北师大版数学九年级上册全册复习,异构复习精品2套

北师大版数学九年级上册全册复习,异构复习精品2套

北师大版九年级上册 期末总复习典型题 CONTEN T 目 录 第一章 特殊的平行四边形 ┃知识归纳┃ 1．菱形的定义和性质 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质：①菱形的四条边都___________；②菱形的对角线互 相______________，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形 是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也 是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴． 相等 垂直平分 [注意] 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形 的一切性质． 2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的______________是菱形； (2)对角线互相垂直的______________是菱形； (3)四边相等的_____________是菱形． 平行四边形 平行四边形 四边形 [辨析] 四边形、平行四边形、菱形关系如图S1－1： 3．菱形的面积 (1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高； (2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形 分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一 半． 4．矩形的性质 (1)矩形的对边_______________； (2)矩形的对角___________； (3)矩形的对角线____________、__________； (4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)； (5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的_________三 角形； (6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_____ 条，对称中心是对角线的交点． 平行且相等 相等 互相平分 相等 等腰 两 (7)矩形的面积等于两邻边的_________．乘积 [注意] 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可 以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中 线等于斜边长的__________．一半 5．矩形的判定 (1)有一个角是直角的_____________是矩形； (2)有三个角是直角的___________是矩形； (3)对角线相等的______________是矩形． 平行四边形 四边形 平行四边形 6．正方形的性质 (1)正方形的对边_________； (2)正方形的四边_________； (3)正方形的四个角都是________； (4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角 线平分一组对角； (5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 ________条，对称中心是对角线的交点． 平行 相等 直角 四 7．正方形的判定 (1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形； (2)有一组邻边相等的________是正方形； (3)有一个角是直角的________是正方形． 矩形 菱形 [注意] 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的 平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是 有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形． 8．中点四边形 中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们 可以得到下面的结论： (1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是____________ (2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是________． (3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是________． (4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__________． (5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是________． 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 [总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边 形是________；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所 得的四边形是________． 菱形 矩形 ► 考点一　菱形的性质和判定 ┃考点攻略┃ 例1　如图S1－2，菱形ABCD的对角线 AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB， AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：四 边形AEOF是菱形． [解析] 由点E，F分别为边AB，AD的 中点，可知OE∥AD，OF∥AB，而AE＝AF， 故四边形AEOF是菱形． L 方法技巧 在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行 四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边都 相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻 边相等来证明. ► 考点二　和矩形有关的折叠计算问题 例2　如图S1－3，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落 在BC边上的F点处．已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分 的面积． [解析] 要求阴影部分的面积，由于阴 影部分由两个直角三角形构成，所以只要 根据勾股定理求出直角三角形的直角边即 可． 方法技巧 矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要 考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有 关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有 关性质结合起来 ► 考点三　和正方形有关的探索性问题 例3　如图S1－4，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE＝3，CE ＝2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值． [解析] 连接AP，AE，由正方形关于对角线对称将PC转移到 PA，要求PE与PC和的最小值即求PE与PA和的最小值，易知当P在 AE上时，PA＋PE最小． 