初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

1 第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象， 在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数 学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们 往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方 程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一 次方程去求解． 【例题求解】 【例 1】 若 05 152 852 2 2    xx xx ，则 152 2  xx 的值为 ． 思路点拨 视 xx 52 2  为整体，令 yxx 52 2 ，用换元法求出 y 即可． 【例 2】 若方程 xxp  2 有两个不相等的实数根，则实数 p 的取值范围是( ) A． 1p B． 0p C． 01  p D． 01  p 思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨 论，但需注意注 02  xxp 的隐含制约． 注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同 途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊 的转化等． 解下列方程： （1） 12 11 93 4 822 3 2 2 2 2      xx xx xx xx ； (2) 1)1998()1999( 33  xx ； （3） 42)1 13(1 13 2    x xxx xx ． 2 按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从 1)1998()1999(  xx 受到启示；对于(3)，设 1 13   x xy ，则可导出 yx  、 xy 的结果． 注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代 换． 【例 4】 若关于 x 的方程 x kx xx x x k 1 1 2 2    只有一个解(相等的解也算作一个)，试求 k 的 值与方程的解． 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨 论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出 k 的值． 注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解， 可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一 个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析． 【例 5】 已知关于 x 的方程 655)( 2  x axx ax 有两个根相等，求 a 的值． 思路点拨 通过换元可得到两个关于 x 的含参数 a 的一元二次方程，利用判别式求出 的 值． 注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类 新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高 要求． 学历训练 1．若关于 的方程 011 1   x ax 有增根，则 的值为 ；若关于 的方程 12 2   x ax 曾 3 ＝一 1 的解为正数，则 a 的取值范围是 ． 2．解方程 12 1 )10)(9( 1 )2)(1( 1 )1( 1 )1( 1  xxxxxxxx  得 ． 3．已知方程 mxmx  2 123 有一个根是 2，则 m = ． 4．方程 9 73 33 2 2    xx xx 的全体实数根的积为( ) A．60 B．一 60 C．10 D．一 10 5．解关于 x 的方程 111 2    x x x k x x 不会产生增根，则是的值是( ) A．2 B．1 C．不为 2 或一 2 D．无法确定 6．已知实数 满足 011 2 2  xx x x ，那么 xx 1 的值为( ) A．1 或一 2 B．一 1 或 2 C．1 D．一 2 7．(1)如表，方程 1、方程 2、方程 3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程 1， 并将它的解填在表中的空格处； (2)若方程 11  bxx a ( ba  )的解是 1x =6， 2x =10，求 a 、b 的值．该方程是不是(1)中所 给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程? (3)请写出这列方程中的第 n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第 n 个方程． 序号 方 程 方程的解 1 12 16  xx = = 2 13 18  xx =4 =6 3 14 110  xx =5 =8 … … … … 8．解下列方程： （1） 6 19 1 22 1 1 2 2 2 2      xx xx x xx ； （2） 0 813 1 82 1 811 1 222       xxxxxx ； (3) 120)4)(3)(2)(1(  xxxx ； (4) 1)1(3)1(2 2 2  xx x x ． 9．已知关于 的方程 0 22 12 2 2 2    mxx mxx ，其中 m 为实数，当 m 为何值时，方程恰有 三个互不相等的实数根?求出这三个实数根． 4 10．方程 2 2 2121 xx xx  的解是 ． 11．解方程 21 4 127 1 65 1 23 11 2222         xxxxxxxx 得 ． 12．方程 8 7 3 2 9 8 2 1      x x x x x x x x 的解是 ． 13．若关于 x 的方程 03 1 2 1 4 22  xxa 恰有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围 是 ． 14．解下列方程： (1) 6)1)(43()76( 2  xxx ； (2) 222222 )243()672()43(  xxxxxx ； （3） 3)1( 22  x xx ； （4） 3 10 2 21  x x x ． 15．当 a 取何值时，方程 2 2 1 2 2 1 2     xx ax x x x x 有负数解? 16．已知 01585 234  xxxx ，求 xx 1 的值． 17．已知：如图，四边形 ABCD 为菱形，AF⊥上 AD 交 BD 于 E 点，交 BC 于点 F． (1)求证：AD2= 2 1 DE×DB； (2) 过点 E 作 EG ⊥ AE 交 AB 于点 G ， 若 线 段 BE 、 DE(BE0)的两个根，且菱形 ABCD 的面积为 36 ，求 EG 的长． 5 参考答案 6 7