2019年辽宁省葫芦岛市连山区中考数学一模试卷（解析版）

2019年辽宁省葫芦岛市连山区中考数学一模试卷（解析版）

2019 年辽宁省葫芦岛市连山区中考数学一模试卷 一.选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列等式成立的是（ ）[来源:学,科,网] A．（﹣3）﹣2＝﹣9 B．（﹣3）﹣2＝ C．（a12）2＝a14 D．0.0000000618＝6.18×10﹣7 2．如果两条平行直线被第三条直线所截得的 8 个角中有一个角的度数已知，则（ ） A．只能求出其余 3 个角的度数 B．只能求出其余 5 个角的度数 C．只能求出其余 6 个角的度数 D．只能求出其余 7 个角的度数 3．函数 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥3 B．x≤7 C．3≤x≤7 D．x≤3 或 x≥7 4．如果代数式 3x2﹣6 的值为 21，那么 x 的值是（ ） A．3 B．±3 C．﹣3 D．± 5．已知在 ⊙ O 中，弦 AB 的长为 8 厘米，圆心 O 到 AB 的距离为 3 厘米，则 ⊙ O 的半径是（ ） A．3 厘米 B．4 厘米 C．5 厘米 D．8 厘米 6．方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 7．在△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ，△ABC 的周长为 60，那么△ABC 的面积为（ ） A．60 B．30 C．240 D．120 8．如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则 图中与 OA 相等的其它线段有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 9．一定质量的干松木，当它的体积 V＝2m3 时，它的密度 ρ ＝0.5×103kg/m3，则 ρ 与 V 的函数关系式 是（ ） A． ρ ＝1000V B． ρ ＝V+1000 C． ρ ＝ D． ρ ＝ 10．如图，一个平行四边形被分成面积为 S1、S2、S3、S4 四个小平行四边形，当 CD 沿 AB 自左向右 在平行四边形内平行滑动时，S1S4 与 S2S3 的大小关系为（ ） A．S1S4＞S2S3 B．S1S4＜S2S3 C．S1S4＝S2S3 D．无法确定 二.填空题（本题有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过 100 度， 那么每度电价按 a 元收费；如果超过 100 度，那么超过部分每度电价按 b 元收费．某户居民在一 个月内用电 160 度，他这个月应缴纳电费是 元（用含 a，b 的代数式表示）． 12．因式分解：x3﹣6x2y+9xy2＝ ． 13．已知 a 是整数，点 A（2a+1，2+a）在第二象限，则 a＝ ． 14．已知双曲线 y＝ 经过点（1，﹣2），则 k 的值是 ． 15．若关于 x 的方程 x2+5x+k＝0 有实数根，则 k 的取值范围是 ． 16．已知 ⊙ O 的直径为 6，弦 AB 的长为 2 ，由这条弦及弦所对的弧组成的弓形的高是 ． 17．数据﹣5，3，2，﹣3，3 的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ，方差是 ． 18．台湾总面积为 35989.76 平方千米，这个数据用科学记数法表示为 平方千米． 三.解答题（本题有 8 小题，共 96 分） 19．（10 分）计算 ． 20．（12 分）解方程： 21．（12 分）在边长为 1 的 5×5 的方格中，有一个四边形 OABC， （1）以 O 点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形 OABC 位似，且该四边形的 各个顶点都在格点上； （2）求出你所作的四边形的面积． 22．（12 分）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有 4 个标号分别为 1，2，3，4 的 质地、大小相 同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8” 是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中 一、二、三等奖的概率． 23．（12 分）某水果批发市场香蕉的价格如下表 购买香蕉数 （千克） 不超过 20 千克 20 千克以上 但不超过 40 千克的 40 千克以上的 每千克价格 6 元 5 元 4 元 张强两次共购买香蕉 50kg（第二次多于第一次），共付出 264 元，请问张强第一次，第二次分别 购买香蕉多少千克？ 24．（12 分）已知直线 y＝2x+1． （1）求已知直线与 y 轴交点 A 的坐标； （2）若直线 y＝kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k 与 b 的值． 25．（12 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A，点 G、E 分别在线段 AD、AB 上． （1）连接 DF、BF，若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中， 线段 DF 与 BF 的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明； （2）若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接 DG，在旋转过程中，你能否找到一条线 段的长与线段 DG 的长始终相等？