北京市2008-2019年中考数学分类汇编探究性试题之几何篇pdf含解析

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第 1页（共 15页） 2008～2019 北京中考数学分类汇编(探究性试题之几何篇) 一．解答题（共 7 小题） 1．已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8，D 为 AB 边上的点，过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于 点 G．DE⊥BC 于点 E，过点 G 作 GF⊥BC 于点 F，把三角形纸片 ABC 分别沿 DG，DE， GF 按图 1 所示方式折叠，点 A，B，C 分别落在点 A′，B′，C′处．若点 A′，B′， C′在矩形 DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分） 为“重叠三角形”． （1）若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为 1 的 等边三角形），点 A，B，C，D 恰好落在网格图中的格点上．如图 2 所示，请直接写出此 时重叠三角形 A′B′C′的面积； （2）实验探究：设 AD 的长为 m，若重叠三角形 A′B′C′存在．试用含 m 的代数式表 示重叠三角形 A′B′C′的面积，并写出 m 的取值范围．（直接写出结果） 2．阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示，将它们分割后拼接 成一个新的正方形．他的做法是：按图 2 所示的方法分割后，将三角形纸片 ① 绕 AB 的 中点 O 旋转至三角形纸片 ② 处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 DEFG． 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图 3 所示．请将其分割后拼接成 一个平行四边形．要求：在图 3 中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件 的平行四边形即可）； （2）如图 4，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、 CD、DA 的中点，分别连接 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ，请在 图 4 中 探 究 平 行 四 边 形 MNPQ 面 积 的 大 小 （ 画 图 并 直 接 写 出 结 果 ）． 第 2页（共 15页） 3．阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点 P 按下 列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45°的方向作直线运动，每次 碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为 45°的方向作直线运动，并 且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着 BC 边夹角为 45°的方 向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角为 45°的方向作直线运动，…， 如图 1 所示， 问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总 长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的知识，发现 P2P3＝P2E，P1A＝P1E． 请你参考小贝的思路解决下列问题： （1）P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次；P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重 合时所经过的路径的总长是 cm； （2）近一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 AD＞AB，动点 P 从 A 点出 发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB：AD 的值为 ． 4．阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O．若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形的面 第 3页（共 15页） 积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个 三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可 以解决这个问题．他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的△BDE 即是以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形（如图 2）． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，△ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF． （1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形 （保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ． 5．操作与探究： （1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向 右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P′． 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A′B′，其中点 A， B 的对应点分别为 A′，B′．如图 1，若点 A 表示的数是﹣3，则点 A′表示的数是 ； 若点 B′表示的数是 2，则点 B 表示的数是 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操 作后得到的对应点 E′与点 E 重合，则点 E 表示的数是 ． （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操 作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再 向上平移 n 个单位（m＞0，n＞0），得到正方形 A′B′C′D′及其内部的点，其中点 A， B 的对应点分别为 A′，B′．已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的 对应点 F′与点 F 重合，求点 F 的坐标． 第 4页（共 15页） 6．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a（a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T， W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正 方形的边长为 ； （2）求正方形 MNPQ 的面积． