2020年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

2020年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

2020 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷 一、填空题（每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）新冠肺炎疫情期间，全国各地约 42000 名医护人员驰援湖北．请将数 42000 用科 学记数法表示为 ． 2．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC ， ACB CAD   ．请你添加一个条件 ， 使 AB CD ．（填一种情况即可） 3．（3 分）若一组数据 21，14， x ， y ，9 的众数和中位数分别是 21 和 15，则这组数据的 平均数为 ． 4．（3 分）某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了拓展销路，商店准备打折销 售．若使利润率为 20% ，则商店应打 折． 5．（3 分）AB 是 O 的弦，OM AB ，垂足为 M ，连接 OA ．若 AOM 中有一个角是30 ， 2 3OM  ，则弦 AB 的长为 ． 6．（3 分）将抛物线 2 1y ax bx   向上平移 3 个单位长度后，经过点 ( 2,5) ，则8 4 11a b  的值是 ． 7．（3 分）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ，点 E 在 AC 边上．将 A 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 A 处，连接 A B ，交 AC 于点 F ．若 A E AE  ， 4cos 5A  ，则 A F BF   ． 8．（3 分）如图，在 Rt ABC 中，CA CB ， M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上， AE CD ， BF CD ，垂足分别为 E ， F ，连接 EM ．则下列结论中： ① BF CE ； ② AEM DEM   ； ③ 2AE CE ME  ； ④ 2 2 22DE DF DM  ； ⑤若 AE 平分 BAC ，则 : 2 :1EF BF  ； ⑥ CF DM BM DE  ， 正确的有 ．（只填序号） 二、选择题（每小题 3 分，满分 36 分） 9．（3 分）下列运算正确的是 ( ) A． 2 5 10a a a B． 2 2( 2) 4a a   C． 6 2 3a a a  D． 2 4 8( )a a  10．（3 分）下列图形是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 11．（3 分）在函数 3y x  中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A． 3x  B． 0x… C． 3x… D． 3x  12．（3 分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成 该几何体的小正方体的个数最少是 ( ) A．6 B．5 C．4 D．3 13．（3 分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．若 随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5 的概率 为 ( ) A． 1 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 3 16 14．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O ，连接 BD ．若  AC BC ， 50BDC   ，则 ADC 的度数是 ( ) A．125 B．130 C．135 D．140 15．（3 分）一列数 1，5，11，19按此规律排列，第 7 个数是 ( ) A．37 B．41 C．55 D．71 16．（3 分）如图，点 A 在反比例函数 1 18 ( 0)y xx   的图象上，过点 A 作 AB x 轴，垂足 为 B ，交反比例函数 2 6 ( 0)y xx   的图象于点 C ．P 为 y 轴上一点，连接 PA ，PC ．则 APC 的面积为 ( ) A．5 B．6 C．11 D．12 17．（3 分）若关于 x 的方程 2 01 m x x   的解为正数，则 m 的取值范围是 ( ) A． 2m  B． 2m  且 0m  C． 2m  D． 2m  且 4m  18．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点， / /AD x 轴且 4AD  ， 60A   ，将菱形 ABCD 绕点 O 旋转，使点 D 落在 x 轴上，则旋转后点 C 的对应 点的坐标是 ( ) A． (0 ， 2 3) B． (2, 4) C． (2 3 ， 0) D． (0 ， 2 3) 或 (0, 2 3) 19．