中考卷-2020中考数学试卷（解析版） (3)

中考卷-2020中考数学试卷（解析版） (3)

1 贵州省安顺市 2020 年初中毕业生学业水平（升学）考试数学试题 一、选择题：以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅 笔在答题卡相应位置作答，每小题 3 分，共 30 分． 1.计算 ( 3) 2  的结果是（ ） A. 6 B. 1 C. 1 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 原式利用异号两数相乘的法则计算即可求出值． 【详解】解：原式＝−3×2＝−6， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键． 2.下列 4 个袋子中，装有除颜色外完全相同的 10 个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可． 【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性= 1 10 ； 第二个袋子摸到红球的可能性= 2 1 10 5  ； 第三个袋子摸到红球的可能性= 5 1 10 2  ； 第四个袋子摸到红球的可能性= 6 3 10 5  ． 故选：D． 【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比， 难度适中． 3.2020 年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫．一志愿者得 到某栋楼 60 岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数 据的方法是（ ） 2 A. 直接观察 B. 实验 C. 调查 D. 测量 【答案】C 【解析】 【分析】 根据得到数据的活动特点进行判断即可． 【详解】解：因为获取 60 岁以上人的年龄进行了数据的收集和整理，所以此活动是调查． 故选：C． 【点睛】本题考查了数据的获得方式，解题的关键是要明确，调查要进行数据的收集和整理． 4.如图，直线 a ，b 相交于点O ，如果 1 2 60    ，那么 3 是（ ） A. 150 B. 120 C. 60 D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于 180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠1＝30°， ∵∠1 与∠3 互为邻补角， ∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°． 故选：A． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的 关键． 5.当 1x  时，下列分式没有意义的是（ ） A. 1x x  B. 1 x x  C. 1x x  D. 1 x x  【答案】B 【解析】 【分析】 由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【详解】 1 x x  ,当 x=1 时,分母为零,分式无意义. 故选 B. 3 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 6.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据太阳光下的影子的特点：（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太 阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可． 【详解】选项 A、B 中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项 A、B 错误 选项 C 中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项 C 错误 选项 D 中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且树高与影长成正比，则选项 D 正确 故选：D． 【点睛】本题考查了太阳光下的影子的特点，掌握太阳光下的影子的特点是解题关键． 7.菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形 的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图所示，根据题意得 AO＝ 1 8 42   ，BO＝ 1 6 32   ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∴△AOB 是直角三角形， ∴AB＝ 2 2 16 9 5AO BO    ， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B． 4 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握 菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 8.已知 a b ，下列式子不一定成立的是（ ） A. 1 1a b   B. 2 2a b   C. 1 11 12 2a b   D. ma mb 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答． 【详解】解：A、不等式 a＜b 的两边同时减去 1，不等式仍成立，即 a−1＜b−1，故本选项不符合题意； B、不等式 a＜b 的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即 2 2a b   ，故本选项不符合题意； C、不等式 a＜b 的两边同时乘以 1 2 ，不等式仍成立，即：1 1 2 2a b ，再在两边同时加上 1，不等式仍成立， 即 1 11 12 2a b   ，故本选项不符合题意； D、不等式 a＜b 的两边同时乘以 m，当 m>0，不等式仍成立，即 ma mb ；当 m<0，不等号方向改变，即 ma mb ；当 m=0 时， ma mb ；故 ma mb 不一定成立，故本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对 字母是否大于 0 进行分类讨论． 9.如图，Rt ABC 中， 90C   ，利用尺规在 BC ，BA 上分别截取 BE ，BD ，使 BE BD ；分别以 D ， E 为圆心、以大于 1 2 DE 为长的半径作弧，两弧在 CBA 内交于点 F ；作射线 BF 交 AC 于点G ，若 1CG  ， P 为 AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ） A. 