中考数学 图形的折叠问题复习

中考数学 图形的折叠问题复习

图形的折叠问题 （复习课） 几何研究的对象是： 图形的形状、大小、位置关系； 主要培养三方面的能力： 思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力； 折叠型问题的特点是： 折叠后的图形具有轴对称图形的性质； 两方面的应用： 一、在“大小”方面的应用；二、在“位置”方面的应用。 折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。 一、在“大小”方面的应用 1 、求线段与线段的大小关系 例 1 如图， AD 是  ABC 的中线，  ADC=45 º ， 把  ADC 沿 AD 对折，点 C 落在点 C ' 的位置，求 BC ' 与 BC 之间的数量关系。 解 由轴对称可知  ADC ≌ ADC ' ,  ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D 为 Rt  BC’=2 BD= BC 2 2 练习 1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 ， BC=8 ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） (A)2 (B)3 (C )4 (D)5 例 2 如图，折叠矩形的一边 AD ，点 D 落在 BC 边上点 F 处，已知 AB=8 ， BC=10 ，则 EC 的长是 。 解 设 EC=x ，则 DE=8-x ，由轴对称可知： EF=DE=8-x ， AF=AD=10 ，又因 AB=8 ，故 BF=6 ，故 FC=BC-BF=4 。在 Rt FCE 中， 4 2 +x 2 =(8-x) 2 ，解之得 x=3 B 练习 2 如图，在梯形 ABCD 中， DC AB ，将梯形对折，使点 D 、 C 分别落在 AB 上的 D ¹ 、 C ¹ 处，折痕为 EF 。若 CD=3 ， EF=4 ，则 AD ¹ +BC ¹ = 。 2 练习 3 如图，将矩形 ABCD 纸片对折，设折痕为 MN ，再把 B 点叠在折痕线 MN 上，若 AB= 3 ，则折痕 AE 的长为（ ）。 (A) 33 /2 (B) 33 /4 (C ) 2 (D) 23 E C 2 、求角的度数 例 3 将长方形 ABCD 的纸片，沿 EF 折成如图所示；已知  EFG=55 º ， 则 FGE= 。 70 º 练习 4 如图，矩形 ABCD 沿 BE 折叠，使点 C 落在 AD 边上的 F 点处，如果  ABF=60 º ， 则 CBE 等于（ ）。 (A)15 º (B)30º (C )45º (D)60º A 3 、求图形的全等、相似和图形的周长 例 4 如图，折叠矩形 ABCD 一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的一点 F 处，已知折痕 AE=5 5 cm ，且 tanEFC=3 /4. (1) 求证：  AFB ∽ FEC ； (2) 求矩形 ABCD 的周长。 证明： （ 1 ） ∵∠ B= C=D=90 º ， 又根据题意 Rt ADE ≌RtAFE, ∴AFE=90 º , ∴AFB=FEC , ∴ AFB∽FEC. 解 （ 2 ）由 tan EFC=3 /4 ，设 EC=3k ，则 FC=4k ，在 Rt EFC 中，得 EF=DE=5k 。 ∴DC=AB=8k, 又  ABF∽FCE, ∴ = 即 = AB BF 8k BF FC CE 4k 3k ∴ BF = 6k , ∴ AF = 10k 在 Rt AEF 中 , AF 2 +EF 2 = AE 2 ∴(10k) 2 + (5k) 2 = (5 5) 2 , k 2 = 1 ,  ∴ k = ± 1 , ∴ k = 1 ( 取正值 ), ∴ 矩形的周长为 36k ，即 36cm 。 练习 5 如图，将矩形纸片 ABCD 沿一对角线 BD 折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。 练习 6 如图，矩形纸片 ABCD ，若把  ABE 沿折痕 BE 上翻，使 A 点恰好落在 CD 上，此时， AE :ED=5:3 ， BE=5 5 ， 求矩形的长和宽。 答案：△ ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF. 答案：矩形的长为 10 ，宽为 8 。 