2008年数学中考试题分类汇编（全等三角形）

2008年数学中考试题分类汇编（全等三角形）

河北 周建杰 分类 （2008 年泰州市）27．在矩形 ABCD 中，AB=2，AD= ． （1）在边 CD 上找一点 E，使 EB 平分∠AEC，并加以说明；（3 分） （2）若 P 为 BC 边上一点，且 BP=2CP，连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F． ①求证：点 B 平分线段 AF；（3 分） ②△PAE 能否由△PFB 绕 P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋 转度数；若不能，请说明理由．（4 分） （ 2008 年 南 京 市 ） 21 ．（ 6 分 ） 如 图 ， 在 中 ， 为 上 两 点 ， 且 ， ． 求证：（1） ； （2）四边形 是矩形． 以下是河南省高建国分类： （2008 年巴中市）已知：如图 9，梯形 中， ，点 是 的中点， 的延长线与 的延长线相交于点 ． （1）求证： 和 全等 （2）连结 ，判断四边形 的形状，并证明你的结论． 17．（每小题 7 分，满分 14 分） （1）（2008 福建福州）如图，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，求 证： ． 以下是河北省柳超的分类 （2008 年遵义市）4．如图， ， ， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3 ABCD E F， BC BE CF= AF DE= ABF DCE△ ≌△ ABCD ABCD AD BC∥ E CD BE AD F BCE△ FDE△ BD CF， BCFD ABCD AD BC∥ M AD MB MC= OA OB= OC OD= 50O∠ =  35D∠ =  AEC∠ 60 50 45 30 第 27 题 图 （第 21 题） A B C D E F （2008 年遵义市）22．（10 分）在矩形 中， ， 是 的中点，一块 三角板的直角顶点与点 重合，将三角板绕点 按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边 与 分别交于点 时，观察或测量 与 的长度，你能得到什么结论？ 并证明你的结论． 以下是江西康海芯的分类: 1. （2008 年郴州市）如图 8，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边 BC 翻折后，得到 ΔDBC．请你判断四边形 ABDC 的形状，并说出你的理由． 辽宁省 岳伟 分类 （2008 年桂林市） 已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ （１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ 解： （１）如图： O E AB D C （4 题图） ABCD 2AD AB= E AD E E AB BC， M N， BM CN C A B D 图 8 B AO D C E 图 8 2008 年郴州市 2．如图 5，D 是 AB 边上的中点，将 沿过 D 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 上 F 处，若 ，则 __________度． 以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类 1. (2008 年·东莞市)（本题满分 9 分）（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC． 求∠AEB 的大小； （2）如图 8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点 O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 答案： 2．（2008 年•南宁市）以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有： （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 ， 3．（2008 年•南宁市）如图 8，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别是 E、F，BE=CF。 （1）图中有几对全等的三角形？请一一列出； 图7 O 6 5 4 3 21 E D C B A ABC∆ 50B∠ = ° BDF∠ = 图 5 C B OD 图 7 A E （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。 15．(2008 年双柏县)如图，点 在 的平分线上，若使 ， 则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）： 以下是辽宁省高希斌的分类 1．（2008 年湖北省咸宁市）如图，在 Rt△ABC 中， ，D、E 是斜边 BC 上两点， 且∠DAE=45°，将△ 绕点 顺时针旋转 90 后，得到△ ，连接 ，下列结论： ①△ ≌△ ； ②△ ∽△ ；　　 ③ ； ④ 其中正确的是 【 】 A．②④；　　　　　　 B．①④；　　 C．②③；　　　　　　　 D．①③． 2．（2008 年湖北省咸宁市）如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点 B，过点 D 作 OA 的平行线交⊙O 于点 C，AC 与 BD 的延长线相交于点 E． (1) 试探究 A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2) 已知 EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的 半径 r 的一种方案： ①你选用的已知数是　　　　　　　　； ②写出求解过程（结果用字母表示）． 3．（2008 年荆州市）如图，矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE＝AD，DF⊥AE 于 F， 连结 DE，求证：DF＝DC． P AOB∠ AOP BOP△ ≌△ AB AC= ADC A ° AFB EF AED AEF ABE ACD BE DC DE+ = 2 2 2BE DC DE+ = A B P O (第8题图） A B CDE F A B C DE O a b c （第21题图） 4．（2008 年湖北省鞥仙桃市潜江市江汉油田） 中，点 的坐标为（0，1），点 的 坐标为（4，3），如果要使 与 全等，那么点 的坐标是 . 1.．