用函数观点看一元二次方程

用函数观点看一元二次方程

‎22.2　用函数的观点看一元二次方程（1）‎ 教学目标： ‎ ‎ 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。‎ ‎ 2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。‎ ‎ 3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。‎ 重点难点：‎ 重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。‎ 难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．‎ 教学过程：‎ 一、引言 ‎ 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。‎ 二、探索问题 问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。‎ ‎ ‎ 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。‎ ‎(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （最大值）‎ ‎(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? （就是求如图(2)B点的横坐标）‎ 问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝‎1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为‎2.4m。这时，离开水面‎1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过‎1m?‎ 教学要点 4‎ ‎1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。‎ 解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。‎ 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：y＝ax2 (a＜0) (1)‎ 因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。‎ 因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.82‎ ‎ 所以：a＝－ 因此，函数关系式是 y＝－x2 (2)‎ 因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5)。因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)， 得 －1.5＝－x12 x12＝ x1＝± x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝。‎ ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)‎ 所以涵洞ED是m，会超过1m。‎ 问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。‎ ‎(1)图象与x轴交点的坐标是什么；‎ ‎(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系?‎ ‎(3)你能从中得到什么启发?‎ 教学要点 ‎1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。‎ ‎2．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)。‎ 4‎ ‎6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。‎ 三、试一试 ‎ 根据问题3的图象回答下列问题。‎ ‎ (1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?‎ ‎ (当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)‎ ‎ (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?)‎ ‎ 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?‎ ‎ 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：‎ ‎ (1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。‎ ‎ (2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。‎ 四、课堂练习： 练习1、2。‎ 五、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?‎ ‎ 2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。‎ 六、作业： ‎ ‎1. 二次函数y＝x2－3x－18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。‎ ‎2．已知函数y＝x2－x－2。‎ 4‎ ‎ (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 ‎ (2)观察图象确定：x取什么值时，①y＝0，②y＞0；③y＜0。‎ ‎3．学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋x＋，请回答下列问题：‎ ‎ (1)花形柱子OA的高度；‎ ‎ (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?‎ ‎ ‎ ‎ 4．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为‎3.05米。‎ ‎ (1)球在空中运行的最大高度为多少米?‎ ‎ (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为‎2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少?‎ 教后反思：‎ 4‎