【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）2反比例函数与几何综合

【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）2反比例函数与几何综合

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 反比例函数 了解反比例函数的意义；能画出反比 例函数的图像；理解反比例函数的性 质 能根据已知条件确定反比例 函数解析式；能用反比例函 数的知识解决实际问题 ------- 模块一 反比例函数 k 的几何意义 1.反比例函数 k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所 围成矩形的面积为 k 。如图二，所围成三角形的面积为 2 k 2.如图，四条双曲线 1C 、 2C 、 3C 、 4C 对应的函数解析式分别为： 1ky x  、 2ky x  、 3ky x  、 4ky x  ，那 么 1k 、 2k 、 3k 、 4k 的大小顺序为 1 2 3 4k k k k   ☞ 利用 k 的几何意义求参数的数值或比较参数大小 【例 1】 如图，点 P 在反比例函数的图像上，过 P 点作 PA x 轴于 A 点，作 PB y 轴于 B 点，矩形 OAPB 的面积为 9，则该反比例函数的解析式为 反比例函数与几何综合 2 【难度】2 星 【解析】反比例函数 k 的几何意义 【答案】 9y x  【巩固】反比例函数 x ky  的图像如图所示，点 M 是该函数图像上一点， MN 垂直于 x 轴，垂足是点 N ， 如果 2MONS  ，则 k 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【难度】2 星 【解析】 k 的几何意义、反比例函数图象性质 【答案】D 【例 2】 如图，在 Rt AOB 中，点 A 是直线 y x m  与双曲线 my x  在第一象限的交点，且 2AOBS  ，则 m 的值是_____. 【难度】2 星 【解析】反比例函数 k 的几何意义 【答案】已知 2AOBS  . ∴ 22 m  ，∵ 0m  ，∴ 4m  . 【例 3】 如图，正比例函数 y kx 和 y ax ( 0a  )的图像与反比例函数 ky x  ( 0k  )的图像分别相交于 A 点和 C 点．若 Rt AOB 和 Rt COD 的面积分别为 1S 和 2S ，则 1S 与 2S 的关系是（ ） 3 A． 1 2S S B． 1S = 2S C． 1S < 2S D．不能确定 【难度】2 星 【解析】反比例函数的图象及性质 【答案】B 【巩固】在函数 ky x  ( 0x  )的图像上取三点 A 、B 、C ，由这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，设矩形 1 2AAOA 、 1 2BB OB 、 1 2CC OC 的面积分别为 AS 、 BS 、 CS ，试比较三者大小. 【难度】3 星 【解析】设点 A 的坐标为( a ，b )，因为点 A 在双曲线 ky x  上，所以 kb a  ，即 ab k .因为 A 在第一象限 内，所以 1 1AS OA A A ab k    ， 同理可得 A B CS S S k   . 由此我们可以得到一个结论： 在反比例函数 ky x  ( 0k  )中，具有矩形面积的不变性，即 1 2 1 2 1 2AA OA BB OB CC OCS S S k   . 在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即 2 2 1 1AA B B AA B BS S 由上题结论可推得： 梯形面积与三角形面积的不变性： AOBABFES S梯形 1 1 2 2ABFOC ACOE ABFOC ACOE BDOF ABFOC ACO BOF AOBABFES S S S S S S S S S         梯形 【答案】 A B CS S S  【例 4】 如图是三个反比例函数 1ky x  、 2ky x  、 3ky x  在 x 轴上方的图象，由此观察得到 1k 、 2k 、 3k 的 大小关系为 4 【难度】2 星 【解析】反比例函数 k 的几何意义 【答案】 1 2 3k k k  ☞ 反比例函数与方程的思想 【例 5】 已知点 (1,3) 在函数 ky x  ( 0x  )的图像上，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上， E 是对角线 BD 的 中 点，函数 ky x  ( 0x  )的图像经过 A 、 E 两点，若 45ABD   ，求 E 点的坐标. 【难度】3 星 【解析】方程的思想无处不在，涉及到函数问题的时候，主要是通过等量关系去建立方程，本题方法不唯 一 【答案】点(1， 3)在函数 ky x  的图像上， 3k  . 又 E 也在函数 ky x  的图像上，故设 E 点的坐标为( m ， 3 m ). 过 E 点作 EF x 轴于 F ，则 3EF m  . 又 E 是对角线 BD 的中点， 62AB CD EF m    . 