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 10BC  ，点 E 在 BC 边上， DF AE ，垂 足为 F ．若 6DF  ，则线段 EF 的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 20．（3 分）如图，抛物线 2y ax bx c   与 x 轴正半轴交于 A ， B 两点，与 y 轴负半轴交 于点 C ．若点 (4,0)B ，则下列结论中，正确的个数是 ( ) ① 0abc  ； ② 4 0a b  ； ③ 1(M x ， 1)y 与 2(N x ， 2 )y 是抛物线上两点，若 1 20 x x  ，则 1 2y y ； ④若抛物线的对称轴是直线 3x  ，m 为任意实数，则 ( 3)( 3) (3 )a m m b m  „ ；⑤若 3AB… ， 则 4 3 0b c  ． A．5 B．4 C．3 D．2 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值： 2 2 2 4 2(1 ) x x x x   ，其中 tan 45x    ． 22．（6 分）如图，抛物线 2y x bx c   与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，抛物线 的顶点为 P ．已知 (1,0)B ， (0, 3)C  ．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，并直接写出点 P 的坐标； （2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E ，连接 AP ， AP 的垂直平分线交直线 PE 于点 M ， 则线段 EM 的长为 ． 注：抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    的对称轴是直线 2 bx a   ，顶点坐标是 ( 2 b a  ， 24 )4 ac b a  ． 23．（6 分）在 ABC 中，AB AC ， 6BC  ， 6ABCS  ．以 BC 为边作周长为 18 的矩形 BCDE ， M ， N 分别为 AC ， CD 的中点，连接 MN ．请你画出图形，并直接写出线段 MN 的长． 24．（7 分）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间” 活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果 整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题： 抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表 项目 人数 A 排球 6 B 篮球 m C 毽球 10 D 羽毛球 4 E 跳绳 18 （1）本次抽样调查的学生有 人，请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数； （3）全校有学生 1800 人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？ 25．（8 分）在一条公路上依次有 A ， B ，C 三地，甲车从 A 地出发，驶向 C 地，同时乙车 从 C 地出发驶向 B 地，到达 B 地停留 0.5 小时后，按原路原速返回 C 地，两车匀速行驶， 甲车比乙车晚 1.5 小时到达 C 地．两车距各自出发地的路程 y （千米）与时间 x（小时）之 间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是 千米 1 时， B ， C 两地的路程为 千米； （2）求乙车从 B 地返回 C 地的过程中， y （千米）与 x （小时）之间的函数关系式（不需 要写出自变量 x 的取值范围）； （3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是 15 千米？请你直接写出答案． 26．（8 分）在等腰 ABC 中，AB BC ，点 D ，E 在射线 BA 上，BD DE ，过点 E 作 / /EF BC ， 交射线 CA 于点 F ．请解答下列问题： （1）当点 E 在线段 AB 上， CD 是 ACB 的角平分线时，如图①，求证： AE BC CF  ； （提示：延长 CD ， FE 交于点 M ． ) （2）当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是 ACB 的角平分线时，如图②；当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是 ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 AE ， BC ，CF 之间 的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若 2 6DE AE  ，则 CF  ． 27．（10 分）某商场准备购进 A ， B 两种书包，每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 20 元， 用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍， A 种书包每个标价是 90 元， B 种书包每个标价是 130 元．