2009年北京市崇文区中考数学二模试卷

2009年北京市崇文区中考数学二模试卷

‎11 2009年北京市崇文区中考数学二模试卷 一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是( )‎ ‎2．下列运算中，正确的是( )‎ A．a2＋a3＝a5 B．‎ C．a2·a3＝a6 D．a2＋a2＝‎2a2‎ ‎3．下列事件是必然事件的是( )‎ A．随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．播下一颗种子，种子一定会发芽 C．买100张中奖率为1％的彩票一定会中奖 D．400名同学中，一定有两个人生日相同 ‎4．若两圆半径分别为R、r，其圆心距为d，且R2＋2Rr＋r2＝d2，则两圆的位置关系是( )‎ A．外切 B．内切 C．外离 D．内含 ‎5．将抛物线y＝2x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )‎ A．y＝2(x－2)2－3 B．y＝2(x－2)2＋3‎ C．y＝2(x＋2)2－‎3 ‎ C．y＝2(x＋2)2＋3‎ ‎6．当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是( )‎ ‎7．关于x的一元二次方程3x2－2x＋k－1＝0有两个实根，则k的取值范围是( )‎ A． B．且k≠‎1 ‎C． D．‎ ‎8．福娃们在一起探讨研究下面的题目：‎ 函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图所示，如果x＝a时，y＜0；那么x＝a－1时，函数值为 A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是( )‎ 贝贝：我注意到当x＝0时，y＝m＞0．‎ 晶晶：我发现图象的对称轴为．‎ 欢欢：我判断出x1＜a＜x2．‎ 迎迎：我认为关键要判断a－1的符号．‎ 妮妮：m可以取一个特殊的值．‎ 二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D．若AB＝‎8 cm，OD＝‎3cm，则⊙O的半径是________cm．‎ ‎ ‎ 第9题图 第10题图 ‎10．函数y＝ax与函数的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解是________．‎ ‎11．为了解某校九年级学生每天的睡眠时间情况，随机调查了该校九年级10名学生，将所得数据整理并制成下表：‎ 睡眠时间(时)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 学生人数(人)‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间是________小时．‎ ‎12．观察下列图形的排列规律(其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆)．●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……．若第一个图形是圆，则第2009个图形是________(填名称)．‎ 三、解答题(共5道小题，每小题5分，共25分)‎ ‎13．．‎ ‎14．解方程．‎ ‎15．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF求证：△AFB≌△AED．‎ 第15题图 ‎16．先化简，再求值：‎ ‎，其中x满足x2－3x＋2＝0．‎ ‎17．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东‎500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到环海路的距离．‎ 第17题图 四、解答题(共2道小题，每小题5分，共10分)‎ ‎18．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．‎ ‎(1)证明四边形EGFH是平行四边形；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC，且EF＝BC，证明平行四边形EGFH是正方形．‎ 第18题图 ‎19．如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交弦AC于点N ‎，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．‎ ‎(1)证明CF是⊙O的切线；‎ ‎(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE＝，求AM的长．‎ 第19题图 五、解答题(共3道小题，每小题5分，共15分)‎ ‎20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．五月初五早晨，妈妈为洋洋准备了四个粽子：一个香肠馅，一个红枣馅，两个什锦馅，四个粽子除内部馅料不同外，其他一切均相同．洋洋喜欢吃什锦馅的粽子．