九年级数学上册 章末专题整合23 旋转教学 新版新人教版

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章末专题整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 旋转及旋转作图 例 1 　 如图 , △ OAB 是边长为 2 的等边三角形 . (1) 写出 △ OAB 各顶点的坐标 ; (2) 以点 O 为旋转中心 , 将 △ OAB 按顺时针方向旋转 60 ° , 得到 △ OA'B' , 写出点 A' , B' 的坐标 . 专题一 专题二 专题三 专题四 分析 : (1) 作 BC ⊥ x 轴于 C , 如图 , 根据等边三角形的性质得 OA=OB= 2, AC=OC= 1, 则易得 A 点坐标和 O 点坐标 , 再利用勾股定理计算出 BC= , 然后根据第二象限点的坐标特征可写出 B 点坐标 ; (2) 由旋转的性质得 ∠ AOA'= ∠ BOB'= 60 ° , OA=OB=OA'=OB' , 则点 A' 与点 B 重合 , 于是可得点 A' 的坐标为 ( - 1, ), 再说明点 B 与点 B' 关于 y 轴对称 , 于是可得到点 B' 的坐标 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 作 BC ⊥ x 轴于 C , 如图所示 , ∵ △ OAB 是边长为 2 的等边三角形 , ∴ OA=OB= 2, AC=OC= 1, ∴ A 点坐标为 ( - 2,0), O 点坐标为 (0,0), 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) ∵ △ OAB 按顺时针方向旋转 60 ° , 得到 △ OA'B' , ∴ ∠ AOA'= ∠ BOB'= 60 ° , OA=OB=OA'=OB' , ∴ 点 A' 与点 B 重合 , 即点 A' 的坐标为 ( - 1, ), ∵ BO 与 y 轴的正半轴的夹角为 30 ° , 而 ∠ BOB'= 60 ° , OB=OB' , ∴ 点 B 与点 B' 关于 y 轴对称 , ∴ 点 B' 的坐标为 (1, ) . 专题一 专题二 专题三 专题四 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标 . 常见的是旋转特殊角度如 :30 ° ,45 ° ,60 ° ,90 ° ,180 ° ; 解决本题的关键是正确理解题目 , 按题目的叙述一定要把各点的大致位置找准确 , 正确地作出图形 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 中心对称及中心对称图形 例 2 　 如图 , △ ABC 的三个顶点都在格点上 , 每个小方格边长均为 1 个单位长度 , 建立如图坐标系 . (1) 请你作出 △ ABC 关于点 A 成中心对称的 △ AB 1 C 1 ( 其中 B 的对称点是 B 1 , C 的对称点是 C 1 ), 并写出点 B 1 , C 1 的坐标 . (2) 连接 BC 1 , B 1 C. 猜想四边形 BC 1 B 1 C 是什么特殊四边形 , 并说明理由 . 专题一 专题二 专题三 专题四 分析 : (1) 根据网格结构找出点 B 1 , C 1 的位置 , 然后顺次连接即可 , 再根据平面直角坐标系写出点 B 1 , C 1 的坐标即可 ; (2) 根据中心对称的性质解答 . 解 : (1) △ AB 1 C 1 如图所示 , 专题一 专题二 专题三 专题四 B 1 的坐标为 (2,0), C 1 的坐标为 (5, - 3) . (2) 四边形 BC 1 B 1 C 是平行四边形 . 理由 : 由中心对称的性质可知 , BA=B 1 A , CA=C 1 A , ∴ 四边形 BC 1 B 1 C 是平行四边形 . 专题一 专题二 专题三 专题四 本题考查了利用旋转变换作图 , 熟记网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 网格中的旋转和中心对称 例 3 　 如图 , 四边形 ABCD 各个顶点的坐标分别为 A (6,4), B (3,7), C (0,4), D (3,1) . (1) 求四边形 ABCD 的面积 ; (2) 如果四边形 ABCD 绕点 C 旋转 180 ° , 试确定旋转后四边形 A'B'CD' 各个顶点的坐标 ; (3) 请你重新设计适当的坐标系 , 使得四边形 ABCD 上各点的纵坐标不变 , 横坐标乘以 - 1 后 , 所得图形与原图形重合 . 专题一 专题二 专题三 专题四 分析 : (1) 根据对角线互相垂直的四边形 ABCD 的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解 ; (2) 根据中心对称的性质 , 求出点 A , B , C , D 关于点 C 的对称点的坐标即可 ; (3) 以四边形 ABCD 对角线的交点为原点 , 两对角线所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立坐标系 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 由图可知四边形 ABCD 的对角线互相垂直 , 并且长都是 6, 所以四边形 ABCD 的面积 = × 6 × 6 = 18 . (2) A' ( - 6,4), B' ( - 3,1), C (0,4), D' ( - 3,7) . (3) 如图所示 , 以四边形 ABCD 对角线的交点为原点 , 两对角线所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立坐标系 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解答这类问题 , 要注意综合运用对称点的坐标特征、网格的特征、勾股定理、三角形的面积等知识进行综合分析 , 找出思路 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 与旋转有关的综合题 例 4 　 如图 , 正方形 ABCD 中 , E , F 分别是 AD , CD 边上的两点 , BF 平分 ∠ EBC. 求证 : BE=AE+CF. 专题一 专题二 专题三 专题四 分析 : 四边形 ABCD 是正方形 , AB=BC , ∠ A= ∠ C= 90 ° , 把 △ BCF 绕点 B 逆时针旋转 90 ° 到 △ BAG 的位置 , 如图 , 此时 AG=CF , 只需再证 BE=GE 即可 , 由于 ∠ CBF= ∠ FBE= ∠ GBA , 所以 ∠ GBE= ∠ ABF= ∠ BFC= ∠ G , 因而 BE=GE. 专题一 专题二 专题三 专题四 证明 : 将 △ BFC 绕点 B 逆时针旋转 90 ° 到 △ BAG 的位置 , 则有 △ BFC ≌ △ BGA , AG=FC , ∠ G= ∠ BFC , ∠ FBC= ∠ ABG. ∵ AB ∥ CD , ∴ ∠ BFC= ∠ ABF= ∠ EBF+ ∠ ABE. ∵ BF 平分 ∠ EBC , ∴ ∠ FBC= ∠ FBE= ∠ ABG , ∴ ∠ EBG= ∠ ABE+ ∠ ABG = ∠ ABE+ ∠ EBF = ∠ ABF= ∠ BFC= ∠ G. ∴ GE=BE , 即 AG+AE=BE , ∴ AE+CF=BE. 专题一 专题二 专题三 专题四 本题将 △ BCF 绕点 B 进行旋转变换 , 使线段 CF 与 AE 巧妙拼接 , 并与 BE 组成三角形 , 从而利用等腰三角形的知识进行证明 .