2013年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题（含答案）

2013年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题（含答案）

内蒙古赤峰市2013年中考数学试卷 一．选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确选项的标号填入题后的括号内.每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）（2013•赤峰）（）0是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ D．‎ ‎﹣1‎ 考点：‎ 零指数幂．‎ 分析：‎ 根据零指数幂：a0=1（a≠0）可直接得到答案．‎ 解答：‎ 解：（）0=1，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了零指数幂，关键是掌握零指数幂：a0=1（a≠0）．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•赤峰）下列等式成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎|a|•=1‎ B．‎ ‎=a C．‎ ‎÷=‎ D．‎ a﹣2a=﹣a 考点：‎ 分式的乘除法；合并同类项；二次根式的性质与化简．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式分情况讨论，约分得到结果，即可做出判断；‎ B、原式利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断；‎ C、原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到结果，即可做出判断；‎ D、原式合并同类项得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：A、当a＞0时，|a|=a，原式=1；当a＜1时，|a|=﹣1，原式=﹣1，本选项错误；‎ B、原式=|a|，本选项错误；‎ C、原式=1，本选项错误；‎ D、a﹣2a=﹣a，本选项正确，‎ 故选D 点评：‎ 此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ S四边形ABCD=S四边形ECDF B．‎ S四边形ABCD＜S四边形ECDF ‎　‎ C．‎ S四边形ABCD=S四边形ECDF+1‎ D．‎ S四边形ABCD=S四边形ECDF+2‎ 考点：‎ 多边形；平行线之间的距离；三角形的面积．.‎ 分析：‎ 根据矩形的面积公式=长×宽，平行四边形的面积公式=边长×高可得两阴影部分的面积，进而得到答案．‎ 解答：‎ 解：S四边形ABCD=CD•AC=1×4=4，‎ S四边形ECDF=CD•AC=1×4=4，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了矩形和平行四边形的面积计算，关键是掌握面积的计算公式．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•赤峰）如图所示，几何体的俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．.‎ 分析：‎ 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ 解答：‎ 解：从上面看可得3个小正方形，分成3列，每一列一个正方形．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•赤峰）学校教学楼从每层楼到它上一层楼都要经过20级台阶，小明从一楼到五楼要经过的台阶数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎100‎ B．‎ ‎80‎ C．‎ ‎50‎ D．‎ ‎120‎ 考点：‎ 有理数的乘法．.‎ 分析：‎ 从一楼到五楼共经过四层楼，所以用20乘以4，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解，‎ 解答：‎ 解：从一楼到五楼要经过的台阶数为：20×（5﹣1）=80．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的乘法，要注意经过的楼层数为所在楼层减1．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•赤峰）目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%﹣15%，预防高血压不容忽视．“千帕kpa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位．请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算正确的是（　　）‎ 千帕kpa ‎10‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎…‎ 毫米汞柱mmHg ‎75‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎…‎ ‎　‎ A．‎ ‎13kpa=100mmHg B．‎ ‎21kpa=150mmHg C．‎ ‎8kpa=60mmHg D．‎ ‎22kpa=160mmHg 考点：‎ 一次函数的应用．.‎ 分析：‎ 观察不难发现，千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出一次函数解析式，再对各选项进行验证即可得解．‎ 解答：‎ 解：设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0），‎ 则，‎ 解得，‎ 所以y=7.5x，‎ A、x=13时，y=13×7.5=97.5，‎ 即13kpa=97.5mmHg，故本选项错误；‎ B、x=21时，y=21×7.5=157.5，‎ 所以，21kpa=157.5mmHg，故本选项错误；‎ C、x=8时，y=8×7.5=60，‎ 即8kpa=60mmHg，故本选项正确；‎ D、x=22时，y=22×7.5=165，‎ 即22kpa=165mmHg，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，是基础题，比较简单．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•赤峰）从某校九年级中随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分，5分．将测量的结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些学生分数的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图；中位数．.‎ 分析：‎ 首先利用扇形图以及条形图求出总人数，进而求得每个小组的人数，然后根据中位数的定义求出这些学生分数的中位数．‎ 解答：‎ 解：总人数为6÷10%=60（人），‎ 则2分的有60×20%=12（人），‎ ‎4分的有60﹣6﹣12﹣15﹣9=18（人），‎ 第30与31个数据都是3分，这些学生分数的中位数是（3+3）÷2=3．