‎ ‎(1)请你用树状图或列表法为洋洋预测一下吃两个粽子刚好都是什锦馅的概率．‎ ‎(2)在吃粽子之前，洋洋准备用如图所示的转盘进行吃粽子的模拟试验(此转盘被等分成四个相同的扇形区域，指针的位置是固定的，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．若指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘)，规定：连续转动两次转盘表示随机吃两个粽子，从而估计吃两个粽子刚好都是什锦馅的概率，你认为这样模拟正确吗?试说明理由．‎ 第20题图 ‎21．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：‎ 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆．”‎ 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆．”‎ 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．”‎ 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少．‎ ‎22．如图所示，已知一次函数y＝x＋b(b＞O)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝(m≠0)的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若AB＝，OD＝1．‎ ‎(1)求点A、B的坐标；‎ ‎(2)求一次函数和反比例函数的解析式．‎ 第22题图 六、解答题(共3道小题，共22分)‎ ‎23．(本小题满分7分)‎ 两个全等的三角形ABC和DEF重叠在一起，△ABC的面积为3，且AB＝CB．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：‎ ‎(1)如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；‎ ‎(2)如图②，当D点向右平移到B点时，试判断CE与BF的位置关系，并说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若∠AEC＝15°，求AB的长．‎ 第23题图 ‎24．(本小题满分7分)‎ 以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°．连结DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．‎ ‎(1)如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是________，线段AM与DE的数量关系是________；‎ ‎(2)将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转q °(0＜q ＜90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由．‎ 第24题图 ‎25．(本小题满分8分)‎ 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c经过直线y＝2x＋4与坐标轴的两个交点B、C，它与x轴的另一个交点为A．点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；‎ ‎(2)如图①，若过动点M的直线ME∥BC交抛物线对称轴于点E．试问抛物线上是否存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)如图②，若过动点M的直线MD∥AC交直线BC于点D，连结CM．当△CDM的面积最大时，求点M的坐标．‎ 第25题图 答 案 ‎11．2009年北京市崇文区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1.A 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 二、填空题 ‎9．5 10． 11．7 12．五角星 三、解答题 ‎13．原式 ‎＝1．‎ ‎14．解：去分母，得 x－1＝2(x－2)．‎ 去括号，得 x－1＝2x－4．‎ 合并同类项，系数化1，得 x＝3．‎ 经检验，x＝3是原方程的根．‎ ‎15．证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADE＝∠ABF＝90°．‎ ‎∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°．‎ ‎∴∠BAF＝∠DAE．‎ 在△AFB和△AED中：‎ ‎∴△AFB≌△AED．‎ 第15题答图 ‎16．解：原式 ‎＝－x．‎ ‎∵x2－3x＋2＝0，‎ ‎∴(x－2)(x－1)＝0．‎ ‎∴x＝1或x＝2．‎ 当x＝1时，x－1＝0，分式无意义．‎ ‎∴原式的值为－2．‎ ‎17．解：如图，过P作PC⊥AB于C，则PC就是灯塔P到环海路的距离．