2020年山东省枣庄市中考数学试卷

2020年山东省枣庄市中考数学试卷

2020 年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正 确的选项选出来．每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1．（3 分） 1 2  的绝对值是 ( ) A． 1 2  B． 2 C． 1 2 D．2 2．（3 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上， / /AB CF ， 90F ACB     ， 则 DBC 的度数为 ( ) A．10 B．15 C．18 D．30 3．（3 分）计算 2 1( )3 6    的结果为 ( ) A． 1 2  B． 1 2 C． 5 6  D． 5 6 4．（3 分）实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是 ( ) A．| | 1a  B． 0ab  C． 0a b  D．1 1a  5．（3 分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从中摸 出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 ( ) A． 4 9 B． 2 9 C． 2 3 D． 1 3 6．（3 分）如图，在 ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，连接 AE ．若 6BC  ， 5AC  ，则 ACE 的周长为 ( ) A．8 B．11 C．16 D．17 7．（3 分）图（1）是一个长为 2a ，宽为 2 ( )b a b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴） 剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形， 则中间空余的部分的面积是 ( ) A． ab B． 2( )a b C． 2( )a b D． 2 2a b 8．（3 分）如图的四个三角形中，不能由 ABC 经过旋转或平移得到的是 ( ) A． B． C． D． 9．（3 分）对于实数 a 、b ，定义一种新运算“ ”为： 2 1a b a b   ，这里等式 右边是实数运算．例如： 2 1 11 3 1 3 8    ．则方程 2( 2) 14x x    的解 是 ( ) A． 4x  B． 5x  C． 6x  D． 7x  10．（3 分）如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上， AOB 30B    ， 2OA  ．将 AOB 绕点 O 逆时针旋转90 ，点 B 的对应点 B 的坐标是 ( ) A． ( 3 ， 3) B． ( 3, 3) C． ( 3 ， 2 3) D． ( 1,2 3)  11．（3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中， 3AB  ，点 E 在边 BC 上，将 ABE 沿直线 AE 折 叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若 EAC ECA   ，则 AC 的长是 ( ) A．3 3 B．4 C．5 D．6 12．（3 分）如图，已知抛物线 2y ax bx c   的对称轴为直线 1x  ．给出下列结论： ① 0ac  ； ② 2 4 0b ac  ； ③ 2 0a b  ； ④ 0a b c   ． 其中，正确的结论有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题：本大题共 6 小题，满分 24 分．只填写最后结果，每小题填对得 4 分． 13．（4 分）若 3a b  ， 2 2 7a b  ，则 ab  ． 14．（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 2( 1) 2 1 0a x x a     有一个根为 0x  ，则 a  ． 15．（4 分）如图，AB 是 O 的直径，PA 切 O 于点 A ，线段 PO 交 O 于点 C ．连接 BC ， 若 36P  ，则 B  ． 16．（4 分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若 AB ，AC 的长都为 2m ，当 50   时， 人字梯顶端离地面的高度 AD 是 m ．（结果精确到 0.1m ，参考依据： sin50 0.77  ， cos50 0.64  ， tan50 1.19)  17．（4 分）如图， E ，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， 8AC  ， 2AE CF  ， 则四边形 BEDF 的周长是 ． 18．（4 分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形， 它的面积 S 可用公式 1 1(2S a b a   是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计 算，这个公式称为“皮克 ( )Pick 定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 S  ． 三、解答题：本大题共 7 小题，满分 60 分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤． 19．（8 分）解不等式组 4( 1) 7 13, 84 ,3 x x xx      „ 并求它的所有整数解的和． 20．