2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数与一元二次方程

2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数与一元二次方程

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：二次函数与一元二次方程 1．关于 x 的方程（x﹣3）（ x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根 α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ） A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3 且 β＞5 【答案】D 【解析】【分析】 根据平移可知：将抛物线 y=（x-3）（ x-5）往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=（x-3）（ x-5）-m，依此画出 函数图象，观察图形即可得出结论． 【详解】 将抛物线 y=（x-3）（ x-5）往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=（x-3）（ x-5）-m， 画出函数图象，如图所示． ∵抛物线 y=（x-3）（ x-5）与 x 轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线 y=（x-3）（ x-5）-m 与 x 轴的交点 坐标为（α，0）、（β，0）， ∴α＜3＜5＜β． 故选 D． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利 用数形结合解决问题是解题的关键． 2．已知函数   12y x x x x   ，其中 1x 、 2x 为常数，且 12xx ，若方程  122x x x x   的两个根 为 3x 、 4x ，且 34xx ，则 、 、 、 的大小关系为  A． 1324x x x x   B． 1342x x x x   C． 3124x x x x   D． 3142x x x x   【答案】C 【解析】试题解析：函数 y=（x-x1）（ x-x2）的图象与 x 轴的交点的横坐标分别是 x1、x2； 函数 y=（x-x1）（ x-x2）-2 的图象是由函数 y=（x-x1）（ x-x2）的图象向下平移 2 个单位得到的， 则方程（x-x1）（ x-x2）-2=0[或方程（x-x1）（ x-x2）=2]的两根 x3、x4 即为函数 y=（x-x1）（ x-x2）-2 的图象与 x 轴的交点的横坐标， 它们的大致图象如图所示： 根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4． 故选 C． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( ) A．m≤－2 B．m≥－2 C．m≥0 D．m＞4 【答案】B 【解析】令 y1=ax2＋bx＋c，y2=m，y1=ax2＋bx＋c 为如图二次函数，y2=m 为平行于 x 轴的一条直线，要使 ax2＋bx＋c＝m 有实数根，即要使 y2=m 这条直线和二次函数 y1=ax2＋bx＋c 有交点，根据图像可得当 m≥-2 时 y2=m 这条直线和二次函数 y1=ax2＋bx＋c 有交点. 故选 B. 【点评】掌握数形结合方法，求方程有无实数根的问题可以转化成为图象的交点问题. 4．若抛物线 y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m 是常数）与直线 y=x+1 有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对 称轴的两侧，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜2 B．m＞2 C．m D．m 【答案】A 【解析】试题分析：根据二次函数 y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m 是常数）与直线 y=x+1 有两个交点，且这两个 交点分别在抛物线对称轴的两侧，则（2m﹣2m）2+3m﹣1＜2m+1，求出 k 的取值范围即可． 解：∵抛物线 y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m 是常数）与直线 y=x+1 有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对 称轴的两侧， ∴当 x=2m 时，y＜2m+1，所以把 x=2m 代入解析式中得：（2m﹣2m）2+3m﹣1＜2m+1 ∴m＜2， 所以 m 的取值范围是 m＜2． 故选 A． 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴交点，得出当 x=2m 时，y＜2m+1 是解题关键． 5．关于 x 的方程 m（x+h）2+k=0（m，h，k 均为常数，m≠0）的解是 x1=-3，x2=2，则方程 m（x+h-3）2+k=0 的解是（ ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】试题解析：解方程 m（x+h）2+k=0（m，h，k 均为常数，m≠0）得 x=-h± k m ， 而关于 x 的方程 m（x+h）2+k=0（m，h，k 均为常数，m≠0）的解是 x1=-3，x2=2， 所以-h- =-3，-h+ =2， 方程 m（x+h-3）2+k=0 的解为 x=3-h± ， 所以 x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选 B． 考点：解一元二次方程-直接开平方法． 6．已知关于 x 的二次函数 y＝ax2+(a2﹣1)x﹣a 的图象与 x 轴的一个交点坐标为(m，0)．若﹣4＜m＜﹣3，则 a 的取值范围是_____． 【答案】 34a或 11 34a 【解析】分析：首先将函数转化为交点式，从而得出函数与 x 轴的交点坐标，最后根据 m 的取值范围求出 a 的取值范围． 详解：∵     221xaax1yaxaxa ， ∴函数与 x 轴的交点坐标为(－a，0)或( 1 a ，0)， ∴ 4a3   或 143a    ， 解得：34a或 11 34a  ． 【点评】本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等难度题型．