请解答下列问题： （1） A ， B 两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进 B 种书包的个数比 A 种书包的 2 倍还多 5 个，且 A 种书包不少于 18 个， 购进 A ， B 两种书包的总费用不超过 5450 元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望小 学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中， B 种书包各有几个？ 28．（10 分）如图，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，线段 OA 的长是方程 2 7 18 0x x   的一个根， 1 2OB OA ．请解答下列问题： （1）求点 A ， B 的坐标； （2）直线 EF 交 x 轴负半轴于点 E ，交 y 轴正半轴于点 F ，交直线 AB 于点 C ．若 C 是 EF 的中点， 6OE  ，反比例函数 ky x  图象的一支经过点 C ，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 C 作 CD OE ，垂足为 D ，点 M 在直线 AB 上，点 N 在直线 CD 上．坐标平面内是否存在点 P ，使以 D ， M ， N ， P 为顶点的四边形是正方形？若存 在，请写出点 P 的个数，并直接写出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2020 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）新冠肺炎疫情期间，全国各地约 42000 名医护人员驰援湖北．请将数 42000 用科 学记数法表示为 44.2 10 ． 【解答】解： 442000 4.2 10  ， 故答案为： 44.2 10 ． 2．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC ， ACB CAD   ．请你添加一个条件 AD BC ，使 AB CD ．（填一种情况即可） 【解答】解：添加的条件： AD BC ，理由是： ACB CAD   ， / /AD BC ， AD BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD  ． 故答案为： AD BC ． 3．（3 分）若一组数据 21，14， x ， y ，9 的众数和中位数分别是 21 和 15，则这组数据的 平均数为 16 ． 【解答】解：一组数据 21，14， x ， y ，9 的中位数是 15， x 、 y 中必有一个数是 15， 又一组数据 21，14， x ， y ，9 的众数是 21， x 、 y 中必有一个数是 21， x 、 y 所表示的数为 15 和 21，  21 14 15 21 9 165x      ， 故答案为：16． 4．（3 分）某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了拓展销路，商店准备打折销 售．若使利润率为 20% ，则商店应打 8 折． 【解答】解：设商店打 x 折， 依题意，得：180 120 120 20%10 x    ， 解得： 8x  ． 故答案为：8． 5．（3 分）AB 是 O 的弦，OM AB ，垂足为 M ，连接 OA ．若 AOM 中有一个角是30 ， 2 3OM  ，则弦 AB 的长为 12 或 4 ． 【解答】解： OM AB ， AM BM  ， 若 30OAM   ， 则 2 3 3tan 3 OMOAM AM AM     ， 6AM  ， 2 12AB AM   ； 若 30AOM   ， 则 3tan 32 3 AM AMAOM OM     ， 2AM  ， 2 4AB AM   ． 故答案为：12 或 4． 6．（3 分）将抛物线 2 1y ax bx   向上平移 3 个单位长度后，经过点 ( 2,5) ，则8 4 11a b  的值是 5 ． 【解答】解：将抛物线 2 1y ax bx   向上平移 3 个单位长度后， 表达式为： 2 2y ax bx   ， 经过点 ( 2,5) ，代入得： 4 2 3a b  ， 则8 4 11 2(4 2 ) 11 2 3 11 5a b a b          ， 故答案为： 5 ． 7．（3 分）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ，点 E 在 AC 边上．将 A 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 A 处，连接 A B ，交 AC 于点 F ．若 A E AE  ， 4cos 5A  ，则 A F BF   1 3 ． 【解答】解： 90C   ， 4cos 5A  ，  4 5 AC AB  ，设 4AC x ， 5AB x ，则 3BC x ， AE AE  ， 90AEA    ， / /A E BC ， 由于折叠， (360 90) 2 135A EB AEB         ，且△ A EF BCF ∽ ， 45BEC   ，即 BCE 为等腰直角三角形， 3EC x  ， AE AC EC x A E      ，  1 3 3 A E A F x BC BF x     ， 故答案为： 1 3 ． 