解：连接AP，AE，如图S1－5. 方法技巧 正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的 关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合 图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解. 第二章 一元二次方程 ┃知识归纳┃ 1．一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 　 　(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． [注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高 次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程． ax2＋bx＋c＝0 2．一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般 形式，其中ax2，bx，c分别称为　 　、　 　和常数 项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 3．直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用 于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可 知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝　 　；当b＜0时，方程 没有实数根． 二次项 一次项 4．配方法 (1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0) 的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两 边同时开平方． (2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边； ③配方，方程两边同时加上　 　，并写成 (x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根． 一次项系数一半的平方 5．公式法 (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝　 _______________________________________. (2)用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求 出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 6．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解． 9．列方程解应用题的一般步骤 (1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． (2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要 恰当选取设元法． (3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程 这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． (4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． (5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． ► 考点一　用配方法解方程 ┃考点攻略┃ 例1　用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0. [解析] 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系 数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x ＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根． ► 考点二　用分解因式法解方程 例2　用分解因式法解方程：(x－3)2＋3－x＝0. [解析] 经过变形后可用提取公因式法分解因式． 解：原方程变形为(x－3)2－(x－3)＝0， (x－3)(x－3－1)＝0， 即(x－3)(x－4)＝0， x－3＝0或x－4＝0， ∴x1＝3，x2＝4. ► 考点三　用公式法解方程 例3　用公式法解方程：x2＋x－1＝0. [解析] 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式， 再确定a，b，c的值． ► 考点四　增长率问题 例4　某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经 过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析， 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ [解析] 增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问 题应掌握增长率是指增长数与基准数的比． 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮 后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依 题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)． 所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 由此规律，经过3轮后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729台电脑被感 染． 由于729>700，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被 感染的电脑会超过700台． 第三章 概率的进一步认识 ┃知识归纳┃ 1．频率与概率 (1)当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的　 　附 近．因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的　　 来 估计这一事件发生的　 . (2)涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的计算 方法，它们分别是　 　、　 　. [注意] 用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生的 可能性务必相同． 概率 频率 概率 树状图法 列表法 2．试验估算 估计复杂的随机事件发生的概率常用的方法是　 　，但有时试验和调查既费时又费力，个别的试验和调查根本无 法进行．此时我们可采用　　　　　　的方法．试验估算 模拟实验 3．