（8 分）欧拉 (Euler ，1707 年 ~1783 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、 物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 ( )V Vertex 、棱数 ( )E Edge 、面数 (F Flat )surface 之间存在一定的数量关系，给出了著名的 欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数 E 6 12 面数 F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V 、 E 、 F 之间有什么关系吗？请写出关系式： ． 21．（8 分）2020 年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学 习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水 平测试．随机抽取 50 名学生进行测试，并把测试成绩（单位： )m 绘制成不完整的频数分布 表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2 1.6x „ a 1.6 2.0x „ 12 2.0 2.4x „ b 2.4 2.8x „ 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中 a  ， b  ； （2）样本成绩的中位数落在 范围内； （3）请把频数分布直方图补充完整； （4）该校共有 1200 名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 2.4 2.8x „ 范围内的有多少 人？ 22．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 52y x  和 2y x  的图象相交于点 A ， 反比例函数 ky x  的图象经过点 A ． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数 1 52y x  的图象与反比例函数 ky x  的图象的另一个交点为 B ，连接 OB ， 求 ABO 的面积． 23．（8 分）如图，在 ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E ，点 F 在 AC 的延长线上，且 2BAC CBF   ． （1）求证： BF 是 O 的切线； （2）若 O 的直径为 4， 6CF  ，求 tan CBF ． 24．（10 分）在 ABC 中， 90ACB   ，CD是中线， AC BC ，一个以点 D 为顶点的 45 角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点 E 、 F ， DF 与 AC 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N ． （1）如图 1，若 CE CF ，求证： DE DF ； （2）如图 2，在 EDF 绕点 D 旋转的过程中，试证明 2CD CE CF  恒成立； （3）若 2CD  ， 2CF  ，求 DN 的长． 25．（10 分）如图，抛物线 2 4y ax bx   交 x 轴于 ( 3,0)A  ， (4,0)B 两点，与 y 轴交于点 C ， AC ， BC ． M 为线段OB 上的一个动点，过点 M 作 PM x 轴，交抛物线于点 P ，交 BC 于点 Q ． （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PN BC ，垂足为点 N ．设 M 点的坐标为 ( ,0)M m ，请用含 m 的代数式表 示线段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q ，使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角 形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2020 年山东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正 确的选项选出来．每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1．（3 分） 1 2  的绝对值是 ( ) A． 1 2  B． 2 C． 1 2 D．2 【解答】解： 1 2  的绝对值为 1 2 ． 故选： C ． 2．（3 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上， / /AB CF ， 90F ACB     ， 则 DBC 的度数为 ( ) A．10 B．15 C．18 D．30 【解答】解：由题意可得： 45EDF  ， 30ABC   ， / /AB CF ， 45ABD EDF     ， 45 30 15DBC      ． 故选： B ． 3．（3 分）计算 2 1( )3 6    的结果为 ( ) A． 1 2  B． 1 2 C． 5 6  D． 5 6 【解答】解： 2 1 2 1 1( )3 6 3 6 2         ． 故选： A ． 4．（3 分）实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是 ( ) A．| | 1a  B． 0ab  C． 0a b  D．1 1a  【解答】解： A 、| | 1a  ，故本选项错误； B 、 0a  ， 0b  ， 0ab  ，故本选项错误； C 、 0a b  ，故本选项错误； D 、 0a  ， 1 1a   ，故本选项正确； 故选： D ． 5．（3 分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从中摸 出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 ( ) A． 4 9 B． 2 9 C． 2 3 D． 1 3 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中两次都是白球的有 4 种，   4 9P 两次都是白球 ， 故选： A ． 6．（3 分）如图，在 ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，连接 AE ．