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边△ABC 各边上分别截取 AD＝BE＝CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC， AB 的垂线，得到等边△RPQ．若 S△RPQ＝ ，则 AD 的长为 ． 7．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠ BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求 AC 的长． 小腾发现，过点 C 作 CE∥AB，交 AD 的延长线于点 E，通过构造△ACE，经过推理和计 算能够使问题得到解决（如图 2）． 第 5页（共 15页） 请回答：∠ACE 的度数为 ，AC 的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC 与 BD 交于点 E，AE＝2，BE＝2ED，求 BC 的长． 第 6页（共 15页） 2008～2019 北京中考数学分类汇编(探究性试题之几何篇) 参考答案与试题解析 一．解答题（共 7 小题） 1．已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8，D 为 AB 边上的点，过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于 点 G．DE⊥BC 于点 E，过点 G 作 GF⊥BC 于点 F，把三角形纸片 ABC 分别沿 DG，DE， GF 按图 1 所示方式折叠，点 A，B，C 分别落在点 A′，B′，C′处．若点 A′，B′， C′在矩形 DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分） 为“重叠三角形”． （1）若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为 1 的 等边三角形），点 A，B，C，D 恰好落在网格图中的格点上．如图 2 所示，请直接写出此 时重叠三角形 A′B′C′的面积； （2）实验探究：设 AD 的长为 m，若重叠三角形 A′B′C′存在．试用含 m 的代数式表 示重叠三角形 A′B′C′的面积，并写出 m 的取值范围．（直接写出结果） 【解答】解：（1）∵每个小三角形的面积是 ∴重叠三角形 A'B'C'的面积为 ； （2）重叠的等边三角形 A'B'C'的边长|8﹣m﹣m|＝|8﹣2m|， 根据 S＝ absinC 得： 面积是： • •|8﹣2m|2＝ （4﹣m）2， 用含 m 的代数式表示重叠三角形 A'B'C'的面积为 （4﹣m）2， m 的取值范围为 ≤m＜4． 2．阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示，将它们分割后拼接 第 7页（共 15页） 成一个新的正方形．他的做法是：按图 2 所示的方法分割后，将三角形纸片 ① 绕 AB 的 中点 O 旋转至三角形纸片 ② 处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 DEFG． 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图 3 所示．请将其分割后拼接成 一个平行四边形．要求：在图 3 中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件 的平行四边形即可）； （2）如图 4，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、 CD、DA 的中点，分别连接 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ，请在 图 4 中 探 究 平 行 四 边 形 MNPQ 面 积 的 大 小 （ 画 图 并 直 接 写 出 结 果 ）． 【解答】解： （1）拼接成的平行四边形是平行四边形 ABCD（如图 3）． （2）正确画出图形（如图 4）平行四边形 MNPQ 的面积为 ． 3．阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点 P 按下 列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45°的方向作直线运动，每次 碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为 45°的方向作直线运动，并 且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着 BC 边夹角为 45°的方 向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角为 45°的方向作直线运动，…， 如图 1 所示， 第 8页（共 15页） 问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总 长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的知识，发现 P2P3＝P2E，P1A＝P1E． 请你参考小贝的思路解决下列问题： （1）P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 5 次；P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合 时所经过的路径的总长是 24 cm； （2）近一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 AD＞AB，动点 P 从 A 点出 发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB：AD 的值为 4：5 ． 【解答】解：（1）5； （2）24 ；解题思路示意图： （2）AB：AD＝4：5． 4．阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O．若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形的面 第 9页（共 15页） 积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个 三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可 以解决这个问题．他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的△BDE 即是以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形（如图 2）． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，△ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF． （1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形 （保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ． 