8．（3 分）如图，在 Rt ABC 中，CA CB ， M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上， AE CD ， BF CD ，垂足分别为 E ， F ，连接 EM ．则下列结论中： ① BF CE ； ② AEM DEM   ； ③ 2AE CE ME  ； ④ 2 2 22DE DF DM  ； ⑤若 AE 平分 BAC ，则 : 2 :1EF BF  ； ⑥ CF DM BM DE  ， 正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号） 【解答】解： 90ACB   ， 90BCF ACE    ， 90BCF CBF     ， ACE CBF   ， 又 90BFD AEC     ， AC BC ， ( )BCF CAE AAS   ， BF CE  ，故①正确； 由全等可得： AE CF ， BF CE ， AE CE CF CE EF     ， 连接 FM ， CM ， 点 M 是 AB 中点， 1 2CM AB BM AM    ， CM AB ， 在 BDF 和 CDM 中， BFD CMD   ， BDF CDM   ， DBF DCM   ， 又 BM CM ， BF CE ， ( )BFM CEM SAS   ， FM EM  ， BMF CME   ， 90BMC   ， 90EMF   ，即 EMF 为等腰直角三角形， 2EF EM AE CE    ，故③正确， 45MEF MFE    ， 90AEC   ， 45MEF AEM     ，故②正确， 设 AE 与 CM 交于点 N ，连接 DN ， DMF NME   ， FM EM ， 45DFM DEM AEM       ， ( )DFM NEM ASA   ， DF EN  ， DM MN ， DMN 为等腰直角三角形， 2DN DM  ，而 90DEA   ， 2 2 2 22DE DF DN DM    ，故④正确； AC BC ， 90ACB   ， 45CAB  ， AE 平分 BAC ， 22.5DAE CAE     ， 67.5ADE   ， 45DEM   ， 67.5EMD   ，即 DE EM ， AE AE ， AED AEC   ， DAE CAE   ， ( )ADE ACE ASA   ， DE CE  ， MEF 为等腰直角三角形， 2EF EM  ，  2 2EF EF EF EM BF CE DE DE     ，故⑤正确； CDM ADE   ， 90CMD AED    ， CDM ADE ∽ ，  CD CM DM AD AE DE   ， BM CM ， AE CF ，  BM DM CF DE  ， CF DM BM DE   ，故⑥正确； 故答案为：①②③④⑤⑥． 二、选择题（每小题 3 分，满分 36 分） 9．（3 分）下列运算正确的是 ( ) A． 2 5 10a a a B． 2 2( 2) 4a a   C． 6 2 3a a a  D． 2 4 8( )a a  【解答】解： A 、 2 5 7a a a ，故选项错误； B 、 2 2( 2) 4 4a a a    ，故选项错误； C 、 6 2 4a a a  ，故选项错误； D 、 2 4 8( )a a  ，故选项正确； 故选： D ． 10．（3 分）下列图形是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C 、是中心对称图形，符合题意； D 、不是中心对称图形，不合题意；． 故选： C ． 11．（3 分）在函数 3y x  中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A． 3x  B． 0x… C． 3x… D． 3x  【解答】解：由题意得， 3 0x  … ， 解得 3x… ． 故选： C ． 12．（3 分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成 该几何体的小正方体的个数最少是 ( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有 2 个小正方体， 上面最少要有 1 个小正方体， 故该几何体最少有 3 个小正方体组成． 故选： D ． 13．（3 分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．若 随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5 的概率 为 ( ) A． 1 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 3 16 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中“和为 5”的有 4 种，  5 4 1 12 3P  和为 ． 故选： C ． 14．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O ，连接 BD ．