2012年广西自治区来宾市中考数学试题（含答案）

2012年广西自治区来宾市中考数学试题（含答案）

‎2012年广西来宾市中考数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．（2012•广西）如图，已知几何体由5个相同的小正方体组成，那么它的主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图。734944 ‎ 分析：‎ 得到从几何体正面看得到的平面图形即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：从正面看得到3列正方形的个数依次为1，2，1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 考查三视图的相关知识；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．‎ ‎2．（2012•广西）在下列平面图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形。734944 ‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎3．（2012•广西）如果2x2y3与x2yn+1是同类项，那么n的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 同类项。734944 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出n的值．‎ 解答：‎ 解：∵2x2y3与x2yn+1是同类项，‎ ‎∴n+1=3，‎ 解得：n=2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是解答本题的关键．‎ ‎4．（2012•广西）如图，在△ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎40°‎ B．‎ ‎60°‎ C．‎ ‎120°‎ D．‎ ‎140°‎ 考点：‎ 三角形内角和定理；平行线的性质。734944 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先根据三角形内角和定理计算出∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣80°﹣60°=40°，再根据平行线的性质得到∠CED+∠C=180°，即∠CED=180°﹣40°=140°．‎ 解答：‎ 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣80°﹣60°=40°，‎ 又∵DE∥BC，‎ ‎∴∠CED+∠C=180°，‎ ‎∴∠CED=180°﹣40°=140°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了平行线的性质．‎ ‎5．（2012•广西）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1，2）‎ B．‎ ‎（3，2）‎ C．‎ ‎（1，4）‎ D．‎ ‎（1，0）‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-平移。734944 ‎ 分析：‎ 向左平移2个长度单位，即点M的横坐标减2，纵坐标不变，得到点N．‎ 解答：‎ 解：点M（1，2）向左平移2个长度单位后，坐标为（1﹣2，2），‎ 即N（﹣1，2），‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．‎ ‎6．（2012•广西）分式方程的解是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=﹣2‎ B．‎ x=1‎ C．‎ x=2‎ D．‎ x=3‎ 考点：‎ 解分式方程。734944 ‎ 分析：‎ 公分母为x（x+3），去括号，转化为整式方程求解，结果要检验．‎ 解答：‎ 解：去分母，得x+3=2x，‎ 解得x=3，‎ 当x=3时，x（x+3）≠0，‎ 所以，原方程的解为x=3，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎7．（2012•广西）在一个不透明的袋子中，装有形状、质地、大小等完全相同的1个黑球、2个白球、3个黄球、4个红球．从中随机抽取一个，那么取出的小球是黄球的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 概率公式。734944 ‎ 分析：‎ 由袋子中装有1个黑球、2个白球、3个黄球、4个红球，随机从袋子中摸出1个球，这个球是黄球的情况有3种，根据概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵袋子中装有1个黑球、2个白球、3个黄球、4个红球．共2+1+3+4=10个球，‎ ‎∴摸到这个球是黄球的概率是3÷10=．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎8．（2012•广西）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 根与系数的关系。734944 ‎ 分析：‎ 首先关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+1=﹣1，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：设关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α，‎ ‎∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，‎ ‎∴α+1=﹣1，‎ ‎∴α=﹣2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．‎ ‎9．（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎②‎ B．‎ ‎①②‎ C．‎ ‎①③‎ D．‎ ‎②③‎ 考点：‎ 勾股定理的逆定理。734944 ‎ 分析：‎ 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．‎ 解答：[来源:Z_xx_k.Com]‎ 解：①∵22+32=13≠42，‎ ‎∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；‎ ‎②∵32+42=52 ，‎ ‎∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；‎ ‎③∵12+（）2=22，‎ ‎∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．‎ 故构成直角三角形的有②③．