2008年北京市东城区中考数学二模试卷

2008年北京市东城区中考数学二模试卷

‎22 2008年北京市东城区中考数学二模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．如图，小手盖住的点的坐标可能为( )‎ A．(3，－4) B．(5，2) C．(－4，－6) D．(－6，3)‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 ‎2．右上图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是( )‎ ‎3．下列计算正确的是( )‎ A．a1＋a4＝a6 B．a2·a4＝a8‎ C．a6÷a2＝a3 D．(a4)2＝a8‎ ‎4．王老师对小明在参加中考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析，要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的( )‎ A．频数 B．众数 C．中位数 D．方差 ‎5．若两圆的半径分别是3和6，两圆的圆心距是9，则此两圆的位置关系是( )‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎6．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的( )‎ 第6题图 A．H B．G C．F D．K ‎7．下列图形中阴影部分的面积相等的是( )‎ 第7题图 A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎8．已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7…，将这列数排成下列形式 第1行 1‎ 第2行 －2 3‎ 第3行 －4 5 －6‎ 第4行 7 －8 9 －10‎ 第5行 11 －12 13 －14 15‎ ‎… …‎ 按照上述规律排列下去，那么第10行从左边数第5个数等于( )‎ A．50 B．－‎50 ‎C．60 D．－60‎ 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．4的算术平方根是________．‎ ‎10．当x＝________时，分式的值为0．‎ ‎11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心、以1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是________．‎ 第11题图 ‎12．对于实数u，v，定义一种运算“*”为u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*(a*x)＝－有两个相等的实数根，则满足条件的实数a的值是________．‎ 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(5分)计算：2－1＋(－1)2007＋sin30°－｜－5｜．‎ ‎14．(5分)先化简，然后请你选择一个合适的x的值代入求值：．‎ ‎15．(5分)解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎16．(5分)解方程：x2－6x＋2＝0(用配方法)．‎ ‎17．(5分)如图，AD＝BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．‎ 你所添加的条件为________；‎ 得到的一对全等三角形是△________≌△________．‎ 第17题图 ‎18．(5分)(列方程或方程组解应用题)‎ 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元．‎ 第18题图 ‎19．(5分)把一副扑克牌中的3张黑桃牌(它们的正面牌面数字分别是3、4、5)洗匀后，正面朝下放在桌面上．‎ ‎(1)如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少?‎ ‎(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当2张牌面数字相同时，小王赢；当2张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平，并说明理由．‎ ‎20．(5分)如图，A，B两镇相距‎60km，C镇在A镇的北偏东60°方向，在B镇的北偏西 ‎30°方向．C镇周围‎20km的圆形区域内为文物保护区．有关部门规定，该区域内禁止修路．现计划修筑连结A，B两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域．(≈1.7)‎ 第20题图 ‎21．(5分)如图，已知等边三角形ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．‎ ‎(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎(2)过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若△ABC的边长为4，求FH的长(结果保留根号)．‎ 第21题图 ‎22．(5分)某中学组织一次学生夏令营活动，他们将前来报名的学生按年龄(整数岁)分为A、B、C组．统计数据如下表所示．‎ 分组(岁)‎ A(10～11)‎ B(12～13)‎ C(14～15)‎ 频数 ‎15‎ y ‎25‎ 频率 x ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎(1)表中x＝________；y＝________；‎ ‎(2)若想从C组中抽一些人到A组，抽一些人到B组(抽到B组人数不可以为0)，使A组的人数是B组的2倍，且C组的人数在3个组中不是最少的，应该怎样抽调?‎ ‎23．(7分)阅读下列材料：‎ 任意给定一个矩形ABCD，如果存在另一个矩形，使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的k倍(k≥2，且k是整数)．那么我们把矩形叫做矩形ABCD的k倍矩形．‎ 例如：矩形ABCD的长和宽分别为3和1，它的周长和面积分别为8和3；矩形 的长和宽分别为4＋和4－，它的周长和面积分别为16和6，这时，矩形的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍，则矩形叫做矩形ABCD的2倍矩形．‎ 解答下列问题：‎ ‎(1)填空：一个矩形的周长和面积分别为10和6，则它的2倍矩形的周长为______，面积为______．‎ ‎(2)已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k倍矩形，且∶AB＝∶BC?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎24．(7分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋2的图象经过点A和点B．‎ ‎(1)求该抛物线的解析式．