若  AC BC ， 50BDC   ，则 ADC 的度数是 ( ) A．125 B．130 C．135 D．140 【解答】解：连接 OA ， OB ， OC ， 50BDC   ， 2 100BOC BDC     ，   AC BC ， 100BOC AOC     ， 1 502ABC AOC     ， 180 130ADC ABC      ． 故选： B ． 15．（3 分）一列数 1，5，11，19按此规律排列，第 7 个数是 ( ) A．37 B．41 C．55 D．71 【解答】解：1 1 2 1   ， 5 2 3 1   ， 11 3 4 1   ， 19 4 5 1   ，  第 n个数为 ( 1) 1n n   ， 则第 7 个数是：55． 故选： C ． 16．（3 分）如图，点 A 在反比例函数 1 18 ( 0)y xx   的图象上，过点 A 作 AB x 轴，垂足 为 B ，交反比例函数 2 6 ( 0)y xx   的图象于点 C ．P 为 y 轴上一点，连接 PA ，PC ．则 APC 的面积为 ( ) A．5 B．6 C．11 D．12 【解答】解：连接 OA 和 OC ， 点 P 在 y 轴上，则 AOC 和 APC 面积相等， A 在 1 18y x  上， C 在 2 6y x  上， AB x 轴， 6AOC OAB OBCS S S      ， APC 的面积为 6， 故选： B ． 17．（3 分）若关于 x 的方程 2 01 m x x   的解为正数，则 m 的取值范围是 ( ) A． 2m  B． 2m  且 0m  C． 2m  D． 2m  且 4m  【解答】解：解方程 2 01 m x x   ， 去分母得： 2( 1) 0mx x   ， 整理得： ( 2) 2m x  ， 方程有解，  2 2x m   ， 分式方程的解为正数，  2 02m  ， 解得： 2m  ， 而 1x   且 0x  ， 则 2 12m   ， 2 02m  ， 解得： 0m  ， 综上： m 的取值范围是： 2m  ． 故选： C ． 18．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点， / /AD x 轴且 4AD  ， 60A   ，将菱形 ABCD 绕点 O 旋转，使点 D 落在 x 轴上，则旋转后点 C 的对应 点的坐标是 ( ) A． (0 ， 2 3) B． (2, 4) C． (2 3 ， 0) D． (0 ， 2 3) 或 (0, 2 3) 【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点 D 在 x 轴上时， A 、 B 、 C 均在坐标轴上，如图， 60BAD   ， 4AD  ， 30OAD   ， 2OD  ， 2 24 2 2 3AO OC     ， 点 C 的坐标为 (0, 2 3) ， 同理：当点 C 旋转到 y 轴正半轴时， 点 C 的坐标为 (0,2 3) ， 点 C 的坐标为 (0,2 3) 或 (0, 2 3) ， 故选： D ． 19．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 10BC  ，点 E 在 BC 边上， DF AE ，垂 足为 F ．若 6DF  ，则线段 EF 的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， 3AB CD   ， 10BC AD  ， / /AD BC ， AEB DAF   ， AFD EBA ∽ ，  AF AD DF BE AE AB   ， 6DF  ， 2 210 6 8AF    ，  8 10 6 3BE AE   ， 5AE  ， 8 5 3EF AF AE      ． 故选： B ． 20．（3 分）如图，抛物线 2y ax bx c   与 x 轴正半轴交于 A ， B 两点，与 y 轴负半轴交 于点 C ．若点 (4,0)B ，则下列结论中，正确的个数是 ( ) ① 0abc  ； ② 4 0a b  ； ③ 1(M x ， 1)y 与 2(N x ， 2 )y 是抛物线上两点，若 1 20 x x  ，则 1 2y y ； ④若抛物线的对称轴是直线 3x  ，m 为任意实数，则 ( 3)( 3) (3 )a m m b m  „ ；⑤若 3AB… ， 则 4 3 0b c  ． A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：如图，抛物线开口向下，与 y 轴交于负半轴，对称轴在 y 轴右侧， 0a  ， 0c  ， 02 b a   ， 0b  ， 0abc  ，故①正确； 如图，抛物线过点 (4,0)B ，点 A 在 x 轴正半轴， 对称轴在直线 2x  右侧，即 22 b a   ，  42 02 2 b a b a a    ，又 0a  ， 4 0a b   ，故②正确； 1(M x ， 1)y 与 2(N x ， 2 )y 是抛物线上两点， 1 20 x x  ， 可得：抛物线 2y ax bx c   在 0 2 bx a    上， y 随 x 的增大而增大， 在 2 bx a   上， y 随 x 的增大而减小， 1 2y y  不一定成立，故③错误； 若抛物线对称轴为直线 3x  ，则 32 b a   ，即 6b a  ， 则 2( 3)( 3) (3 ) ( 3) 0a m m b m a m      „ ， ( 3)( 3) (3 )a m m b m   „ ，故④正确； 3AB … ，则点 A 的横坐标大于 0 或小于等于 1， 当 1x  时，代入， 0y a b c   … ， 当 4x  时，16 4 0a b c   ， 4 16 b ca    ， 则 4 016 b c b c   … ，整理得： 4 5 0b c … ，则 4 3 2b c c … ，又 0c  ， 2 0c  ， 4 3 0b c   ，故⑤正确， 故正确的有 4 个． 