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了统计图及中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解题的关键是从统计图中获取正确的信息并求出各个小组的人数．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•赤峰）如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为（‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.‎ 分析：‎ 根据平行四边形的性质以及等边三角形的判定得出3个等边三角形全等，进而得出阴影部分面积等于△BCE面积，求出即可．‎ 解答：‎ 解：连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F，‎ ‎∵AD=OA=1，‎ ‎∴AD=AO=DO，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC∥AB，‎ ‎∴∠CDO=∠DOA=60°，‎ ‎∴△ODE是等边三角形，‎ 同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等，‎ ‎∴阴影部分面积等于△BCE面积，‎ ‎∵DF=ADsin60°=，DE=EC=1，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为：××1=．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题考查了组合图形的面积，关键是得出阴影部分面积等于△BCE面积．‎ ‎　‎ 二、填空题（请把答案填在题中横线上，每小题3分，共计24分）‎ ‎9．（3分）（2013•赤峰）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496×108千米，以亿千米为单位表示这个数是　1.496　亿千米．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：‎ 根据1亿=108，即可将1.496×108千米写为1.496亿千米．‎ 解答：‎ 解：1.496×108千米=1.496亿千米．‎ 故答案为1.496．‎ 点评：‎ 此题考查用科学记数法表示的数的改写方法．熟记1亿=108是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•赤峰）请你写出一个大于0而小于1的无理数　﹣1　．‎ 考点：‎ 估算无理数的大小．.‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据已知和无理数的定义写出一个无理数即可．‎ 解答：‎ 解：一个大于0而小于1的无理数有﹣1，﹣1等，‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•赤峰）一艘轮船顺水航行的速度是20海里/小时，逆水航行的速度是16海里/小时，则水流的速度是　2　海里/小时．‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用．.‎ 分析：‎ 根据在水流问题中，水流速度=（顺水速度﹣逆水速度）÷2，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵顺水航行的速度是20海里/小时，逆水航行的速度是16海里/小时，‎ ‎∴水流的速度是=2（海里/小时）；‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题考查了水流问题在实际生活中的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，水流速度=（顺水速度﹣逆水速度）÷2．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•赤峰）样本数据3，2，5，a，4的平均数是3，则a=　1　．‎ 考点：‎ 算术平均数．.‎ 分析：‎ 根据平均数的计算公式和数据3，2，5，a，4的平均数是3，列出算式，求出a的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵数据3，2，5，a，4的平均数是3，‎ ‎∴（3+2+5+a+4）÷5=3，‎ 解得：a=1；‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 此题考查了算术平均数，掌握算术平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•赤峰）已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是　65π　cm2．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．.‎ 分析：‎ 利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵圆锥的高为12cm，底面半径为5cm，‎ ‎∴圆锥的母线长为：=13cm，‎ ‎∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×5×13=65πcm2．‎ 故答案为：65π 点评：‎ 本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•赤峰）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为　4　cm．‎ 考点：‎ 勾股定理；矩形的性质．.‎ 分析：‎ 设AB=x，则可得BC=10﹣x，BE=BC=，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，即求出了AB的长．‎ 解答：‎ 解：设AB=x，则可得BC=10﹣x，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴BE=BC=，‎ 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（）2=52，‎ 解得：x=4．‎ 即AB的长为4cm．‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•赤峰）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，∠BOA=45°，则过A点的双曲线解析式是　y=　．‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解析式．.‎ 分析：‎ 根据题意可设A（m，m），再根据⊙O的半径为1利用勾股定理可得m2+m2=12，解出m的值，再设出反比例函数解析式为y=（k≠0），再代入A点坐标可得k的值，进而得到解析式．‎ 解答：‎ 解：∵∠BOA=45°，‎ ‎∴设A（m，m），‎ ‎∵⊙O的半径为1，‎ ‎∴AO=1，‎ ‎∴m2+m2=12，‎ 解得：m=，‎ ‎∴A（，），‎ 设反比例函数解析式为y=（k≠0），‎ ‎∵图象经过A点，‎ ‎∴k=×=，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=．