若 6BC  ， 5AC  ，则 ACE 的周长为 ( ) A．8 B．11 C．16 D．17 【解答】解： DE 垂直平分 AB ， AE BE  ， ACE 的周长 AC CE AE   AC CE BE   AC BC  5 6  11 ． 故选： B ． 7．（3 分）图（1）是一个长为 2a ，宽为 2 ( )b a b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴） 剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形， 则中间空余的部分的面积是 ( ) A． ab B． 2( )a b C． 2( )a b D． 2 2a b 【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是 2a b b a b    ， 则面积是 2( )a b ． 故选： C ． 8．（3 分）如图的四个三角形中，不能由 ABC 经过旋转或平移得到的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：由题意，选项 A ， C ， D 可以通过平移，旋转得到，选项 B 可以通过翻折， 平移，旋转得到． 故选： B ． 9．（3 分）对于实数 a 、b ，定义一种新运算“ ”为： 2 1a b a b   ，这里等式 右边是实数运算．例如： 2 1 11 3 1 3 8    ．则方程 2( 2) 14x x    的解 是 ( ) A． 4x  B． 5x  C． 6x  D． 7x  【解答】解：根据题意，得 1 2 14 4x x    ， 去分母得：1 2 ( 4)x   ， 解得： 5x  ， 经检验 5x  是分式方程的解． 故选： B ． 10．（3 分）如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上， AOB 30B    ， 2OA  ．将 AOB 绕点 O 逆时针旋转90 ，点 B 的对应点 B 的坐标是 ( ) A． ( 3 ， 3) B． ( 3, 3) C． ( 3 ， 2 3) D． ( 1,2 3)  【解答】解：如图，过点 B 作 B H y  轴于 H ． 在 Rt △ A B H  中， 2A B   ， 60B A H    ， cos60 1A H A B       ， sin60 3B H A B      ， 2 1 3OH    ， ( 3B   ， 3) ， 故选： A ． 11．（3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中， 3AB  ，点 E 在边 BC 上，将 ABE 沿直线 AE 折 叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若 EAC ECA   ，则 AC 的长是 ( ) A．3 3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：将 ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处， AF AB  ， 90AFE B     ， EF AC  ， EAC ECA   ， AE CE  ， AF CF  ， 2 6AC AB   ， 故选： D ． 12．（3 分）如图，已知抛物线 2y ax bx c   的对称轴为直线 1x  ．给出下列结论： ① 0ac  ； ② 2 4 0b ac  ； ③ 2 0a b  ； ④ 0a b c   ． 其中，正确的结论有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：抛物线开口向下， 0a  ，对称轴为 12 bx a    ，因此 0b  ，与 y 轴交于正半 轴，因此 0c  ， 于是有： 0ac  ，因此①正确； 由 12 bx a    ，得 2 0a b  ，因此③不正确， 抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此 2 4 0b ac  ，②正确， 由对称轴 1x  ，抛物线与 x 轴的一个交点为 (3,0) ，对称性可知另一个交点为 ( 1,0) ，因此 0a b c   ，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②④， 故选： C ． 二、填空题：本大题共 6 小题，满分 24 分．只填写最后结果，每小题填对得 4 分． 13．（4 分）若 3a b  ， 2 2 7a b  ，则 ab  1 ． 【解答】解： 2 2( ) 3 9a b   ， 2 2 2( ) 2 9a b a b ab     ． 2 2 7a b  ， 2 2ab  ， 1ab  ， 故答案为：1． 14．（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 2( 1) 2 1 0a x x a     有一个根为 0x  ，则 a  1 ． 【解答】解：把 0x  代入 2 2( 1) 2 1 0a x x a     得 2 1 0a   ，解得 1a   ， 1 0a   ， 1a   ． 故答案为 1 ． 15．（4 分）如图，AB 是 O 的直径，PA 切 O 于点 A ，线段 PO 交 O 于点 C ．连接 BC ， 若 36P  ，则 B  27 ． 【解答】解： PA 切 O 于点 A ， 90OAP   ， 36P   ， 54AOP   ， 1 272B AOP    ． 故答案为： 27． 16．（4 分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若 AB ，AC 的长都为 2m ，当 50   时， 人字梯顶端离地面的高度 AD 是 1.5 m ．（结果精确到 0.1m ，参考依据：sin50 0.77  ， cos50 0.64  ， tan50 1.19)  【解答】解： 2AB AC m  ， AD BC ， 90ADC   ， sin50 2 0.77 1.5( )AD AC m      ， 故答案为 1.5． 