池塘里有多少条鱼 一个口袋中有m个黑球(已知)和若干个白球，如果不许将球 倒出来数，则有两种方法可以估计出其中的白球数x： 平均水平 平均水平 ► 考点一　利用频率估计概率 ┃考点攻略┃ 例1　为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30 条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘 中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼 塘中的鱼可估计为(　　) A．3000条　　　　　　B．2200条 C．1200条 D．600条 C ► 考点二　利用概率帮助说理 例2　甲袋中放有21只红球和9只黑球，乙袋中放有190只红 球，90只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区 别．两袋中的球都已搅匀，随机从袋子中取出一只球，如果你想 取出1只黑球，选择________袋成功的机会大． 乙 第四章 图形的相似 ┃知识归纳┃ 1．线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段______________的比叫做这两 条线段的比． 2．成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． 长度 ad＝bc (b＋d＋f＋…＋n≠0) 4．平行线分线段成比例定理及推论 定理：两条直线被一组______________所截，所得的对应线 段_____________． 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对 应线段_____________． 平行线 成比例 成比例 5．相似多边形的定义 对应角________，对应边____________的两个多边形叫做相 似多边形．相似多边形_________________叫做相似比． 注意：判定两个多边形相似，对应角相等、对应边成比例， 两个条件缺一不可． 相等 成比例 对应边的比 6．相似多边形的性质 相似多边形的对应角__________，对应边____________．周 长的比等于___________，面积的比等于__________________． 7．相似三角形的定义 对应角_________，对应边______________的两个三角形叫做 相似三角形．相似三角形_________________叫做相似比． 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相等 成比例 对应边的比 8．相似三角形判定方法 ①__________________；②__________________； ③____________________________． 两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种情形之一： 两角分别相等 三边成比例 两边成比例且夹角相等 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需 要添加适当的辅助线，构造出基本图形，问题即可得以解决． 9．黄金分割 黄金分割的意义：如图S4－4，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC，如果___________，那么称线段AB被点C黄金分割．其中点 C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做____________， 黄金分割的比值是一个定值，即AC∶AB＝_________≈0.618.黄金比 10．相似三角形的性质 相似三角形的对应角________，对应边__________．相似三角 形的对应中线的比等于__________，对应高的比等于_________，对 应角对应角平分线的比等于_________，周长之比等于_________， 相似三角形面积之比等于____________________． 11．测量物体的高度 (1)利用_____________的有关知识测量旗杆(或路灯杆)的高度； (2)测量的方法有三种：利用_________，利用__________，利 用_________． 相等 成比例 相似比 相似比的平方 三角形相似 阳光 标杆 镜子 相似比 相似比 相似比 12．位似图形的定义 如果两个相似图形的每组对应点所在直线都交于一点，那么 这样的两个图形叫做____________，这个点叫做____________， 此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的__________． 13．位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在____________，它们到位似 中心的距离之比等于__________． 位似图形 位似中心 位似比 同一直线上 位似比 ► 考点一　三角形相似的判定 ┃考点攻略┃ 例1　如图S4－5，添加一个条件： ________________________， 使△ADE∽△ACB.(写出一个即可) ∠ADE＝∠ACB(答案不惟一) ► 考点二　相似三角形的判定和性质 例2　如图S4－6，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平 分线CH⊥AB于点H，BH＝3AH，且四边形AHCD的面积为21，求 △HBC的面积． [解析] 因为问题涉及四边形AHCD， 所以可构造相似三角形，把问题转化 为相似三角形的面积比加以解决． ► 考点三　相似三角形的判定与分类讨论 例3　在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P 的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不 妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图S4－7，∠A＝ 36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的 △ABC的相似线最多有____条． 3 [解析] 当PD∥BC时，△APD∽△ABC， 当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC， ∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上， ∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°， ∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°， ∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A， ∴△CPB∽△ACB， 故过点P的△ABC的相似线最多有3条 ► 考点四　构造相似三角形测量物体的高度(宽度或深度) 例4　一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺 去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些 深坑对河道的影响．如图S4－9是同学们选择(确保测量过程中 无安全隐患)的测量对象，测量方案如下： ①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米； ②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整 自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑 沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三 点共线)．