（2008 年龙岩市）如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 是 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D F E ABC∆ A C ABD∆ ABC∆ D x y O A B C （第 16 题图） 图 3 A．4 B．3 C．2 D． 16（2008 乌鲁木齐）．在一次数学课上，王老师在黑板上画出图 6，并写下了四个等式： ① ，② ，③ ，④ ． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出 是等腰三角形．请你试着完成 王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可） 已知： 求证： 是等腰三角形． 证明： 如图 3，要测量 A、B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C， OB 的中点 D，测得 CD=30 米，则 AB=______米． 答案：60 考察了三角形中位线的性质，用来测量不易测量的距离. 如图 4， 点 P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°， 则 ∠AOB=_____度． 1．（2008 年沈阳市）如图所示，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ， 交对角线 于点 ，连接 ，则图中全等三角形共有（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 23．（2008 年义乌市）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边 上的一个动点(点 G 与 C 、D 不重合)，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE．我们探究下列图中线 段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线 的位置关系； ②将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ， 得到如图 2、如图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是 否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断． 第 16 题图 3 3 3 3 AB DC= BE CE= B C∠ = ∠ BAE CDE∠ = ∠ AED△ AED△ ABCD E CD AE BD F CF α B E DA C图 6 A D C E F B 第 8 题图 （2）将原题中正方形改为矩形（如图 4—6），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例 简要说明理由． （3）在第(2)题图 5 中，连结 、 ，且 a=3，b=2，k= ，求 的值． 23．（2008嘉兴市）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面 3 个有联系的问题，请你帮 助解决： （1）如图 1，正方形 中，作 交 于 ， 交 于 ，求证： ； （2）如图 2，正方形 中，点 分别在 上，点 分别在 上，且 ，求 的值； （3）如图 3，矩形 中， ， ，点 分别在 上，且 ，求 的值． (2008 年安徽省)已知：点 O 到△ABC 的两边 AB、AC 所在直线的距离相等，且 OB＝ OC。 （1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证：AB＝AC； （2）如图 2，若点 O 在△ABC 的内部，求证：AB＝AC； ≠ > DG BE 1 2 2 2BE DG+ ABCD AE BC E DF AE⊥ AB F AE DF= ABCD E F， AD BC， G H， AB CD， EF GH⊥ EF GH ABCD AB a= BC b= E F， AD BC， EF GH⊥ EF GH O O B C AA CB 图 2图 1 （第 23 题图 1） （第 23 题图 2） （第 23 题图 3） （3）若点 O 在△ABC 的外部，AB＝AC 成立吗？请画图表示。 证明：（1）过点 O 分别作 OE⊥AB，OF⊥AC，E、F 分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝ （2008 恩施自治州）如图 7，在平行四边形 ABCD 中,∠ABC 的平分线交 CD 于点 E,∠ADC 的 平分线交 AB 于点 F.试判断 AF 与 CE 是否相等，并说明理由. （ 2008 苏 州 ） 如 图 ， 四 边 形 的 对 角 线 与 相 交 于 点 ， ， ． 求证：（1） ； （2） ． （2008 无锡）已知一个三角形的两条边长分别是 1cm 和 2cm，一个内角为 ． （1）请你借助图 1 画出一个满足题设条件的三角形； （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能， 请你在图 1 的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是 3cm 和 4cm，一个内角为 ”，那 么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作 法，但要保留作图痕迹． (2008 年西宁市) 22．如图 9，一块三角形模具的阴影部分已破损． （1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带 残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具 的形状和大 小完全相同的模具 ？请简要说明理由． 22．（1）只要度量残留的三角形模具片的 的度数和边 的长， 因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． （2）按尺规作图的要求，正确作出 的图形． （2008 年广东湛江市）23． 如图 7 所示，已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与 BD 相交于点 O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明． ABCD AC BD O 1 2∠ = ∠ 3 4∠ = ∠ ABC ADC△ ≌△ BO DO= 40 40 ABC A B C′ ′ ′ B C∠ ∠， BC A B C′ ′ ′∠ F ED C BA 图 7 图 1 图 9 B C A 图 7 D B A O C 以下是山西省王旭亮分类 （2008 年重庆市）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=DC，CF 平分∠BCD， DF∥AB，BF 的延长线交 DC 于点 E。 