北师大版九年级数学上册教案+学期教学计划大全第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一）

北师大版九年级数学上册教案+学期教学计划大全第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一）

北师大版九年级数学上册教案+学期教学计划大全 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一） 学习目标： ①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。 教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程： 活动一： 自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？ 的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形？ ②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。 图中相等的线段有： 图中相等的角有： ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。 性质： 证明： 活动二：对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线： 平行四边的对角线： 平行四边形 菱形 ？ 活动三：菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是 6cm 和 8cm，求菱形的周长和面积。 2.如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20cm，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路 AC 和 BD， 求两条小路的长和花坛的面积。 课效检测： 一、填空 （1）菱形的两条对角线长分别是 12cm，16cm，它的周长等于 ，面积等 于 。 （2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是 3：2，菱形的四个内角是 。 （3）已知：菱形的周长是 20cm，两个相邻的角的度数比为 1：2，则较短的对角线 长是 。 （4）已知：菱形的周长是 52 cm，一条对角线长是 24 cm，则它的面积是 。 二、解答题 已知：如图，在菱形 ABCD 中，周长为 8cm，∠BAD=1200 对角线 AC，BD 交于点 O， 求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质，这 是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条 件得到的。 A B C DO 1.1 菱形的性质与判定（二） 教学目标： 1．探索并掌握菱形的判定方法，积累经验，并能综合运用，形成解决问题的能力； 2．经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识和主动探究的习惯，初 步掌握说理的基本方法，发展有条理表达的能力. 3．通过设置问题情境丰富学生的生活经验，激发学生学习数学和应用数学的兴趣和意识. 教学重点：菱形的判定方法. 教学难点：菱形的判定方法的综合运用. 教学设计：模仿-猜想-论证-运用 教学过程： 一、知识回顾 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质： 1． 四条边都相等； 2． 两条对角线互相垂直； 3． 菱形是轴对称图形。 二、新课学习 1. 思考(1)： 除了运用菱形的定义，你能找出判定菱形的其他方法 吗？ 猜想 1：如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那 么这个平行四边形是菱形。 已知：平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 互相垂直. 求证：四边形 ABCD 是菱形． 2.得出结论： 判定定理 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3.实际应用： 例题 1：如图 19． 3．4，已知平行四边形 ABCD 的对 角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证四 边形 AFCE 是菱形． 4.思考（2）： D A B C 除了运用对角线，你还有其他判定菱形的方法吗？ 猜想 2：四边相等的四边形是菱形． 已知：如图，四边形 ABCD，AB=BC=CD=DA 求证：四边形 ABCD 是菱形 思考：这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边 形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道， 这个结论是不成立的． 5.得出结论： 判定定理 2 四条边都相等的四边形是菱形. 三、随堂练习 1、用两个边长为 a 的等边三角形纸片拼成的四边形是 （ ） Ａ.等腰梯形 Ｂ.正方形 Ｃ.矩形 Ｄ.菱形 2、下列说法中正确的是（ ） Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形 Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱 形 Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形 Ｄ、四个角相等的四边形是菱 形 四、课堂小结 判定四边形是菱形共有哪几种方法？ 五、板书设计 六、布置作业 教材 P7 习题 1.2 1、2、3 七、教学反思 本节课，课前布置的任务为本节课的探究做了有效的铺垫，学生资源的灵活运用提高 了学生参与探究的兴趣，在证明思路的分析过程中体会了逆向思维、一题多解等的数学思 想，另外，学生通过经历“实验—猜想—证明—应用”的探索过程提高了自身的科学素养。 （课题） 复习 判定 1. 判定 2. 例 1. 判定 3. 探究 例 2. （ 学 生 板 演 ） 1.2 矩形的性质与判定（一） 教学目标 知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质． 过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识； 情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值． 重难点、关键 重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性． 关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行 四边形． 教学准备 教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具． 学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容． 学法解析 1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，积累了一定的经验的基础上学习 本节课内容． 2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质． 3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点． 教学过程 一、联系生活，形象感知 矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质． 由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 二、范例点击，应用所学 例 1 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角 线的长．（投影显示） 【问题探究】（投影显示） 如图，△ABC 中，∠A=2∠B，CD 是△ABC 的高，E是 AB 的中点，求证：DE=1/2AC． 思路点拨：本题可从 E 是 AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形 中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取 BC 中点 F，也可以取 AC 的中点 G为尝试． 三、随堂练习，巩固深化 【探研时空】 已知：如图，从矩形 ABCD 的顶点 C作对角线 BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点 E．求 证：AC=CE． 四、课堂总结，发展潜能 1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的 特例，具有平行四边形所有性质． 2．性质归纳： （1）边的性质：对边平行且相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线性质：对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形． 教学设计反思： 本节课依据新课标的要求 ，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手 探究完成，以便提高学生的探索创新思维和创造能力。 1.2 矩形的性质与判定（二） 教学目标： 1．理解并掌握矩形的判定方法． 2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学 生的分析能力。 重点、难点： 1．重点：矩形的判定． 2．难点：矩形的判定及性质的综合应用． 例题的意图分析 本节课的三个例题都是补充题，例 1的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的 条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例 2是利用矩形知识进行计 算；例 3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定 等知识的． 课堂引入 1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ 4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的 短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看 谁的方法可行？ 通过讨论得到矩形的判定方法． 矩形判定方法 1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法 2：有三个角是直角的四边形是矩形． （指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内 角和可知，这时第四个角一定是直角．） 例习题分析 例 1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （√） （4）对角线相等的四边形是矩形； （×） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√) 指出： （l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形； （2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义 和判定方法证明或举反例，才能下结论． 例 2 （补充）已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积． 分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出 ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值． 例 3 （补充） 已知：如图（1）， ABCD 的四个内角的平分 线分别相交于点 E，F，G，H．求证：四边形 EFGH 是矩形． 分析：要证四边形 EFGH是矩形，由于此题目可分解出基 本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是 矩形”来证明． 随堂练习 1．（选择）下列说法正确的是（ ）． （A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形 是矩形 2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C＝90°， CD 为中线，延长 CD 到点 E， 使得 DE＝CD．连结 AE，BE，则四边形 ACBE 为矩形． 课后练习 1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使 AB＝CD，EF＝GH； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理 是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与 窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理 是： ； 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数． 教学反思 1．灵活处理教材 2. 充分给学生以时间和空间 3. 应当注意的问题 1.2 矩形的性质与判定（三） 【设计理念】 根据新课程标准要求，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。 学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。结合九年级学生的 实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几点： 1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、 发展的全过程，并能学以致用。 2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活 动性、开放性、探究性、合作性、生成性。 3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。 4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学” 有所获． 【教材分析】 1．在教材中的地位与作用 生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。前面两节学习了矩形的性质与判定，为 以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。 2．对教材的处理 本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，利用这节课来培养学生 自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。转变学生的学习方式，使学生经历实践、推 理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生 发展。在选题时,遵循学生的认识规律,照顾学生的接受能力,配置由浅入深、由易到难的 练习题。教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验， 进行富有个性的学习。 3．教学目标 知识与技能：通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发 生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的 方法。 过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。 情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动 中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。 4.教学重点与难点 重点：理解矩形判定定理的应用 难点：矩形判定定理的应用 【教学方法与教学手段】 1．教学方法 探究发现、合作学习的方法 2．教学手段 采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率。 【教学过程】 环节一：回顾交流，温故知新 通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？ （通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。） 