经测量AB＝1.2米，BC＝1.6米． 根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的 高)．(π取3.14，结果精确到0.1米) 第五章 投影与视图 ┃知识归纳┃ 1．画三视图的原则 画三视图时，应注意主、俯视图要“　 　”，主、左视 图要“　 　”，左、俯视图要“ 　”． [注意] 在画圆锥的俯视图时，要注意不要漏掉圆心处的实 点． 长对正 高平齐 宽相等 2．三视图的画法 首先观察物体的几何构成，确定主视图的位置，依次画出视 图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线用实线，看 不见的轮廓线用虚线． [总结] 三视图中的方位与物体上的方位的对应关系： (1)主视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右； (2)俯视图中的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右； (3)左视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前． 3．画三视图的顺序 三种视图中首先应确定主视图的位置，画出主视图，然后在 主视图下面画出俯视图，在主视图右面画出左视图． 4．平行投影 太阳光线可以看成是　 　的光线，像这样的光线所形成 的投影称为平行投影． 平行 [点拨] 平行投影与视图的联系：事实上，在特殊位置下(投 影线与投影面垂直时)物体的平行投影就是物体的三种视图．物 体的主视图是一束平行光线从正前方照射时形成的平行投影；左 视图是一束平行光线从左前方照射形成的平行投影；俯视图是一 束平行光线从正上方照射形成的平行投影． 5．中心投影 探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成由一点发出的， 像这样的光线所形成的投影称为中心投影． [点拨] 中心投影与平行投影的区别：太阳光线是平行的光线， 灯光的光线是从一点发出的． ► 考点一　确定物体的三视图 ┃考点攻略┃ B例1　如图S5－1(a)所示几何体的主(正)视图是(　　) 图S5－1 [解析] B　容易看出主视图有两层组成，最上层一个正方形， 第二层三个正方形． B ► 考点二　由视图确定物体 例2　由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图 S5－2所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是(　　) A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 [解析] B　由主视图可以看出几何体有两层，由俯视图可以 看出第一层有3个小立方体，由左视图可以看出第二层有1个小正 方体． ► 考点三　平行投影问题 例3　小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举 起的手臂超出头顶(　　) A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 mA 第六章 反比例函数 ┃知识归纳┃ [总结] 当确定了反比例函数表达式后，便可求出当自变量 x(x≠0)取其他值时，所对应的函数值；同样当已知该函数的值时， 也可求出相对应的自变量x的值． 一、三 二、四 减小 增大 4．反比例函数的应用 应用反比例函数知识解决实际生活中的问题，关键是建立反 比例函数模型，即列出符合题意的函数表达式，然后根据函数的 性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解．要特别注意结合实 际情况确定自变量的取值范围． ► 考点一　反比例函数的图象和性质 ┃考点攻略┃ D [解析] D　先根据反比例函数的图象过A(－1，－2)，利用数 形结合求出x＜－1时y的取值范围，再由反比例函数的图象关于 原点对称的特点即可求出结果． ► 考点二　反比例函数的表达式 A ► 考点三　反比例函数图象中的图形面积 5 ► 考点四　反比例函数与一次函数 [解析] 结合题意，可以把A点坐标代入两个函数的表达式， 然后得到k，m的值，然后联立方程组，即可得到B点的坐标． ► 考点五　反比例函数在生活中的应用 综合近几年中考数学试卷，在反比例函数考题中出现了一类 新题型——反比例函数数学建模试题．它既符合素质教育提 出的“培养学生应用意识”的新要求，同时也有利于培养学 生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是 通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化 为一个数学问题，即构建一个反比例函数数学模型． 第21章 　二次根式 　　　　　 第22章 　一元二次方程 　　　 第23章 　旋转 　　　　　　　 第24章 　圆 　　　　　　　　 第25章 　概率初步 期末总复习 一、知识结构 第21章 　二次根式 一、知识结构 第22章 　一元二次方程 一、知识结构 第23章 　旋转 一、知识结构 第24章 　圆 一、知识结构 第25章 　概率初步 二、知识归纳 关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对 于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二 次根式的乘除，再安排二次根式的加减。在“二次根 式”一章，主要是了解二次根式的概念及其加、减、 乘、除运算法则，并会用它们进行有关实数的简单四 则运算。 第21章 　二次根式 二、知识归纳 在“一元二次方程”一章，主要是让大家能够根 据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，进一 步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型； 理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解简 单的数字系数的一元二次方程。 第22章 　一元二次方程 二、知识归纳 在“旋转”一章，主要是通过具体实例认识旋转 ，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离 相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性 质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；了 解平行四边形、圆是中心对称图形；探索图形之间的 变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运 用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计 第23章 　旋转 二、知识归纳 圆是一种常见的图形．在“圆”这一章，大家将 进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一 些实际问题．通过这一章的学习，大家的解决图形问 题的能力将会进一步提高．在“圆”一章，主要是对 圆及其相关图形的认识，很多内容带有一定的综合 性． 第24章 　圆 二、知识归纳 在“概率”一章，从频率的稳定值出发引出概率 的概念，介绍用频率估计概率的方法，都加强了概率 与统计的联系。