- 2021-11-10 发布 |
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文档介绍
【初中数学干货】初中数学定理、公式汇编
1 1 初中数学定理、公式汇编 第一篇 数与代数 第一节 数与式 一、实数 1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如: －3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如:π, ,0.1010010001…(两个 1 之间依次多 1 个 0)等.有理数和无理数统称为实数. 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负 数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14. 4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似 数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于 0，负数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小。 8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a 那么这个数 a 就叫做 x 的平方根（也叫做二次方根 式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根是 0． 12．立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次 方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0 的立方根是 0． 13．开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64 的平方根为士 8，易丢掉－8，而求为 64 的算 术平方根； （2） 4 的平方根是士 2 ，误认为 4 平方根为士 2，应知道 4 =2． 15.二次根式： (1)定义:式子叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的 因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式． 19 ． 二 次 根 式 的 乘 法 、 除 法 公 式 2 2 20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式， 防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法 常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和 为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相 加，仍得这个数． 22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 23．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍 为 0． 24．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 的数都 得 0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 25．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的． 二.代数式： （1）用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 （2）同类项：是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项的法则：系数相加作系 数，字母和字母的指数不变。 三.整式 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 nmnm aaa （m、 n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 nmnm aaa （a≠0， m、n 为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 nnn baab )( （n 为正 整数）；④零指数： 10 a （a≠0）；⑤负整数指数： n n a a 1 （a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法: ①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. ③多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. ④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. ⑤平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 22))(( bababa ； ⑥完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍，即 222 2)( bababa 3．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 4．分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化 成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式 2 2 ( )( )a b a b a b ； 2 2 22 ( )a ab b a b 5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考 虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． ⑶ 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 3 3 四.分式 1．分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成A B 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称A B 为分式． 注：（1）若 B≠0，则A B 有意义；（2）若 B=0，则A B 无意义；（2）若 A=0 且 B≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两 个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相 同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． 8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简， 第二节 方程与不等式 一、一元一次方程 1．方程：含有未知数的等式叫方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1（次）系数不为 0，这样的方程叫一元一次 方程．一般形式：ax＋b=0（a≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为一。 二、二元一次方程（组） 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 4．二元一次方程组的解法． （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一 个方程中 的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二 元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法． （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫 做加减消元法，简称加减法． 三、分式方程 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程的步骤:①去分母,化为整式方程;②解整式方程;③验根;④下结论. 3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化 为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母 的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根 l 增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分 式方程必须验根． 四、一元二次方程 1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次 方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0） 2．一元二次方程的解法： 4 4 ⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一 元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数； ②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的 绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n 的形式；⑤如果 n≥0 就可以用两边开平方来求出方程的 解；如果 n=＜0，则原方程无解． ⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方 程的求根公式是 a acbbx 2 42 (b2－4ac≥0) ⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因 式中至少要有一个等于 0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次 因式的乘积；③令 每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是 原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项： ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a≠0．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方 程．如关于 x 的方程（k2－1）x2+2kx+1=0 中，当 k=±1 时就是一元一次方程了． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定 a、b、c 的值； ③求出 b2－4ac 的值；④若 b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出 x1 ,x2．