17．（4 分）如图， E ，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， 8AC  ， 2AE CF  ， 则四边形 BEDF 的周长是 8 5 ． 【解答】解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O ， 四边形 ABCD 为正方形， BD AC  ， OD OB OA OC   ， 2AE CF  ， OA AE OC CF    ，即 OE OF ， 四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD EF ， 四边形 BEDF 为菱形， DE DF BE BF    ， 8AC BD  ， 8 4 22OE OF    ， 由勾股定理得： 2 2 2 24 2 2 5DE OD OE     ， 四边形 BEDF 的周长 4 4 2 5 8 5DE    ， 故答案为：8 5 ． 18．（4 分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形， 它的面积 S 可用公式 1 1(2S a b a   是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计 算，这个公式称为“皮克 ( )Pick 定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 S  6 ． 【解答】解： a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数， S 表示多边形 的面积， 4a  ， 6b  ， 该五边形的面积 14 6 1 62S      ， 故答案为：6． 三、解答题：本大题共 7 小题，满分 60 分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤． 19．（8 分）解不等式组 4( 1) 7 13, 84 ,3 x x xx      „ 并求它的所有整数解的和． 【解答】解：  4 1 7 13 84 3 x x xx      ① ② „ ， 由①得， 3x … ， 由②得， 2x  ， 所以，不等式组的解集是 3 2x „ ， 所以，它的整数解为： 3 ， 2 ， 1 ，0，1， 所以，所有整数解的和为 5 ． 20．（8 分）欧拉 (Euler ，1707 年 ~1783 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、 物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 ( )V Vertex 、棱数 ( )E Edge 、面数 (F Flat )surface 之间存在一定的数量关系，给出了著名的 欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数 E 6 12 面数 F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V 、 E 、 F 之间有什么关系吗？请写出关系式： ． 【解答】解：（1）填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数 E 6 9 12 12 面数 F 4 5 6 8 （2） 4 4 6 2   ， 6 5 9 2   ， 8 6 12 2   ， 6 8 12 2   ，  ， 2V F E    ． 即V 、 E 、 F 之间的关系式为： 2V F E   ． 故答案为：6，9，12，6， 2V F E   ． 21．（8 分）2020 年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学 习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水 平测试．随机抽取 50 名学生进行测试，并把测试成绩（单位： )m 绘制成不完整的频数分布 表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2 1.6x „ a 1.6 2.0x „ 12 2.0 2.4x „ b 2.4 2.8x „ 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中 a  8 ， b  ； （2）样本成绩的中位数落在 范围内； （3）请把频数分布直方图补充完整； （4）该校共有 1200 名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 2.4 2.8x „ 范围内的有多少 人？ 【解答】解：（1）由统计图得， 8a  ， 50 8 12 10 20b      ， 故答案为：8，20； （2）由中位数的意义可得，50 个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在 2.0 2.4x „ 组 内， 故答案为： 2.0 2.4x „ ； （3）补全频数分布直方图如图所示： （4） 101200 24050   （人 ) ， 答：该校 1200 名学生中立定跳远成绩在 2.4 2.8x „ 范围内的有 240 人． 22．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 52y x  和 2y x  的图象相交于点 A ， 反比例函数 ky x  的图象经过点 A ． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数 1 52y x  的图象与反比例函数 ky x  的图象的另一个交点为 B ，连接 OB ， 求 ABO 的面积． 