无法确定 B. 1 2 C. 1 D. 2 5 【答案】C 【解析】 【分析】 当 GP⊥AB 时，GP 的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB 是∠ABC 的角平分线，再根据角平分线的性 质可知，当 GP⊥AB 时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当 GP⊥AB 时，GP 的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB 是∠ABC 的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当 GP⊥AB 时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到 GB 是∠ABC 的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 10.已知二次函数 2y ax bx c   的图象经过 ( 3,0) 与 (1,0) 两点，关于 x 的方程 2 0ax bx c m    ( 0)m  有两个根，其中一个根是 3．则关于 x 的方程 2 0ax bx c n    (0 )n m  有两个整数根，这两个整数根是（ ） A. 2 或 0 B. 4 或 2 C. 5 或 3 D. 6 或 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得方程 2 0ax bx c   的两个根是﹣3，1，方程在 y 的基础上加 m，可以理解为二次函数的图象 沿着 y 轴平移 m 个单位,由此判断加 m 后的两个根,即可判断选项． 【详解】二次函数 2y ax bx c   的图象经过 ( 3,0) 与 (1,0) 两点，即方程 2 0ax bx c   的两个根是﹣3 和 1， 2 0ax bx c m    可以看成二次函数 y 的图象沿着 y 轴平移 m 个单位,得到一个根 3， 由 1 到 3 移动 2 个单位，可得另一个根为﹣5.由于 0＜n＜m， 可知方程 2 0ax bx c n    的两根范围在﹣5~﹣3 和 1~3， 由此判断 B 符合该范围． 故选 B． 【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行 平移． 二、填空题：每小题 4 分，共 20 分． 11.化简 ( 1)x x x  的结果是_____． 【答案】 2x 【解析】 6 【分析】 直接去括号然后合并同类项即可． 【详解】解： 2 2( 1)x x x x x x x      ， 故答案为： 2x ． 【点睛】本题考查了整式运算，涉及了单项式乘以多项式、合并同类项等知识点，熟练掌握运算性质是解 题的关键． 12.如图，点 A 是反比例函数 3y x  图象上任意一点，过点 A 分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足为 B ，C ，则 四边形OBAC 的面积为____． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据反比例函数 3y x  的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形 OBAC 的面积． 【详解】解：如图所示：可得 OB×AB＝|xy|＝|k|＝3， 则四边形OBAC 的面积为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数 ky x  （k≠0）系数 k 的几何意义：从反比例函数 ky x  （k≠0）图象上任 意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 13.在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时， 数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是_____． 【答案】 1 6 【解析】 【分析】 随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率． 【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近 1 6 ． 7 故答案为： 1 6 ． 【点睛】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率． 14.如图， ABC 是 O 的内接正三角形，点O 是圆心，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上，若 DA EB ， 则 DOE 的度数是____度． 【答案】120 【解析】 【分析】 本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用 SAS 定理证明三角形全等，最后根据角的互换 结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题． 【详解】连接 OA，OB，作 OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示： 因为等边三角形 ABC，OH⊥AC，OM⊥AB， 由垂径定理得：AH=AM， 又因为 OA=OA，故△OAH  △OAM（HL）． ∴∠OAH=∠OAM． 又∵OA=OB,AD=EB, ∴∠OAB=∠OBA=∠OAD, ∴△ODA  △OEB（SAS）, ∴∠DOA=∠EOB, ∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB． 又∵∠C=60°以及同弧 AB ， ∴∠AOB=∠DOE=120°． 故本题答案为：120． 【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线 8 是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握． 15.如图， ABC 中，点 E 在边 AC 上， EB EA ， 2A CBE   ， CD 垂直于 BE 的延长线于点 D ， 8BD  ， 11AC  ，则边 BC 的长为_____． 