二次函数的图象与性质2

二次函数的图象与性质2

26．1 ‎ 二次函数的图象与性质（1）‎ ‎[本课知识要点]‎ 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、‎ ‎ ，那么二次函数的图象是什么呢？‎ ‎（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？‎ ‎（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？‎ ‎[实践与探索]‎ 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？‎ ‎（1） （2）‎ 解 列表 x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-18‎ ‎-8‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎-8‎ ‎-18‎ ‎…‎ 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．‎ 共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．‎ 不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．‎ ‎ 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．‎ 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．‎ 例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求顶点坐标和对称轴．‎ 19‎ 解 （1）由题意，得， 解得k=2．‎ ‎ （2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．‎ 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．‎ ‎（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；‎ ‎（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；‎ ‎（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． ‎ 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．‎ 解 （1）由题意，得．‎ 列表：‎ C ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ 描点、连线，图象如图26．2．2．‎ ‎（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．‎ ‎（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．‎ 回顾与反思 ‎ ‎（1）此图象原点处为空心点．‎ ‎（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．‎ ‎（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎（1） （2） （3） ‎ ‎2．（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；‎ ‎（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．‎ ‎3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．‎ ‎（1） （2）‎ ‎2．填空：‎ ‎（1）抛物线，当x= 时，y有最 值，是 ．‎ ‎（2）当m= 时，抛物线开口向下．‎ 19‎ ‎（3）已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大．‎ ‎3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．‎ ‎（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．‎ ‎4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．‎ B组 ‎5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．‎ ‎6．二次函数与直线交于点P（1，b）．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．‎ 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．‎ ‎（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；‎ ‎（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26．2 二次函数的图象与性质（2）‎ ‎[本课知识要点]‎ 会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？ ‎ ‎ ，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ‎ ‎ ，那么与的图象之间又有何关系？ ‎ ‎ ．‎ ‎[实践与探索]‎ 例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．‎ 解 列表．‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎…‎ ‎ ‎ 19‎ 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．‎ 回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？‎ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？‎ 例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．‎ 解 列表．‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-8‎ ‎-3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎-8‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-10‎ ‎-5‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-5‎ ‎-10‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．‎ 可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的．‎ 回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线 19‎ 向上、向下平移一个单位得到的．‎ 探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？‎ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．‎ 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），‎ 因此所求函数关系式可看作， 又抛物线经过点（1，1），‎ 所以，， 解得．‎ 故所求函数关系式为．‎ 回顾与反思 （a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：‎ 开口方向 对称轴 顶点坐标 ‎[当堂课内练习]‎ 1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：‎ ‎， ， ．‎ 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？‎ ‎2．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．‎ ‎3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．已知函数， ， ．‎ ‎（1）分别画出它们的图象；‎ ‎（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；‎ ‎（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．‎ 2． 不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数 19‎ 通过怎样的平移得到的．‎ ‎3．若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？‎ B组 ‎4．在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( )‎ ‎5．已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26．2 二次函数的图象与性质（3）‎ ‎[本课知识要点]‎ 会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？‎ ‎[实践与探索]‎ 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．‎ ‎， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ 解 列表．‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎…‎ 19‎ ‎…‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．‎ 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 ‎（0，0），（-2，0），（2，0）．‎ 回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．‎ 探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？‎ 例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?‎ 解 抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．‎ 因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．‎ 回顾与反思 （a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：‎ 开口方向 对称轴 顶点坐标 19‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．‎ ‎2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．‎ ‎， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．已知函数，， ．‎ ‎（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；‎ ‎（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；‎ ‎（3）分别讨论各个函数的性质．‎ ‎2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？‎ ‎3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．‎ ‎4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．‎ B组 ‎5．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 ‎（1，3），求的值．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26．2 二次函数的图象与性质（4）‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎1．掌握把抛物线平移至+k的规律；‎ ‎2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 19‎ 的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．‎ ‎，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ 解 列表．‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．‎ 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．‎ 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．‎ 探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．‎ ‎+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 19‎ 例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．‎ 分析 抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．‎ 解 ．