【解答】解：△BDE 的面积等于 1． （1）如图．以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP． （2）平移 AF 到 PE，可得 AF∥PE，AF＝PE， ∴四边形 AFEP 为平行四边形， ∴AE 与 PF 互相平分，即 M 为 PF 的中点， 又∵AP∥FN，F 为 AB 的中点， ∴N 为 PC 的中点， ∴E 为△PFC 各边中线的交点， ∴△PEC 的面积为△PFC 面积的 连接 DE，可知 DE 与 PE 在一条直线上 ∴△EDC 的面积是△ABC 面积的 所以△PFC 的面积是 1× ×3＝ 第 10页（共 15页） ∴以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ． 5．操作与探究： （1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向 右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P′． 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A′B′，其中点 A， B 的对应点分别为 A′，B′．如图 1，若点 A 表示的数是﹣3，则点 A′表示的数是 0 ；若点 B′表示的数是 2，则点 B 表示的数是 3 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述 操作后得到的对应点 E′与点 E 重合，则点 E 表示的数是 ． （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操 作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再 向上平移 n 个单位（m＞0，n＞0），得到正方形 A′B′C′D′及其内部的点，其中点 A， B 的对应点分别为 A′，B′．已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的 对应点 F′与点 F 重合，求点 F 的坐标． 【解答】解：（1）点 A′：﹣3× +1＝﹣1+1＝0， 第 11页（共 15页） 设点 B 表示的数为 a，则 a+1＝2， 解得 a＝3， 设点 E 表示的数为 b，则 b+1＝b， 解得 b＝ ； 故答案为：0，3， ； （2）根据题意得， ， 解得 ， 设点 F 的坐标为（x，y）， ∵对应点 F′与点 F 重合， ∴ x+ ＝x， y+2＝y， 解得 x＝1，y＝4， 所以，点 F 的坐标为（1，4）． 6．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a（a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T， W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正 方形的边长为 a ； （2）求正方形 MNPQ 的面积． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边△ABC 各边上分别截取 AD＝BE＝CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC， 第 12页（共 15页） AB 的垂线，得到等边△RPQ．若 S△RPQ＝ ，则 AD 的长为 ． 【解答】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为 a，则斜边上的高为 a， 每个等腰直角三角形的面积为： a• a＝ a2， 则拼成的新正方形面积为：4× a2＝a2，即与原正方形 ABCD 面积相等， ∴这个新正方形的边长为 a； （2）∵四个等腰直角三角形的面积和为 a2，正方形 ABCD 的面积为 a2， ∴S 正方形 MNPQ＝S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF＝4S△ARE＝4× ×12＝2； （3）如答图 1 所示，分别延长 RD，QF，PE，交 FA，EC，DB 的延长线于点 S，T，W． 由题意易得：△RSF，△QET，△PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长均等于 △ABC 的边长． 不妨设等边三角形边长为 a，则 SF＝AC＝a． 如答图 2 所示，过点 R 作 RM⊥SF 于点 M，则 MF＝ SF＝ a， 第 13页（共 15页） 在 Rt△RMF 中，RM＝MF•tan30°＝ a× ＝ a， ∴S△RSF＝ a• a＝ a2． 过点 A 作 AN⊥SD 于点 N，设 AD＝AS＝x， 则 AN＝AD•sin30°＝ x，SD＝2ND＝2ADcos30°＝ x， ∴S△ADS＝ SD•AN＝ • x• x＝ x2． ∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW 的面积和＝3S△RSF＝3× a2＝ a2， ∴S△RPQ＝S△ADS+S△CFT+S△BEW＝3S△ADS， ∴ ＝3× x2，得 x2＝ ， 解得 x＝ 或 x＝ （不合题意，舍去） ∴x＝ ，即 AD 的长为 ． 故答案为：a； ． 7．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠ BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求 AC 的长． 小腾发现，过点 C 作 CE∥AB，交 AD 的延长线于点 E，通过构造△ACE，经过推理和计 算能够使问题得到解决（如图 2）． 请回答：∠ACE 的度数为 75° ，AC 的长为 3 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC 与 BD 交于点 E，AE＝2，BE＝2ED，求 BC 的长． 第 14页（共 15页） 【解答】解：∠ABC+∠ACB＝∠ECD+∠ACB＝∠ACE＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∠E＝75°，BD＝2DC， ∴AD＝2DE， AE＝AD+DE＝3， ∴AC＝AE＝3， ∠ACE＝75°，AC 的长为 3． 过点 D 作 DF⊥AC 于点 F． ∵∠BAC＝90°＝∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴ ＝2， ∴EF＝1，AB＝2DF． 在△ACD 中，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°， ∴∠ACD＝75°，AC＝AD． ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°， 在△AFD 中，AF＝2+1＝3，∠FAD＝30°， ∴DF＝AFtan30°＝ ，AD＝2DF＝2 ． ∴AC＝AD＝2 ，AB＝2DF＝2 ． ∴BC＝ ＝2 ． 第 15页（共 15页） 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 日期：2020/1/19 13:53:17 ；用户： 金雨教育；邮 箱：309593466@qq.com ；学号： 335385