初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第18讲 圆的基本性质

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第18讲 圆的基本性质

1 第十八讲 圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的 图形在人类进程中打下深深的烙印． 圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周 角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解 题应注意： 1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化． 熟悉如下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例 1】在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB、AC 的长分别为 3 和 2 ，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意 AB 与 AC 有不同的位置关系． 注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、 角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来． 圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性． 【例 2】 如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最 小半径为( ) A． 2 B． 2 5 C． 4 5 D． 16 175 思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过 设未知数求解． 2 【例 3】 如图，已知点 A、B、C、D 顺次在⊙O 上，AB=BD，BM⊥AC 于 M，求证：AM=DC+CM． 思路点拨 用截长(截 AM)或补短(延长 DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关 键是促使不同量的相互转换并突破它． 【例 4】 如图甲，⊙O 的直径为 AB，过半径 OA 的中点 G 作弦 C E⊥AB，在 CB 上取一 点 D，分别作直线 CD、ED，交直线 AB 于点 F，M． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM∽△COM； (3)如图乙，若将垂足 G 改取为半径 OB 上任意一点，点 D 改取在 EB 上，仍作直线 CD、 ED，分别交直线 AB 于点 F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在 Rt△COG 中，利用 OG= 2 1 OA= 2 1 OC；(2)证明∠COM=∠FDM，∠CMO= ∠FMD；(3)利用图甲的启示思考． 注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力 把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关 问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)． 【例 5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以 C 为圆心，CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3． (1)求证：AF＝DF； (2)求∠AED 的余弦值； (3)如果 BD＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE＝∠DAE；(2)作 AN⊥BE 于 N，cos∠AED＝ AE EN ，设 FE=4x，FD ＝3x，利用有关知识把相关线段用 x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求 出 x 的值． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 3 注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思 想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键． 学历训练 1．D 是半径为 5cm 的⊙O 内一点，且 OD＝3cm，则过点 D 的所有弦中，最小弦 AB= ． 2．阅读下面材料： 对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆 的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖． 对于平面图形 A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个 圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这些圆所覆盖． 例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖． 回答下列问题： (1)边长为 lcm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm； (2)边长为 lcm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm； (3)长为 2cm，宽为 lcm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm． (2003 年南京市中考题) 3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆： 它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性． (1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 (分别用下面三个图的代号 a，b，c 填空)． (2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒 手画均可，但要尽可能准确些，美观些)． 4 a．是轴对称图形但不是中心对称图形． b．既是轴对称图形又是中心对称图形． 4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若 AB=10cm，CD＝8cm，那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm 5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为 5，弦 AB＝8，则弓形的高 CD 为( ) A．2 B． 2 5 C．3 D． 3 16 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧 AB、CD、EF，如果 AB+CD=EF，那么 AB+CD 与 E 的大小关系是（ ） A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CDAC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB ×AC． ⌒ ⌒ ⌒ 6 17．将三块边长均为 l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多 少?(不考虑其他因素，精确到 0．1cm) 18．如图，直径为 13 的⊙O′，经过原点 O，并且与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，线段 OA、OB(OA>OB)的长分别是方程 0602  kxx 的两根． (1)求线段 OA、OB 的长； (2)已知点 C 在劣弧 OA 上，连结 BC 交 OA 于 D，当 OC2=CD×CB 时，求 C 点坐标； (3)在⊙O，上是否存在点 P，使 S△POD=S△ABD?若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理 由． ⌒ 7 参考答案 8 9