福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练24锐角三角函数

福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练24锐角三角函数

课时训练(二十四)　锐角三角函数 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.计算:cos245°+sin245°= (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎1‎‎4‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=‎3‎‎5‎,BC=6,则AB= (　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎3.[2017·天水]在正方形网格中△ABC的位置如图K24-1所示,则cosB的值为 (　　)‎ 图K24-1‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎4.[2018·娄底]如图K24-2,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα-cosα= (　　)‎ 图K24-2‎ A.‎5‎‎13‎ B.-‎5‎‎13‎ C.‎7‎‎13‎ D.-‎‎7‎‎13‎ ‎5.[2019·柳州]如图K24-3,在△ABC中,sinB=‎1‎‎3‎,tanC=‎2‎‎2‎,AB=3,则AC的长为　　　　. ‎ 图K24-3‎ ‎6.[2018·三明质检]如图K24-4,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡从A滑行至B.已知AB=500米,则这名滑雪运动员下降的垂直高度为　　　　米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67) ‎ 图K24-4‎ ‎7.[2018·泰安]如图K24-5,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延 9‎ 长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为　　　　. ‎ 图K24-5‎ ‎8.[2018·湖州]如图K24-6,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=‎1‎‎3‎,AC=6,则BD的长是　　　　. ‎ 图K24-6‎ ‎9.如图K24-7,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA=‎3‎‎2‎,求sinB+cosB的值.‎ 图K24-7‎ ‎10.如图K24-8,直线y=‎1‎‎2‎x+‎3‎‎2‎与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求sin∠BAO的值.‎ 图K24-8‎ 9‎ ‎|能力提升|‎ ‎11.[2018·泉州质检]如图K24-9,在3×3的正方形网格中,A,B均为格点,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧,图中的点C是该弧与网格线的交点,则sin∠BAC的值是 (　　)‎ 图K24-9‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图K24-10所示,已知B(2‎3‎,2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PD⊥PC交x轴于点D.下列结论:①OA=BC=2‎3‎;②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7;③在运动过程中,∠CDP是一个定值;④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为‎2‎‎3‎‎3‎,0或(2‎3‎-4,0),其中正确结论的个数是 (　　)‎ 图K24-10‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎13.[2019·乐山]如图K24-11,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=‎3‎‎5‎.则AB边的长为　　　　. ‎ 图K24-11‎ ‎14.[2019·梧州]如图K24-12,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tanB=‎3‎‎4‎.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求sinα的值.‎ 图K24-12‎ 9‎ ‎|思维拓展|‎ ‎15.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(记作sad).如图K24-13①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值是一一对应的.根据上述角的正对定义,解下列问题:‎ ‎(1)sad60°=　　　　; ‎ ‎(2)如图②,△ABC中,CB=CA,若sadC=‎6‎‎5‎,求tanB的值;‎ ‎(3)如图③,Rt△ABC中,∠BCA=90°,若sinA=‎3‎‎5‎,试求sadA的值.‎ 图K24-13‎ 9‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.B　2.D ‎3.B　[解析]过A作AD⊥BC,交BC的延长线于D,通过网格容易看出△ABD为等腰直角三角形,故cosB=cos45°=‎2‎‎2‎,故选B.‎ ‎4.D　[解析]根据大正方形面积为169得到直角三角形斜边为13,根据小正方形面积为49得到两直角边的差为7,易得两直角边为12和5,得到sinα-cosα=‎5‎‎13‎‎-‎‎12‎‎13‎=-‎7‎‎13‎,故选D.‎ ‎5.‎3‎　[解析]过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,sinB=‎1‎‎3‎,AB=3,∴AD=AB·sinB=1.在Rt△ACD中,tanC=‎2‎‎2‎,‎ ‎∴ADCD=‎2‎‎2‎,即CD=‎2‎,根据勾股定理得:AC=AD‎2‎+CD‎2‎=‎1+2‎=‎3‎,故答案为:‎3‎.‎ ‎6.280‎ ‎7.‎10‎‎10‎　[解析]∵矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,∴Rt△AEB≌Rt△A'EB.‎ ‎∴AE=A'E,AB=A'B=6,∠A=∠BA'E=90°.