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 如图，延长 BD 到点 G，使 DG=BD，连接 CG，则由线段垂直平分线的性质可得 CB=CG，在 EG 上截取 EF=EC， 连 接 CF ， 则 ∠EFC=∠ECF ， ∠G=∠CBE ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 的 内 角 和 定 理 可 得 ∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得 FC=FG，设 CE=EF=x，则可根据 线段间的和差关系求出 DF 的长，进而可求出 FC 的长，然后根据勾股定理即可求出 CD 的长，再一次运用 勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，延长 BD 到点 G，使 DG=BD，连接 CG，则 CB=CG，在 EG 上截取 EF=EC，连接 CF， 则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE， ∵EA=EB，∴∠A=∠EBA， ∵∠AEB=∠CEF， ∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G， ∵∠EFC=∠G+∠FCG， ∴∠G=∠FCG， ∴FC=FG， 9 设 CE=EF=x，则 AE=BE=11－x， ∴DE=8－（11－x）=x－3， ∴DF=x－（x－3）=3， ∵DG=DB=8， ∴FG=5，∴CF=5， 在 Rt△CDF 中，根据勾股定理，得 2 2 4CD CF DF   ， ∴ 2 2 2 28 4 4 5BC BD CD     ． 故答案为： 4 5 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及 线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键． 三、解答题：本大题 10 小题，共 100 分． 16.如图，在 4 4 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 10 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）画一个边长为 3,4,5 的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为 2 2 、 2 2 和 4 的线段，画三角形即可； （3）利用勾股定理，找长为 2 、 2 2 和 10 的线段，画三角形即可； 【详解】解：（答案不唯一） 图① （2）图② （3）图③ 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键． 17.2020 年 2 月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每 天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如下统计图表（不完整）， 请根据相关信息，解答下列问题： 部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表 时间/ h 1.5 2 2.5 3 3.5 4 人数/人 2 6 6 10 m 4 部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计图 （1）本次共调查的学生人数为_____，在表格中， m  ___； （2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是____，众数是_____； （3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法． 【答案】（1）50，22；（2）3.5h ，3.5h ；（3）认真听课，独立思考．（答案不唯一） 【解析】 【分析】 11 (1)根据已知人数和比例算出学生总人数,再利用所占比例求出 m 的值. (2)根据中位数和众数的概念计算即可. (3)任写一条正能量看法即可. 【详解】(1)学生人数=2÷4%=50.m=50×44%=22. 故答案为:50,22. (2)50÷2=25,所以中位数为第 25 人所听时间为 3.5h,人数最多的也是 3.5h, 故答案为:3.5h,3.5h. (3)认真听课,独立思考. 【点睛】本题考查扇形统计图和统计基础运算,关键在于牢记统计相关的概念和运算方法. 18.如图，四边形 ABCD 是矩形， E 是 BC 边上一点，点 F 在 BC 的延长线上，且 CF BE ． （1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形； （2）连接 ED ，若 90AED   ， 4AB  ， 2BE  ，求四边形 AEFD 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）40 【解析】 【分析】 （1）直接利用矩形的性质结合 BE=CF,可得 EF AD ，进而得出答案； （2）在 Rt ABE 中利用勾股定理可计算 2 5EA  ，再由求出 ABE DEA ∽ 得 BE EA EA AD  ，进而求出 AD 长，由 AEFDS EF AB  即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ / /AD BC ， AD BC ． ∵ CF BE ， ∴CF EC BE EC   ，即 EF BC ． ∴ EF AD ， ∴四边形 AEFD 是平行四边形． （2）如图，连接 ED ， ∵四边形 ABCD 是矩形 12 ∴ 90B   在 Rt ABE 中， 4AB  ， 2BE  ， ∴由勾股定理得， 2 16 4 20EA    ，即 2 5EA  ． ∵ / /AD BC ， ∴ DAE AEB   ． ∵ 90B AED    ， ∴ ABE DEA ∽ ． ∴ BE EA EA AD  即 2 2 5 2 5 AD  ，解得 10AD  ． 由（1）得四边形 AEFD 是平行四边形， 又∵ 10EF  ，高 4AB  ， ∴ 10 4 40AEFDS EF AB     ． 【点睛】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质以及判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练 运用勾股定理和相似三角形性质求线段长是解题的关键． 19.如图，一次函数 1y x  的图象与反比例函数 ky x  的图象相交，其中一个交点的横坐标是 2． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数 1y x  的图象向下平移 2 个单位，求平移后的图象与反比例函数 ky x  图象的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点 (0,5) ，且与反比例函数 ky x  的图象没有公共点． 