故选： B ． 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值： 2 2 2 4 2(1 ) x x x x   ，其中 tan 45x    ． 【解答】解： 2 2 2 4 2(1 ) x x x x   2 2 2 4 ( 2) x x x x x   ( 2)( 2) ( 2) x x x x    2x x  ， 当 tan45 1x      时，原式 1 2 11     ． 22．（6 分）如图，抛物线 2y x bx c   与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，抛物线 的顶点为 P ．已知 (1,0)B ， (0, 3)C  ．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，并直接写出点 P 的坐标； （2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E ，连接 AP ， AP 的垂直平分线交直线 PE 于点 M ， 则线段 EM 的长为 3 2 ． 注：抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    的对称轴是直线 2 bx a   ，顶点坐标是 ( 2 b a  ， 24 )4 ac b a  ． 【解答】解：（1）抛物线经过，代入得： 0 1 3 b c c      ， 解得： 2 3 b c     ， 抛物线表达式为： 2 22 3 ( 1) 4y x x x      ， 顶点 P 的坐标为 ( 1, 4)  ； （2）直线 PE 为抛物线对称轴， ( 1,0)E  ， (1,0)B ， ( 3,0)A  ， 2 2( 2) ( 4) 2 5AP      ， MN 垂直平分 AP ， 5AN NP   ， 90PNM  ， APE MPN   ， PMN PAE ∽ ，  PM PN MN PA PE AE   ，即 5 4 22 5 PM MN  ， 解得： 5 2PM  ， 5 34 2 2EM PE PM      ， 故答案为： 3 2 ． 23．（6 分）在 ABC 中，AB AC ， 6BC  ， 6ABCS  ．以 BC 为边作周长为 18 的矩形 BCDE ， M ， N 分别为 AC ， CD 的中点，连接 MN ．请你画出图形，并直接写出线段 MN 的长． 【解答】解： 6BC  ， 6ABCS  ， ABC 中 BC 边上的高为 6 2 6 2   ，而矩形 的周长为 18， 6BC  ， 18 2 6 3BE CD      ， 当矩形 BCDE 和 ABC 在 BC 同侧时， 过 A 作 AF BC ，垂足为 F ，与 ED 交于 G ，连接 AD ， 可知 2AF  ， 1 32DG BC  ， 3 2 1AG GF AF      ， 2 23 1 10AD    ， M ， N 分别为 AC 和 CD 中点， 1 10 2 2MN AD   ； 当矩形 BCDE 和 ABC 在 BC 异侧时， 过 A 作 AF ED ，垂足为 F ，与 BC 交于 G ，连接 AD ， 可知 BG CG ， 2AG  ， 3GF  ， F 为 ED 中点， 5AF  ， 3DF  ， 2 25 3 34AD    ， M ， N 分别为 AC 和 CD 中点， 1 34 2 2MN AD   ， 综上： MN 的长为 10 2 或 34 2 ． 24．（7 分）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间” 活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果 整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题： 抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表 项目 人数 A 排球 6 B 篮球 m C 毽球 10 D 羽毛球 4 E 跳绳 18 （1）本次抽样调查的学生有 50 人，请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数； （3）全校有学生 1800 人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？ 【解答】解：（1） 6 12% 50  （人 ) ， 50 18 4 10 6 12m       （人 ) ， 故答案为：50；补全条形统计图如图所示： （2） 10360 7250    ， 答：喜欢“毽球”所在的圆心角的度数为 72； （3） 181800 64850   （人 ) ， 答：全校 1800 名学生中喜欢跳绳活动的有 648 人． 