性质定理：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线相等。 2、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（1）是不是平行四边形，（2）再看 它有无直角。 判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 环节二：应用辨析，巩固定理 教师讲解教材 P16例 3，以加深学生对矩形性质定理的应用的认识；讲解 P14 例 4， 加深学生对矩形判定定理的应用的认识。 环节三：课堂练习，巩固提高 1. 如图，EF 是四边形 ABCD 的对角线的交点 O，且分别交 AB、 CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 的面积的（ ） 2. 矩形 ABCD 的两条对称轴为 EF，MN，其中 E、F、M、N 分别 在 AB、 DC、AD、BC 上，连结 ME,EN,NF,FM,AB= 6 cm,BC= 3 cm,则四边形 ENFM 的周 长和面积各是多少？ (练习一，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理 解和掌握，使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件， 辨析判定定理的题设，以便更好地应用定理。这两个问题的解决 分别应用所学定理，使学生能够学习致用。这两道题的解决方法 是先采用独立完成形式，有困难的学生可以求助老师或同学，学 生互助完成，派学生代表板书讲解。) 环节四：反思小结，体验收获 今天你学到了什么？谈谈你的收获。 (再现知识，教师点评，对学生在课堂上的积极合作，大胆思考给与肯定，提出希望。) 教学设计反思 1．灵活处理教材，在精不在多 2．分层次教学 3．充分给学生以时间 H E G F C O BA D 1 . 3 正方形的性质与判定（一） 【学习目标】 掌握正方形的概念和性质，并会用它们进行有关的计算。 【学习过程】 第一步：课堂引入 1.做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等，．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱 形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形性质定理 1：正方形的四个角都是 ，四条边都 。 正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等并且 。 第二步：应用举例 例 1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是 全等的等腰直角三角形． 例 2 ．已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一 点， 点 F 是 CB 的延长线上一点，且 DE=BF． 求证：（1）EA=AF； （2）EA⊥AF． 第三步：随堂练习 1．⑴正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ _______ ____． ⑵正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的__________________ ⑶正方形的边长为 6，则面积为__________ ⑷正方形的对角线长为 6，则面积为__________ 2．如右图，E为正方形 ABCD 边 AB 上的一点， 已知 EC=30, EB=10, 则正方形 ABCD 的面积为_______________， 对角线为______ ____． 3．如右图，E为正方形 ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形， 求∠EAD与∠ECD 的度数． 知识再现： ⑴ 对边平行 边 ⑵ 四边相等 ⑶ 四个角都是直角 角 正方形 ⑷ 对角线相等 互相垂直 对角线 互相平分 平分一组对角 教学设计反思： 1：要智慧的用教材： 2：给学生提供充分展示自己的机会 A C D B E 1.3 正方形的性质与判定（二） 教学目标: 1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有 关的论证和计算. 2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习 惯，逐步掌握说理的基本方法. 3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点. 教学重点：掌握正方形的判定条件. 教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算. 教学过程： 一、创设问题情景，引入新课 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包 含关系？请填入下图中. 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平 行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形； 矩形、菱形都是特殊的平行四边形. 1、怎样判断一个四边形是矩形？ 2、怎样判断一个四边形是菱形？ 3、怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形是正 方形？ 二、讲授新课 1．探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间， 进行 引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四 边形是正方形的基本方法. （1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边 形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形； （2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形； （3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形. 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的 基础.这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有 一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形. 上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判 定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是 不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断 2．正方形判定条件的应用 【例 1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由. （1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 三、随堂练习 教材 P24 通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用. 四、课时小结 师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步 加深理解正方形判定方法的应用. 五、课后作业 习题 1.8 的 1-3 题. 六、板书设计： 教学设计反思 1.要创造性的使用教材 2.充分利用现代技术，提高课堂容量 3.注意改进的方面 （课题） 复习： 判定方法： 讨论： 例 1. 正方形与矩形 例 2. 补例. 正方形与菱形 二章 一元二次方程 2．1 认识一元二次方程（1） 【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条 件。 2、能力培养：能根据具体情景应用知识。 3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。 【学习重点】1、一元二次方程的定义； 2、一元二次方程的一般形式。 【学习过程】 一、前置准备： 1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？ 2、多项式 2x2-3x+1 是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？ 二、自学探究： 理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。 自学教材，回答： （1）如果设未铺地毯区域的宽为 xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为为 m. 根据题意，可得方程 （2）试再找出(10、11、12、13、14 以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等 于 后 两 个 数 的 平 方 和： ； 如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为 、 、 、 ，根据题意可得方程： （3）根据图 2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动 xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题 意，可得方程： 三、合作交流： 观察上述三个方程，它们的共同点为：① ；② ；这样的方程叫 做 。其中我们把 称为一元二次方程的一般形 式，ax2，bx，c 分别称为 、 、 ，a、b 分别称 为 、 。 1、分别把上述三个方程化为 ax2+bx+c=0 的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项 系数和常数项： （1） （2） （3） 四、归纳总结： 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？与同学交流一下。 1.一元二次方程的定义； 2、一元二次方程的一般形式。 五、当堂训练： 1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，说明二次项及二次项系数、一次项及一 次项系数和常数项： （1）2x2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x 2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次 项系数和常数项。 3、关于 x的方程（k-3）x2+2x-1=0，当 k 时，是一元二次方程。 【课下训练】 1、根据题意，列出方程： （1）有一面积为 54 平方米的长方形，将它的一边剪短 5米，另一边剪短 2米，恰好 变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ （2）三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为 242，这三个数分别是多少？ 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x 2 =0 3、关于 x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0. 当 k 时是一元二次方程；当 k 时是一元一次方程。 4、把方程 2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3 化成 ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c 的值分别是（ ） A.3、7、1 B.2、-5、-1 C.1、-5、-1 D.3、-7、-1 5、方程①x 2 -1=x; ②2x 2 -y-1=0; ③3x 2 -+1=0; ④ 1 5 2  x 中.其中是一元二次方程的 是（ ） A. ①④ B. ①③④ C.① . D. ①② 【链接中考】关于 x 的方程（k-）x2+(m-3)x-1=0，是一元二次方程。则 k 和 m 的取值范 围分别是什么？ 教学反思 我们学校地处城乡结合部，生源成分复杂，针对学生的基础如此设计，但是时间还是 很紧。 建议基础薄弱的地区：课前复习整式的乘法、完全平方公式，熟知 10-20 的平方；在 第四环节中，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称后，举例反问，以加强对概念的 理解及其对各部分名称的认识。 2．1 认识一元二次方程（2） 【学习目标】1、知识与技能：经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。 2、能力培养：能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。 3、情感与态度：渗透“夹逼”思想，发展估算意识和能力，培养克服困难的 勇气。 【学习重点】用估算方法求一元二次方程的近似解。 【学习过程】 一、前置准备：1、什么是方程的解？ 二、自学探究：通过估算未铺地毯区域的宽，理解探索方程解的过程。 根据上节课的学习，如果设未铺地毯区域的宽为 x m，则可得方程 (8―2x)(5―2x)=18，化 为一般形式为： __________________________ ___。 你能求出 x 吗？根据本题实际情况，思考下列问题： （1） x 可能小于 0 吗？说说你的理由；______________________________。 （2） x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？为什么？ 。 由以上两题可知 x 的取值范围是___________________。 （3）完成下表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (8―2x)(5―2x) （4）你知道未铺地毯区域的宽 x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？ 思考下面的方法可以吗？ 因为 8―2x比 5―2x 多 3，将 18 分解为 6×3，8―2x=6，x=1。 说说你的观点，与同伴交流一下。 三、合作交流： 阅读课本 33 页“做一做”，设梯子底端滑动的距离 x（m）满足方程(x+6)2+72=102 化为一般形式为： ______________________________。 （1）小明认为底端也滑动了 1 米，他的说法正确吗？为什么？ ______________________________________________ （2）底端滑动的距离可能是 2 米，3米吗？为什么？ _________________________________________________ （3） 你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗？ （4） x 的整数部分是几？十分位是几？ x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x-15 所以______ < x < ______。 进一步计算 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 所以______ < x < ______ 因此 x 的整数部分是______,十分位是______ 注意：（1）估算的精度不要求过高；（2）计算时提倡使用计算器。 四、归纳总结： 你学到了哪些知识？与同学交流一下。 怎样用估算方法求一元二次方程的近似解? 五、当堂训练： 1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数 吗？ 2、一个面积为 120 平方米的矩形苗圃，它的长比宽多 2米，求苗圃的周长。 【学习笔记】通过本节课的学习，你认为学得比较好的内容是什么？不足又是什么？ 【课下训练】1、一名跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在 距水面 5m 以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动 员起跳后的运动时间 t(s)和运动员距水面的高度 h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t 2 ,那么他 最多有多长时间完成规定的动作？ 2、方程 x2=x的解是（ ） A.1 B.1 或-1 C.0 D.1或 0 3、在一幅长 80cm、宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。