‎ 第17题答图 依题意，有∠PAC＝30°，∠PBC＝60°．‎ ‎∴∠APB＝60°－30°＝30°．‎ ‎∴PB＝AB＝500．‎ 在Rt△PBC中，‎ PC＝PB·sin∠PBC＝500×sin60°＝250．‎ ‎∴灯塔P到环海路的距离为‎250m．‎ 四、解答题 ‎18．证明：(1)∵G，F分别是BE，BC的中点，‎ ‎∴GF∥EC．‎ 同理，FH∥BE．‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形．‎ ‎(2)如图，连结EF，GH．‎ ‎∵G，F分别是BE，CE的中点，‎ ‎∵EF⊥BC，‎ ‎∴EF⊥GH．‎ ‎∴□EGFH是菱形．‎ ‎，F分别是BC的中点，‎ ‎∴EF＝GH．‎ ‎∴菱形EGFH是正方形．‎ 第18题答图 ‎19．(1)证明：如图，连结OC．‎ 第19题答图 ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°．‎ ‎∵EM⊥BC，‎ ‎∴∠EMB＝90°．‎ ‎∴∠A＝∠E．‎ ‎∴∠ACO＝∠A，∠ECF＝∠E，‎ ‎∴∠ACO＝∠ECF．‎ ‎∴∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝∠FCA＋∠ECF＝∠ECA＝90°．‎ ‎∴CF为⊙O的切线．‎ ‎(2)解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°．‎ ‎∵AB＝2，AC＝，‎ ‎∴BC＝1，∠A＝30°．‎ ‎∵AC＝CE＝，‎ ‎∴BE＝BC＋CE＝1＋．‎ 在Rt△BEM中，∠BME＝90°．‎ ‎∵∠E＝∠A＝30°，‎ ‎．‎ ‎．‎ 五、解答题 ‎20．解：(1)树状图如图①：‎ ‎①‎ ‎∴P(吃到两只粽子都是什锦馅)．‎ ‎(2)模拟试验的树状图如图②：‎ 第20题答图 ‎∴P(吃到两只粽子都是什锦馅)‎ ‎，‎ ‎∴这样模拟不正确．‎ ‎21．解：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，四环路的车流量为每小时y辆．‎ 根据题意，得 解这个方程组，得 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11 000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．‎ ‎22．解：(1)依题意，有A(－b，0)，B(0，b)．‎ 第22题答图 ‎∴OA＝OB＝b．‎ ‎∵OA2＋OB2＝AB2，‎ ‎∴b2＋b2＝2．‎ 解得b＝±1．‎ 又∵b＞0，∴b＝1．‎ ‎∴A的坐标为(－1，0)，B的坐标为(0，1)．‎ ‎(2)由(1)可知，一次函数的解析式为y＝x＋1．‎ ‎∵CD垂直于x轴，OD＝1，‎ ‎∴点C的横坐标为1．‎ ‎∵点C在直线AB上，‎ ‎∴点C的纵坐标y＝1＋1＝2．‎ ‎∵点C(1，2)在反比例函数的图象上，‎ ‎∴m＝xy＝2．‎ ‎∴反比例函数的解析式为．‎ 六、解答题 ‎23．解：(1)设△ABC的高为h，由题意，知CF＝AD，‎ ‎．‎ ‎(2)由题意知CFBE，‎ ‎∴四边形CBEF为平行四边形．‎ 又∵BC＝BE，∴□CBEF为菱形．‎ ‎∴CE⊥BF．‎ ‎(3)∴BC＝BE，‎ ‎∴∠ABC＝2∠AEC＝30°，‎ 如图，作CG⊥AB于G，则．‎ 由，解得AB＝2.‎ 第23题答图 ‎24．解：(1)AM⊥DE，．‎ ‎(2)结论仍然成立．‎ 证明：如图，延长CA至F，使FA＝AC，FA 交DE于点P，连结BF．‎ ‎∵DA⊥BA，EA⊥AF，‎ ‎∴∠BAF＝90°＋∠DAF＝∠EAD．‎ 在△FAB与△EAD中：‎ ‎△FAB≌△EAD(SAS)．‎ ‎∴BF＝DE，∠F＝∠AEP．‎ ‎∴∠FPD＋∠F＝∠APE＋∠AEP＝90°．‎ ‎∴FB⊥DE．‎ 又CA＝AF，CM＝MB，‎ ‎∴AM∥FB且 ‎∴AM⊥DE，．‎ 第24题答图 ‎25．解：(1)∵直线y＝2x＋4与坐标轴交点B、C的坐标分别是(－2，0)、(0，4)‎ ‎∴抛物线解析式．‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标是(4，0)．‎ ‎(2)由(1)可知，点N的坐标为(1，0)．设点M(m，0)．‎ ‎∵直线ME∥BC，‎ ‎∴直线ME的解析式为y＝2(x－m)＝2x－‎2m．‎ 将x＝1代入上式，得y＝2－‎2m．‎ ‎∴E(1，2－‎2m)．‎ 假设存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形．‎ ‎∵MNEF，MN＝｜1－m｜，‎ ‎∴F(2－m，2－‎2m)或F(m，2－‎2m)．‎ ‎∵F点在抛物线上，‎ 或．‎ 整理，得m2－‎6m－4＝0．解之，得m＝3±.‎ ‎∵点M为线段AB上的动点，‎ ‎∴－2＜m＜4．‎ ‎∴m＝3－.‎ ‎，.‎ ‎(3)如图DE⊥x轴于点E，设M(x，0)，则BM＝x＋2，‎ ‎∵DM∥CA，‎ ‎∴△BDM∽△BCA．‎ ‎，‎ 即．‎ ‎．‎ ‎∵点M为线段AB上的动点，∴－2＜x＜4．‎ ‎∴当x＝1时，S最大值＝3，此时M(1，0)．‎ 第25题答图