25．（8 分）在一条公路上依次有 A ， B ，C 三地，甲车从 A 地出发，驶向 C 地，同时乙车 从 C 地出发驶向 B 地，到达 B 地停留 0.5 小时后，按原路原速返回 C 地，两车匀速行驶， 甲车比乙车晚 1.5 小时到达 C 地．两车距各自出发地的路程 y （千米）与时间 x（小时）之 间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是 60 千米 1 时， B ， C 两地的路程为 千米； （2）求乙车从 B 地返回 C 地的过程中， y （千米）与 x （小时）之间的函数关系式（不需 要写出自变量 x 的取值范围）； （3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是 15 千米？请你直接写出答案． 【解答】解：（1）由题意可得： (10,600)F ， 甲车的行驶速度是： 600 10 60  千米 / 时， M 的纵坐标为 360， B ， C 两地之间的距离为 360 千米， 故答案为：60；360； （2）甲车比乙车晚 1.5 小时到达 C 地， 点 (8.5,0)E ， 乙的速度为 360 2 (10 0.5 1.5) 90     千米 / 小时， 则 360 90 4  ， (4,360)M ， (4.5,360)N ， 设 NE 表达式为 y kx b  ，将 N 和 E 代入， 0 8.5 360 4.5 k b k b      ，解得： 90 765 k b     ， y （千米）与 x （小时）之间的函数关系式为：； （3）设出发 x 小时，行驶中的两车之间的路程是 15 千米， ①在乙车到 B 地之前时， 600 15S S  乙甲 ，即 600 60 90 15x x   ， 解得： 39 10x  ， ② (600 360) 60 4   小时， 360 90 4  小时， 甲乙同时到达 B 地， 当乙在 B 地停留时， 1715 60 4 4    小时； ③当乙车从 B 地开始往回走，追上甲车之前， 15 (90 60) 4.5 5    小时； ④当乙车追上甲车并超过15km时， (30 15) (90 60) 4.5 6     小时； ⑤当乙车回到 C 地时，甲车距离 C 地 15 千米时， 39(600 15) 60 4    小时． 综上：行驶中的两车之间的路程是 15 千米时，出发时间为 39 10 小时或 17 4 小时或 5 小时或 6 小时或 39 4 小时． 26．（8 分）在等腰 ABC 中，AB BC ，点 D ，E 在射线 BA 上，BD DE ，过点 E 作 / /EF BC ， 交射线 CA 于点 F ．请解答下列问题： （1）当点 E 在线段 AB 上， CD 是 ACB 的角平分线时，如图①，求证： AE BC CF  ； （提示：延长 CD ， FE 交于点 M ． ) （2）当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是 ACB 的角平分线时，如图②；当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是 ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 AE ， BC ，CF 之间 的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若 2 6DE AE  ，则 CF  18 或 6 ． 【解答】解：（1）如图①，延长 CD ， FE 交于点 M ． AB BC ， / /EF BC ， A BCA EFA     ， AE EF  ， / /MF BC ， MED B   ， M BCD   ， 又 FCM BCM   ， M FCM   ， CF MF  ， 又 BD DE ， ( )MED CBD AAS   ， ME BC  ， CF MF ME EF BC AE      ， 即 AE BC CF  ； （2）当点 E 在线段 BA 的延长线上， CD 是 ACB 的角平分线时， BC AE CF  ， 如图②，延长 CD ， EF 交于点 M ． 由①同理可证 ( )MED CBD AAS   ， ME BC  ， 由①证明过程同理可得出 MF CF ， AE EF ， BC ME EF MF AE CF      ； 当点 E 在线段 BA 的延长线上， CD是 ACB 的外角平分线时， AE CF BC  ． 如图③，延长 CD 交 EF 于点 M ， 由上述证明过程易得 ( )MED CBD AAS   ， BC EM ， CF FM ， 又 AB BC ， ACB CAB FAE     ， / /EF BC ， F FCB   ， EF AE  ， AE FE FM ME CF BC      ； （3） 18CF  或 6， 当 2 6DE AE  时，图①中，由（1）得： 3AE  ， 15BC AB BD DE AE     ， 3 15 18CF AE BC      ； 图②中，由（2）得： 3AE AD  ， 9BC AB BD AD    ， 9 3 6CF BC AE      ； 图③中， DE 小于 AE ，故不存在． 故答案为 18 或 6． 27．