‎ 故答案为：y=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及勾股定理，求出A点坐标是解决此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•赤峰）在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是　错误　的．（填“正确”或“错误”）‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质．.‎ 分析：‎ 分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可．‎ 解答：‎ 解：如已知一个角=70°．‎ 当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°﹣70°）÷2=55°，‎ 当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°﹣140°=40°．‎ 故答案为：错误．‎ 点评：‎ 主要考查了等腰三角形的性质．要注意分两种情况考虑，不要漏掉一种情况．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共9个题，满分102分）‎ ‎17．（12分）（2013•赤峰）（1）计算：sin60°﹣|1﹣|+﹣1‎ ‎（2）化简：（a+3）2﹣（a﹣3）2．‎ 考点：‎ 完全平方公式；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂分别求出每一部分的值，再代入求出即可；‎ ‎（2）先根据完全平方公式展开，再合并同类项即可．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=﹣（﹣1）+2‎ ‎=﹣+1+2‎ ‎=﹣+3；‎ ‎（2）原式=a2+6a+9﹣（a2﹣6a+9）‎ ‎=a2+6a+9﹣a2+6a﹣9‎ ‎=12a．‎ 点评：‎ 本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2013•赤峰）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（2，4），C（4，0），D（2，﹣3），E（0，﹣4）．写出D，C，B关于y轴对称点F，G，H的坐标，并画出F，G，H点．顺次而平滑地连接A，B，C，D，E，F，G，H，A各点．观察你画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？‎ 考点：‎ 作图-轴对称变换．.‎ 专题：‎ 作图题．‎ 分析：‎ 关于y轴对称的点的坐标的特点是：纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出F，G，H的坐标，顺次连接各点即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得，F（﹣2，﹣3），G（﹣4，0），H（﹣2，4），‎ 这个图形关于y轴对称，是我们熟知的轴对称图形．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称作图的知识，解答本题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标的特点，及轴对称图形的特点．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2013•赤峰）如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°．已知tan∠ABC=，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC．‎ ‎（1）求∠ABP的度数；‎ ‎（2）求A，B两点间的距离．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；‎ ‎（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵tan∠ABC=，‎ ‎∴∠ABC=30°；‎ ‎∵从P点望山脚B处的俯角60°，‎ ‎∴∠PBH=60°，‎ ‎∴∠ABP=180°﹣30°﹣60°=90°‎ ‎（2）由题意得：∠PBH=60°，‎ ‎∵∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ABP=90°，又∠APB=30°，‎ ‎∴△PAB为等腰直角三角形，‎ 在直角△PHB中，PB=PH•tan∠PBH=300m．‎ 在直角△PBA中，AB=PB•tan∠BPC=300．‎ ‎∴A、B两点之间的距离为300米．‎ 点评：‎ 本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2013•赤峰）甲、乙两位同学玩摸球游戏，准备了甲、乙两个口袋，其中甲口袋中放有标号为1，2，3，4，5的5个球，乙口袋中放有标号为1，2，3，4的4个球．游戏规则：甲从甲口袋摸一球，乙从乙口袋摸一球，摸出的两球所标数字之差（甲数字﹣乙数字）大于0时甲胜，小于0时乙胜，等于0时平局．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则．‎ 考点：‎ 游戏公平性；列表法与树状图法．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 游戏不公平，理由为：列出表格，得出所有等可能的情况数，找出数字之差大于0，等于0以及小于0时的情况数，求出甲乙两获胜的概率，即可判断不公平，若要使游戏公平，修改规则即可．‎ 解答：‎ 解：游戏不公平，理由为：‎ 列表得：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ 所有等可能的情况有20种，其中摸出的两球所标数字之差（甲数字﹣乙数字）大于0的情况有10中，等于0的情况有4种，小于0的情况有6种，‎ 则P甲获胜==，P乙获胜==，‎ ‎∵＞，‎ ‎∴游戏不公平；‎ 若使游戏公平，修改规则为：中摸出的两球所标数字之和为偶数，甲获胜；之和为奇数，乙获胜．‎ 点评：‎ 此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2013•赤峰）如图，直线L经过点A（0，﹣1），且与双曲线c：y=交于点B（2，1）．‎ ‎（1）求双曲线c及直线L的解析式；‎ ‎（2）已知P（a﹣1，a）在双曲线c上，求P点的坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出双曲线c解析式；设一处函数解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线L的解析式；‎ ‎（2）将P坐标代入反比例解析式求出a的值，即可确定出P坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）将B（2，1）代入反比例解析式得：m=2，‎ 则双曲线解析式为y=，‎ 设直线L解析式为y=kx+b，‎ 将A与B坐标代入得：，‎ 解得：，‎ 则直线L解析式为y=x﹣1；‎ ‎（2）将P（a﹣1，a）代入反比例解析式得：a（a﹣1）=2，‎ 整理得：a2﹣a﹣2=0，即（a﹣2）（a+1）=0，‎ 解得：a=2或a=﹣1，‎ 则P坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•赤峰）某校家长委员会计划在九年级毕业生中实施“读万卷书，行万里路，了解赤峰，热爱家乡”主题活动，决定组织部分毕业生代表走遍赤峰全市12个旗、县、区考察我市创建文明城市成果，远航旅行社对学生实行九折优惠，吉祥旅行社对20人以内（含20人）学生旅行团不优惠，超过20人超出的部分每人按八折优惠．