如 果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么满足的方程是（ ） A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 【链接中考】已知两个数的和为 10，积为 9，求这两个数。 教学反思 1、关注只是发生发展过程、关注数学活动过程 2、创造性使用教材 3、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 4、注意改进的方面 课 题 配方法(一) 第_____课时 教学目标 1、理解“配方”是一种常用的数学方法，会用配方法解二次项系 数为 1 的一元二次方程。 2、在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会 化归的思想方法。 教学重点 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 教学难点 用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的 方程。 教 学 过 程 学 生 活 动 教师活动 一、引 1、a2±2ab+b2=? 2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。 二、探 自主探究 P10-12 1、完成 P10 做一做 2、如何解方程 x2+6x+4=0呢? 思考：x2+6x+_____是一个完全平方式？可得 x2+6x+____-___+4=0 即 (x+__)2-____=0 就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。试试看 3、揭示配方法的定义和关键点 当二次项系数为“ 1”时，只要在二次项和一次项之后加上 ______________________________，再减去这个数，使得含未知数的项在 一个____________里，这种做法叫作__________ 就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法 叫作________。 4 例题探究 例 1 把下列二次多项式配方 （1）x2+2x-5 （2）x2-4x+1 例 2 解方程 （1） x2+10x+9=0 （2）x2-12x-13=0 三、结 1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？ 2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 四、用 1、课本 P.12，练习。 2、解方程：(1) x2-6x+10=0； (2) x2+x+ =0； (3) x2-x-1=0。 作业布置：课本习题 1.2 中 A 组第 4题(1) (2) (3)。 板 书 设 计 教 学 反 思 1、 创造性地使用教材 2、 相信学生并为学生提供充分展示自 己的机会 3、注意改进的方面 课 题 配方法(二) 第_____课时 教学目标 1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。 2、会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 3、进一步体会化归的思想方法。 教学重点 会用配方法解一元二次方程． 教学难点 使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。 教 学 过 程 学 生 活 动 教师活动 一、引 1、、用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的基本步骤是什么? 2、用配方法解方程 x2+x-1=0 3、练习后再完成课本 P13的“做一做”． 二、探 1、自主探究教材 P13-15 2、探究：我们已经会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，而对 于二次项系数不为 1 的一元二次方程能不能用配方法解? 解方程：2x2-4x-6=0 3、思考：解方程 2x2-4x-6=0的方法：对于二次项系数不为 1 的一元二次 方程，可将方程两边同除以________________，把二次项系数化为 ________，然后按上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的 思想。 4、尝试解方程 3x2+9x+3 4 =0 三、结 1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么? 2、归纳解一元二次方程的算法。 四、用 1 将下列方程配成（x+a）2=b 的形式 (1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0； 2、课本 P．15，练习。 布置作业 习题 1.2 中 A组第 3 题的(4)，选做 B组第 2，3题。 板 书 设 计 教 学 反 思 1、创造性的使用了教材 2、注意改进的方面 课 题 2．3 公式法 一 课型 新授课 教学目标 1．一元二次方程的求根公式的推导 2．会用求根公式解一元二次方程 教学重点 一元二次方程的求根公式． 教学难点 求根公式的条件：b 2 -4ac 0 教学方法 讲练结合法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程：x2－7x－18=0 二、新授： 1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 解：方程两边都作以 a，得 x2+b a x+c a =0 移项，得： x2+b a x=－c a 配方，得： x2+b a x+( b 2a )2=－c a +( b 2a )2 即：（x+ b 2a ）2=b 2－4ac 4a2 ∵a≠0，所以 4a2>0 当 b2－4ac≥0 时，得 x+ b 2a =± b2－4ac 4a2 =± b2－4ac 2a ∴x=－b± b2－4ac 2a 一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 当 b2－4ac≥0 时，它的根是 x=－b± b2－4ac 2a 注意：当 b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。 2、公式法： 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、例题讲析： 例：解方程：x2―7x―18=0 解：这里 a=1，b=―7，c=―18 学生演板 x1=9,x2=－2 注意：符号 这里 a=1，b=―7，c=― 18 ∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0 ∴x= 7± 121 2×1 即：x1=9, x2 =―2 例：解方程：2x2+7x=4 解：移项，得 2x2+7x―4=0 这里，a=1 , b=7 , c=―4 ∵b2－4ac=72―4×1×(―4)=81>0 ∴x= ―7± 81 2×2 =―7±9 4 即:x1= 1 2 , x2=―4 三、巩固练习： P58随堂练习：1、2 四、小结： （1）求根公式：x=－b± b2－4ac 2a （b2－4ac≥0） （2）利用求根公式解一元二次方程的步骤 五、作业： （一）P59 习题 2.6 1、2 （二）预习内容：P59～P61 板书设计： 学生小结 步骤: (1)指出 a、b、c （2）求出 b2－4ac (3)求 x （4）求 x1, x2 看课本 P56～P57，然 后小结 这节课我们探讨了一 元二次方程的另一种 解法――公式法。 （1）求根公式的 推导，实际上是“配 方”与“开平方”的 综合应用。对于 a 0， 知 4a 2 >0等条件在推 导过程中的应用，也 要弄清其中的道理。 （2）应用求根公 式解一元二次方程，通 常应把方程写成一般 形式，并写出 a、b、c 的数值以及计算 b 2 － 4ac 的值。当熟练掌握 求根公式后，可以简化 求解过程 教学反思 1、要创造性的使用教材 2、要为学生的终身学习奠基 这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性 的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能 和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度. 一、复习 二、求根公式的推导 三、练习 四、小结 五、作业 2.3 公式法 二 一 教学目标 ⒈知识与能力 通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力，会用公式法解简单的数 字系数的一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关实际问题 ⒉过程与方法 在解一元二次方程的过程中体会转化、归纳等数学思想 ⒊情感与态度 体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方 式，养成严谨、认真的科学态度和学风 二 教学重点与难点 ⒈教学重点 用公式法解一元二次方程 ⒉教学难点 用配方法推导求根公式的过程 三 教学过程 ⒈创设情境，导入新课 2x2-7x+2=0 请你说出利用配方法解一元二次方程的一般步骤 ⒉师生互动，学习新课 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0（a≠0）吗？ 1、 二次项系数化为 1： ;02  a cx a bx 2、 移项，得 ;2 a cx a bx  3、 配方 222 ) 2 () 2 ( a b a c a bx a bx  要进行开平方运算，被开方数必须是非负数，由于 4a2＞0 恒成立，所以只须 b2-4ac≥0 4、 如果 042  acb ，那么 a acbbx 2 42   一般地，对于一元二次方程 )0(02  acbxax ，当 042  acb 时，它的根是 a acbbx 2 42   上式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的的方法称为公式法 2 2 2 4 4) 2 ( a acb a bx   当 b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； a bxx 221  ； 当 b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2-4ac＜0 时，方程没有实数根； 利用公式法解一元二次方程时，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解 例 1 解方程 （1） 01872  xx （2） xx 1294 2  （3）（x-2）(1-3x)=6 ⒊巩固练习，知识反馈 练一练：利用配方法解下列一元二次方程：（P58随堂练习：1、） （1） 2x2-9x+8=0； （2） 9x2+6x+1=0； （3） 16x2+8x=3； P58随堂练习：2、 P59习题 2.6： 1、2、 ⒋知识梳理，形成系统 （1） 解一元二次方程有哪些方法？配方法、公式法，有时还可以估算方程的解 （2） 求根公式是利用配方法通过推导得到的，掌握求根公式的关键是掌握公式的推 导过程 （3） 利用公式法解一元二次方程时，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公 式 （4） 根据根的判别式 b2-4ac的值可以判断一元二次方程的根的情况 ⒌布置作业 见作业本 教学反思 1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主，层层深入，以问题串 的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。引入新课时，提出了这样的问题：在一 块长为１６m，宽为１２m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面 积的一半。提出问题：你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案 吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求 吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩 下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进。 2、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思路。 课 题 2.4分解因式法 课型 新授课 教学目标 1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问 题方法的多样性。 2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元 二次方程。 教学重点 掌握分解因式法解一元二次方程。 教学难点 灵活运用分解因式法解一元二次方程。 教学方法 讲练结合法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、回顾交流 [课堂小测] 用两种不同的方法解下列一元二次方程。 1. 5x-2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0 观察比较：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能 相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来 的？ 分析小颖、小明、小亮的解法： 小颖：用公式法解正确； 小明：两边约去 x，是非同解变形，结果丢掉一 根，错误。 小亮：利用“如果 ab=0，那么 a=0 或 b=0”来求 解，正确。 分解因式法： 利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式 法。 二、范例学习 例：解下列方程。 1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2) 想一想 你能用几种方法解方程 x-4=0,(x+1) -25=0。 三、随堂练习 随堂练习 1、2 [拓展题] 分解因式法解方程：x-4x=0。 学生练习。 注：课本中，小颖、小明、 小亮的解法由学生在探讨中比 较，对照。 概念：课本议一议，让学生 自己理解。 解：（1）原方程可变形为： 5x2－4x=0 x(5x－4)=0 x=0 或 5x=4=0 ∴x1=0 或 x2= 4 5 (2)原方程可变形为 x－2－x(x－2)=0 (x－2)(1－x)=0 x－2=0 或 1－x=0 ∴x1=2，x2=1 四、课堂总结 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关 键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因 式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力， 在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有 再考虑公式法。 五、布置作业 P62 习题 2.7 1、2 板书设计： 21世纪教育网 21世纪教育网 21世纪教育网 （1）在一元二次方程的一 边为 0，而另一边易于分解成两 个一次因式时，就可用分解因式 法来解。 （2）分解因式时，用公式 法提公式因式法 教学反思 1. 评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发 展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观 点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和 应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度 2. 这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用.拓展了学生的 思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力. 3. 本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学 中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标. 一、复习 二、例题 三、想一想 四、练习 五、小结 六、作业 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标： 知识技能目标 1.