（10 分）某商场准备购进 A ， B 两种书包，每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 20 元， 用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍， A 种书包每个标价是 90 元， B 种书包每个标价是 130 元．请解答下列问题： （1） A ， B 两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进 B 种书包的个数比 A 种书包的 2 倍还多 5 个，且 A 种书包不少于 18 个， 购进 A ， B 两种书包的总费用不超过 5450 元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望小 学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中， B 种书包各有几个？ 【解答】解：（1）设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为 ( 20)x  元， 依题意，得： 700 4502 20x x    ， 解得： 70x  ， 经检验， 70x  是原方程的解，且符合题意， 20 90x   ． 答：每个 A 种书包的进价为 70 元，每个 B 种书包的进价为 90 元． （2）设该商场购进 m 个 A 种书包，则购进 (2 5)m  个 B 种书包， 依题意，得： 18 70 90(2 5) 5450 m m m     … „ ， 解得：18 20m„ „ ． 又 m 为正整数， m 可以为 18，19，20， 该商场有 3 种进货方案，方案 1：购买 18 个 A 种书包，41 个 B 种书包；方案 2：购买 19 个 A 种书包，43 个 B 种书包；方案 3：购买 20 个 A 种书包，45 个 B 种书包． （3）设销售利润为 w 元，则 (90 70) (130 90)(2 5) 100 200w m m m       ． 100 0k   ， w 随 m 的增大而增大， 当 20m  时， w 取得最大值，此时 2 5 45m   ． 设赠送的书包中 B 种书包有 a 个，样品中 B 种书包有 b 个，则赠送的书包中 A 种书包有 (5 )a 个，样品中 A 种书包有 (4 )b 个， 依 题 意 ， 得 ： 90 [20 (5 ) (4 )] 0.5 90(4 ) 130(45 ) 0.5 130 70 20 90 4 5 1370a b b a b b                  ， 10 2b a   ． a ， b ， (5 )a ， (4 )b 均为正整数，  4 2 a b    ． 答：赠送的书包中 B 种书包有 4 个，样品中 B 种书包有 2 个． 28．（10 分）如图，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，线段 OA 的长是方程 2 7 18 0x x   的一个根， 1 2OB OA ．请解答下列问题： （1）求点 A ， B 的坐标； （2）直线 EF 交 x 轴负半轴于点 E ，交 y 轴正半轴于点 F ，交直线 AB 于点 C ．若 C 是 EF 的中点， 6OE  ，反比例函数 ky x  图象的一支经过点 C ，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 C 作 CD OE ，垂足为 D ，点 M 在直线 AB 上，点 N 在直线 CD 上．坐标平面内是否存在点 P ，使以 D ， M ， N ， P 为顶点的四边形是正方形？若存 在，请写出点 P 的个数，并直接写出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）线段 的长是方程 的一个根， 解得： 9x  或 2 （舍 ) ，而点 A 在 x 轴正半轴， (9,0)A ， 1 2OB OA ， 9(0, )2B ， （2） 6OE  ， ( 6,0)E  ， 设直线 AB 的表达式为 y kx b  ，将点 A 和 B 的坐标代入， 得： 0 9 9 2 k b b    ，解得： 1 2 9 2 k b      ， AB 的表达式为： 1 9 2 2y x   ， 点 C 是 EF 的中点， 点 C 的横坐标为 3 ，代入 AB 中， 6y  ， 则 ( 3,6)C  ， 反比例函数 ky x  经过点 C ， 则 3 6 18k      ； （3）存在点 P ，使以 D ， M ， N ， P 为顶点的四边形是正方形， 如图，共有 5 种情况， 在四边形 1 1 1DM PN 中， 1M 和点 A 重合， 1(9,0)M ， 此时 1(9,12)P ； 在四边形 3 3DP BN 中，点 B 和 M 重合， 可知 M 在直线 3y x  上， 联立： 3 1 9 2 2 y x y x      ， 解得： 1 4 x y    ， (1,4)M ， 3 (1,0)P ， 同理可得： 2 (9, 12)P  ， 4 ( 7,4)P  ， 5 ( 15,0)P  ． 故存在点 P 使以 D ， M ， N ， P 为顶点的四边形是正方形， 点 P 的坐标为 1(9,12)P ， 2 (9, 12)P  ， 3 (1,0)P ， 4 ( 7,4)P  ， 5 ( 15,0)P  ．