4 、求线段与面积间的变化关系 例 5 已知一三角形纸片 ABC ，面积为 25 ， BC 的长为 10 ，  B 和  C 都为锐角， M 为 AB 上的一动点 (M 与 A 、 B 不重合 ) ，过点 M 作 MN∥BC ，交 AC 于点 N ，设 MN=x. (1) 用 x 表示△ AMN 的面积 S ΔA MN 。 (2)ΔAMN 沿 MN 折叠，设点 A 关于 ΔAMN 对称的点为 A¹ ， ΔA¹MN 与四边形 BCMN 重叠部分的面积为 y.① 试求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 X 的取值范围；②当 x 为何值时，重叠部分的面积 y 最大，最大为多少？ 解（ 2 ） ① ∵ △ A ¹ MN ≌ △ AMN ， 设△ A ¹ MN 中 MN 边上的高为 h 1 ，△ A ¹ EF 中 EF 边上的高为 h 2 .∵EF∥MN,∴△A ¹ EF∽△A ¹ MN. ∵△A ¹ MN∽△ABC, ∴△A ¹ EF∽△ABC ∵△ABC 中 BC 边上的高 h=5,∴h 1 :x=5:10, ∴h 1 = ½ x . 又 h 2 =2h 1 -5=x-5, = ( ) 2 ,∴ S △A ¹ EF =( ) 2 •25=(x-5) 2 S △A ¹ EF S △ABC h 2 5 X-5 5 ∴y= S △A ¹ MN - S △A ¹ EF = ¼ x 2 -(x-5) 2 = - ¾ x 2 +10x – 25. ∴ 当点 A¹ 在四边形 BCNM 内或在 BC 边上（如图 1 ），即 0 25 ∕4 ,∴ x=20∕3 时 , y 最大 =25∕3 . 练习 7 如图，把一张边长为 a 的正方形的纸进行折叠，使 B 点落在 AD 上，问 B 点落在 AD 的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。 O 解： 如图，设 MN 为折痕，折起部分为梯形 EGNM ， B 、 E 关于 MN 对称，所以 BE⊥MN ，且 BO=EO ，设 AE=x ，则 BE= 。 由 Rt△MOB∽ ，得： ，∴ BM= = = . 作 NF⊥AB 于 F ，则有 Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x, 从而 CN=BM-FM= = 。∴ S 梯形 BCNM = 。 = ½(x-a/2) 2 +3/8 a 2 . ∴ 当 x=a∕2 时， S min =(3∕8 )a 2 . 例 6 将长方形 ABCD 的纸片，沿 EF 折成如图所示，延长 C`E 交 AD 于 H ，连结 GH 。求证： EF 与 GH 互相垂直平分。 二、在“位置”方面的应用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。 1 、线段与线段的位置关系 证明： 由题意知 FH∥GE ， FG∥HE ，∴ 。 又 ， ∴ 四边形 是 ，∴ FE 与 GH 互相垂直平分。 2 、点的位置的确定 例 7 已知：如图，矩形 AOBC ，以 O 为坐标原点， OB 、 OA 分别在 x 轴， y 轴上，点 A 坐标为 (0,3) ，∠ OAB=60 º ，以 AB 为轴对折后，使 C 点落在 D 点处，求 D 点坐标。 →x ↑ y 解由题意知， OA=3 ，∠ OAB=60 º ， ∴ OB=3tan60 º=3 √3 . ∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 . → x ↑y 过点 D 作 Y 轴垂线，垂足为 E ， 在直角三角形 AED 中， ED= ， AE= ，故 OE= 。 故点 D 的坐标为（ 3 /2 √3 ， - 3 /2 ）。 练习 8 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ C=90 º ， 沿着 B 点的一条直线 BE 折叠这个三角形，使 C 点与 AB 边上的一点 D 重合。当∠ A 满足什么条件时，点 D 恰好是 AB 的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明 D 为 AB 中点。 条件： ∠ A=30 º 证明： 由轴对称可得，△ BCE≌△BDE ， ∴ BC=BD ， 在△ ABC 中，∵ ∠ C=90 º ，∠ A=30 º ， ∴ BC= ½ AB ， ∴ BD = ½ AB ， 即点 D 为 AB 的中点。 2017 年中考 取得成功