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．‎ ‎10．（2012•广西）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6a﹣（2a﹣3b）=4a﹣3b B．‎ ‎（ab2）3=ab6‎ C．‎ ‎2x3•3x2=6x5‎ D．‎ ‎（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；整式的加减；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式。734944 ‎ 分析：‎ 根据合并同类项、去括号的性质、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法以及单项式乘以单项式的知识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．‎ 解答：‎ 解：A、6a﹣（2a﹣3b）=6a﹣2a+3b=4a+3b，故本选项错误；‎ B、（ab2）3=a3b6，故本选项错误；‎ C、2x3•3x2=6x5，故本选项正确；‎ D、（﹣c）4÷（﹣c）2=（﹣c）2=c2，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了合并同类项、去括号的性质、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法以及单项式乘以单项式的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．‎ ‎11．（2012•广西）使式子有意义的x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥﹣1‎ B．‎ ‎﹣1≤x≤2‎ C．‎ x≤2‎ D．‎ ‎﹣1＜x＜2‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件。734944 ‎ 分析：‎ 因为二次根式的被开方数是非负数，所以x+1≥0，2﹣x≥0，据此可以求得x的取值范围．‎ 解答：‎ 解：根据题意，得 ‎，‎ 解得，﹣1≤x≤2；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎12．（2012•广西）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°[来源:Zxxk.Com]‎ B．‎ ‎45°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎90°‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；切线的性质。734944 ‎ 分析：‎ 根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值．所以在Rt△AOP中，利用直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得此时∠OAP的值．‎ 解答：‎ 解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；‎ 在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，‎ ‎∴AB=2OP，‎ ‎∴∠OAB=30°．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了直线与圆的位置关系、切线的性质．此题属于操作题，在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（2012•广西）数据组：26，28，25，24，28，26，28的众数是　28　．‎ 考点：‎ 众数。734944 ‎ 分析：‎ 众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以得到．‎ 解答：‎ 解：28出现的次数最多，所以众数是28．‎ 故答案为28．‎ 点评：‎ 主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．‎ ‎14．（2012•广西）分解因式：2xy﹣4x2=　2x（y﹣2x）　．‎ 考点：‎ 因式分解-提公因式法。734944 ‎ 分析：‎ 利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数．‎ 解答：‎ 解：原式=2x（y﹣2x）．‎ 故答案是：2x（y﹣2x）．‎ 点评：‎ 本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．‎ ‎15．（2012•广西）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　30　°．‎ 考点：‎ 旋转的性质。734944 ‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 直接根据图形旋转的性质进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，‎ ‎∴△OAB≌△OA1B1，‎ ‎∴∠A1OB=∠AOB=30°．‎ 故答案为：30．‎ 点评：‎ 本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．‎ ‎[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎16．（2012•广西）请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式，你所写的函数解析式是　y=﹣（答案不唯一）　．‎ 考点：[来源:学|科|网]‎ 反比例函数的性质。734944 ‎ 专题：‎ 开放型。‎ 分析：‎ 根据反比例函数y=（k≠0）的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数k为负数，据此即可写出函数解析式．‎ 解答：‎ 解：由于反比例函数图象经过二、四象限，‎ 所以比例系数为负数，‎ 故解析式可以为y=﹣（答案不唯一）．‎ 故答案为：y=﹣（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．‎ ‎17．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是　50或80　°．‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质。734944 ‎ 专题：‎ 分类讨论。‎ 分析：‎ 由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．‎ 解答：‎ 解：分两种情况：‎ ‎①当80°的角为等腰三角形的顶角时，‎ 底角的度数=（180°﹣80°）÷2=50°；‎ ‎②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，‎ 故它的底角度数是50或80．