两家旅行社报价都是2000元/人．服务项目、旅行路线相同．请你帮助家长委员会策划一下怎样选择旅行社更省钱．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．.‎ 分析：‎ 根据九折列出远航旅行社消费钱数与人数的函数关系式，再分不超过20人和超过20人两种情况列出吉祥旅行社消费的钱数与人数之间的关系两种情况列出函数关系式，然后求出两个旅行社消费相同的情况的人数，然后讨论求解即可．‎ 解答：‎ 解：设消费的钱数为y元，学生人数为x人，‎ 则远航旅行社：y=0.9×2000x=1800x，‎ ‎①若x≤20，则吉祥旅行社：y=2000x，‎ 此时2000x＞1800x，‎ 选择远航旅行社更优惠；‎ ‎②若x＞20，则吉祥旅行社：y=2000×20+2000×0.8（x﹣20），‎ ‎=40000+1600x﹣32000，‎ ‎=1600x+8000，‎ 当1600x+8000=18000x时，即x=40时，选择两个旅行社消费相同，‎ 当x＜40时，选择远航旅行社更优惠，‎ x＞40时，选择吉祥旅行社更优惠，‎ 综上所述，当学生人数少于40时，选择远航旅行社更优惠，‎ 当学生人数等于40时，选择两家旅行社都一样，‎ 当学生人数大于40时，选择吉祥旅行社更优惠．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出两家旅行社的消费钱数与人数的关系式并求出消费相同的学生人数是解题的关键，难点在于要分情况讨论．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2013•赤峰）如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．‎ ‎（1）求证：NQ⊥PQ；‎ ‎（2）若⊙O的半径R=3，NP=，求NQ的长．‎ 考点：‎ 切线的性质．.‎ 分析：‎ ‎（1）连接OP，则OP⊥PQ，然后证明OP∥NQ即可；‎ ‎（2）连接MP，在直角△MNP中，利用三角函数求得∠MNP的度数，即可求得∠PNQ的值，然后在直角△PNQ中利用三角函数即可求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OP．‎ ‎∵直线PQ与⊙O相切于P点，‎ ‎∴OP⊥PQ，‎ ‎∵OP=ON，‎ ‎∴∠OPN=∠ONP，‎ 又∵NP平分∠MNQ，‎ ‎∴∠OPN=∠PNQ，‎ ‎∴OP∥NQ ‎∴NQ⊥PQ；‎ ‎（2）解：连接MP．‎ ‎∵MN是直径，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∴cos∠MNP===，‎ ‎∴∠MNP=30°，‎ ‎∴∠PNQ=30°，‎ ‎∴直角△PNQ中，NQ=NP•cos30°=3×=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质以及三角函数，正确利用三角函数求得∠MNP的度数是关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•赤峰）如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．‎ ‎（1）写出C，D两点的坐标；‎ ‎（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；‎ ‎（3）证明AB⊥BE．‎ 考点：‎ 二次函数综合题；旋转的性质．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；‎ ‎（2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；‎ ‎（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．‎ 解答：‎ 解：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，‎ ‎∴△ODC≌△OAB，‎ ‎∴OC=OB=2，OD=OA=6，‎ ‎∴C（2，0），D（0，6）；‎ ‎（2）∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），‎ ‎∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），‎ ‎∵D（0，6）在抛物线上，‎ ‎∴6=﹣12a，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x2﹣2x+6，‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，‎ ‎∴顶点E的坐标为（﹣2，8）；‎ ‎（3）连接AE．‎ ‎∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），‎ ‎∴AB2=62+22=40，BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80，‎ ‎∴AB2+BE2=AE2，‎ ‎∴AB⊥BE．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2013•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．‎ ‎（1）求证：AE=DF；‎ ‎（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；‎ ‎（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；‎ ‎（3）△DEF为直角三角形，则一定有∠DEF=90°，DE∥BC，AD=2AE，据此即可列方程求解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．‎ ‎∴AB=AC=×60=30cm．‎ ‎∵CD=4t，AE=2t，‎ 又∵在直角△CDF中，∠C=30°，‎ ‎∴DF=CD=2t，‎ ‎∴DF=AE；‎ ‎（2）∵DF∥AB，DF=AE，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，‎ 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，‎ 即60﹣4t=2t，‎ 解得：t=10，‎ 即当t=10时，AEFD是菱形；‎ ‎（3）△DEF为直角三角形，则一定有∠DEF=90°，DE∥BC，‎ 则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，‎ 解得：t=．‎ 点评：‎ 本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键．‎