【答案】（1） 6y x  ；（2） ( 2, 3),(3,2)  ；（3） 2 5y x   （答案不唯一） 【解析】 【分析】 （1）将 x=2 代入一次函数，求出其中一个交点是 (2,3) ，再代入反比例函数 ky x  即可解答； （2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程 2 6 0x x   即可解答； （3）设一次函数为 y=ax+b（a≠0），根据题意得到 b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到 13 2 5 6 0ax x   ，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到 25 24 0a    ，求出 a 的取值范围， 再在范围内任取一个 a 的值即可． 【详解】解：（1）∵一次函数 1y x  的图象与反比例函数 ky x  的图象的一个交点的横坐标是 2， ∴当 2x  时， 3y  ， ∴其中一个交点是 (2,3) ． ∴ 2 3 6k    ． ∴反比例函数的表达式是 6y x  ． （2）∵一次函数 1y x  的图象向下平移 2 个单位， ∴平移后的表达式是 1y x  ． 联立 6y x  及 1y x  ，可得一元二次方程 2 6 0x x   ， 解得 1 2x   ， 2 3x  ． ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为 ( 2, 3),(3,2)  （3）设一次函数为 y=ax+b（a≠0）， ∵经过点 (0,5) ，则 b=5， ∴y=ax+5， 联立 y=ax+5 以及 6y x  可得： 2 5 6 0ax x   ， 若一次函数图象与反比例函数图象无交点， 则 25 24 0a    ，解得： 25 24a   ， ∴ 2 5y x   （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题以及函数图象平移问题，解题的关键是熟悉函数 图象上点的特征，第（3）问需要先确定 a 的取值范围． 20.“2020 第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动．规则是：准备 3 张大小一样，背面完 全相同的卡片，3 张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后 任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍． （1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表 或画树状图的方法，求恰好抽到 2 张卡片都是《辞海》的概率； （2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得 抽到《消防知识手册》卡片的概率为 5 7 ，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由． 14 【答案】（1）图表见解析， 1 3 ；（2）应添加 4 张《消防知识手册》卡片，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意画出列表，由概率公式即可得出答案； （2）设应添加 x 张《消防知识手册》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）先将《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记作 A ， 1B ， 2B ，然后列表如下： 第 2 次 第 1 次 A 1B 2B A 1( , )A B 2( , )A B 1B 1( , )B A 1 2( , )B B 2B 2( , )B A 2 1( , )B B 总共有 6 种结果，每种结果出现的可能性相同，而 2 张卡片都是《辞海》的 有 2 种： 2 1( , )B B ， 1 2( , )B B 所以， P （2 张卡片都是《辞海》） 2 1 6 3   ； （2）设再添加 x 张和原来一样的《消防知识手册》卡片，由题意得： 1 5 3 7 x x   ，解得， 4x  ， 经检验， 4x  是原方程的根， 答：应添加 4 张《消防知识手册》卡片． 【点睛】本题考查了列表法以及概率公式，熟悉相关性质是解题的关键． 21.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示 意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测 得屋顶 A 的仰角为35 ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60，房屋的顶层横梁 12EF m ， / /EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ，B 在同一水平线上）．（参考数据：sin 35 0.6  ，cos 35 0.8  ，tan35 0.7  ， 3 1.7 ） 15 （1）求屋顶到横梁的距离 AG ； （2）求房屋的高 AB （结果精确到1m ）． 【答案】（1）4.2 米；（2）14 米 【解析】 【分析】 （1） / /EF CB 可得 35AEG ACB     ，在 Rt AGE 中由 tan AEG AG EG   即可求 AG； （2）设 EH x ，利用三角函数由 x 表示 DH、CH，由 DH-CH=8 列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形， AB 所在直线是对称轴， / /EF CB ， ∴ AG EF ， 1 62EG EF  ， 35AEG ACB     ． 在 Rt AGE 中， 90AGE  ， 35AEG  °， ∵ tan AEG AG EG   ， 6EG  ， tan35 0.7  ． ∴ 6tan35 42AG  ° （米） 答：屋顶到横梁的距离 AG 约是 4.2 米． （2）过点 E 作 EH CB 于点 H ，设 EH x ， 在 Rt EDH 中， 90EHD   ， 60EDH  ° ， ∵ tan EHEDH DH   ，∴ tan 60 xDH  ° ， 在 Rt ECH 中， 90EHC   ， 35ECH  ° ， ∵ tan EHECH CH   ，∴ tan35 xCH  ° ． 16 ∵ 8CH DH CD   ， ∴ 8tan35 tan 60 x x ° ° ， ∵ tan35 0.7  ， 3 1.7 ， 解得 9.52x  ． ∴ 4.2 9.52 13.72 14AB AG BG      （米） 答：房屋的高 AB 约是 14 米． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构 造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 22.第 33 个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展 了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下： （1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； （2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只 能辨认出单价是小于 10 元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 【答案】（1）方程见解析，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；（2）可能是 2 元或者 6 元 【解析】 【分析】 (1)根据题意列出方程解出答案判断即可; (2)根据题意列出方程得出 x 与 a 的关系,再由题意中 a 的条件即可判断 x 的范围,从而得出单价. 【详解】解：（1）设单价为 6 元的钢笔买了 x 支，则单价为 10 元的钢笔买了（100 x ）支， 根据题意，得 6 10(100 ) 1300 378x x    ， 解得： 19.5x  ． 因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了 （2）设笔记本的单价为 a 元，根据题意，得 6 10(100 ) 1300 378x x a     ， 整理，得 1 39 4 2x a  ， 因为 0 10a  ， x 随 a 的增大而增大，所以19.5 22x  ， ∵ x 取整数， ∴ 20, 21x  ． 17 当 20x = 时， 4 20 78 2a     ， 当 21x  时， 4 21 78 6a     ， 所以笔记本的单价可能是 2 元或者 6 元． 【点睛】本题考查方程及不等式的列式和计算,关键在于理解题意找到等量关系. 23.如图， AB 为 O 的直径，四边形 ABCD 内接于 O ，对角线 AC ，BD 交于点 E ， O 的切线 AF 交 BD 的延长线于点 F ，切点为 A ，且 CAD ABD   ． （1）求证： AD CD ； （2）若 4, 5AB BF  ，求 sin BDC 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 7sin 25BDC  【解析】 【分析】 （1）利用同弧所对的圆周角相等可得 ABD ACD   ，由 CAD ABD   得 ACD CAD   ，根据等 角对等边可得结论； （2）先证明 FAD ABD   ， CAD FAD   ，由 ASA 证明 Rt ADE Rt ADF ≌ ，得 AE AF ， ED FD ；再求 12 5AD  ， 7 5BE  ，再证明 BEC AED ∽ 得 28 25BC  ，利用 BDC BAC   可得 结论. 【详解】解：（1）在 O 中，∵ ABD 与 ACD 都是 AD 所对的圆周角， ∴ ABD ACD   ， ∵ CAD ABD   ， ∴ ACD CAD   ． ∴ AD CD ． （2）∵ AF 是 O 的切线， AB 是 O 的直径， 18 ∴ 90FAB ACB ADB ADF         ． ∵ 90FAD BAD     ， 90ABD BAD     ， ∴ FAD ABD   ． 又∵ ABD CAD   ， ∴ CAD FAD   ． ∵ AD AD ∴ ( )Rt ADE Rt ADF ASA ≌ ， ∴ AE AF ， ED FD ． 在 Rt BAF 中，∵ 4AB  ， 5BF  ， ∴ 3AF  ，即 3AE  ． ∵ 1 1 2 2AB AF BF AD   ， ∴ 12 5AD  ． 在 Rt ADF 中， 2 2 9 5FD AF AD   ， ∴ 9 75 25 5BE     ． ∵ BEC AED   ，且 ECB EDA   ， ∴ BEC AED ∽ ， ∴ BE BC AE AD  ，即 28 25BC  ． ∵ BDC∠ 与 BAC 都是 BC 所对的圆周角， ∴ BDC BAC   ． 在 Rt ACB 中， 90ACB   ， ∴ 7sin 25 BCBAC AB    ，即 7sin 25BDC  ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形，正确地识别图形是解题的关键． 24.2020 年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行 体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 y （人）与时间 x （分钟）的变化情 况，数据如下表：（表中 9-15 表示 9 15x  ） 时间 x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9~15 19 人数 y （人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这 15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出 y 与 x 之 间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有 2 个，每个检测点每分钟检测 20 人，考生排队测 量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 12 分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测 点？ 【答案】（1） 210 180 ,0 9 810 , 9 15 x x xy x        ；（2）队人数最多时是 490 人，全部考生都完成体温检测需要 20.25 分钟；（3）至少增加 2 个检测点 【解析】 【分析】 （1）先根据表中数据的变化趋势猜想：①当 0 9x≤ ≤ 时， y 是 x 的二次函数．根据提示设出抛物线的解 析式 2y ax bx  ，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满 足解析式，从而可得答案； （2）设第 x 分钟时的排队人数是W ，列出W 与第 x 分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多 人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间； （3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案． 