‎ 故答案为50或80．‎ 点评：‎ 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．‎ ‎18．（2012•广西）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是　12　米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。734944 ‎ 分析：‎ 在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．‎ 解答：‎ 解：由题意知BC=8，∠C=56°，‎ 故AB=BC•tan56°≈8×1.483≈12米，‎ 故答案为12．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．‎ 三、解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎19．（2012•广西）（1）计算：π0+2﹣1﹣﹣|﹣|；‎ ‎（2），其中x=4，y=﹣2．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。734944 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）分别根据0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据有理数混合运算的法则进行计算即可；‎ ‎（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=4，y=﹣2代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=1+﹣﹣‎ ‎=1﹣‎ ‎=；‎ ‎（2）原式=×=，‎ 当x=4，y=﹣2时，‎ 原式==．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值及实数的混合运算，熟知0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键．‎ ‎20．（2012•广西）某数学兴趣小组在本校九年级学生中以“你最喜欢的一项体育运动”为主题进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如图图表：‎ 项目 篮球 乒乓球 羽毛球 跳绳 其他 人数 a ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎（1）本次共调查学生　50　名；‎ ‎（2）a=　15　，表格中五个数据的中位数是　10　；‎ ‎（3）在扇形图中，“跳绳”对应的扇形圆心角是　36°　°；‎ ‎（4）如果该年级有450名学生，那么据此估计大约有　108　人最喜欢“乒乓球”．‎ 考点：‎ 扇形统计图；用样本估计总体；统计表。734944 ‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）设本次共调查了x名学生，由统计表中的数据可知喜欢羽毛球的有10人，由扇形统计图可知，喜欢羽毛球的人数是总人数的20%，故可得出x的值；‎ ‎（2）由于喜欢篮球的人数占调查人数的30%，再由（1）中求出的x的值进行计算，由中位数的定义可求出五个数据的中位数；‎ ‎（3）由于喜欢跳绳的人数是5人，故可求出所占调查人数的百分比，故可求出对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）先求喜欢乒乓球的人数出参加调查的人数的百分比，据此可估计出该年级喜欢乒乓球的人数．‎ 解答：‎ 解：（1）设本次共调查了x名学生，‎ ‎∵由统计表中的数据可知喜欢羽毛球的有10人，由扇形统计图可知，喜欢羽毛球的人数是总人数的20%，‎ ‎∴×100%=20%，解得x=50（人）；‎ ‎（2）∵喜欢篮球的人数占调查人数的30%，共有50人参加调查，‎ ‎∴a=50×30%=15（人）；‎ ‎∴这五个数据的中位数是：10；‎ ‎（3）∵由于喜欢跳绳的人数是5人，‎ ‎∴=，‎ ‎∴“跳绳”对应的扇形圆心角的度数=×360°=36°；‎ ‎（4）∵喜欢乒乓球的人数是12人，‎ ‎∴喜欢乒乓球的人数占参加调查人数的百分比为：×100%=24%，‎ ‎∵该年级有450名学生，‎ ‎∴最喜欢“乒乓球”的人数大约有：450×24%=108（人）．‎ 点评：‎ 本题考查的是扇形统计图、统计表及中位数的概念，根据扇形统计图中喜欢羽毛球的人数占参加调查人数的百分比求出参加调查的总人数是解答此题的关键．‎ ‎21．（2012•广西）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用。734944 ‎ 专题：‎ 应用题。‎ 分析：‎ 设甲中车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：设甲中车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，‎ 由题意得，，‎ 解得：．‎ 答：甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米．‎ 点评：‎ 此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，仔细审题，根据题意的等量关系得出方程是解答本题的关键．‎ ‎'‎ ‎22．（2012•广西）如图，在▱ABCD中，BE交对角线AC于点E，EF∥BE交AC于点F．‎ ‎（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；‎ ‎（2）求证：BE=DF．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质。734944 ‎ 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据SSS证出△ABC≌△CDA即可；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据AAS证出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可；‎ ‎（2）由△AFD≌△CEB推出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，‎ 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD=BC，‎ ‎∵AC=AC，‎ ‎∴△ABC≌△CDA（SSS）；‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DAF=∠BCE，‎ ‎∵DF∥BE，‎ ‎∴∠AFD=∠CEB，‎ 即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，‎ ‎∴△AFD≌△CEB（AAS）；‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAE=∠DCF，‎ ‎∵DF∥BE，‎ ‎∴∠AFD=∠CEB，‎ ‎∴∠AEB=∠DFC（等角的补角相等），‎ 即∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，‎ ‎∴△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）证明：∵由（1）知：△AFD≌△CEB，‎ ‎∴BE=DF．