】6 93 【解析】利用锐角三角函数关系，设 PB=xcm，由 ∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，可得 BC=AB×cos30°=6 3 （cm）， PE= 1 2 xcm，BE= 3 2 xcm，则 EC=（6 - x）cm，故四边形 FCEP 的面积为：PE×EC= x× （6 - x）=- 3 4 x2+3 x=- （x2-12x）=- （x-6）2+9 ，故当 x=6 时，四边形 PECF 的面积 最大，最大值为 9 ． 故答案为 6，9 ． 【点评】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与 x 的函数关系是解题关 键． 14．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点 D，其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为 －1，3，与 y 轴负半轴交于点 C．在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当 a ＝ 1 2 时，△ ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ ACB 为等腰三角形的 a 的值有 4 个．其中正确的结论是 ________(只填序号)． 【答案】③④ 【解析】试题分析：先根据图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为﹣1，3 确定出 AB 的长及对称轴，再 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物 线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．①∵图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为﹣1， 3，∴AB=4，∴对称轴 x=﹣ 2 b a =1，即 2a+b=0．故 ①错误；②根据图示知，当 x=1 时，y＜0，即 a+b+c＜0．故 ②错误；③∵A 点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，而 b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即 c=﹣3a．故 ③正确；④∵△ADB 为等腰直角三角形．所以 AD=BD= 2 2 AB，设 D（1，a+b+c），又 b=﹣2a，c=﹣3a，故 D（1，﹣4a）；列 方程求解得 a=1/2 或 a=﹣1/2（舍去），∴只有 a=1/2 时三角形 ABD 为等腰直角三角形，故④正确；⑤要使 △ ACB 为等腰三角形，则必须保证 AB=BC=4 或 AB=AC=4 或 AC=BC，当 AB=BC=4 时，∵AO=1，△ BOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，∴c=﹣ 7 ， 与 2a+b=0、a﹣b+c=0 联立组成解方程组，解得 a= 7 3 ；同理当 AB=AC=4 时，∵AO=1，△ AOC 为直角三 角形，又∵OC 的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，∴c=﹣ 15 与 2a+b=0、a﹣b+c=0 联立组成解方程组，解得 a= 15 3 ；同理当 AC=BC 时在△ AOC 中，AC2=1+c2，在 △ BOC 中 BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个 a 值满足条件．故⑤错误．综 上所述，正确的结论是③④．故答案是：③④． 考点：1.抛物线与 x 轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定． 15．某同学研究抛物线 2 23y ax x   （a≠0）时发现：①当实数 a 变化时，它的顶点都在某条直线上；② 把它的顶点横坐标减少 1 a ，纵坐标增加 ，得到 A 点的坐标，点 A 仍在这条抛物线上． ⑴请你求出①中直线的解析式； ⑵试证明②中的结论； ⑶试将②中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明． 【答案】（1） 3yx；（ 2）证明见解析；（3）见解析. 【解析】【分析】 （1）首先将抛物线 y=ax2+2x+3 转化成顶点式，写出用 a 表示的顶点坐标，消去 a 写出 y 关于 x 的表达式即 可；（2）由函数解析式可得顶点坐标，根据题意可求出 A 点坐标，把 A 点横坐标代入二次函数解析式，验 证纵坐标即可；（3）把抛物线 2yaxbxc 的顶点横坐标增加 1 a ，纵坐标增加 ，得到的点仍在这条抛 物线上；把抛物线 (a≠0)的顶点横坐标减少 ，纵坐标增加 ，得到的点仍在这条抛物线上． 【详解】 （1）∵y=ax2+2x+3=a(x+ 1 a )2+3− ， ∴抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点坐标为( − ，3− )， ∴抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点所在直线的解析式为 y=x+3. （2）∵抛物线的解析式为 2y a x 2x 3   ， ∴顶点坐标为（- 1 a ，3− ）， ∴A 点坐标为（- 2 a ，3）， 当 x=- 时，y=a(- )2+2(- )+3=3， ∴点 A 在抛物线 y=ax2+2x=3 上. （3）把抛物线 2y a x b x c   的顶点横坐标增加 1 a ，纵坐标增加 ，得到 B 点的坐标，点 B 仍在这条抛 物线上；把抛物线 的顶点横坐标减少 ，纵坐标增加 ，得到 C 点的坐标，点 C 仍在这 条抛物线上. 证明：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（− 2 b a ， 24 4 acb a  ） 由题意得 C（− 2 2 b a  ， 244 4 acb a ） 把 x=− 代入 y=ax2+bx+c=a（− ）2+b（− ）+c= ∴点 C 在抛物线 y=ax2+bx+c 上， 同理点 B 在抛物线 y=ax2+bx+c 上． 【点评】本题是二次函数的综合题．主要考查同学们对顶点式的理解，及灵活运用能力，属于一道开发性 题目．