若 b2－4a＜0，则方程无解． ⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4） ⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一 般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 五、一元一次不等式(组) 1．不等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子． 2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）不等 式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变． 3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式． 6．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不为零的不等式叫做一元一 次不等式． 7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变， 这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以 0． 8． 解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为 1 9．求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解． 10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等 式组． 11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次 不等式组的解集． 12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 13．不等式组的分类及解集(a＜b）． 14．解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。 5 5 第三节 函数 一.平面直角坐标系 1．平面直角坐标系： （1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水 平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直 的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点．这个平面 叫做坐标平面． (2)象限: 二.一次函数 1．一次函数：若两个变量 x、y 间的关系式可以表示成 y=kx＋b(k、b 为常数，k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数(x 是自变量,y 是因变量〕特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数． 2．一次函数的图象：一次函数 y=kx+b 的图象是经过点(0，b),(－b k ，0 ）的一条直线，正比例函数 y=kx 的图象原点(0，0）的一条直线，如下表所示． 3.一次函数的图象和性质: y=kx+b(k、b为常数k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标). 当k>0时, y 随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别: 当b=0时,y=kx_又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点；一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数 y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下(b<0)平移的到一条直线, 三.反比例函数 1.定义:________________________________________________________的函数成为反比例函数 2.图象和性质: 利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函 数 y=k x 具有如下的性质（见下表）①当 k＞0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左 到右下降，也就是在每个象限内，y 随 x 的增加而减小；②当 k＜0 时，函数的图象在第二、四象限，在每 个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随 x 的增加而增大． 6 6 四.二次函数 1.定义:一般形如 y=ax2+bx+c(abc 常数且 a≠0)的函数称为二次函数。 2.图象和性质:函数 y=ax2+bx+c 的图象是对称轴平行于 y 轴的抛物线； ①开口方向：当 a>0 时，抛物线开口向上，当 a<0 时，抛物线开口向下； ②对称轴：过点（ )4 4,2 2 a bac a b 且平行于 y 轴的直线；③顶点坐标（ )4 4,2 2 a bac a b ； ④增减性：当 a>0 时，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而减小，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而增 大；当 a<0 时，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而增大，如果 a bx 2 ，则 y 随 x 的增大而减小； 3．图象的平移：将二次函数 y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到 y=ax2＋c，y=a(x+m)2，y=a(x+m)2＋k 的图象． ⑴ 将 y=ax2 的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到 y=ax2＋c 的图象．其顶点是（0,c） 形状、对称轴、开口方向与抛物线 y=ax2 相同． ⑵ 将 y=ax2 的图象向左（m>0）或向右(m<0）平移|m|个单位，即可得到 y=a(x+m)2 的图象．其顶点是（-m， 0），对称轴是过点（-m，0）且平行于 y 轴的直线（直线 x=-m），形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同． ⑶ 将 y=ax2 的图象向左（m>0）或向右(m<0）平移|m|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位， 即可得到 y=a(x+m)2 +k 的图象，其顶点是（-m，k），对称轴是过点（-m，k）且平行于 y 轴的直线(直线 x=-m)， 形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同． 4. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系: （1）一元二次方程 2 0ax bx c 就是二次函数 cbxaxy 2 当函数 y 的值为 0 时的情况． （2）当二次函数 cbxaxy 2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程 cbxaxy 2 有两个不 相等的实数根；当二次函数 cbxaxy 2 的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相 等的实数根；当 二次函数 y＝ax2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交 点时，则一元二 次方程 cbxaxy 2 没有实数根． 第二篇 空间与图形 第一节 图形的认识 一、点线面 二、角 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。 三、相交线与平行线 1.余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等。 2.垂直 (1)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所 有线段中，垂线段最短； 7 7 (2)线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； （3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相 等的点在线段的垂直平分线； 3.平行 （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； （2）平行线的性质 ：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁 内角互补 （3）平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两 直线平行； （4）平行的性质：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 四、三角形 1.三角形的有关概念。 2.三角形的有关性质： ①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 ； ③三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和； ④三角形的三条角平分线交于一点（内心）； ⑤三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）； ⑥三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 3.全等三角形 （1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （3）三角形全等的条件： 边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）；边边边（SSS）；斜边、直角边（HL） 4.等腰三角形 (1)等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） (2)等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； 5.直角三角形 （1）直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中 30 角所对的直角边等于 斜边的一半； （2）直角三角形的判定： ①有两个角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系 222 cba ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的 逆定理）。 6.三角函数：在 Rt△ABC 中，∠C= 90 ，SinA= 斜边 的对边A ，cosA= 斜边 的邻边A , tanA= 的邻边 的对边 A A ； sinA=cosB; 0查看更多