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，难度适中．‎ ‎23．（2012•广西）已知点A（6，0）及在第一象限的动点P（x，y），且2x+y=8，设△OAP的面积为S．‎ ‎（1）试用x表示y，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）求S关于x的函数解析式；‎ ‎（3）△OAP的面积是否能够达到30？为什么？‎ 考点：‎ 一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征。734944 ‎ 分析：‎ ‎（1）利用2x+y=8，得出y=8﹣2x及点P（x，y）在第一象限内求出自变量的取值范围．‎ ‎（2）根据△OAP的面积=OA×y÷2列出函数解析式，‎ ‎（3）利用当S=30，﹣6x+24=30，求出x的值，进而利用x的取值范围得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵2x+y=8，‎ ‎∴y=8﹣2x，‎ ‎∵点P（x，y）在第一象限内，‎ ‎∴x＞0，y=8﹣2x＞0，‎ 解得：0＜x＜4；‎ ‎（2）△OAP的面积S=6×y÷2=6×（8﹣2x）÷2=﹣6x+24；‎ ‎（3）∵S=﹣6x+24，‎ ‎∴当S=30，﹣6x+24=30，‎ 解得：x=﹣1，‎ ‎∵0＜x＜4，‎ ‎∴x=﹣1不合题意，‎ 故△OAP的面积不能够达到30．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数的性质，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎24．（2012•广西）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．‎ 考点：‎ 切线的判定；勾股定理；圆周角定理。734944 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线，得证；‎ ‎（2）连接BD，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB为直角，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义得到cos∠DAB=，又在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAD的值，由∠EAD=∠DAB，得到cos∠EAD=cos∠DAB，得出cos∠DAB的值，即可求出直径AB的长．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OD，如图所示：‎ ‎∵AD为∠CAB的平分线，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ 又OA=OD，‎ ‎∴∠BAD=ODA，‎ ‎∴∠CAD=∠ODA，‎ ‎∴AC∥OD，‎ ‎∴∠E+∠EDO=180°，‎ 又AE⊥ED，即∠E=90°，‎ ‎∴∠EDO=90°，‎ 则OD为圆O的切线；‎ ‎（2）解：连接BD，如图所示，‎ ‎∵AB为圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 在Rt△ABD中，cos∠DAB=，‎ 在Rt△AED中，AE=4，AD=5，‎ ‎∴cos∠EAD==，又∠EAD=∠DAB，‎ ‎∴cos∠DAB=cos∠EAD==，‎ 则AB=AD=，即圆的直径为．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．‎ ‎25．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；‎ ‎（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。734944 ‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，需先求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标；‎ ‎（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），‎ ‎∴，解得a=﹣1，c=3，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）对称轴为x==1，‎ 令y=﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴C（﹣1，0）．‎ 如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：‎ ‎，解得k=﹣1，b=3，‎ ‎∴直线AB解析式为y=﹣x+3．‎ 当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．‎ ‎（3）结论：存在．‎ 如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，‎ 过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．‎ S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB ‎=（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB ‎=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3‎ ‎=（x+y）﹣，‎ ‎∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：‎ S△ABP=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，S△ABP取得最大值．‎ 当x=时，y=﹣x2+2x+3=，∴P（，）．‎ 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、图形面积的表示方法等重要知识点，难度不是很大．注意第（3）问中图形面积的表示方法﹣并非直接用底乘以高，而是通过其他图形组合转化而来﹣这是压轴题中常见的技巧，需要认真掌握．‎