主要是让大家在具体情境中了解概率 的意义，会用列举法计算简单事件发生的概率；知道 大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值； 通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实 际问题． 第25章 　概率 三、典型例题   02 1 21 )2()3()322(25.0    例1：计算 1 a 2 2122  aaa 如果1≤ ≤ ，则 的值是 引申： 三、典型例题 316x 3 2 5.0 x a 3 25 例2：在 、 、 、 、 中，最简二次根式的个数是 ____． 1 2 12 22 32在中任取其中两个数相乘． 积为有理数的概率为 。 6 1 三、典型例题 例3：在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆 中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形 个数为____． 4 下列各图中，不是中心对称图形的是 B 三、典型例题 B A C A’ B A B C  C B， 例4：如图，一块等腰直角的三角板 ABC在水平桌面 按顺时针方向旋转到 的位置，使A， 三点共线，那么旋转角度的大小为 上绕点C ’ 三、典型例题 例5：一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板 沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所 走过的路径长度为________． 3 4 例6：已知:如图在平行四边形ABCD中，BC=2AB, M为AD的中点，CE⊥AB于E. 求证：∠DME=3∠ AEM． 分析：由AB//CD,M为AD的中点，正符合中心对称 全等形的特征，故想到可延长EM证题． A M B C D3 2 1 N 三、典型例题 构造中心对称 证法： 延长EM交CD的延长线于点N,连结CM 四边形ABCD是平行四边形 AD//CB,AD=CB,AB//CD,AB=CD ∠ AEM= ∠N, ∠ A=∠ AND AM=DM △AEM≌ △DNM EM=NM 三、典型例题 CE⊥AB ∴CE⊥CD ∵CM=MN=EM ∴∠2= ∠N 又BC=2AB, CD=DM  ∠1=∠ 2 ∠3= ∠2 +∠N ∠DME=3∠ N =3∠ AEM 三、典型例题 3 2 1 N 例7．如图，已知E、F分别在正方形ABCD的边 BC和CD上，且∠EAF=45°，AK为自A向EF所引 的垂线，K为垂足， 求证：AK=AB． K E D C A B F 三、典型例题 旋转型 分析： 将 △ADF绕点A旋转至 △BAG，则AF=AG ∠FAD=∠GAB，∠FAD+ ∠BAE=45°， ∠GAB=45° 又AG=AF， △AGE≌ △AFE AK=AB G 三、典型例题 K E D C A B F 三、典型例题    解方程： x x x x2 2 22 2 6 0     解： 设y x x 2 2 则原方程变形为：y y2 6 0   解之得： ，y y1 22 3   当 时， ，解之得：无解。y x x    2 2 22 当 时， ，解之得：y x x  3 2 32 x x1 21 2  ，    原方程的解为 ，x x1 21 2 三、典型例题 1 21, 4x x   x   2 11 6 8 0kk x x   关于 的一元二次方程 的解为_________________。 例9：某公司成立３年以来，积极向国家上交利税， 由第一年的２００万元，增长到８００万元，则平 均每年增长的百分数是＿＿＿＿ 100％ 三、典型例题 例10：已知ｍ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根 ，则代数ｍ２－ｍ的值等于 １ 011 2 2  xx x x xx 1已知实数ｘ满足 ，那么 的值是 １或－２ 三、典型例题 例11：一件产品原来每件的成本是100元，由于 连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均 每次降低成本_______ 9% 解方程：x2 -|x-1|-1=0 原方程的解是x=1或x=-2 三、典型例题 o p A B 例12：如图:同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且 AB=6，则圆环的面积为 。9 三、典型例题 如图，在⊙ O中，CD是⊙ O的直径，弦AB⊥CD于 M，若OM=1厘米，OA=5厘米，则AB的长是 (　 ) 厘米 64 三、典型例题 例14：如图，半径为2的圆内有两条互相 垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的 距离等于1，则 ________22  CDAB 28 三、典型例题 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是切线，AE⊥CD于 E，BF⊥CD于F，且AE=4cm，BF=10cm，则⊙O的直 径为__________ 14cm　 三、典型例题 例15：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点 O为圆心作⊙O与AC、AB相切，又⊙O 与BC的另一个交点为D，则线段BD的 长为 3 1 如图，AC为⊙O的切线， 切点为A，点B在⊙O上， 如果∠CAB=55°，则 ∠AOB等于________ 110° 三、典型例题 例16：已知⊙ Ｏ的半径OA＝６，扇形OAB的面积等 于12π，则弧AB所对的圆周角的度数是 60° 已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－2（Ｒ＋ｒ） ｘ＋ｄ２＝０没有实数根，其中Ｒ、ｒ分别为⊙ Ｏ１ 、⊙ Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙ Ｏ１与⊙ Ｏ２的位置关系是 外离 三、典型例题 例17：有一个1万人的小镇，随机调查3000人，其 中450人，其中450人看过《士兵突击》，在该镇随 便问一人，他（她）看《士兵突击》的概率是 20 3 三、典型例题 例18：一个口袋中有8个黑球和若干个白球,(不许将 球倒出来数)从口袋中随机摸出一球,记下其颜色,再 把它放回口袋中,不断重复上述过程,如果共摸了200 次,其中有60次摸到黑球,那么请你估计口袋中大约 有多少个白球? 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了 1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时 间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞 200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里 有鱼______________条 ．20000 例19:从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张。 P （抽到红心） = 　　； P （抽到黑桃） = 　　　； P （抽到红心3）= 　　　； P （抽到5）= 　　　。 １ ４－ １ ４－ １－52 １－13 三、典型例题 三、典型例题 例20：小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转 动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜 ；若两次数字和为偶数，则小慧胜.这个游戏对双方 公平吗？试用列表法或树状图加以分析. 总共有12,种结果，每种结果出现的可 能性相同，而两数和为奇数的结果有6 种