【解答】解：（1）联立 1 52y x  ①和 2y x  并解得： 2 4 x y     ，故点 ( 2.4)A  ， 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式得： 4 2 k  ，解得： 8k   ， 故反比例函数表达式为： 8y x   ②； （2）联立①②并解得： 2x   或 8 ， 当 8x   时， 1 5 12y x   ，故点 ( 8,1)B  ， 设 1 52y x  交 x 轴于点 ( 10,0)C  ，过点 A 、 B 分别作 x 轴的垂线交于点 M 、 N ， 则 1 1 1 14 10 10 1 152 2 2 2AOB AOC BOCS S S OC AM OC BN               ． 23．（8 分）如图，在 ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E ，点 F 在 AC 的延长线上，且 2BAC CBF   ． （1）求证： BF 是 O 的切线； （2）若 O 的直径为 4， 6CF  ，求 tan CBF ． 【解答】（1）证明：连接 AE ， AB 是 O 的直径， 90AEB  ， 1 2 90     ． AB AC ， 2 1 CAB    ． 2BAC CBF   ， 1 CBF   2 90CBF     即 90ABF   AB 是 O 的直径， 直线 BF 是 O 的切线； （2）解：过 C 作 CH BF 于 H ， AB AC ， O 的直径为 4， 4AC  ， 6CF  ， 90ABF   ， 2 2 2 210 4 2 21BF AF AB      ， CHF ABF   ， F F   ， CHF ABF ∽ ，  CH CF AB AF  ，  6 4 4 6 CH   ， 12 5CH  ， 2 2 2 212 6 216 ( )5 5HF CF CH      ， 6 21 4 212 21 5 5BH BF HF      ， 12 215tan 74 21 5 CHCBF BH      ． 24．（10 分）在 ABC 中， 90ACB   ，CD是中线， AC BC ，一个以点 D 为顶点的 45 角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点 E 、 F ， DF 与 AC 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N ． （1）如图 1，若 CE CF ，求证： DE DF ； （2）如图 2，在 EDF 绕点 D 旋转的过程中，试证明 2CD CE CF  恒成立； （3）若 2CD  ， 2CF  ，求 DN 的长． 【解答】（1）证明： 90ACB   ， AC BC ， CD是中线， 45ACD BCD    ， 90ACF BCE    ， 135DCF DCE     ， 在 DCF 和 DCE 中， CF CE DCF DCE DC DC       ， ( )DCF DCE SAS   DE DF  ； （2）证明： 135DCF   ， 45F CDF     ， 45FDE   ， 45CDE CDF     ， F CDE   ， DCF DCE   ， F CDE   ， FCD DCE ∽ ，  CF CD CD CE  ， 2CD CE CF   ； （3）解：过点 D 作 DG BC 于G ， 45DCB   ， 2 22GC GD CD    ， 由（2）可知， 2CD CE CF  ， 2 2 2CDCE CF    ， ECN DGN   ， ENC DNG   ， ENC DNG ∽ ，  CN CE NG DG  ，即 2 2 2 2 NG NG   ， 解得， 2 3NG  ， 由勾股定理得， 2 2 2 5 3DN DG NG   ． 25．（10 分）如图，抛物线 2 4y ax bx   交 x 轴于 ( 3,0)A  ， (4,0)B 两点，与 y 轴交于点 C ， AC ， BC ． M 为线段OB 上的一个动点，过点 M 作 PM x 轴，交抛物线于点 P ，交 BC 于点 Q ． （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PN BC ，垂足为点 N ．设 M 点的坐标为 ( ,0)M m ，请用含 m 的代数式表 示线段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q ，使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角 形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 9 3 4 0 16 4 4 0 a b a b        ，解得 1 3 1 3 a b      ， 故抛物线的表达式为： 21 1 43 3y x x    ； （2）由抛物线的表达式知，点 (0,4)C ， 由点 B 、 C 的坐标得，直线 BC 的表达式为： 4y x   ； 设点 ( ,0)M m ，则点 21 1( , 4)3 3P m m m   ，点 ( , 4)Q m m  ， 2 21 1 1 44 43 3 3 3PQ m m m m m          ， OB OC ，故 45ABC OCB    ， 45PQN BQM     ， 2 22 1 4 2 2 2sin 45 ( ) ( 2)2 3 3 6 3PN PQ m m m          ， 2 06   ，故当 2m  时， PN 有最大值为 2 2 3 ； （3）存在，理由： 点 A 、 C 的坐标分别为 ( 3,0) 、 (0,4) ，则 5AC  ， ①当 AC CQ 时，过点 Q 作 QE y 轴于点 E ， 则 2 2 2CQ CE EQ  ，即 2 2[4 ( 4)] 25m m     ， 解得： 5 2 2m   （舍去负值）， 故点 5 2( 2Q ， 8 5 2 )2  ； ②当 AC AQ 时，则 5AQ AC  ， 在 Rt AMQ 中，由勾股定理得： 2 2[ ( 3)] ( 4) 25m m      ，解得： 1m  或 0（舍去 0) ， 故点 (1,3)Q ； ③当 CQ AQ 时，则 2 2 22 [ ( 3)] ( 4)m m m      ，解得： 25 2m  （舍去）； 综上，点 Q 的坐标为 (1,3) 或 5 2( 2 ， 8 5 2 )2  ．