北京市2008-2019年中考数学分类汇编二次函数综合pdf含解析

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第 1页（共 28页） 2008～2019 北京中考数学分类(二次函数综合) 一．解答题（共 12 小题） 1．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ax2+bx﹣ 与 y轴交于点 A，将点 A向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B在抛物线上． （1）求点 B的坐标（用含 a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 P（ ，﹣ ），Q（2，2）．若抛物线与线段 PQ恰有一个公共点，结合函 数图象，求 a的取值范围． 2．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝4x+4与 x轴，y轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a经过点 A，将点 B向右平移 5个单位长度，得到点 C． （1）求点 C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC恰有一个公共点，结合函数图象，求 a的取值范围． 3．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2﹣4x+3与 x轴交于点 A、B（点 A在点 B的左侧）， 与 y轴交于点 C． （1）求直线 BC的表达式； （2）垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC交于点 N （x3，y3），若 x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求 x1+x2+x3的取值范围． 第 2页（共 28页） 4．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与 x轴的交点为 A，B． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当 m＝1时，求线段 AB上整点的个数； ②若抛物线在点 A，B之间的部分与线段 AB所围成的区域内（包括边界）恰有 6个整点， 结合函数的图象，求 m的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy中，过点（0，2）且平行于 x轴的直线，与直线 y＝x﹣1交于点 A，点 A关于直线 x＝1的对称点为 B，抛物线 C1：y＝x2+bx+c经过点 A，B． （1）求点 A，B的坐标； （2）求抛物线 C1的表达式及顶点坐标； （3）若抛物线 C2：y＝ax2（a≠0）与线段 AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围． 第 3页（共 28页） 6．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝2x2+mx+n经过点 A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点 B关于原点的对称点为 C，点 D是抛物线对称轴上一动点，且点 D纵坐标为 t， 记抛物线在 A，B之间的部分为图象 G（包含 A，B两点）．若直线 CD 与图象 G有公共 点，结合函数图象，求点 D纵坐标 t的取值范围． 7．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与 y轴交于点 A，其对称轴 与 x轴交于点 B． （1）求点 A，B的坐标； （2）设直线 l与直线 AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的解析式； （3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1 这一段位于直线 l的上方，并且在 2＜x＜3这一段位于 直线 AB的下方，求该抛物线的解析式． 第 4页（共 28页） 8．已知二次函数 y＝（t+1）x2+2（t+2）x+ 在 x＝0和 x＝2时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数 y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点 A（﹣3，m），求 m和 k的 值； （3）设二次函数的图象与 x轴交于点 B，C（点 B在点 C的左侧），将二次函数的图象在 点 B，C间的部分（含点 B和点 C）向左平移 n（n＞0）个单位后得到的图象记为 G，同 时将（2）中得到的直线 y＝kx+6向上平移 n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线 与图象 G有公共点时，求 n的取值范围． 9．在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与 x轴交 于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C． （1）求点 A的坐标； （2）当∠ABC＝45°时，求 m的值； （3）已知一次函数 y2＝kx+b，点 P（n，0）是 x轴上的一个动点，在（2）的条件下， 过点 P垂直于 x轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 y＝mx2+（m﹣3）x ﹣3（m＞0）的图象于 N．若只有当﹣2＜n＜2时，点 M位于点 N的上方，求这个一次 函数的解析式． 第 5页（共 28页） 10．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝﹣ x2+ x+m2﹣3m+2 与 x轴的交点分别为 原点 O和点 A，点 B（2，n）在这条抛物线上． （1）求点 B的坐标； （2）点 P在线段 OA上，从 O点出发向点 A运动，过 P点作 x轴的垂线，与直线 OB交 于点 E．延长 PE到点 D．使得 ED＝PE．以 PD为斜边，在 PD右侧作等腰直角三角形 PCD（当 P点运动时，C点、D点也随之运动）①当等腰直角三角形 PCD的顶点 C落 在此抛物线上时，求 OP的长；②若 P点从 O点出发向 A点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA上另一点 Q从 A点出发向 O点作匀速运动，速度为每秒 2个单位 （当 Q点到达 O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过 Q点作 x轴的垂线，与直线 AB交于点 F．延长 QF到点 M，使得 FM＝QF，以 QM为斜边，在 QM的左侧作等腰直 角三角形 QMN（当 Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若 P点运动到 t秒时，两个 等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t的值． 第 6页（共 28页） 11．已知关于 x的一元二次方程 2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数． （1）求 k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数 y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下 平移 8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折，图 象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 y＝ x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 12．