将二次函数转化为交点式是解题的关 键． 7．若关于 x 的一元二次方程 a(x＋m)2－3＝0 的两个实数根分别为 x1＝－1，x2＝3，则抛物线 y＝a(x＋m－ 2)2－3 与 x 轴的交点坐标为_____________________． 【答案】(1，0)，(5，0) 【解析】已知一元二次方程 a(x＋m)2－3＝0 的两个实数根分别为 x1＝－1，x2＝3，可得抛物线 y＝a(x＋m)2 －3 与 x 轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，把抛物线 y＝a(x＋m)2－3 向右平移两个单位可得抛物线 y＝a(x＋ m－2)2－3，所以抛物线 y＝a(x＋m－2)2－3 与 x 轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0). 8．以 x 为自变量的函数    222243yxmxmm  中，m 为不小于零的整数，它的图象与 x 轴 交于点 A 和 B，点 A 在原点左边，点 B 在原点右边. （1）求这个二次函数的解析式； （2）一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与这个二次函数的图象交于点 C，且 ABCS  =10,求这个一次函数的 解析式. 【答案】（1） 2 23y x x    ；（ 2）y=－x－1 或 y=5x+5. 【解析】【详解】 解（1）∵图象与 x 轴的交点 A 在原点左边，交点 B 在原点右边， ∴△=（2m+2）2-4×（-1）×[ -（m2+4m-3）]>0， 解得：m<2， ∵m 为不小于 0 的整， ∴m=0 或 1， 当 m=0 时，y=-x2+2x+3，其中 A（-1，0）， B（3，0）； 当 m=1 时，y=-x2+4x-2，不合题意； ∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3； （2）∵△ABC 的面积等于 10，|AB|=4， ∴ 1 2 |AB|•h=10， ∴h=5， ∴C 点的纵坐标为 5 或-5， 当 C 点的纵坐标为 5 时，-x2+2x+3=5，即-x2+2x-2=0， △ =4-4×（-1）×（-2）<0，不合题意，舍去； 当 C 点的纵坐标为-5 时，-x2+2x+3=-5，即-x2+2x+8=0， 解得：x=4 或-2， ∴点 C 的坐标为：（4，-5）或（-2，-5）， ①将 A（﹣1,0）与 C（4，﹣5）代入 y=kx+b， 解得：k=﹣1，b=﹣1， 则一次函数的解析式为：y=－x－1； ②将 A（﹣1,0）与 C（﹣2，﹣5）代入 y=kx+b， 解得：k=5，b=5， 则一次函数解析式为：y=5x+5； 故一次函数的解析式为：y=－x－1 或 y=5x+5. 【点评】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点问题，用待定系数法求函数解析式，解此题的关键在于熟练 掌握其知识点. 9．已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上，△ OAB 是等腰直角三角 形． （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△ PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标 和△ PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 【答案】（1）y= -x2+2x+3（2）存在,（ 3 15 24 ， ） 【解析】试题分析：（1）求得直线 y=3x+3 与坐标轴的两交点坐标，然后根据 OB=OA 即可求得点 B 的坐标， 然后利用待定系数法求得经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式即可； （2）首先利用待定系数法求得直线 AB 的解析式，然后根据 CD∥AB 得到两直线的 k 值相等，根据直线 CD 经过点 C 求得直线 CD 的解析式，然后求得直线 CD 和抛物线的交点坐标即可； （3）本问关键是求出△ ABP 的面积表达式．这个表达式是一个关于 P 点横坐标的二次函数，利用二次函数 求极值的方法可以确定 P 点的坐标． 解：（1）令 y=3x+3=0 得：x=﹣1， 故点 C 的坐标为（﹣1，0）； 令 x=0 得：y=3x+3=3×0+3=3 故点 A 的坐标为（0，3）； ∵△OAB 是等腰直角三角形． ∴OB=OA=3， ∴点 B 的坐标为（3，0）， 设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式 y=ax2+bx+c， 解得： ∴解析式为：y=﹣x2+2x+3； （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ∴ 解得： ∴直线 AB 的解析式为：y=﹣x+3 ∵线 CD∥AB ∴设直线 CD 的解析式为 y=﹣x+b ∵经过点 C（﹣1，0）， ∴﹣（﹣1）+b=0 解得：b=﹣1， ∴直线 CD 的解析式为：y=﹣x﹣1， 令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3， 解得：x=﹣1，或 x=4， 将 x=4 代入 y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5， ∴点 D 的坐标为：（4，﹣5）； （3）存在．如图 1 所示，设 P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x． S△ ABP=S 梯形 PNOA+S△ PNB﹣S△ AOB = （OA+PN）•ON+ PN•BN﹣ OA•OB = （3+y）•x+ y•（3﹣x）﹣ ×3×3 = （x+y）﹣ ， ∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得： S△ PAB= （x+y）﹣ =﹣ （x2﹣3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴当 x= 时，S△ PAB 取得最大值． 当 x= 时，y=﹣x2+2x+3= ， ∴P（ ， ）． 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点 P，使得△ ABP 的面积最大； P 点的坐标为（ ， ），最大值为： ． 考点：二次函数综合题．