故 A 点的纵坐标为 6 m ，代入 3y x  中，得 A 点坐标为 ( 2 m ， 6 m ). 因此 2 2 m mBF OF OB m     .由 45ABD   ，得 45EBF   ， BF EF . 即有 3 2 m m  .解得 6m   .而 0m  ，故 6m  .则 E 点坐标为 ( 6 ， 6 2 ). 模块二 反比例函数与面积的综合 1.若所求图形面积是规则图形，则可以按照相应图形的面积公式直接计算 2.若所求图形面积是不规则图形，则采用割补法 3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数 k 的几何意义 5 ☞ 一般面积问题 【例 6】 在平面直角坐标系中，函数 ky x  ( 0x  ，常数 0k  )的图象经过点 A (1，2)，B ( m ，n )，( 1m  )， 过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 C ．若 ABC 的面积为 2，求点 B 的坐标． 【难度】2 星 【解析】 ky x  过点 A (1，2)，代入可得 2k  ， B ( m ， n )在该函数图象上，所以 2mn  . 因为 1 2S ah ，有 1 (2 ) 22 m n    ，即 2 4m mn  ，所以 3m  ， 2 3n  ， B ( 3， 2 3 ). 【答案】 B ( 3， 2 3 ). 【巩固】如图，直线 y kx b  与反比例函数  1 0ky xx  ′ 的图象相交于点 A 、点 B ，与 x 轴交于点 C ，其 中点 A 的坐标为  2 4 ， ，点 B 的横坐标为 4 ． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求 AOC 的面积． 【难度】3 星 【解析】略 【答案】（1）∵反比例函数经过点  2 4A  ， ，∴ 1 2 4 8k     ′ ， ∴反比例函数的关系式为 8y x   ． （2）∵点 B 的横坐标为 4 ，∴ 8 8 24x y      ， ∴ B 点坐标为  4 2 ， ． ∵直线 y kx b  经过点 A 、点 B ，∴ 4 2 2 4 k b k b        ，解得 1 6 k b    ， ∴直线解析式为 6y x  ，∴ C 点坐标为  6 0 ， ， ∴ 1 1 6 4 122 2AOC AS OC y       ． 【例 7】 如图，点 A 、B 是双曲线 3y x  上的点，分别经过 A 、B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段，若 1S 阴影 ， 6 则 1 2S S = 【难度】2 星 【解析】 1 2 3S S S S   阴影 阴影 ,所以 1 2 2S S  【答案】 4 【巩固】如图，在反比例函数 2y x  ( 0x  )的图象上，有点 1P ， 2P ， 3P ， 4P 它们的横坐标依次为 1，2，3， 4．分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 1S ， 2S ， 3S ， 求 1 2 3S S S  ． 【难度】3 星 【解析】将 2S 和 3S 向左平移，即可拼成一个大的矩形，宽(横向)为 1，长(纵向)为 1P 与 4P 的纵坐标之差， 即 2 2 3 1 4 2   .所以 1 2 3 3 2S S S   . 【答案】 3 2 【巩固】已知 A B C D E， ， ， ， 是反比例函数 16y x   0x  图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分 别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条 弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表 示） 【难度】2 星 【解析】先求出五点坐标，再用割补法求 5 个橄榄形的面积总和 【答案】13π 26 7 【例 8】 如图，已知正方形 OABC 的面积为 9，点O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点C 在 y 轴上，点 B 在 函数 ky x  ( 0k  ， 0x  )的图像上，点 P ( m ，n )为其双曲线上的任一点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E 、 F ，并设矩形OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积为 S ． ⑴求 B 点的坐标和 k 的值； ⑵当 9 2S  时，求 P 点坐标； ⑶写出 S 关于 m 的函数关系式． 【难度】4 星 【解析】第二问涉及分类讨论思想 【答案】⑴设 B 点坐标为( x ， y ).则由条件，得 9xy  ， 0x y  ，解方程组得 3x  ， 3y  ，点 B 的坐标 是(3，3).又由 ky x  ,得 9k xy  . ⑵点 P 的坐标为 ( m ， n ). 当 3m  时,如图甲, 3AE m  , 1 9PE n m   . ∴当 9 2S  时，有 1 9 2AE PE  ,即   9 93 2m m    .