求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE 2008 年全国中考数学试题分类汇编（全等三角形） (2008 年扬州市)如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与△ABP´重合，如果 AP=3，那么线段 PP´的长等于____________。 2. （2008 盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点 D 为射线 BC 上一动点，连 接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF． 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，∠BAC=90º． ①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的位置 关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什 么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90º，点 D 在线段 BC 上运动． 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？画 出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若 AC＝ ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段4 2 F E D CB A A B CD E F 第 28 题图 图甲 图乙 F E DCB A F ED CB A 图丙 CF 相交于点 P，求线段 CP 长的最大值． 解：（1）①CF 与 BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形 ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º． ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC， 又 AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　 ∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD （2）画图正确　　　　　　　 当∠BCA=45º 时，CF⊥BD（如图丁）． 理由是：过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF⊥BD （3）当具备∠BCA=45º 时， 过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q，（如图戊） ∵DE 与 CF 交于点 P 时， ∴此时点 D 位于线段 CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出 AQ= CQ=4．设 CD=x ，∴ DQ=4—x， 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴ ， ． ∵0＜x≤3 ∴当 x=2 时，CP 有最大值 1． 以下是湖南文得奇的分类: 1.(2008 年永州) 下列命题是假命题的是（　　） A．两点之间，线段最短． B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． C．一组对应边相等的两个等边三角形全等． D．对角线相等的四边形是矩形． 答案:D 解析:考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例.随意可以画出一个对角 线相等但对角线不互相平分的四边形来,所以 D 是假命题. 2.(2008 年益阳) (本题 10 分) 22. △ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形 DEFG，使正方形的一条 边 DE 落在 BC 上，顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF； Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果 两题都解，只以Ⅱa 的解答记分. CP CD DQ AQ = 4 4 CP x x =− 2 21 ( 2) 14 4 xCP x x∴ = − + = − − + 图丁 G A B CD E F 图戊 P Q A B CD E F A B C D E FG 图 10(1) Ⅱa. 小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出 正方形的边长就能求出 BD 和 CE 的长，从而确定 D 点和 E 点，再画正方形 DEFG 就容易了.设△ABC 的边长为 2 ，请你帮小聪求出正方形的边长 (结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) . Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在 AB 边上任取一点 G’，如图作正方形 G’D’E’F’； ②连结 BF’并延长交 AC 于 F； ③作 FE∥F’E’交 BC 于 E，FG∥F′G′交 AB 于 G， GD∥G’D’交 BC 于 D，则四边形 DEFG 即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 答案: Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS) Ⅱa.解法一：设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH， 求得 由△AGF∽△ABC 得： 解之得： (或 ) 解法二：设正方形的边长为 x，则 　　在 Rt△BDG 中，tan∠B= ， ∴ 解之得： (或 ) 解法三：设正方形的边长为 x，则 由勾股定理得： 解之得： Ⅱb.解： 正确 由已知可知，四边形 GDEF 为矩形 ∵FE∥F’E’ ， ∴ ，同理 ，∴ 又∵F’E’=F’G’， ∴FE=FG 因此，矩形 GDEF 为正方形 解析:证明,求值和方法探究题.几何证明,求值题要弄 清条件和结论,运用定理,定义,公理从条件出来说明结 论的正确或错误或求出某一未知量.探究作图方法是否 正确,其实就是把作法当作条件证明最后结论的正确性. 3.