能说出根与系数的关系； 2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 过程性目标 在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路， 体会应用自己探索成果的喜悦. 情感态度目标 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的 习惯； 2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点： 重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程： 一、创设情境 1．请说出解一元二次方程的四种解法. 2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原 来的方程有什么联系？ (1)x2 －2x＝0； (2)x2 ＋3x－4＝0； (3)x2 －5x＋6＝0. 二、探究归纳 方程 1x 2x 21 xx  21 xx  x2－2x＝0 0 2 2 0 x2＋3x－4＝0 1 -4 -3 -4 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项. 一般地，对于关于 x的方程 x2 ＋px＋q＝0（p，q 为已知常数，p2 －4q一般地，对于关 于 x的方程 x2＋px＋q＝0（p，q 为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解 x1、x2，算一算 x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. 结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是 一致的. 三、实践应用 例 1 已知关于 x的方程 x2 －px＋q＝0 的两个根是 0和－3，求 p和 q的值. 解法一：因为关于 x的方程 x2 －px＋q＝0 的两个根是 0和－3，所以有 ．qp q p qp qp 03 0 3 0)3()3( 000 2 2             ，所以 解这个方程组得 解法二：由 qxxpxx  2121 ， ， 方程 x2 －px＋q＝0 的两个根是 0和－3，可得 ．qp q p 03 )3(0 )3(0   ，即得 ＝－－＋ 例 2 写出下列方程的两根和与两根积： 05)4(032)3( 02114)2(017)1( 22 22   nnxxxx xxxx 5)4( 2 3 2 1)3( 2114)2( 17)1( 2121 2121 2121 2121     nxxnxx xxxx xxxx xxxx ， －， －， ，解 课堂练习 1.写出下列方程的两根和与两根积： 03)4(0532)3( 04411)2(025)1( 22 22   mmxxxx xxxx 2.已知关于 x的方程 x2－6x＋p2－2p＋5＝0 的一个根是 2，求方程的另一个根和 p的 值. 四、交流反思 1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明； 2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系. 五、检测反馈 1.已知关于 x的方程 x2－2x＋m2+m－2＝0的一个根是 2，求方程的另一个根和 m的值. 2.写出下列方程的两根和与两根积： 03)4(0152)3( 0)2(047)1( 22 22   mxxxx nmxxxx 3.已知关于 x的方程 2x2－mx－m2＝0有一个根是 1，求 m的值. 六、布置作业 习题 2.8 教学反思 本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明” 的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中 体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法 及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。 2.6 应用一元二次方程（一） 教学目标： １、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； ２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角 度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。 教学过程： 一、情境问题 问题 1、一根长 22cm 的铁丝。 （1）能否围成面积是 30cm2的矩形？ （2）能否围成面积是 32 cm2的矩形？并说明理由。 分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是 xcm，那么矩形的宽是__________。 根据相等关系： 矩形的长×矩形的宽=矩形的面积， 可以列出方程求解。 问题 2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=3cm。点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿边 DA从点 D开始向点 A 以 1cm/s的速度移动。如果 P、Q 同时出发， 用 t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当 t 为何值时，△QAP 的面积等于 2cm2? 二、练一练 1、用长为 100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是 600 cm2？ 能制成面积是 800 cm2的矩形框子吗？ 2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm，点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm/s的速度移动；同时，点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C以 2cm/s 的速度移动，几秒后△PBQ 的面积等于 8 cm2？ 三、课后自测： 1、如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点 P、 Q 分别从点 A、C 出发，点 P以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B为 止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 D 移动。经过多长时间 P、Q 两点之间的 距离是 10cm？ 2、如图，在 Rt△ABC 中，AB=BC=12cm，点 D从点 A 开始沿边 AB P Q C BA D Q P CB A D E F D C BA 以 2cm/s的速度向点 B 移动，移动过程中始终保持 DE∥BC，DF∥AC，问点 D出发几秒后 四边形 DFCE 的面积为 20cm2？ 3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置 O 点的正北方向 10海里外的 A点有一涉嫌走私船只正以 24海里/时的速度向正东方向航行， 为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以 26 海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向 和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点 B 为追上时的位置）？ 4、如图，把长 AD=10cm，宽 AB=8cm 的矩形沿着 AE 对折， 使 D 点落在 BC 边的 F 点上，求 DE 的长。 5、如图，有长为 24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用 长度为 a 为 15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。 （1）如果要围成面积为 45平方米的花圃，AB 的长是多少米？ （2）能围成面积比 45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如 果不能，请说明理由。 教学反思 本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七八年级已经进行过方程 应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对 学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引 导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行 迁移，找出解决问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动 学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律。 无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展 示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思 维的误区，更好地进行学习指导。 F E D CB A a D CB A 2.6 应用一元二次方程（二） 教学目标： 知识技能目标 通过探索，学会解决有关增长率的问题. 过程性目标 经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系. 情感态度目标 通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交 流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点： 重点：列一元二次方程解决实际问题. 难点：寻找实际问题中的相等关系. 教学过程： 一、创设情境 我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入 Q元， 比去年同期增长 x%；环境污染比去年降低 y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由 此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题． 二、探究归纳 例 1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收 入的平均年增长率应为多少？ 分析 翻一番，即为原净收入的 2倍.若设原值为 1，那么两年后的值就是 2． 解 设原值为 1，平均年增长率为 x,则根据题意得 2)1(1 2  x 解这个方程得 12,12 21  xx ． 因为 122 x 不合题意舍去，所以 %4.4112 x ． 答 这两年的平均增长率约为 41.4%． 探索 若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的 1.5 倍、1.2 倍、…，那么两年 中的平均年增长率相应地调整为多少？ 又若第二年的增长率为第一年的 2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政 净收入翻一番？ 例 2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已 成活了 2000 棵.已知这些学生在初一时种了 400 棵，若平均成活率 95%，求这个年级每年 植树数的平均增长率.（精确到 0.1%） 分析 至今已成活 2000 棵，指的是连续三年春季上山植树的总和. 解 设这个年级每年植树数的平均增长率为 x，则 第二年种了 400(1+x)棵； 第三年种了 400(1+x)2棵； 三年一共种了 400＋400(1+x)＋400(1+x)2棵； 三年一共成活了[400＋400(1+x)＋400(1+x)2 ]×95％棵. 根据题意列方程得 [400＋400(1+x)＋400(1+x)2 ]×95％＝2000 解这个方程得 x1≈0.624=62.4% x2≈-3.624=-362.4% 但 x2=-362.4%不合题意，舍去，所以 x=62.4%． 答 这个年级每年植树数的平均增长率为 62.4% . 课堂练习 1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到 0. 1%） 2.某服装店花 1200 元进了一批服装，按 40％的利润定价，无人购买，决定打折出售， 但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经结算这批服装共盈利 280 元，若两次打折相 同，问每次打了多少折？ 三、交流反思 这节棵学习了两个有关增长率的问题，通过探索，掌握了增长率问题的解题方法，学 会了解相同增长率和不同增长率的问题. 四、检测反馈 1.水果店花 1500 元进了一批水果，按 50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但 仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利 500 元.若两次打折相 同，每次打了几折？（精确到 0.1 折） 2.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本 3000 元，售价每套 30 元．有 24 名家庭贫困学生免费供应.经核算，这 24 套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利 润．这批演出服共生产了多少套？ 3.一件上衣原价每件 500 元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率 是第一次的 2倍，结果以每件 240 元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？ 五、布置作业 习题 2.10 教学反思 设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译 ”题目申的有关信息，然后将这些含有的量 表示成等量关系，就是应用题的解题策略。 无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展 示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见 解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力 放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极 主动的求知态度。 第三章 概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率(一) 课 题 1 用树状图或表格求概率 教 学 目 标 教学知识点：学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生 的概率． 能力训练要求：1．培养学生合作交流的意识和能力；2．提高学生对所 研究问题的反思和拓广的能力，逐步形成良好的反思意识． 情感与价值观要求：积极参与数学活动，经历成功与失败，获得成功感， 提高学习数学的兴趣． 重 点 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 难 点 正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 教学过程： 一、创设问题，引入新课 游戏：小明对小亮说：“我向空中抛 2 枚同样的—元硬币，如果落地后一 正一反，你给我 10 元钱，如果落地后两面一样，我给你 10 元线．”结果小亮 欣然答应，请问，你觉得这个游戏公平吗？ 分析得很好，当然，这只是个数学游戏．教师只是想用此介绍一些概率 问题，而国家规定中小学生是不能参与购买彩票的，而赌博更是有百害而无 一益的噢! 下面我们再来看一个游戏． 二、引入新课 如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1，2，3．那么从每组牌中各摸出 一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于 4 的概率是多少呢？ 小明的做法： 总共有 9 种情况，每种情况发生的可能 性相同，而两张牌的牌面数字和等于 4 的情 况出现得最多，共 3 次，因此牌面数字和等 于 4 的概率最大，概率为，即． 小颖的做法：通过列下表得到牌面数字和等于 4 的概率为． 牌面数字的可能 值 2 3 4 5 6 相应的概率 小亮的做法：也用了列表的方法，可我得到牌面数字和等于 4 的概率为． 第一张牌的牌 面数字第二张 牌的牌面数 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 你认为谁做得对？说说你的理由． 