解得 6m  . 故 1P 点的坐标为 36 2      ， ． 当 0 3m  时, 2P F m , 93 3FC n m     . ∴当 9 2S  时，有 2 9 2P F FC  .即 9 93 2m m       .解得 3 2m  . 即 2P 点的坐标为 3 62      ， ． ⑶参照第⑵题可知,当 3m  时,  1 9 273 9S AE PE m m m        ; 当 0 3m  时,如图乙, 2 9 3 9 3S P F FC m mm           . 【巩固】如图，反比例函数 8y x  的图象过矩形OABC 的顶点 B ，OA、OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， : 2:1OA OC  ． （1）设矩形 OABC 的对角线交于点 E ，求出 E 点的坐标； （2）若直线 2y x m  平分矩形 OABC 面积，求 m 的值． 8 【难度】3 星 【解析】直线平分矩形面积，则直线必过矩形对角线的交点 【答案】⑴由题意，设   2 0B a a a ， ，则 8 2a a  2.a   ∵ B 在第一象限， ∴  2 4 2a B ， ， ∴矩形 DABC 对角线的交点 E 为 (2,1) ⑵∵直线 2y x m  平分矩形 DABC 必过点 (2,1) ∴1 2 2 m   ∴ 3m   ☞ 利用 k 的几何意义进行面积转化 1.如图，直线 AB 与反比例函数 ky x  （ 0k  ）交于 A 、 B 两点，与 x 、 y 轴的交点分别为C 、 D ， 那么 OAB OCD OBD OACS S S S      ，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低 2.如图，过点 A 、 B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E 、 F ，则根据 k 的几何意义可得， OBF OAES S  ，而 OBF OAB OAEABFES S S S    梯形 ，所以 OABABFES S梯形 ，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。 【例 9】 如图，在 x 轴的正半轴上依次截取 1 1 2 2 3 3 4 4 5OA A A A A A A A A    ，过点 1 2 3 4 5A A A A A， ， ， ， 分别 作 x 轴的垂线与反比例函数  2 0y xx   的图象相交于点 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， ，得直角三角形 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5OP A A P A A P A A P A A P A2， ， ， ， ，并 设 其 面 积 分 别 为 1 2 3 4 5S S S S S， ， ， ， ， 则 5S 的 值 为 ． 9 【难度】3 星 【解析】这是在反比例函数上找规律的问题，在横坐标注意递增的条件下，进而得到 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 的 坐标，及面积得求。即 5 1 10 5 kS   【答案】 1 5 【例 10】 两个反比例函数 ky x  和 1y x  在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 ky x  的图象上， PC x 轴于点 C ，交 1y x  的图象于点 A ，PD y 轴于点 D ，交 1y x  的图象于点 B ，当点 P 在 ky x  的图象上运动时，以下结论： ① ODB 与 OCA 的面积相等； ②四边形 PAOB 的面积不会发生变化； ③ PA 与 PB 始终相等； ④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点． 其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 【难度】4 星 【解析】①根据上节课结论易知成立； ② 1PAOB PDOC BDO ACOS S S S k      ，结论成立. ③根据题意可得： PC PD k  ， 1BD PC  ， 1AC PD  ， 1 1 1PC PD kPA PC AC PC PD PD PD         ， 1 1 1PC PD kPB PD BD PD PC PC PC         ， PC PD ，所以 PA PB . ④根据 1BD PC AC PD    ，故 PC PD AC BD  可知成立.也可利用结论③中的推导. 其中一定正确的是①②④. 【答案】①②④ 10 【巩固】如图，点 A 、 B 在反比例函数 ky x  ( 0k  )的图象上，且点 A 、 B 的横坐标分别为 a 和 2a ( 0a  ) AC x 轴，垂足为C ， AOC 的面积为 2 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点( a ， 1y )，( 2a ， 2y )也在反比例函数的图象上，试比较 1y 与 2y 的大小； （3）求 AOB 的面积． 