‎ 向上平移2个单位，得到，‎ 再向左平移4个单位，得到，‎ 其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则 解得 ‎ 探索 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．将抛物线如何平移可得到抛物线 （ ）‎ A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 ‎2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．‎ 19‎ ‎3．抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．‎ ‎，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． ‎ ‎3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？‎ B组 ‎4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有 （ ）‎ A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21‎ ‎5．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．‎ ‎6．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26．2 二次函数的图象与性质（5）‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；‎ ‎2．会利用对称性画出二次函数的图象．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？‎ ‎[实践与探索] ‎ 19‎ 例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．‎ 解 ‎ 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．‎ 由对称性列表：‎ x ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎-10‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎-10‎ ‎…‎ 描点、连线，如图26．2．7所示．‎ 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．‎ ‎（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．‎ 探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．‎ 例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．‎ 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．‎ 解 ，‎ 则抛物线的顶点坐标是．‎ 当顶点在x轴上时，有 ，‎ 解得 ．‎ 当顶点在y轴上时，有 ，‎ 解得 或．‎ 所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是 –‎ 19‎ ‎2，4，8．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．（1）二次函数的对称轴是 ．‎ ‎（2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．‎ ‎（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= ．‎ ‎2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．‎ ‎2．利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．‎ ‎（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴． ‎ B组 ‎4．当时，求抛物线的顶点所在的象限．‎ ‎5. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26．2 二次函数的图象与性质（6）‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；‎ ‎2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？‎ 19‎ 在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗? ‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．求下列函数的最大值或最小值．‎ ‎（1）； （2）．‎ 分析 由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．‎ 解 （1）二次函数中的二次项系数2＞0，‎ 因此抛物线有最低点，即函数有最小值．‎ 因为=，‎ 所以当时，函数有最小值是．‎ ‎（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，‎ 因此抛物线有最高点，即函数有最大值．‎ 因为=，‎ 所以当时，函数有最大值是．‎ 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．‎ 探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．‎ 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：‎ x（元）‎ ‎130‎ ‎150‎ ‎165‎ y（件）‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎35‎ 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？‎ 分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．‎ 解 由表可知x+y=200，‎ 因此，所求的一次函数的关系式为．‎ 设每日销售利润为s元，则有 ‎．‎ 19‎ 因为，所以．‎ 所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．‎ 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．‎ 例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．‎ ‎（1）用含y的代数式表示AE；‎ ‎（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；‎ ‎（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．‎ 解 （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此 ‎．‎ ‎（2）由∥，得，即，‎ 所以，，x的取值范围是．‎ ‎（3），‎ 所以，当x=2时，S有最大值8．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．对于二次函数，当x= 时，y有最小值．‎ ‎2．已知二次函数有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ）‎ A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 ‎3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．‎ ‎（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？‎ ‎（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．求下列函数的最大值或最小值．‎ ‎（1）； （2）．‎ ‎2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．，‎ ‎3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．‎ ‎（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？‎ 19‎ ‎（2）第10分时，学生的接受能力是多少？‎ ‎（3）第几分时，学生的接受能力最强？‎ B组 ‎4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．‎ ‎5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．‎ ‎（1）求S与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？‎ ‎（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．‎ ‎6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．‎ ‎（1）求线段EF的长；‎ ‎（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，‎ 写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，‎ 并求出S的最小值．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26 . 2 二次函数的图象与性质（7）‎ ‎[本课知识要点]‎ 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？‎ 分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．‎ 解 由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），‎ 19‎ 又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得 ‎ ‎ ‎ 所以 ．‎ 因此，函数关系式是．‎ 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．‎ ‎（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；‎ ‎（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；‎ ‎（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；‎ ‎（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．‎ 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．‎ 解 （1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 解这个方程组，得 a=2，b= -1．‎ 所以，所求二次函数的关系式是．‎ ‎（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，‎ 又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到 ‎ 解得 ．‎ 所以，所求二次函数的关系式是．‎ ‎（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），‎ 19‎ 所以设二此函数的关系式为．‎ 又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到 ‎ ．‎ ‎ 解得 ．‎ 所以，所求二次函数的关系式是．‎ ‎（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．‎ 回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：‎ ‎（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．‎ ‎（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．‎ ‎（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．‎ ‎（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；‎ ‎（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；‎ ‎（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．‎ ‎2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．‎ ‎2．已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．‎ ‎3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．‎ 19‎ ‎4．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．‎ B组 ‎5．已知二次函数的图象经过（1，0）与（2，5）两点．‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式；‎ ‎(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．‎ ‎6．抛物线过点（2，4），且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式．‎ ‎[本课学习体会]‎ 19‎