小颖和小亮都用了列表法，而小颖的做法是错误的，小亮的做法是正确 的．你认为用列表法求概率时要注意些什么？ 用列表法求概率时应注意各种情况出现的可能性务必相同．从小亮的表 格中你还能获得哪些事件发生的概率呢？ 用列表的方法求出将两枚均匀的一元硬币抛出去，两个都是正面朝上的 概率是多少？ 看一个常见的用两个转盘“配紫色”的游戏． 游戏者同时转动如下图中的两个转盘进行“配紫色” 游戏，求游戏者获胜的概率． 三、随堂练习（多媒体演示） 掷两枚骰子．它们的点数和可能有哪些值？用列表的方法求出点数和为 6 的概率． 四、课时小结 本节课我们学习了用树状图和列表法求理论概率，进一步发展了同学们 合作交流的意识和良好的反思习惯． 五、课后作业 教学反思 注意：在教学时要反复强调：在借助于树状图或表格求事件发生的概率时,应注意到各种 情况出现的等可能性．以免学生忽略这个条件错误使用树状图或表格求事件发生的概率。 3.1 用树状图或表格求概率(二) 学习目标：学会可能出现的结果数较大时，可以采用列表法来列出各种可能的结果，以避 免重复或漏计。 活动过程： 活动一 列举事件发生的所有可能 1. 同时掷两枚质地均匀的硬币有几种可能的结果？ 2. 同时掷两枚质地均匀的骰子有几种可能的结果？ 问题 2与问题 1相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。 怎样避免这个问题呢？ 活动二 运用列表法求概率 各同学自主完成例 1的解题过程，小组交流、订正，并完成题后小结 例 1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是 9； (3) 至少有一个骰子的点数为 2。 解： 思考 ：将题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化吗？ （就本例的 3个问题而言，“同时掷两个骰子”与“把一个骰子掷两次”可以取同样的试 验的所有可能的结果，因此作此改动对所得结果没有影响。） 题后小结：当一个事件涉及两个因素且可能出现的结果数目较多时，通常采用 法。其步骤如下：① ② ③ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 填 写 表 格 过 程 中，注意 数 对 的 有序性。 活动三 牛刀小试 某联欢会上，组织者为活跃气氛设计了以下转盘游戏：A、B 两个带指针的转盘分别 被分成三个面积相等的扇形，转盘 A 上的数字分别是 1，6，8，转盘 B上是 4，5，7（两 个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。选择 2名同学分别转动 A、B两个转盘，停止 后指针所指数字较大的一方为获胜者，另一方需表演节目（若箭头恰好停留在分界线上， 则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。 活动四 再回首 本堂课你学到了哪些知识与方法？在运用时有哪些细节要向大家做个提醒呢？ 1、如果试验只涉及两个因素，并且每个因素取值数为有限多个的情形，就可以用列表 法求概率，即使涉及两因素有先后顺序的概率问题，这个表也是适用的。 2、列表时要注意顺序、括号及逗号的正确使用。 课堂反馈： 1.在 6 张卡片上分别写有 1~6 的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么, 第一次取出的数字能够整除第 2次取出的数字的概率是多少? 2．在一个口袋有 4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机摸取一个小 球然后放回，再随机摸一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取的小球标号相同； （2）两次取的小球标号的和为 4。 3．一天晚上小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，此时突然停电了，小伟只 好把杯盖和茶杯随即地搭配在一起，求颜色搭配正确和颜色搭配错误的概率各是多少？ 课后反思：本节课是实用性较强的一节课，选用的情境符合学生的年龄特点和认知水平，使他 感受用数学解决问题的幸福。教学中，应鼓励学生自我探究，寻求方法，进行推理，得到判断游戏公 平与否的准则。 1 6 8 游戏转盘 A A 4 5 7 游戏转盘 B B 3.2 利用频率估计概率 教学目标： 1、借助实验，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性； 2、通过操作，体验重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系； 3、能从频率值角度估计事件发生的概率； 4、懂得开展实验、设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流。 教学重点与难点：通过实验体会用频率估计概率的合理性。 教学过程： 一、引入： 我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,”正面朝上”的概率是 0.5,许多科学家曾做过成千上万次 的实验,其中部分结果如下表： 实验者 抛掷次数 n “正面朝上”次数 m 频率 m/n 隶莫弗 布丰 皮尔逊 皮尔逊 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.518 0.5.69 0.5016 0.5005 观察上表,你获得什么启示?（实验次数越多,频率越接近概率） 二、合作学习（课前布置，以其中一小组的数据为例）让转盘自由转动一次,停止转动后, 指针落在红色区域的概率是，以数学小组为单位，每组都配一个如图的转盘，让学生动手 实验来验证： 结论：从上面的试验可以看到：当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在 相应的概率附近，因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一 事件发生的概率。 三、做一做： 1.某运动员投篮 5 次,投中 4次,能否说该运动员投一次篮,投中的概率为 4/5?为什么? 2.回答下列问题: (1)抽检 1000件衬衣,其中不合格的衬衣有 2 件,由此估计抽 1件衬衣合格的概率是多少? (2)1998年,在美国密歇根州汉诺城市的一个农场里出生了 1 头白色的小奶牛,据统计,平均 出生 1 千万头牛才会有 1 头是白色的,由此估计出生一头奶牛为白色的概率为多少? 四、例题分析： 例 1、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验,统计发芽种子数,获得如下频数分布表: 实验种子 n(粒) 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数 m(粒) 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频数 m/n 0 (1)计算表中各个频数. (2)估计该麦种的发芽概率 (3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为 4181818棵,种子发芽后的成秧率为 87％,该麦种 的千粒质量为 35g,那么播种 3 公顷该种小麦,估计约需麦种多少 kg? 分析：（1）学生根据数据自行计算 （2）估计概率不能随便取其中一个频率区估计概率，也不能以为最后的频率就是概率， 而要看频率随实验次数的增加是否趋于稳定。 （3）设需麦种 x(kg) 由题意得, 解得 x≈531(kg) 答:播种 3公顷该种小麦,估计约需 531kg 麦种. 五、课内练习： 1.如果某运动员投一次篮投中的概率为 0.8,下列说法正确吗?为什么? (1)该运动员投 5次篮,必有 4 次投中. (2)该运动员投 100 次篮,约有 80 次投中. 2.对一批西装质量抽检情况如下: 抽检件数 200 400 600 800 1000 1200 正品件数 190 390 576 773 967 1160 次品的概率 (1)填写表格中次品的概率. (2)从这批西装中任选一套是次品的概率是多少? (3)若要销售这批西装 2000 件,为了方便购买次品西装的顾客前来调换,至少应该进多少件 西装? 六、课堂小结： 尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一 事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生 概率的估计值。 七、作业：课后练习 教学反思 1、教材是教与学的素材，可以充分利用、拓展、丰富、创新.本节课教材提出的生 日相同的问题. 2、学生是学习的主体，课堂也就应以学生为主体，教师起主导作用，多用积极的 评价，让学生成为课堂学习的主人. 3、应注意的问题：①由于设计活动方案各异，可能时间上会紧张，需要在活动过 程中老师加以引导，以便节省时间，按计划完成本节课教学任务.②对学困生在小组里的 表现应予以更多关注，多鼓励其参与，并给予指导，使其完成一些力所能及的任务，产生 成就感. 418181838795.0 35 10001000  ％x 4 成比例线段 4．1．1 线段的比，成比例的线段 学习目的： 1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念 2、会计算两条线段的比。 3、掌握成比例线段的判定方法。 重点：线段的比与成比例线段的概念。 教学过程： 一、自主预习 （一）阅读课本 ，思考并回答下列问题： 1、一般地，如果选用 量得两条线段 AB，CD 的长度分别为 m,n，那么 这两条线段的比就是他们长度的比，即 AB∶CD= m:n,或写成 , n m CD AB  其中，线段 AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 n m 表示成比值 k,那么 CDkABk CD AB  或, 。 （1）在比或∶中，是 ，是 。 ⑵两条线段的 要统一 。 ⑶在同一单位下线段长度的比与选用的 无关。 ⑷线段的比是一个没有 的数。 （二）比例尺 1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。 2、比例尺为 1：50000，意思为： 。 （三）成比例线段的概念 1、一般地，在四条线段中，如果 等于 的比， 那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明） 如： 2、四条线段成比例，记作：其中 a,d 叫比例外项，b,c 叫比例内项。 3、四条线段 a,b,c,d 成比例，有顺序关系。即 a,b,c,d 成比例线段，则比例式为： a:b=c:d；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：a:b=d:c 4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4 成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10 呢？ 三、例题解析： 例 1、A、B两地的实际距离 AB= 250m，画在一张地图上的距离 A'B'=5cm,求该地图的 比例尺。 例 2：已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边 AB＝2。 求⑴ BC AB ，⑵ AB AC 四、巩固练习 1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为 2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长 为 30 米，则这栋楼的高度为多少？ 2、某地图上的比例尺为 1：1000，甲，乙两地的实际距离为 300 米，则在地图上甲、 乙两地的距离为多少？ 3、已知线段 a,d,b,c 是成比例线段，其中 a=4,b=5,c=10，求线段 d的长。 五、小结：这节课我学到了 教学反思 1、教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，设置出适合个人教学的情境。书上 的情境设置应该是适用于广大地区的，老师也可以根据自己身边的熟悉的事物来设置情 境，或是就用教科书上的情境。具有地方特色的教学资源，不仅丰富了学生对家乡风景的 认识和了解，也上学生感受到数学知识在生活中的应用。 2、教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽(精确到 0.1cm),并求出 这两条线段的长度之比。添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的 长度单位无关”的结论埋下伏笔。学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中 也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆的放手让学生自己去 动手操作、动脑思考，老师可以在适当的时候给予帮助和补充。 3、教材上的例题可以交给学生自学，然后通过随堂联系加以巩固。如果不能达到预 期效果，时间允许的话可以补充相关的练习。 4．1．2 比例的基本性质 【学习目标】 1、（理解） 能熟记比例的基本性质． 2、（掌握） 能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【学习重点】 比例的基本性质及其应用. 【学习过程】 一、 知识链接： 1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果 a与 b的比值和 c与 d的比值相等，应记为： 。 （2）已知 2：3＝4：x，则 x= 。 2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段 （1）比例线段及其相关概念 “成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段 的比，那么，这四条线段叫做 。 （2） “成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 线段的比是指 条线段的比的关系，成比例线段是指 条线段之间的关 系。 （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b 和 b:a 相等吗？请举例说明。 成比例线段也有顺序性，如 d c b a  能说成是 b、a、c、d成比例吗？请举例说明。 二、 预习交流： （1） 比例的基本性质是： 。 请写出推理过程： ∵ d c b a  ，在两边同乘以 bd 得， = c d ∴ = （2） 合比性质:如果 d c b a  ，那么 a b b   请写出推理过程： ∵ d c b a  ，在两边同时加上 1得， + = c d + . 两边分别通分得： a b c d b d    思考：请仿照上面的方法，证明“如果 d c b a  ，那么 d dc b ba    ”． （3） 等比性质： 猜想 n m f e d c b a  （ 0 nfdb ），与 nfdb meca   相等吗？能 否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果 n m d c b a  （ 0 ndb ），那么 ndb mca   ＝． 思考：等比性质中，为什么要 0 ndb 这个条件？ 三、 巩固练习： 1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为 50 米，高为 1.5 米的测 竿的影长为 2.5 米，那么，该建筑的高是多少米？ 2．若 : 2 ( 4) : 4x x  则 x  3．若 2 x  0 2 3 4 x y z    ，则 2 x y z x    四、 本课小结： 1．比例的基本性质：a:b=c:d  ； 2. 合比性质：如果 d c b a  ，那么 ； 3. 等比性质：如果 n m d c b a  （ 0 ndb ） 教学反思 1、要根据学生实际合理的使用教材： 2、学生是学习的主人： 3、改进教学方面： 4.2 平行线分线段成比例 学习目标： 1、理解平行线分线段成比例定理 2、灵活运用定理解答题目 学习重点：平行线等分线段成比例定理及其应用 学习难点：平行线等分线段成比例的推导 学习过程： 一、问题引入 1、比例的基本性质是什么？还有其它什么性质？ 2、什么叫成比例线段？ 二、问题探究 探究一： 如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1， 互相平行，且若 AB=BC，则 A1B1=B1C1，由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截， 如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 吗？ 探究二： 任意画两条直线 l1,l2，再画三条与 l1,l2相交的平行直线 a,b,c，分别度量 l1,l2 被直线 a,b,c 截得的线段 AB，BC，A1B1，B1C1的长度， 相等吗？任意平移直线 c ,再度量 AB，BC，A1B1，B1C1的长度， 与 还相等吗？ 