(2008 年湘潭) （本题满分 6 分） 如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 AB 上一点，且 DE=AB， 过 C 作 CF⊥DE，垂足为 F. （1）猜想：AD 与 CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论. 3=AH 3 3 2 xx −= 32 32 + =x 634 −=x 2 2 xBD −= BD GD 3 2 2 =− x x 32 32 + =x 634 −=x xGBxBD −=−= 2,2 2 222 )2 2()2( xxx −+=− 634 −=x BF FB EF FE ′=′′ BF FB GF FG ′=′′ GF FG EF FE ′′=′′ BA CD E S F A B C D E FG 图 10(3) G′ F′ E′D′ A B C D E FG 图 10(2) A B C D E FG 解图 10(2) H A B CD E FG 解图 10(3) G’ F’ E’D’ 解：（1） ． （2） 四边形 是矩形， 又 解析:考查矩形的性质及直角三角形全等的判定.猜想 AD 与 CF 的关系,可以分析 AD,CF 所在的两个三角形 ADE 与三角形 FCD 的关系.由条件可归纳得:∠A=∠CFD=90 0,∠AED=∠ FDC,DE=AB=CD,可证 ,从而 AD=CF. （以下是安徽张仕春分类） 1．(2008 年内江市)如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ， ， 与 相交于点 ，试判断 的形状，并说明理由． 16（2008 乌鲁木齐）．在一次数学课上，王老师在黑板上画出图 6，并写下了四个等式： ① ，② ，③ ，④ ． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出 是等腰三角形．请你试着完成 王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可） 已知： 求证： 是等腰三角形． 证明： 18. （2008（2008 年湖北省宜昌市）年湖北省宜昌市）如图，在△ABC 和△ABD 中， BC=BD，设点 E 是 BC 的中点，点 F 是 BD 的中点. （1）请你在图中作出点 E 和点 F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接 AE、AF.若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF. 19．（本题 6 分）（2008 年武汉市）如图，点 D，E 在 BC 上， 且 FD∥AB，FE∥AC。 求证：△ABC∽△FDE． 19.略 AD CF=  ABCD ,AED FDC DE AB CD∴∠ = ∠ ∴ = = , 90 ,CF DE CFD A⊥ ∴∠ = ∠ = ° ADE FCD∴ ≅  AD CF∴ = ADE FCD∴ ≅  ABC△ E AB D BC BD BE= BAD BCE=∠ ∠ AD CE F AFC△ AB DC= BE CE= B C∠ = ∠ BAE CDE∠ = ∠ AED△ AED△ B CD F A E B E DA C图 6 F ED CB A B AO D C E 图 8 21. (2008 年·东莞市)（本题满分 9 分）（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC． 求∠AEB 的大小； （2）如图 8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点 O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 1、（2008 年宜宾市）(本小题满分 7 分) 已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC 23．（2008 年义乌市）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合)，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE．我 们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ， 得到如图 2、如图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是 否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断． O D C BA O D C BA α C B OD 图 7 A E （2）将原题中正方形改为矩形（如图 4—6），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例 简要说明理由． （3）在第(2)题图 5 中，连结 、 ，且 a=3，b=2，k= ，求 23．（2008 嘉兴市）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面 3 个有联系的问题，请你帮 助解决： （1）如图 1，正方形 中，作 交 于 ， 交 于 ，求证： ； （2）如图 2，正方形 中，点 分别在 上，点 分别在 上，且 ，求 的值； （3）如图 3，矩形 中， ， ，点 分别在 上，且 ，求 的值． 1.（2008 年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它 抽象出的几何图形， 在同一条直线上，连结 ． （1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明： ． ≠ > DG BE 1 2 ABCD AE BC E DF AE⊥ AB F AE DF= ABCD E F， AD BC， G H， AB CD， EF GH⊥ EF GH ABCD AB a= BC b= E F， AD BC， EF GH⊥ EF GH B C E， ， DC 图 1 图 2 D C E A B （第 22 题） DC BE⊥ （第 23 题图 1） （第 23 题图 2） （第 23 题图 3） 2.（2008 年聊城市）如图，矩形 中， 是 与 的交点，过 点的直线 与 的延长线分别交于 ． （1）求证： ； （2）当 与 满足什么关系时，以 为顶点的四边形是菱形？证明你的 结论． 1、（2008 年宜宾市）(本小题满分 7 分) 已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC O D C BA ABCD O AC BD O EF AB CD， E F， BOE DOF△ ≌△ EF AC A E C F， ， ， F D O CB E A 第 22 题 图