【难度】3 星 【解析】反比例函数 k 的几何意义，以及面积的转化 【答案】⑴由题意设 A ( a ， k a )，则 1 1 22 2AOC kS a ka      ，得 4k  故反比例函数的解析式为 4y x  ⑵因为反比例函数 4y x  ，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，由 0a  ，得 2a a   ，所以 1 2y y ⑶如图，作 BD x 轴于 D ，设 AC 与 OB 相交于点 E ， 易知 AOE ECDBS s  梯形 ，故 AOB ACDBS s  梯形 ， 易求 4AC a  ， 2BD a  ， CD a ，所以 1 4 2( ) 32AOB ACDBS S aa a     梯形 【巩固】如图，已知双曲线  0ky kx   经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D ，与直角边 AB 相交于点 C ．若 OBC 的面积为 3，则 k  __________． 【难度】4 星 【解析】连接 CD ，将 OCD 的面积转化到梯形 ACDE ，则 =3OBC ABDES S  梯形 ∴ 1ODES  【答案】 2 ☞ k 的几何意义与双曲线的对称性 1.如图一，直线 AB 与反比例函数 ky x  （ 0k  ）交于 A 、 B 两点，与 x 、 y 轴的交点分别为 C 、 D ， 那么 OAB OCA OCB ODB ODAS S S S S        ，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、 而且还易计算出错。 2.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长 BO 交双曲线于点 E ， 连接 AE 、则 OB OE ， OAB OAES S  ，因此可以将 OAE 的面积转化为梯形的面积 11 【例 11】 直线 y kx （ 0k  ）与双曲线 4y x  交于 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 两点，则 1 2 2 12 7x y x y 的值等于 【难度】2 星 【解析】双曲线以及正比例函数图象都是关于原点成中心对称，因此 1 2x x  ， 1 2y y  ， ∴ 1 2 2 2 4x y x y    ， 2 1 2 2 4x y x y    【答案】 20 【例 12】 如图，一次函数 y kx b  的图像与反比例函数 my x  的图像交于 ( 21) (1 )A B n ，， ， 两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 AOB 的面积． 【难度】4 星 【解析】（1）∵点  2 1A  ， 在反比例函数 my x  的图像上， ∴ ( 2) 1 2m      ． ∴反比例函数的表达式为 2y x   ． ∵点  1B n， 也在反比例函数 2y x   的图像上， ∴ 2n   ，即  1 2B ， ． 把点  2 1A  ， ，点  1 2B ， 代入一次函数 y kx b  中，得 2 1 2 k b k b        ，解得 1 1 k b      ∴一次函数的表达式为 1y x   ． （2）方法一、在 1y x   中，当 0y  时，得 1x   ． ∴直线 1y x   与 x 轴的交点为  1 0C  ， ． 12 ∵线段 OC 将 AOB 分成 AOC 和 BOC ， ∴ 1 1 1 31 2 1 1 12 2 2 2AOB AOC BOCS S S          △ △ △ ． 方法二、延长 BO 交双曲线于点 D ，连接 AD ，过点 A ， D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E 、 F ，则点 B 与点 D 关于原点对称，所以 1 ( )2OAB ODA ADFES S S AE DF EF     梯形 ∵ (1, 2)B  ∴ ( 1,2)D  ∴ 1AE  ， 2DF  ， 1EF  ， ∴ 1 3( )2 2OAB ODA ADFES S S AE DF EF      梯形 【答案】（1）反比例函数的表达式为 2y x   ，一次函数的表达式为 1y x   ．（2） 3 2 ． 【巩固】已知反比例函数 8y x  上两点 A ， B 的横坐标分别为 2 ，8，则 OAB 的面积为 【难度】3 星 【解析】反比例函数 k 的几何意义及双曲线的中心对称性 【答案】15 模块三 反比例函数与其他几何问题 ☞反比例函数与等腰三角形 1.涉及一般等腰三角形存在性的问题，注意需要分类讨论， 2.如果有等腰直角三角形或者等边三角形，注意考虑它的特殊性质 【例 13】 如图，已知反比例函数 1 2 ky x  的图象与一次函数 2y k x b  的图象交于 A B， 两点，   11 22A n B      ， ， ， ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 P ，使 AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出 P 点的坐标；若 不存在，请说明理由． 