‎ ‎(2)把(1)中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有一个交点?写出此时抛物线的解析式．‎ ‎(3)将(2)中的抛物线向右平移个单位长度，再向下平移t个单位长度(t＞0)，此时，抛物线与x轴交于M、N两点，直线AB与y轴交于点P．当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小?最小面积是多少?‎ 第24题图 ‎25．(8分)已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连结EG、CG．‎ ‎(1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由；‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②，连结DF，取DF的中点G，问(1)中的结论是否成立，并说明理由；‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)得图③，连结DF，取DF的中点G，问(1)中的结论是否成立，请说明理由．‎ 第25题图 答 案 ‎22．2008年北京市东城区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1．A 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题 ‎9．2 10．1 11．2 12．0‎ 三、解答题 ‎13．解：原式．‎ ‎14．解：原式．代入求值(答案不唯一)．‎ ‎15．解：解不等式①得x＜－1，解不等式②得x≥－4．‎ ‎∴原不等式组的解集为－4≤x＜－1．‎ 在数轴上表示如图．‎ 第15题答图 ‎16．解：x2－6x＝－2，‎ x2－6x＋9＝－2＋9，(x－3)2＝7，‎ 解得x－3＝±，即x＝3±．‎ ‎∴x1＝3＋，x2＝3－．‎ ‎17．(答案不唯一)所添加条件为PA＝PB，‎ 得到的一对全等三角形是△PAD≌△PBC或△PAC≌△PBD．‎ 证明：(以△PAD≌△PBC为例)∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．‎ 又∵AD＝BC，∴△PAD≌△PBC．‎ 所添加条件，只要能证明三角形全等即可．‎ ‎18．解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元．‎ 依题意，得解这个方程组，得 故一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元．‎ ‎19．解：(1)P(抽到牌面数字4)＝(2)游戏规则对双方不公平．‎ 理由如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎(3，3)‎ ‎(3，4)‎ ‎(3，5)‎ ‎4‎ ‎(4，3)‎ ‎(4，4)‎ ‎(4，5)‎ ‎5‎ ‎(5，3)‎ ‎(5，4)‎ ‎(5，5)‎ 或 第19题答图 由上述表格或树状图知：所有可能出现的结果共有9种．‎ P(抽到牌面数字相同)，‎ P(抽到牌面数字不相同)．‎ ‎，此游戏规则不公平，小李赢的可能性大．‎ ‎20．解：作CD⊥AB于D，由题意知∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，‎ 第20题答图 ‎∴∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°．‎ ‎∴在Rt△ABC中，．‎ 在Rt△DBC中，．‎ ‎∵15＞20，∴这条公路不经过该区域．‎ ‎21．(1)证明：如图，连结OD，‎ 第21题答图 ‎∵△ABC为等边三角形，DF⊥AC，‎ ‎∴∠ADF＝30°，∵OB＝OD，∠DBO＝60°，‎ ‎∴∠BDO＝60°．‎ ‎∴∠ODF＝180°－∠BDO－∠ADF＝90°．‎ ‎∴DF是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：∵AD＝BD＝2，∠ADF＝30°，‎ ‎∴AF＝1．∴FC＝AC－AF＝3．‎ ‎∵FH⊥BC，∴∠FHC＝90°．‎ 在Rt△FHC中，，．‎ 即FH的长为．‎ ‎22．(1)x＝0.3，y＝10．‎ ‎(2)解：设从C组调m人到A组，调n人到B组．‎ 依题意，得 解得，m＝5＋2n，．又∵n为大于零的整数，‎ ‎∴n＝1或n＝2．‎ ‎∴有两种调法：调7人到A组，调1人到B组；或调9人到A组，调2人到B组．‎ ‎23．(1)20 12‎ ‎(2)解：不存在．若存在，由∶AB＝∶BC，‎ 可得∶＝AB∶BC＝2∶1(设AB是长边)．‎ 又由2(＋)＝k·2(AB＋BC)，可得＝k，＝2k．‎ 则有k·2k＝k·2，∴k2＝k，∴k＝0或1．‎ ‎∵k≥2，∴不存在满足条件的k．‎ ‎24．解：(1)由图象可知A(1，0)，B(4，6)，代入y＝ax2＋bx＋2．‎ 得解得 ‎∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．‎ ‎(2)原抛物线的解析式可配方为，抛物线向左平移1个单位长度后解析式为，设向上或向下平移h个单位长度，则解析式为．‎ 由A、B两点坐标可求得直线AB的解析式为y＝2x－2，‎ 由 得，化简得x2－3x＋h＋2＝0，‎ ‎∵抛物线与直线只有一个交点，即此一元二次方程只有唯一的根，‎ ‎∴b2－‎4ac＝0，即9－4×(h＋2)＝0．‎ ‎，也就是抛物线再向上平移个单位长度能与直线AB只有一个交点，此时抛物线的解析式为．‎ ‎(3)抛物线向右平移个单位长度，再向下平移t个单位长度，解析式为y ＝(x－3)2－t．‎ 令y＝0，即(x－3)2－t＝0，则x1＝3＋，x2＝3－．‎ 由(2)知：点P(0，－2)．‎ ‎∵过M、N、P三点的圆的圆心一定在直线x＝3上，点P为定点，∴要使圆的面积最小，圆的半径应等于点P到直线x＝3的距离，此时，半径为3，面积为9p ．设圆心为C，MN的中点为E，连结CE，CM．‎ 在三角形CEM中，∵ME2＋CE2＝CM2，‎ ‎∴()2＋22＝32，∴t＝5．‎ ‎∴当t＝5时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为9p ．‎ ‎25．解：(1)EG＝CG．‎ 证明：∵∠DEF＝∠DCF＝90°，DG＝GF，‎ ‎．‎ ‎(2)(1)中结论成立，即EG＝CG．‎ 证明：过点F作BC的平行线，交DC的延长线于点M，连结MG．‎ ‎∴EF＝CM，易证四边形EFMC为矩形．‎ ‎∴∠EFG＝∠GDM．‎ 在直角三角形FMD中，DG＝GF，‎ ‎∴FG＝GM＝GD．‎ ‎∴∠GMD＝∠GDM．∴∠EFG＝∠GMD．‎ ‎∴△EFG≌△CMG．∴EG＝CG．‎ ‎(3)成立．证明：取BF的中点H，连结EH，GH，取BD的中点O，连结OG，OC．‎ ‎∵OB＝OD，∠DCB＝90°，‎ ‎．∵DG＝GF，BH＝HF，OD＝OB，‎ ‎∴GH∥BO，且；OG∥BF,且．‎ ‎∴CO＝GH．‎ ‎∵△BEF为等腰直角三角形，‎ ‎．∴EH＝OG．‎ ‎∵四边形OBHG为平行四边形，∴ ∠BOG＝∠BHG．‎ ‎∵∠BOC＝∠BHE＝90°，∴∠GOC＝∠EHG．‎ ‎∴△GOC≌△EHG．∴EG＝GC．‎ 第25题答图①‎ 第25题答图②‎