浙教版九年级上册二次函数专题之四边形存在性问题(教师版)

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浙教版九年级上册二次函数专题之四边形存在性问题(教师版)

二次函数专题之四边形存在性问题 ‎【例1】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴相交于(0,﹣),顶点为P.‎ ‎(1)求抛物线解析式;‎ ‎(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标,并求出平行四边形的面积.‎ ‎【详解】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将(﹣3,0),(1,0),(0,)代入抛物线解析式得,解得:a=,b=1,c=﹣∴抛物线解析式:y=x2+x﹣‎ ‎(2)∵y=x2+x﹣=(x+1)2﹣2‎ ‎∴P点坐标为(﹣1,﹣2)‎ ‎∵△ABP的面积等于△ABE的面积,‎ ‎∴点E到AB的距离等于2,‎ 设E(a,2),‎ ‎∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2,a2=﹣1+2‎ ‎∴符合条件的点E的坐标为(﹣1﹣2,2)或(﹣1+2,2)‎ ‎(3)∵点A(﹣3,0),点B(1,0),∴AB=4‎ ‎①若AB为边,且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴AB∥PF,AB=PF=4‎ ‎∵点P坐标(﹣1,﹣2)‎ ‎∴点F坐标为(3,﹣2),(﹣5,﹣2)‎ ‎∴平行四边形的面积=4×2=8‎ ‎②若AB为对角线,以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴AB与PF互相平分 设点F(x,y)且点A(﹣3,0),点B(1,0),点P(﹣1,﹣2)‎ ‎∴ ,∴x=﹣1,y=2‎ ‎∴点F(﹣1,2)‎ ‎∴平行四边形的面积=×4×4=8‎ 综上所述:点F的坐标为(﹣1,2)、(3,﹣2)、(﹣5,﹣2),且平行四边形的面积为8.‎ ‎【例2】抛物线的图象经过坐标原点,且与轴另交点为.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图,直线与抛物线相交于点和点(点在第二象限),求的值(用含的式子表示);‎ ‎(3)在(2)中,若,设点是点关于原点的对称点,如图.平面内是否存在点,使得以点、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【详解】(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0,0)和(-,0),‎ ‎∴,解得:,‎ ‎∴抛物线F的解析式为y=x2+x. ‎ ‎(2)将y=x+m代入y=x2+x,得:x2=m,‎ 解得:x1=﹣,x2=,‎ ‎∴y1=﹣+m,y2=+m,‎ ‎∴y2﹣y1=(+m)﹣(﹣+m)=(m>0).‎ ‎(3)∵m=,‎ ‎∴点A的坐标为(﹣,),‎ 点B的坐标为(,2).‎ ‎∵点A′是点A关于原点O的对称点,‎ ‎∴点A′的坐标为(,﹣).‎ 由两点距离公式可得:AA′=AB=A′B=,‎ ‎∴存在符合题意的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况,设点P的坐标为(x,y).‎ ‎(i)当A′B为对角线时,有,解得:,‎ ‎∴点P的坐标为(2,); ‎ ‎(ii)当AB为对角线时,有,解得:,‎ ‎∴点P的坐标为(﹣,); ‎ ‎(iii)当AA′为对角线时,有,解得:,‎ ‎∴点P的坐标为(﹣,﹣2).‎ ‎【例3】如图,抛物线与直线交于,两点,直线交轴与点,点是直线上的动点,过点作轴交于点,交抛物线于点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)连接,,当四边形是平行四边形时,求点的坐标;‎ ‎(3)在轴上存在一点,连接,,当点运动到什么位置时,以为顶点的四边形是矩形?求出此时点的坐标;‎ 解析:(1)∵点A(﹣4,﹣4),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4;‎ ‎(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+4,‎ 设E(m,2m+4)∴G(m,﹣m2﹣2m+4),‎ ‎∵四边形GEOB是平行四边形,∴EG=OB=4,‎ ‎∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4,‎ ‎∴m=﹣2,∴G(﹣2,4);‎ ‎(3)①如图1,‎ 由(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4,‎ ‎∴设E(a,2a+4),‎ ‎∵直线AC:y=﹣x﹣6,∴F(a,﹣a﹣6),‎ 设H(0,p),‎ ‎∵以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形,‎ ‎∵直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC:y=﹣x﹣6,‎ ‎∴AB⊥AC,‎ ‎∴EF为对角线,‎ ‎∴(﹣4+0)=(a+a),(﹣4+p)=(2a+4﹣a﹣6),‎ ‎∴a=﹣2,P=﹣1,‎ ‎∴E(﹣2,0).H(0,﹣1);‎ ‎【达标检测】‎ ‎1.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点,点M在这条抛物线上,点P在y轴上,如果四边形ABMP是平行四边形,则点M的坐标为______.‎ ‎【详解】∵y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点,‎ ‎∴A(-1,0);B(3,0)∴AB=4,‎ ‎∵四边形ABMP是平行四边形,‎ ‎∴AB//PM,PM=AB=4,‎ ‎∵P点在y轴上,‎ ‎∴P点横坐标为4,‎ ‎∵P点在抛物线y=﹣x2+2x+3上,‎ ‎∴x=4时,y=-16+8+3=-5,‎ ‎∴M点的坐标为:(4,-5).‎ ‎2.如图,抛物线与轴的负半轴交于点,与轴交于点,连接,点分别是直线与抛物线上的点,若点围成的四边形是平行四边形,则点的坐标为__________. ‎ ‎【详解】由抛物线的表达式求得点的坐标分别为. ‎ 由题意知当为平行四边形的边时,,且,‎ ‎∴线段可由线段平移得到. ‎ ‎∵点在直线上,①当点的对应点为时,如图,需先将向左平移1个单位长度,‎ 此时点的对应点的横坐标为,将代入,‎ 得,∴. ‎ ‎②当点A的对应点为时,同理,先将向右平移2个单位长度,可得点的对应点的横坐标为2,‎ 将代入得,∴‎ 当为平行四边形的对角线时,可知的中点坐标为,‎ ‎∵在直线上,‎ ‎∴根据对称性可知的横坐标为,将代入 得,∴. ‎ 综上所述,点的坐标为或或.‎ ‎3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线,经过A(0,﹣4),B(,0),C(,0)三点,且.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;‎ ‎(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)∵抛物线,经过点A(0,﹣4),∴c=﹣4,‎ 又∵由题意可知,、是方程的两个根,∴,,由已知得,∴,∴,∴‎ ‎,解得:,‎ 当b=时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去.∴b=;‎ ‎(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上,又∵=,∴抛物线的顶点(,)即为所求的点D;‎ ‎(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(﹣6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=﹣3与抛物线的交点,∴当x=﹣3时,=4,∴在抛物线上存在一点P(﹣3,4),使得四边形BPOH为菱形.‎ 四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(﹣3,3),但这一点不在抛物线上.‎
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