【难度】3 星 【解析】此题的第二问涉及到分类讨论，要注意讲清分类的标准． 【答案】（1）∵点 1 22B     ， 在反比例函数 1 2 ky x  图象上， 12 12 2 k       ∴ ， 1 2k ∴ ∴反比例函数的解析式为 1y x  ． 13 又 (1 )A n∵ ， 在反比例函数图象上， 1 1n ∴ ， 1n ∴ A∴ 点坐标为  1 1， ． ∴一次函数 2y k x b  的图象经过点 1(1 1) 22A B      ，， ， 2 2 1 1 22 k b k b      ∴ ， 2 2 1 k b     ∴ ∴一次函数的解析式为 2 1y x  ． （2）存在符合条件的点 P ，可求出点 P 的坐标为 ( 2 0) ( 2 0) (2 0) (1 0)， ， ， ， ， ， ， 【例 14】 如图， 1 1POA 、 2 1 2P A A 都是等腰直角三角形，点 1P 、 2P 在函数 4y x  ( 0x  )的图像上，斜边 1OA 、 1 2A A 、都在 x 轴上，求点 2A 的坐标. 【难度】4 星 【解析】分别过点 1P 、 2P 做 x 轴的垂线，根据题意易得 1PC OC ， 2 1P D A D ， 1 4PC OC  ， 2 4P D OD  设 1OA a ， 2OA b ，则根据题意得 2 aOC  ， 1 2 aPC  ，∴ 42 2 a a  ，解得 4a  2 b aOD  ， 2 2 b aP D  ，∴ 42 2 b a b a   ，解得 4 2b  依次类推，可得 3 4 3OA  ， 4 4 4 8OA   … 4nOA n 所以 2A ( 4 2 ， 0 ). 【答案】 2A ( 4 2 ， 0 ). 【巩固】如图所示，    1 1 1 2 2 2P x y P x y， ， ， ，……，  n n nP x y， 在函数  9 0y xx   的图象上， 1 1OP A ， 2 1 2P A A ， 3 2 3P A A ，…， 1n n nP A A ，…都是等腰直角三角形，斜边 1 1 2 1n nOA A A A A， ，…， 都在 x 轴 上，则 1 2 ny y y   … ______________． 14 【难度】4 星 【解析】反比例函数与等腰直角三角形有关习题的变形 【答案】由已知可求得 1 6OA  ， 2 6 2OA  ，…， 6nOA n ∵ 1 1 1 2y OA ， 2 1 2 1 2y A A ，…， 1 1 2n n ny A A ∴ 1 2 1 1 2 1 1 1( ) 32 2n n n ny y y OA A A A A OA n           课堂检测 1. 如图，已知一次函数 y kx b  的图象与反比例函数 8y x   的图象交于 A 、 B 两点，且 A 点的横 坐标和 B 点的纵坐标都是 2 ⑴求一次函数解析式 ⑵ AOB 的面积 【难度】 3星 【解析】利用反比例函数 k 的几何意义以及中心对称转化面积 【答案】⑴一次函数解析式为 2y x   ⑵ 6AOBS  2. 如图，正方形 OABC ， ADEF 的顶点 A 、 D 、 C 在坐标轴上，点 F 在 AB 上，点 B 、 E 在函数 1 ( 0)y xx   的图象上，则点 E 的坐标是 【难度】3 星 【解析】利用点 E 在双曲线函数图象上，引入未知数，建立方程 15 【答案】根据题意得，正方形OABC 的边长为1，设正方形 ADEF 的边长为 a 则 1OD a  ， DE a ∴ ( 1) 1a a   ，解得 5 1 2a  或 5 1 2a   （舍） ∴ E 点坐标为 5 1 5 1( , )2 2   总结复习 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． 课后作业 1． 已知反比例函数 2 ky x  和一次函数 2 1y x  ，其中一次函数的图象经过 ( , )a b 、 ( 1, )a b k  两点 ⑴求反比例函数的解析式 ⑵如图，已知 A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求 A 点坐标； ⑶利用⑵的结果，请问：在 x 轴上是否存在点 P ，使 AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的 P 点 坐标都求出来；若不存在，请说明理由。 【难度】4 星 【解析】注意分类讨论、点 A 坐标隐含的信息 【答案】⑴∵一次函数的图象经过 ( , )a b 、 ( 1, )a b k  两点 ∴ 2 1b a  ， 2( 1) 1b k a    ，解得 2k  ∴反比例函数解析式为 1y x  ⑵联立方程组得 2 1 1 y x y x    ，解得 1 1 1 2 2 x y       或 2 2 1 1 x y    ∵点 A 在第一象限 ∴ A 点坐标为 (1,1) 16 ⑶分类讨论： 若 OA AP ，则 P 点坐标为 (2,0) 若 OP PA ，则 P 点坐标为 (1,0) 若 AO OP ，则 P 点坐标为 ( 2,0) 或 ( 2,0)