探究三： 如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC，则 和 成立吗？为什么？ 交流展示： 探究点拨： 过点 A作直线 MN，使 MN∥DE，利用平行线截线段成比例可得出结论。 结论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。 三、实践交流 例 1：如图，已知 AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5,求 B1C1的长。 例 2、如，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，求证： 四、课堂小结 1、本节课你有什么收获？ 2、平行线等分线段定理的内容是什么？ 3、平行线分线段成比例定理的内容是什么？ 4、平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段有什么关系？ 课 题 4.3 相似多边形 备 课 日 期 教 法 洋思+诱思、合作交流 授 课 日 期 学 法 观察、操作、交流、探究 教 具 多媒体 教 学 目 标 （1）知识与技能：使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理 解相似比的意义． （2）过程与方法：经历相似多边形概念的形成过程，进一步发展学生归纳、类 比、交流等方面的能力. （3）情感与能力:经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让 学生在学习中锻炼能力. 重 点 理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件. 难 点 利用定义判断两个多边形是否相似. 板 书 设 计 课 题 定义 例题讲解 课堂练习 教 后 反 思 这个年龄阶段的学生有很强的好奇心，并且有较强的观察能力，因而教学过 程中尽可能多给学生表现的机会，激发学生探究意识。 教 学 过 程 一、创设问题情境，导入新课： 1.下面请同学们观察下面两个多边形: 计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕 上的多边形 A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗? 学生回答后,教师: 这样的两个多边形叫 做什么多边形？ 2. 引入课题：相似多边形 二、归纳定义及运用 （学生根据观察和体验的过程，归纳定义，提高语言表达能力） 1.合作探究: 2. 获得新知:(自读课本,时间 3 分钟,然后回答老师提出的问题:①多边形相似需满足 几个条件?②相似多边形的记法有什么要求?③什么叫相似比?求相似比要注意什么?) 3.议一议: (1)观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？图（2）中的两个图形呢？为什 么？你从中得到什么启发？与同桌交流. （2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应 成比例吗？ 4.巩固新知:（巩固相似多边形的定义这一最基本的判断方法。） 例 下列每组图形是相似多边形吗？试说明理由。 （1）正三角形 ABC 与正三角形 DEF； （2）正方形 ABCD 与正方形 EFGH. 5．想一想——反过来会怎样？ 如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ （老师总结：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重 要的性质.） 6.做一做 一块长 3m、宽 1.5m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽 7.5cm.边框 的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 三、课堂小结 通过这节课的学习你有什么收获？ （学生自由回答，培养学生的语言表达力） 学生归纳总结：相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在 对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角。相似比有 顺序要求 1210 10 12 图（1） 正方形 菱形 10 10 8 12 图（2） 正方形 矩形 4.4 探索三角形相似的条件（一） 教学目的： 1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件． 2.使学生掌握相似三角形判定定理 1． 3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理 1 的应用． 重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度． 难点：掌握相似三角形判定定理 1 及其应用． 教学过程： 一、讨论相似三角形的定义 请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角 板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类 比，不难得到相似三角形的定义． 二、 给出定义 1. 从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ 可知△ABC∽△A’B’C’. 2. 板书定义．叫学生写在笔记本上． 三、合作学习： 合探 1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条 件两个三角形能够相相似？ 合探 2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A′B′C′,使得∠A 和∠A′都等于∠α， ∠B 和∠B′都等于∠β，此时，∠C 与∠C′相等吗？三边的比 CB BC CA AC BA AB  ,, 相等吗？这样 的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试. 四、导入定理 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似． 这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径． 例：如图，D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求 BC 的长。 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴ AD AB =DE BC . ∴BC=AB×DE AD = 7×10 5 =14. 五、学生练习： 1. 讨论随堂练习第 1 题 有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 2.自己独立完成随堂练习第 2 题 六、小结 本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理 1，一定要掌握好这个定理． 七、作业： 板书设计： 教学反思 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际进行适当调 整。学生以前已经学过相似三角形的特点，而且普遍掌握较好，因此，没有必要再以问题 的形式逐步总结认识，教学中将重点放在探索“两个三角形在什么条件下相似”科学合理 的逻辑推理上。而且能让学生通过探索和应用、体会数学的实际价值；从而培养学生善于 探索研究的能力。为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现 学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激 发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言以及组织 小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。在小组讨论之前，应该留给学生充分 的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其 他学生的疑问。教师应对小组讨论给以适当的指导，包括知识的启发、引导学生交流合作 中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。 4.4 探索三角形相似的条件（二） ●教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理 2，3，和它们的应用． ●教学重点： 判定定理 2和 3 ●教学难点： 判定定理的应用 ●教学过程： 一、 复习： 1.判定三角形相似目前有哪些方法？ 2.回忆三角形相似判定定理 1 的证明的方法． 二、 新授 （一）导入新课 三角形全等的判定中 AAS 和 ASA对应于相似三角形的判定的判定定理 1，那么 SAS 和 SSS对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书） （二） 做一做 1.（1）画△ABC 与△A′B′C′，使∠A=∠A′， BA AB  和 CA AC  都等于给定的值 k.设法比较 ∠B 与∠B′的大小（或∠C 与∠C′的大小）、△ABC 与△A′B′C′相似吗？ （2）改变 k值的大小，再试一试. 定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2. 画△ABC 与△A′B′C′，使 BA AB  、 CB BC  和 AC CA  都等于给定的值 k. （1）设法比较∠A 与∠A′的大小； （2）△ABC 与△A′B′C′相似吗？说说你的理由. 改变 k 值的大小，再试一试. 定理 3：三边:成比例的两个三角形相似． （三）例题学习 例 1：如图，D,E 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 AD AB =3 4 ，求 DE的长. A B C E D 解：∵AE=1.5， AC=2， ∴ AE AC =3 4 ， ∵ AD AB =3 4 ， ∴ AD AB =AE AC . 又∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ DE BC =AD AB =3 4 . ∵BC=3， ∴DE=3 4 BC=3 4 ×3= 9 4 . 例 2：如图，在△ABC 和△ADE中， AB AD =BC DE =AC AE ，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数. 解：∵ AB AD =BC DE =AC AE ， ∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC， 即∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. 三：巩固练习 四、小结 本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件． 五、作业： 板书设计： 教学反思 为了充分体现《数学新课程标准纲要》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理 能力，积累丰富的数学活动经验，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习 方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、 解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法。教学中注意关注学生探 究知识形成的过程，使学生充分体会数学研究的一般方法。 4.4 探索三角形相似的条件——黄金分割 课 题 黄金分割 教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人 类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点 了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形. 教学方法 讲解法 教具准备 投影片一张：（记作§4.4 A） 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段 AC、BC的长度，然后计算 AB AC 、 AC BC , 它们的值相等吗？ 1.黄金分割的定义 一般地，点 C把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，如果 AC BC AB AC  ,那么称线段 AB被 点 C黄金分割（golden section）,点 C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与 AB的比叫做黄 金比.其中 AB AC ≈0.618. 2. 计算黄金比. 3.作一条线段的黄金分割点. 3.想一想 古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形 ABCD中， 以矩形 ABCD的宽 AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现， BC AB BE BC  , 点 E是 AB的黄金分割点吗？矩形 ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ Ⅲ.课时小结 本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅳ.课后作业 习题 4.8 Ⅴ.活动与探究 要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合 适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间，那么，可以把 1000 和 2000 看作线段的两个端点，选择 AB的黄金分割点 C作为第一个试验点，C点的数值可以 算是 1000+×0.618=1618.试验的结果，如果按 1618 倍，水兑得过多，稀释效果不理想， 可以进行第二次试验.这次的试验点应该选 AC的黄金分割点 D，D的位置是 1000+（1618 －1000）×0.618，约等于 1382，如果 D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下 去.如果太浓，可以选 DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选 AD之间的黄金分割点， 用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据. 这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数 找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料. ●板书设计 §4.4 探索三角形相似的条件—— 黄金分割 一、1.黄金分割的定义. 2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形. 3.想一想 二、课时小节 三、课后作业 教学反思 本节课中，通过“动手操作—验证—推广—说理—应用”的过程，探索出三角形相似 的条件。在这过程中，要发扬着“敢想、敢做；务实、严谨”的数学精神，与同学真诚合 作，感受小组合作的快乐，感受数学从未知到已知的魅力。 4.5 相似三角形判定定理的证明 一、教学目标 1．知识目标： ①了解相似三角形判定定理 ②会证明相似三角形判定定理 2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 相似三角形的判定方法有哪些？ 答：（1）两角对应相等，两三角形相似. （2）三边对应成比例,两三角形相似. （3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 2.探究学习，得出新知 探究 1 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′. 如何证明呢？ 应用 1 已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求 AB. 应用 2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7，求 AD 的长. 探究 3 如果 那么，△ABC∽△A′B′C′. 应用 3 画一画 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍， 度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看 是否有同样的结论. 4.课时小结 一、相似三角形判定定理的证明 1.