并以图为例说明理由． 26．（14分）如图，H 是 ⊙ O 的内接锐角△ABC 的高线 AD、BE 的交点，过点 A 引 ⊙ O 的切线，与 BE 的延长线相交于点 P，若 AB 的长是关于 x 的方程 x2﹣6 x+36（cos2C﹣cosC+1）＝0 的实数 根． （1）求：∠C＝ 度 ；AB 的长等于 （直接写出结果）； （2）若 BP＝9，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 2019 年辽宁省葫芦岛市连山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．【分析】本题涉及负整数指数幂和科学记数法以及数的乘方的运算，根据实数的运算法则求得计 算结果即可． 【解答】解：A、（﹣3）﹣2＝ ，错误； B、（﹣3）﹣2＝ ，正确； C、（a12）2＝a24，错误； D、0.0000000618＝6.18×10﹣8，错误． 故选：B． 【点评】本题考查负整数指数幂的运算，科学记数法及幂的乘方与积的乘方的运算方法，需熟练 掌握． 2．【分析】本题主要 利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题． 【解答】解：如图，a∥b，已知∠1，根据平行线的性质和对顶角相等，可以求出各角的值． 故选：D． 【点评】“三线八角”问题，若有两条直线平行，可以根据已知条件和平行线的性质可以求出其 余 7 个角． 3．【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得 x﹣3≥0 且 7﹣x≥0， 解得 x≥3 且 x≤7， 所以 3≤x≤7． 故选：C． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．【分析】根据题意列出方程，整理后利用平方根定义开方即可求出 x 的值． 【解答】解：根据题意得：3x2﹣6＝21，即 x2＝9， 解得：x＝±3， 故选：B． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 5．【分析】根据垂径定理和根据勾股定理求解． 【解答】解：根据垂径定理，得半弦长是 4cm． 再根据勾股定理，得其半径是 5cm． 故选：C． 【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理． 6．【分析】用代入法即可解答，把 ① 化为 x＝1+y，代入 ② 得（1+y）2+2y+3＝0 即可． 【解答】解：把 ① 化为 x＝1+y， 代入 ② 得：（1+y）2+2y+3＝0， 即 y2+4y+4＝0， 解得：y ＝﹣2， 代入 ① 得 x＝﹣1， ∴原方程组的解为 ． 故选：B． 【点评】解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元 二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可． 7．【分析】由 tanA 的值，利用锐角三角函数定义设出 BC 与 AC，进而利用勾股定理表示出 AB，由 周长为 60 求出 x 的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积． 【解答】解：如图所示，由 tanA＝ ， 设 BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x， 由题意得：12x+5x+13x＝60， 解得：x＝2， ∴BC＝24，AC＝10， 则△ABC 面积为 120， 故选：D． 【点评】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解 本题的关键． 8．【分析】根据平行四边形的性质和平移的基本性质，可求得图中与 OA 相等的其它线段． 【解答】解：∵ABCD 是平行四边形， ∴OC＝OA；[来源:学#科#网] 又∵△AOD 平移至△BEC， ∴OA＝BE． 故选：B． 【点评】本题需要学生将平行四边形的性质和平移的基本性质结合求解．经过平移，对应点所连 的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 9．【分析】根据等量关系“密度＝质量÷体积”即可列出 ρ 与 V 的函数关系式． 【解答】解；根据物理知识得： ρ ＝ ， ∵体积 V＝2m3 时，它的密度 ρ ＝0.5×103kg/m3， ∴m＝2×0.5×103＝1000， ∴ ρ ＝ ． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系． 10．【分析】要求面积大小关系，就要利用面积公式计算，可设 CG 到 EF 的距离为 h1，EF 到 AB 的距离为 h2，然后利用平行四边形的面积公式计算． 【解答】解：如图，设直线 CG 到 EF 的距离为 h1，EF 到 AB 的距离为 h2， 根据平行四边形的性质知，S1＝AD•h1，S4＝BD•h2，S2＝AD•h2，S3＝BD•h1， ∴S1S4＝AD•BD•h1•h2，S2S3＝AD•BD•h1•h2， ∴S1S4＝S2S3． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边 上的高的积．即 S＝a•h．其中 a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是 a 边与其对边的距离， 即对应的高． 