【详解】解：（1）根据表中数据的变化趋势可知： ①当 0 9x≤ ≤ 时， y 是 x 的二次函数． ∵当 0x  时， 0y  ， ∴二次函数的关系式可设为 2y ax bx  ． 当 1x  时， 170y  ；当 3x  时， 450y  ． 将它们分别代入关系式得 170 450 9 3 a b a b      解得 10 180 a b     ． ∴二次函数的关系式为 210 180y x x   ． 将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足． ②当9 15x  时， 810y  ． 20 ∴ y 与 x 的关系式为 210 180 ,0 9 810 , 9 15 x x xy x        ． （2）设第 x 分钟时的排队人数是W ，根据题意，得 210 180 40 , 0 9,40 810 40 , 9 15 x x x xW y x x x            ①当 0 9x≤ ≤ 时， 2 210 140 10( 7) 490W x x x       ． ∴当 7x  时， 490W 最大 ． ②当9 15x  时， 810 40W x  ，W 随 x 的增大而减小， ∴ 210 450W  ． ∴排队人数最多时是 490 人． 要全部考生都完成体温检测，根据题意， 得810 40 =0x ， 解得 20.25x  ． ∴排队人数最多时是 490 人，全部考生都完成体温检测需要 20.25 分钟． （3）设从一开始就应该增加 m 个检测点， 根据题意，得12 20( 2) 810m   ， 解得 318m  ． ∵ m 是整数， ∴ 318m  的最小整数是 2． ∴一开始就应该至少增加 2 个检测点． 【点睛】本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式， 考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌 握以上知识是解题的关键． 25.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 O 为对角线 AC 的中点． 21 （1）问题解决：如图①，连接 BO ，分别取 CB ， BO 的中点 P ，Q ，连接 PQ ，则 PQ 与 BO 的数量关 系是_____，位置关系是____； （2）问题探究：如图②， AO E  是将图①中的 AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45得到的三角形，连接 CE ，点 P ，Q 分别为CE ， BO 的中点，连接 PQ ， PB ．判断 PQB 的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③， AO E  是将图①中的 AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45得到的三角形，连接 BO ，点 P ，Q 分别为CE ， BO 的中点，连接 PQ ， PB ．若正方形 ABCD 的边长为 1，求 PQB 的面 积． 【答案】（1） 1 2PQ BO ， PQ BO ；（2） PQB 的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3） 3 16 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得 PQ 为△BOC 的中位线，再根据中位线的性质即可求解； （2）连接O P 并延长交 BC 于点 F ，根据题意证出 O PE FPC  ≌ ， 'O BF 为等腰直角三角形， BPO  也为等腰直角三角形，由 'PQ O B 且 PQ BQ 可得 PQB 是等腰直角三角形； （3）延长O E 交 BC 边于点G ，连接 PG ， 'O P ．证出四边形O ABG 是矩形， EGC 为等腰直角三角 形， ' O GP BCP ≌ ，再证出 O PB  为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出 O′A，O′B 和 BQ 的长度，即可计算出 PQB 的面积． 【详解】解：（1）∵点 P 和点 Q 分别为 CB ， BO 的中点， ∴PQ 为△BOC 的中位线， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BO， ∴ 1 2PQ BO ， PQ BO ； 故答案为： 1 2PQ BO ， PQ BO ； （2） PQB 的形状是等腰直角三角形．理由如下： 22 连接O P 并延长交 BC 于点 F ， 由正方形的性质及旋转可得 AB BC ，∠ 90ABC  ° ， AO E  是等腰直角三角形， / /O E BC ，O E O A   ． ∴ O EP FCP    ， 'PO E PFC   ． 又∵点 P 是CE 的中点，∴CP EP ． ∴ ( )O PE FPC AAS  ≌ ． ∴ ' 'O E FC O A  ， 'O P FP ． ∴ AB O A CB FC    ，∴ BO BF  ． ∴ 'O BF 为等腰直角三角形． ∴ 'BP O F ， 'O P BP ． ∴ BPO  也为等腰直角三角形． 又∵点Q 为 'O B 的中点， ∴ 'PQ O B ，且 PQ BQ ． ∴ PQB 的形状是等腰直角三角形． （3）延长O E 交 BC 边于点G ，连接 PG ， 'O P ． ∵四边形 ABCD 是正方形， AC 是对角线， 23 ∴ 45ECG   ． 由旋转得，四边形O ABG 是矩形， ∴O G AB BC   ， 90EGC   ． ∴ EGC 为等腰直角三角形． ∵点 P 是CE 的中点， ∴ PC PG PE  ， 90CPG   ， 45EGP   ． ∴ ' ( )O GP BCP SAS ≌ ． ∴ O PG BPC    ， O P BP  ． ∴ 90O PG GPB BPC GPB       ． ∴ ' 90O PB   ． ∴ O PB  为等腰直角三角形． ∵Q 是O B 的中点， ∴ 1 2PQ O B BQ   ， PQ O B  ． ∵ 1AB  ， ∴ 2 2O A  ， 2 22 6( ) 12 2O B    ， ∴ 6 4BQ  ． ∴ 1 1 6 6 3 2 2 4 4 16PQBS BQ PQ       ． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、 全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．