两角对应相等，两三角形相似. 2.三边对应成比例,两三角形相似. 3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 二、相似三角形判定定理的应用 5.课后作业 教学反思 本节课为九年级第三章第五节内容，要求学生将已有的全等三角形的判定方法，相似 三角形的定义，平行线分线段成比例等知识储备灵活运用，经历从特殊到一般，从猜想- 实践-证明的过程，感受图形世界的丰富多彩，体会数学类比的思想方法，并学会选择最 优方法进行问题的解决。 ,AB BC AC A B B C AC         4.6 利用相似三角形测高 课 题 利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度 教学目标 （一）教学知识点 1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验. 2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理. （二）能力训练要求 1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法. 2.提高综合运用知识的能力. （三）情感与价值观要求 在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣. 教学重点 1.测量旗杆高度的数学依据. 2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量. 教学难点 1.方法 2 中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线. 2.方法 3 中镜子的适当调节. 教学方法 1.分组活动. 2.交流研讨作报告. 工具准备 小镜子、标杆、皮尺等测量工具各 3 套. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引出课题 Ⅱ.新课讲解 甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A） 图① 从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角 形（如图①）,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以 及旗杆的影长均可测量得出，根据 BC AD AB EA  可得 BC= EA ADBA  ，代入测量数据即可求出旗 杆 BC的高度. 乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B） 图② 如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线 AD与 标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点 D作旗杆 BC的垂线交旗杆 BC于 G,交标杆 EF于 H,于是 得△DHF∽△DGC. . 图③ ［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C） 这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立 旗杆的顶端 C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC ∴△EAD∽△EBC,测出 AE、 EB与观测者身高 AD，根据 BC AD EB AE  ，可求得 BC= AE ADEB  . Ⅲ.课堂练习 高 4 m 的旗杆在水平地面上的影子长 6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长 24 m， 求该建筑物的高度. 图 4－37 Ⅳ.课时小结 这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明 白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验. Ⅴ.课后作业 习题 4.10 板书设计 §4.6 利用相似三角形测高 一、测量原理：相似三角形对应边成比例. 二、三种测量方法的优缺点 三、课堂练习（学生画示意图） 四、小结 4.7 相似三角形的性质（一） ●教学目标 （一）教学知识点 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. （二）能力训练要求 1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比。 2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （三）情感与价值观要求 1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作 意识. 2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识. ●教学重点 1.相似三角形中对应线段比值的推导. 2.运用相似三角形的性质解决实际问题. ●教学难点 相似三角形的性质的运用. ●教学方法 引导启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§4.7.1 A） 第二张：（记作§4.7.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边 成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例. 那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们 将进行研究相似三角形的其他性质. Ⅱ.新课讲解 1.做一做 投影片（§4.7.1 A） 钳工小王准备按照比例尺为 3∶4 的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表 示该零件的横断面△A′B′C′，CD 和 C′D′分别是它们的高. （1） BA AB  , CB BC  , CA AC  各等于多少？ （2）△ABC 与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图①中再找出一对相似三角形. （4） DC CD  等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图① 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解 投影片（§3.7.1 B） 图④ 如图④所示，AD是△ABC的高，AD=h,点 R在 AC边上，点 S在 AB边上，SR⊥AD, 垂足为 E.当 SR= 2 1 BC时，求 DE的长，如果 SR=BC呢？ Ⅲ.课堂练习 如果两个相似三角形对应高的比为 4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对 应中线的比，对应角平分线的比呢？ Ⅳ.课时小结 本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的 对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. Ⅴ.课后作业 完成习题 ●板书设计 §4.7.1 相似三角形的性质（一） 一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业 4.7 相似三角形的性质（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系. 2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用. （二）能力训练要求 1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力. 2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力. （三）情感与价值观要求 1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知 识迁移、温故知新的好处. 2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. ●教学重点 1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导. 2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题. ●教学难点 相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用. ●教学方法 引导启发式 通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知 识达到理解并掌握的目的. ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 Ⅱ.新课讲解 1.做一做 投影片（§4.7.2 A） 在上图中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？ （3）△ABC 的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC 与△A′B′C′的面积比 是多少？与同伴交流. 2.想一想 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，那么△ABC 与△A′B′C′的周长比和面积比 分别是多少？ 3.议一议 投影片（§4.7.2 B）. 如图，四边形 A1B1C1D1∽四边形 A2B2C2D2，相似比为 k. （1）四边形 A1B1C1D1与四边形 A2B2C2D2的周长比是多少？ （2）连接相应的对角线 A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？ △A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？ （3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是 , 111 CBAS 222222111 ,, DCACBADCA SSS  那么 222 111 222 111 DCA DCA CBA CBA S S S S      各是多少？ （4）四边形 A1B1C1D1与四边形 A2B2C2D2的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？ 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. Ⅲ.随堂练习 完成教材随堂练习 Ⅳ.课时小结 本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比 都等于相似比，面积比等于相似比的平方. Ⅴ.课后作业 习题 4.12 ●板书设计 §4.7.2 相似三角形的性质（二） 一、1.做一做 2.想一想 3.议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 4.8 图形的位似 教学目标 1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性 质． 2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 重点、难点 1．重点：位似多边形的有关概念、性质与作图． 2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小． 一.创设情境 活动 1 教师活动：提出问题： 生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到 的照片是真实的. 观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？ 学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性， 学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个 点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、 形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行． 二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小 活动 2 教师活动：提出问题： 把图 1 中的四边形 ABCD 缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点 到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之 比为 1∶2 ． 作法一：（1）在四边形 ABCD 外任取一 点 O； （2）过点 O 分别作射线 OA，OB，OC， OD； （3）分别在射线 OA，OB，OC，OD 上 取点 A′、B′、C′、D′， 使得 2 1 OD DO OC CO OB BO OA AO         ； （4）顺次连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形 A′B′C′D′， 如图 2． 问：此题目还可以如 何画出图形？ 作法二：（1）在四边形 ABCD 外任取一点 O； （2）过点 O 分别作射线 OA， OB， OC，OD； （3）分别在射线 OA， OB， OC， OD 的反向延 长线上取点 A′、B′、 C′、D′，使得 2 1 OD DO OC CO OB BO OA AO         ； （4）顺次连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形 A′B′C′D′， 如图 3． 作法三：（1）在四边形 ABCD 内任取一点 O； （2）过点 O 分别作射线 OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 A′、B′、 C′、D′， 使得 2 1 OD DO OC CO OB BO OA AO         ； （4）顺次连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形 A′B′C′D′， 如图 4． （当点 O 在四边形 ABCD 的一条边上或在四边形 ABCD 的一个顶点上时，作法略—— 可以让学生自己完成） 三、课堂练习 活动 3 教材习题 小结：谈谈你这节课学习的收获． 教学反思 4.8 图形的位似 教学目标： 1. 了解位似多边形 2. 了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。 3. 能利用位似将一个图形放大或缩小。 教学重点：位似图形的性质和应用 教学难点： 在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换性质不容易被理解 教学过程： （一）情境引入 生活中，见过这样的图形么？（找关于位似变换的图片：书柜，小区里的一牌楼，水花） 这些图片有什么特点？ 除了相似，这里面还蕴含着怎样的数学奥秘呢？ 学生活动预设：各组图片相似。 （二）新知讲解 我们以这组四边形为例，来研究一下。 除了相似，还有其他特点么？ 如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位 似多边形。这个点叫做位似中心。 位似多边形与相似多边形有什么区别和联系？ 学生回答预设：这组位似多边形每组对应边所在的直线都经过同一点。 位似多边形是特殊的相似变换. 板演： 果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似 多边形。这个点叫做位似中心。 位似多边形是特殊的相似变换. （三）例题讲解 活动一： 若三角形 ABC 与三角形 ''' CBA 的位似比为 2，则可得 出哪些结论 分析： 还有其他结论么？ 'OA OA 等于多少？ 为什么 'OA OA 等于 3？根据什么？ 你能发现对应点到位似中心的距离之比与位似比之间有什么关系？ 你能把你的发现概括成命题的形式吗？ 活动二： 如图，已知△ABC 和点 O。以点 O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边 长缩小到原来的。 分析： （1） 要确定缩小后的图形，只需确定什么？ （2） 缩小后图形的顶点应分别在怎样的射线上？ （3） 缩小后的图形与原图形到对应顶点到点 O 的距离之比为多少？根据什么？ （4） 你能做出几个图形？这两个图形在位置上有怎样的关系？ （四）再探新知 活动三： 如图，请以坐标原点 O 为位似中心，作平行四边形 ABCD 的位似图形，并把平行四边形的 变长放大 3 倍。 