‎ 在Rt△CBA'中,由勾股定理求得:A'C=BC‎2‎-A'‎B‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8,‎ ‎∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AD=BC=10,CD=AB=6,‎ 设AE=x,则EC=8+x,ED=10-x,‎ 在Rt△CDE中,CE2=DE2+CD2,即(8+x)2=(10-x)2+62,解得x=2,‎ 在Rt△AEB中,BE=AB‎2‎+AE‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎10‎,‎ ‎∴sin∠ABE=AEBE=‎2‎‎2‎‎10‎=‎10‎‎10‎,故答案为‎10‎‎10‎.‎ ‎8.2　[解析]∵菱形的对角线互相垂直平分,‎ ‎∴AC⊥BD.‎ ‎∵tan∠BAC=‎1‎‎3‎,∴BOAO=‎1‎‎3‎.‎ ‎∵AC=6,∴AO=3.‎ ‎∴BO=1.‎ ‎∴BD=2BO=2.故填2.‎ ‎9.解:∵CD⊥AB,CD=6,AB=12,‎ ‎∴tanA=‎6‎AD=‎3‎‎2‎,∴AD=4,‎ ‎∴BD=AB-AD=8.‎ 在Rt△BCD中,BC=‎8‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=10,‎ 9‎ ‎∴sinB=CDBC=‎3‎‎5‎,cosB=BDBC=‎4‎‎5‎,‎ ‎∴sinB+cosB=‎7‎‎5‎.‎ ‎10.解:(1)由题意,得y=‎1‎‎2‎x+‎3‎‎2‎,‎y=2x,‎解得x=1,‎y=2,‎ ‎∴B(1,2).‎ ‎(2)过B作BC⊥x轴,垂足为C,‎ ‎∴OC=1,BC=2.当y=0时,‎1‎‎2‎x+‎3‎‎2‎=0,解得x=-3,‎ ‎∴A(-3,0),AC=4.‎ AB=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎5‎,‎ ‎∴sin∠BAO=‎2‎‎2‎‎5‎=‎5‎‎5‎.‎ ‎11.B ‎12.D　[解析]已知B(2‎3‎,2),∴OA=BC=2‎3‎,故①正确;当点D运动到OA的中点处时,OD=‎3‎,而OC=2,∴CD2=7,在Rt△CPD中,PC2+PD2=7,故②正确;如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E,‎ ‎∴PE⊥BC,四边形OFEC是矩形,‎ ‎∴EF=OC=2,‎ 设PE=a,则PF=EF-PE=2-a,‎ 在Rt△BEP中,tan∠CBO=PEBE=OCBC=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴BE=‎3‎PE=‎3‎a,‎ ‎∴CE=BC-BE=2‎3‎‎-‎‎3‎a=‎3‎(2-a).‎ ‎∵PD⊥PC,‎ ‎∴∠CPE+∠FPD=90°,‎ ‎∵∠CPE+∠PCE=90°,‎ ‎∴∠FPD=∠ECP.‎ 9‎ ‎∵∠CEP=∠PFD=90°,‎ ‎∴△CEP∽△PFD,‎ ‎∴CEPF=PCPD,‎ ‎∴tan∠PDC=PCPD=CEPF=‎3‎‎(2-a)‎‎2-a=‎3‎,‎ ‎∴∠PDC=60°,故③正确;‎ ‎∵B(2‎3‎,2),四边形OABC是矩形,‎ ‎∴OA=2‎3‎,AB=2,‎ ‎∵tan∠AOB=ABOA=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴∠AOB=30°.‎ 当△ODP为等腰三角形时,‎ ‎(Ⅰ)若OD=PD,则∠DOP=∠DPO=30°,‎ ‎∴∠ODP=120°,∴∠ODC=60°,‎ ‎∴OD=‎3‎‎3‎OC=‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎(Ⅱ)当D在x轴的正半轴上时,OP=OD,∴∠ODP=∠OPD=75°.‎ ‎∵∠COD=∠CPD=90°,∴∠OCP=105°>90°,故不合题意,舍去;‎ 当D在x轴的负半轴上时,OP'=OD',∠OCP'=15°,‎ ‎∴BC=BP'=2‎3‎,‎ ‎∴OD'=OP'=4-2‎3‎,‎ ‎∴D'(2‎3‎-4,0).‎ ‎(Ⅲ)若OP=PD,则∠POD=∠PDO=30°,‎ ‎∴∠OCP=150°>90°,故不合题意,舍去.‎ ‎∴当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为‎2‎‎3‎‎3‎,0或(2‎3‎-4,0).故④正确.‎ ‎13.‎16‎‎5‎　[解析]过点A作AD⊥BC于点D, ‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,cosC=‎3‎‎5‎,AC=2,∴DC=‎3‎‎5‎×2=‎6‎‎5‎,AD=AC‎2‎-CD‎2‎=‎2‎‎2‎‎-‎‎6‎‎5‎‎2‎=‎8‎‎5‎.在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠B=30°,‎ ‎∴AB=2AD=‎16‎‎5‎.‎ 9‎ ‎14.解:(1)∵tanB=‎3‎‎4‎,∴可设AC=3x,BC=4x,‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴(3x)2+(4x)2=52,‎ 解得x=-1(舍去)或x=1,‎ ‎∴AC=3,BC=4.‎ ‎∵BD=1,∴CD=3,‎ ‎∴AD=CD‎2‎+AC‎2‎=3‎2‎.‎ ‎(2)过点D作DE⊥AB于点E,‎ ‎∵tanB=‎3‎‎4‎,∴可设DE=3y,则BE=4y,‎ ‎∵BE2+DE2=BD2,‎ ‎∴(3y)2+(4y)2=12,‎ 解得y=-‎1‎‎5‎(舍)或y=‎1‎‎5‎,‎ ‎∴DE=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sinα=DEAD=‎1‎‎10‎ ‎2‎.‎ ‎15.解:(1)1　[解析]∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形,‎ ‎∴sad60°=底边腰=1.‎ 故填1.‎ ‎ (2)如图①所示,作CD⊥BA于点D,‎ ‎∵△ABC中,CB=CA,sadC=‎6‎‎5‎=ABBC,‎ ‎∴AB=‎6‎‎5‎BC,BD=AD=‎1‎‎2‎AB=‎3‎‎5‎BC.‎ ‎∴CD=BC‎2‎-BD‎2‎=BC‎2‎-(‎3‎‎5‎BC)‎‎ ‎‎2‎=‎4‎‎5‎BC.‎ 9‎ ‎∴tanB=CDBD=‎4‎‎5‎BC‎3‎‎5‎BC=‎4‎‎3‎.‎ ‎(3)如图②所示,延长AC至E,使AE=AB,连接BE,设AB=5a,则AE=5a.‎ ‎∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,sinA=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴BC=3a,AC=4a.‎ ‎∴EC=5a-4a=a,‎ ‎∴BE=a‎2‎‎+(3a‎)‎‎2‎=‎10‎a,‎ ‎∴sadA=BEAB=‎10‎a‎5a=‎10‎‎5‎.‎ 9‎