二.填空题（本题有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．【分析】因为 160＞100，所以其中 100 度是每度电价按 a 元收费，多出来的 60 度是每度电价 按 b 元收费． 【解答】解：10 0a+（160﹣100）b＝100a+60b． 故答案为：（100a+60b）． 【点评】该题要分析清题意，要知道其中 100 度是每度电价按 a 元收费，多出来的 60 度是每度 电价按 b 元收费． 用字母表示数时，要注意写法： ① 在代数式中出现的乘号，通常简写做“•”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号； ② 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；[来源:Zxxk.Com] ③ 数字通常写在字母的前面； ④ 带分数的要写成假分数的形式． 12．【分析】先提出公因式 x，再用完全平方公式因式分解． 【解答】解：原式＝x（x2﹣6xy+9y2 ＝x（x﹣3y）2． 故答案是：x（x﹣3y）2． 【点评】本题考查的是因式分解，先提出公因式，然后再用完全平方公式因式分解． 13．【分析】第二象限的点的坐标，横坐标小于 0，纵坐标大于 0，因而就得到关于 a 的不等式组， 求出 a 的范围，又由于 a 是整数，就可以求出 a 的值． 【解答】解：根据题意得： ， 解得：﹣2＜a＜ ， 又∵a 是整数， ∴a＝﹣1．故填：﹣1． 【点评】本题主要考查了坐标平面内各象限点的坐标的符号，常与不等式、方程结合起来求一些 字母的取值范围，此类题往往转化成解不等式或不等式组的问题．这是一个常见的题目类型． 14．【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标（1，﹣2）代入函数解析式 y＝ （k≠0）即可求得 k 的值． 【解答】解：因为函数经过点 P（1，﹣2）， ∴﹣2＝ ， 解得 k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 15．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac 的值的符号就可以了．关于 x 的方程 x2+5x+k＝0 有实数根，△＝b2﹣4ac≥0． 【解答】解：∵a＝1，b＝5，c＝k， ∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×k＝25﹣4k≥0， ∴k≤ ． 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 16．【分析】此题只需先求得弦的弦心距．因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高 有两种情况． 【解答】解：根据垂径定理，得半弦是 ，在由半径、半弦和弦心距组成的直角三角形中，根 据勾股定理，得弦心距＝ ＝ ， 因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高是 3+ 或 3﹣ ． 【点评 】此题注意两种情况，熟练运用垂径定理和勾股定理求得弦的弦心距． 17．【分析】直接利用平均数求法以及众数、中位数、方差的定义分别分析得出答案． 【解答】解：数据﹣5，3，2，﹣3，3 的平均数是： （﹣5+3+2﹣3+3）＝0， 5 个数据中，3 出现的次数最多，故 3 是众数； 按大小顺序排列：﹣5，﹣3，2，3，3，故中位数是：2； 方差是： [（﹣5﹣0）2+（3﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（3﹣0）2] ＝11.2． 故答案为：0，3，2，11.2． 【点评】此题主要考查了平均数求法以及众数、中位数、方差的定义，正确把握相关定义是解题 关键． 18．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对 值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：35989.76＝3.598976×104， 故答案为：3.598976×104． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤ |a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 三.解答题（本题有 8 小题，共 96 分） 19．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝1+2+2× ＝3+ ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 【解答】解：去分母得：2+2x﹣1+x2＝1﹣x，即 x2+3x＝0， 分解因式得：x（x+3）＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣3． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 21．【分析】（1）结合网格特点，分别作出点 A、B、C 关于点 O 成位似变换的对应点，再顺次连 接即可得； （2）根据 S 四边形 OA′B′C′＝S△OA′B′+S△OB′C′计算可得． 【解答】解：（1）如图所示，四边形 OA′B′C′即为所求． [来源:Zxxk.Com] （2）S 四边形 OA′B′C′＝S△OA′B′+S△OB′C′ ＝ ×4×4+ ×2×2 ＝8+2 ＝10． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原 图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点， 得到 放大或缩小的图形． 22．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：列表得： （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） ∴一共有 16 种情况，两次摸出的数字之和为“8”的有一种，数字之和为“6”的有 3 种情况， 数字之和为其它数字的有 12 种情况， ∴抽中一等奖的概率为 ，抽中二等奖的概率为 ，抽中三等奖的概率为 ． 【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合 于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所 求情况数与总情况数之比． 23．【分析】本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数＝50；第一次出的钱数+ 第二次出的钱数＝264．对张强买的香蕉的千克数，应分情况讨论： ① 当 0＜x≤20，y≤40； ②当 0＜x≤20，y＞40 ③ 当 20＜x＜25 时，则 25＜y＜30． 【解答】解：设张强第一次购买香蕉 xkg，第二次购买香蕉 ykg，由题意可得 0＜x＜25． 则 ① 当 0＜x≤20，y≤40，则题意可得 ． 解得 ． ② 当 0＜x≤20，y＞40 时，由题意可得 ． 解得 ．（不合题意，舍去） ③ 当 20＜x＜25 时，则 25＜y＜30，此时张强用去的款项为 5x+5y＝5（x+y）＝5×50＝250＜264（不合题意，舍去）； ④ 当 20＜x≤40 y＞40 时，总质量将大于 60kg，不符合题意， 答：张强第一次购买香蕉 14kg，第二次购买香蕉 36kg． 【点评】本题主要考查学生分类讨论的思想．找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数 找到相应的价格进行作答． 24．【分析】（1）求直线与 y 轴的交点坐标，令交点的横坐标为 0 即可； （2）先求出直线 y＝2x+1 与两坐标轴的交点（0，1），（﹣ ，0），因为两直线关于 y 轴对称， 所以两直线都过点（0，1），它们与 x 轴的交点横坐标互为相反数，从而可知所求直线过点（0， 1），（ ，0），进而利用待定系数法，通过解方程组，即可求出答案． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝1， 所以直线 y＝2x+1 与 y 轴交点 A 的坐标为（0，1）； （2）对于直线 y＝2x+1， 当 x＝0 时，y＝1；当 y＝0 时，x＝﹣ ， 即直线 y＝2x+1 与两坐标轴的交点分别是（0，1），（﹣ ，0）， ∵两直线关于 y 轴对称 ∴直线 y＝kx+b 过点（0，1），（ ，0）， 所以 ， ∴ ． 所以 k＝﹣2，b＝1． 【点评】此类题目结合轴对称出现，体现了数形结合的思想，需找出几对对应点的坐标，再利用 待定系数法解决问题． 25．【分析】（1）显然，当 A，F，B 在同一直线上时，DF≠BF． （2）注意使用两个正方形的边和 90°的角，可判断出△DAG≌△BAE，那么 DG＝BE． 【解答】解：（1）不正确． 若在正方形 GAEF 绕点 A 顺时针旋转 45°，这时点 F 落在线段 AB 或 AB 的延长线上．（或将正 方形 GAEF 绕点 A 顺时针旋转，使得点 F 落在线段 AB 或 AB 的延长线上）．如图： 设 AD＝a，AG＝b， 则 DF＝ ＞a， BF＝|AB﹣AF|＝|a﹣ b|＜a， ∴DF＞BF，即此时 DF≠BF； （2）连接 BE，可得△ADG≌△ABE， 则 DG＝BE．如图， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝AB， ∵四边形 GAEF 是正方形， ∴AG＝AE， 又∵∠DAG+∠GAB＝90°，∠BAE+∠GAB＝90°， ∴∠DAG＝∠BAE， ∴△DAG≌△BAE， ∴DG＝BE． [来源:学,科,网] 【点评】注意点在特殊位置时所得到的关系，判断边相等，通常要找全等三角形． 26．【分析】（1）关于 x 的方程有实根，则△＝（﹣6 ）2﹣4×1×36（cos2C﹣cosC+1）≥0，化 简得：（2cosC﹣1）2≤0，只有 2cosC﹣1＝0，则∠C＝60°，此时方程有相等的根，AB+AB＝6 ； （2）已知∠C＝60°，则再证明△ABC 中一个角为 60°，则可知△ABC 为等边三角形． 【解答】解：（1）∠C＝60°，AB＝3 ； （2）结论：△ABC 是等边三角形（1 分） ∵AD、BE 是△ABC 的高， ∴∠P+∠PAC＝∠BAD+∠ABC＝90° 又∵PA 切 ⊙ O 于 A， ∴∠PAC＝∠ABC ∴∠P＝∠BAD 而∠PBA＝∠ABH， ∴△PBA∽△ABH ∴ ∴当 PB＝9 时，BH＝ （2 分） 在 Rt△BHD 中，BD＝BH•cos30°＝ 在 Rt△ABD 中，cos∠ABD＝ ， ∴∠ABD＝60° 即∠ABC＝60° ∵∠C＝60° ∴△ABC 是等边三角形． 【点评】此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．此 题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．