分析: (1) 动手在书上完成这个题目。 (2) 做出的位似图形的顶点坐标分别是多少？与原图形的顶点坐标有什么关系？先看第一 象限内。第三象限内的呢？为什么一个乘以正 3 一个乘以-3呢？ (3) 若原图形上点的坐标为（x,y）,像与原图形的位似比为 k，则像上的对应点的坐标为 （kx,ky）或（-kx,-ky）。 (4) 这个定理使用的前提条件是什么？ （五）小结 （六）作业布置 教学反思 运用多媒体教学，通过对感官的刺激获取信息，调动学生的学习兴趣，使学生主动学 习，多媒体恰当的演示，使学生对所学知识产生好奇心，激起他们探索知识的欲望，最终 达到提高课堂教学质量的目的。 O A C B 第 5 章 投影与视图 5.1 投影（一） 【学习目标】 1、了解投影和中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用。 2、通过观察、想像，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其 投影之间的相互转化。 【学习重点】了解中心投影的含义。 【学习过程】 一、自主学习（教师寄语：相信自己，你一定是最棒的） 了解中心投影的含义，能根据灯光来辨别物体的影子。 1、阅读课本本课内容及“做一做”思考： （1）固定手电筒，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么 变化？ （2）固定小棒和纸片，改变手电筒的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？ 所以，改变手电筒的位置，或是改变纸片的位置，影子都 ，并且手电筒与 纸片的距离越短，影子越 。（小组交流） 总结：无论是皮影还是手影，它们都是在灯光的照射下形成的。这种灯可以是探照灯、手 电筒、路灯和台灯等等，它们的共同特点是 ，像这样的光线所形 成的投影称为 。 2、例 1：确定图中路灯灯泡所在的位置。 3、看“议一议” 图 5-3,一个广场中央有一盏路灯. (1)高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?如果不一定,那么什么情况 下他们的影子一样长? 请实际试一试,并与同伴交流. 继续探索： (2)高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗? 学生交流、画图。 二、合作交流： 例 1作图的依据是什么？ 三、课堂练习：（教师寄语：只有不断总结，才能有所提高！） 1、中心投影是（ ） 2、晚上小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ） A、变长 B、变短 C、先变长后变短 D、先变短后变长 四 课堂小结 谈谈你对本节课的收获 五、达标测评：（教师寄语：静下心来,专心做题,你会发现自己真的很聪明!!） 1、晚上到广场去玩，他发现有两人的影子一个向东，一个向西，于是他肯定的说：“广场 上的大灯泡一定位于两人 2、直角坐标平面内，一点光源位于 A（0，5）处，线段 CD⊥x 轴，D为垂足，C（3，1）， 则 CD 在 x 轴上的影长为 ，点 C的影子的坐标为 3、人在灯光下走动时影子的长度有什么变化？ 4、画出各木杆在灯光下的影子： A D C O B 教学反思 1．多媒体的合理应用，可极大地激发学生的学习兴趣，提高教学效果． 在本节课的“综合调查”和“情境引入”教学环节中，通过学生收集和用多媒体展示 的人影、皮影、手影的精彩图片，给学生以视觉冲击，产生了视觉和心理的震撼，这样在 课堂“第一时间”抓住了学生的注意力、极大地激发了学生的学习热情，这十分有利于后 面教学活动的开展，提高课堂教学效果． 2．通过富有附有挑战性的“问题（或活动）”激发学生的探索欲望，培养创新精神，拓 展思维能力．在本节课“合作学习，深入研究”“练习巩固，拓展提高”教学环节中活动 设计，由简单的“模仿”到“创作设计”循序渐进、挑战性逐渐增大，不断激发学生的探 索欲望，引人入胜，培养创新精神，拓展能力． 5.1 投影（二） 【学习目标】1.知道平行投影的含义,能够确定物体在太阳光下的影子. 2.知道物体形成影子的大小和方向. 【学习重点】探讨物体在太阳光下所形成的影子的大小、形状、方向等. 【学习过程】（教师寄语：当你的态度发生转变的时候！在学习上没有什么不可以!） 一、自主学习（教师寄语：如果你自己都不相信自己,别人怎么能相信你！） 学习任务一：知道平行投影的含义,能够确定物体在太阳光下的影子 1. 快速看课本本课时内容,完成: （1） 平行投影。 （2）在平行投影中，所有的光线都是 的，光线与物体的位置不同，物体的影子 2.看课本议一议： 1 请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由 2 在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？ ③请按照时间的先后顺序排列杆子在太阳光下影子 3.某校墙边有甲、乙两根木杆。 （1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图 5-6 所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（用 线段表示影子） （2）在图 5-6 中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ （3）在(2)的情况下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为 1.24m 和 1m,那么你能求出 甲木杆的高度吗? 二、合作交流：（教师寄语：就连鲁滨逊也会尝试着与星期五合作,你难道不行!） 一天中，物体在太阳光下影子的大小和方向是如何变化的？ 三、课堂练习 1.将一元硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影可能是 也可能是 2、小亮在上午 8 时、9 时 30 分、10 时、12 时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随 太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最 1 2 3 4 长的时刻为【 】 A.上午 12时 B.上午 10时 C.上午 9时 30 分 D.上午 8 时 4、对同一建筑物，相同时刻在太阳光下的影子冬天比夏天【 】 A.短 B.长 C.看具体时间 D.无法比较 四 课堂小结：谈谈你本节课的收获 五、达标测评： （教师寄语：静下心来,专心做题,你会发现自己真的很聪明!!） 1.将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影是 2.小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的在阳光下的影 子【 】 A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法确定 3、在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道 小颖当时所处的时间是【 】 A.上午 B.中午 C.下午 D.无法确定 4、如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列， 正确的是【 】 A.①②③④ B.④①③② C.④②③① D.④③②① 5.小明的身高是 1.7 米，他的影长是 2 米，同一时刻学校旗杆的影长是 10 米。则旗杆的 高度是 六． 学后反思： 1．对比学习合理应用，可以让学生自觉的对事物的本质属性进行探究，本节课，让 学生对同一事物在不同时刻的太阳光投影和不同事物在同一时刻的太阳光投影的调查，既 激发学生的探究热情，又在对比中加深学生对知识的理解，在“对比提升，拓展提高”环 节，让学生通过作图，自己对比、辨析太阳光成影和灯光成影，也达到了同样的学习效果. 2．本节课的设计循序渐进、挑战性逐渐增大，全程都由学生自主学习，不断推进，不断 激发学生的探索欲望，培养学生的创新精神，拓展能力． 2.视图（一） 第一环节：情境问题引入 活动内容： 1“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”一句中蕴含着怎样的数学道理？ 2小明昨天买了一本字典，假如有一束平行光线从正面、左面、上面照射这本字典， 得到正投影图形是什么？ 第二环节：活动探究（获取信息，体会特点） 活动内容： 1如图，这个物体可以看做是由什么几何体组成的？ 2假如一束平行光线从正面、左面、上面投射到物体上，你能想象出它的正投影吗？ 试着画出来。 物体的正投影称为物体的视图，由此自然引出主视图、左视图、俯视图的定义，随之 准确给出上述三种图形的名称。 第三环节：合作学习 参照教材提供的几何体，提出问题： (1)下图中物体的形状分别可以看成什么样的几何体？ （2）你能在下列图形中找出上面几何体对应的主视图吗？ （3）你能想象出它们的左视图和俯视图吗？与同伴交流，请你试着画出来。 （4）你能说出常见几何体的三种视图的特点吗？ 第四环节：练习提高 活动内容： 1 找出图中每一个物品所对应的主视图 2如图是一个蒙古包的照片，你认为它可以看成是那些几何体的组合？你能画出该蒙古包 的三种视图吗？ 3.“圆柱与球的组合体”如右图所示，则它的三视图是( ) 4.下图是“蒙牛”冰激凌模型图，它的三视图是( ) 5.将两个圆盘、一个茶叶桶、一个皮球和一个蒙古包模型按如图所示的方式摆放在一起， 其主视图是（ ） 第五环节：课堂小结 第六环节：布置作业 1、习题第 1题。 四、教学反思 俯视图主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 . . 二 视图(二) 学习要求 1．了解基本几何体的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体图形． 2．进一步理解立体图形和平面图形之间的联系． 课堂学习检测 一、填空题 1．一几何体的三视图如图，那么这个几何体是______． 2．如图的几个物体中，哪两个几何体是一样的?答：______(填序号)． 第 2题图 二、选择题 3．如图所示的正四棱锥的俯视图是( ) 4．如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体其中有 三个几何体的某一种视图都是同一种几何图形，则别外一个几何体是( ) 5．小丽制作了一个如下右图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正 方体的平面展开图可能是( ) 6．如图(1)是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图(2)所示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格，这时小正方体朝上一面的字是( ) A．奥 B．运 C．圣 D．火 图 1 图 2 三、解答题 7．如图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图． 8．如图所示的积木是 16块棱长为 2cm 的正方体堆积而成的，求出它的表面积． 综合、运用、诊断 一、选择题 9．在正方体的表面上画有如图(1)中所示的粗线，图(2)是其展开图的示意图，但只在 A 面上画有粗线，那么将图(1)中剩余两个面中的粗线画入图(2)中，画法正确的是 ( ) 10．将一正方体纸盒沿如图所示的线剪开，则其平面展开图的形状为( ) 二、填空题 11．由十个棱长是 1cm 的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积 是______cm2． 第 11 题图 12．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如右上图所 示，这个几何体最多可以由______个这样的正方体组成． 第六章 反比例函数 课题 6.1 反比例函数 教学 目标 1．讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。 2．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函 数的概念。 重点 理解和领会反比例函数的概念。 难点 领悟反比例函数的概念。 解决 自主探究法 策略 教 学 活 动 设 计 一、引入新课 问题提出： 电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U=IR，当 U＝220V时， （1）你能用含有 R 的代数式表示 I 吗？ （2）利用写出的关系式完成下表： R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 当 R 越来越大时，I 怎样变化？当 R 越来越小呢？ （3）变量 I 是 R 的函数吗？为什么？ 学生小组合作讨论。 概 念 ： 如 果 两 个 变 量 x,y 之 间 的 关 系 可 以 表 示 成 的形式， 那么 y 是 x 的反比例函数，反比例函数的自变量 x不能为零。 学生探究反比例函数变量的相依关系，领会其概念。 二、新课讲授 做一做 1.一个矩形的面积为 20 2cm ，相邻的两条边长分别为 xcm 和 ycm。那么 )0kk( x ky  为常数， 教 学 活 动 设 计 量 x 的函数吗？为什么？ 学生先独立思考，再进行全班交流。 2.某村有耕地 346.2公顷，人数数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有 耕地面积 m（公顷/人）是全村人口数 n的函数吗？为什么？ 学生先独立思考，再同桌交流，而后大组发言。 3.y是 x 的反比例函数，下表给出了 x与 y 的一些值： x -2 -1 2 1  1 3 … y 2 -1 …… （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表。 学生先独立练习，而后再同桌交流，上讲台演示。 三、随堂练习 课本随堂练习 1、2 四、课堂总结 本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达 式为 y＝(k 为常数.k≠0) ，自变量 x不能为零.还能根据定义和表达式判断某两 个变量 之间的关系是否是函数，是什么函数. 五、布置作业 教学 反思 课本习题 5.1 1、2 6.2.2 反比例函数的图象与性质(二) 教学目标： (一)教学知识点 1.进一步巩固作反比例函数的图象. 2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性 质. (二)能力训练要求 1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力. 2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力. 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力. (三)情感与价值观要求 让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经 过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己 思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相 增进友谊. 教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的 主要性质. 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质. 教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法. 教学过程： Ⅰ.创设问题情境，引入新课 Ⅱ. 新课讲解 1.做—做 观察反比例函数 y= x 2 ，y= x 4 ,y= x 6 的形式，它们有什么共同 点? (1)函数图象分别位于哪几个象限? (2)在每一个象限内，随着 x 值的增大.y 的值是怎样变化的?能说明这是为什么 吗？ (3)反比例函数的图象可能与 x 轴相交吗?可能与 y 轴相交吗？为什么？ 2.议一议 y＝- x 2 ，y＝- x 4 ,y=- x 6 的图象有哪些共同特征? 3.想一想 (1)在一个反比例函数图象任取两点 P、Q，过点 Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线， 与坐标轴围成的矩形面积为 S1；过点 Q 分别作 x 轴 y 轴的平行线，与坐标轴围 成的矩形面积为 S2，S1与 S2有什么关系?为什么? (2)将反比例函数的图象绕原点旋转 180°后.能与原来的图象重合吗? Ⅲ.课堂练习 P137 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容. 1.反比例函数 y＝ x k 的图象，当 k0 时，在第一、三象限内，在每一象限内， y 的值随，值的增大而减小；当 k

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