初三数学上册基础知识讲解练习 探索三角形相似的条件

初三数学上册基础知识讲解练习 探索三角形相似的条件

探索三角形相似的条件 一、相似三角形 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 条件：(1)相似三角形的对应角相等 (2)相似三角形的对应边成比例 二、相似三角形的性质 对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角 形的对应角和对应边。 顺 序 性 ： 相 似 三 角 形 的 相 似 比 是 有 顺 序 的 ， 如 ： △ ABC∽ ''' CBA△ ，它们的相似比为 k ，则 '''''' CA AC CB BC BA ABk  ； 如 果 写 成 ∽△ABC ， 它 们 的 相 似 比 为 'k , 则 AC CA BC CB AB BAk '''''''  ,因此 kk 1'  传递性：若△ ABC∽ ， ∽ '''''' CBA△ ，则△ ABC∽ 三、相似三角形的判定 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）（AA）[来源:学科网] 判定定理 2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）（SAS） 判定定理 3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 （简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）（SSS） 补充： 判定定理 4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。 （简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。） 判定定理 5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 （简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。）（HL） 判定定理 6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为 1：1）（简叙为：全等三角形相似）。 四、相似三角形常见构图方式 1、平行线型：若 DE∥BC， 则 ABCADE ∽△△ 2、 相交线型：若∠AED=∠B，则 ABCAED ∽△△ 3、“子母”型：若∠ACD=∠B，则 ABCACD ∽△△ 1、如图，D,E 分别是△ ABC 的边 AB,AC 上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求 BC 的长。 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB=DE BC. ∴BC=AB×DE AD = 7×10 5 =14. 五、黄金分割 如图所示，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，若 AC BC AB AC  ,那么就称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。[来源:Z,xx,k.Com] 记忆口诀：大：全=小：大 注意：（1）由黄金分割的意义可知： BCABAC 2 ; （2）黄金比 618.02 1-5  AC BC AB AC （3）线段 AB 有两个黄金分割点，其中一个点 D 靠近 A 点，有 2 15 AB BD ；另一点靠近点 B，有 2 15 AB AC ,并且 AD=BC,AC=BD. 1、如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB=1，CD=3，那么 EF 的长是（ ） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】易证△ DEF∽△DAB，△ BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 = ， = ，从而可得 + = + =1．然后把 AB=1，CD=3 代入即可求出 EF 的值． 【解答】解：∵AB、CD、EF 都与 BD 垂直，∴AB∥CD∥EF， ∴△DEF∽△DAB，△ BEF∽△BCD，∴ = ， = ，∴ + = + = =1．∵AB=1，CD=3，∴ + =1，∴EF= ．故选 C． 2、如图，在△ ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E．若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF=AB=AD=BD=5 且∠ABF=∠BFD，结合角平分 线可得∠CBF=∠DFB，即 DE∥BC，进而可得 DE=8，由 EF=DE﹣DF 可得答案． 【解答】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=10，D 为 AB 中点， ∴DF=AB=AD=BD=5， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF 平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = ，即 ， 解得：DE=8， ∴EF=DE﹣DF=3， 故选：B． 3、如图，在直角梯形 ABCD 中 ，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点 P 为 AB 边上一动点， 若△ PAD 与△ PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】相似三角形的判定；直角梯形 【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△ PAD 与△ PBC 相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC， ②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP 的长，即可得到 P 点的个数． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°． ∵AD∥BC， ∴∠A=180°﹣∠B=90°，[来源:学科网] ∴∠P AD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4， 设 AP 的长为 x，则 BP 长为 8﹣x． 若 AB 边上存在 P 点，使△ PAD 与△ PBC 相似，那么分两种情况：[来源:Zxxk.Com] ①若△ APD∽△BPC，则 AP：BP=AD：BC，即 x：（ 8﹣x）=3：4，解得 x= ； ②若△ APD∽△BCP，则 AP：BC=AD：BP，即 x：4=3：（ 8﹣x），解得 x=2 或 x=6． ∴满足条件的点 P 的个数是 3 个，[来源:Zxxk.Com] 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键． 4、如图：把△ ABC 沿 AB 边平移到△ A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ ABC 面积的一半，若 AB= ，则此三角形移动的距离 AA′是（ ） A． ﹣1 B． C．1 D． 【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质． 【专题】压轴题． 【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出 A′B，再求 AA′就可以了． 【解答】解：设 BC 与 A′C′交于点 E， 由平移的性质知，AC∥A′C′ ∴△BEA′∽△BCA ∴S△ BEA′：S△ BCA=A′B2：AB2=1：2 ∵AB= ∴A′B=1 ∴AA′=AB﹣A′B= ﹣1 故选 A． 【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平 移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．