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2+bx+c与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的 左侧），与 y轴交于点 C，点 B的坐标为（3，0），将直线 y＝kx沿 y轴向上平移 3个单位 长度后恰好经过 B，C两点． （1）求直线 BC及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，点 P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点 P的坐 标； （3）连接 CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数． 第 7页（共 28页） 2008～2019 北京中考数学分类(二次函数综合) 参考答案与试题解析 一．解答题（共 12 小题） 1．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ax2+bx﹣ 与 y轴交于点 A，将点 A向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B在抛物线上． （1）求点 B的坐标（用含 a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 P（ ，﹣ ），Q（2，2）．若抛物线与线段 PQ恰有一个公共点，结合函 数图象，求 a的取值范围． 【解答】解：（1）A（0，﹣ ） 点 A向右平移 2个单位长度，得到点 B（2，﹣ ）； （2）A与 B关于对称轴 x＝1对称， ∴抛物线对称轴 x＝1； （3）∵对称轴 x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣ ， ①a＞0时， 当 x＝2时，y＝﹣ ＜2， 当 y＝﹣ 时，x＝0或 x＝2， ∴函数与 PQ无交点； ②a＜0时， 当 y＝2时，ax2﹣2ax﹣ ＝2， x＝ 或 x＝ 当 ≤2时，a≤﹣ ； 第 8页（共 28页） ∴当 a≤﹣ 时，抛物线与线段 PQ恰有一个公共点； 2．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝4x+4与 x轴，y轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a经过点 A，将点 B向右平移 5个单位长度，得到点 C． （1）求点 C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC恰有一个公共点，结合函数图象，求 a的取值范围． 【解答】解：（1）与 y轴交点：令 x＝0代入直线 y＝4x+4得 y＝4， ∴B（0，4）， ∵点 B向右平移 5个单位长度，得到点 C， ∴C（5，4）； （2）与 x轴交点：令 y＝0代入直线 y＝4x+4得 x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵点 B向右平移 5个单位长度，得到点 C， 将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a， ∴抛物线的对称轴 x＝﹣ ＝﹣ ＝1； （3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A的对称点（3，0）， ①a＞0时，如图 1， 将 x＝0代入抛物线得 y＝﹣3a， ∵抛物线与线段 BC恰有一个公共点， ∴﹣3a＜4， a＞﹣ ， 将 x＝5代入抛物线得 y＝12a， ∴12a≥4， a≥ ， ∴a≥ ； ②a＜0时，如图 2， 将 x＝0代入抛物线得 y＝﹣3a， 第 9页（共 28页） ∵抛物线与线段 BC恰有一个公共点， ∴﹣3a＞4， a＜﹣ ； ③当抛物线的顶点在线段 BC上时，则顶点为（1，4），如图 3， 将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a， 解得 a＝﹣1． 综上所述，a≥ 或 a＜﹣ 或 a＝﹣1． 3．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2﹣4x+3与 x轴交于点 A、B（点 A在点 B的左侧）， 第 10页（共 28页） 与 y轴交于点 C． （1）求直线 BC的表达式； （2）垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC交于点 N （x3，y3），若 x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求 x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：（1）由 y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）． 所以 A（1，0），B（3，0）， 设直线 BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0）， 则 ， 解得 ， 所以直线 BC的表达式为 y＝﹣x+3； （2）由 y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣2）2﹣1， 所以抛物线 y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）． ∵y1＝y2， ∴x1+x2＝4． 令 y＝﹣1，y＝﹣x+3，x＝4． ∵x1＜x2＜x3， ∴3＜x3＜4，即 7＜x1+x2+x3＜8． 4．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与 x轴的交点为 A，B． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当 m＝1时，求线段 AB上整点的个数； ②若抛物线在点 A，B之间的部分与线段 AB所围成的区域内（包括边界）恰有 6个整点， 第 11页（共 28页） 结合函数的图象，求 m的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）． （2）①∵m＝1， ∴抛物线为 y＝x2﹣2x， 令 y＝0，得 x＝0或 2，不妨设 A（0，0），B（2，0）， ∴线段 AB上整点的个数为 3个． ②如图所示，抛物线在点 A，B之间的部分与线段 AB所围成的区域内（包括边界）恰有 6个整点， ∴点 A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0））， 当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝ ， 当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝ ， ∴m的取值范围为 ＜m≤ ． 5．在平面直角坐标系 xOy中，过点（0，2）且平行于 x轴的直线，与直线 y＝x﹣1交于点 A，点 A关于直线 x＝1的对称点为 B，抛物线 C1：y＝x2+bx+c经过点 A，B． （1）求点 A，B的坐标； （2）求抛物线 C1的表达式及顶点坐标； 第 12页（共 28页） （3）若抛物线 C2：y＝ax2（a≠0）与线段 AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 y＝2时，则 2＝x﹣1， 解得：x＝3， ∴A（3，2）， ∵点 A关于直线 x＝1的对称点为 B， ∴B（﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线 C1：y＝x2+bx+c得： 解得： ∴y＝x2﹣2x﹣1． 顶点坐标为（1，﹣2）． （3）如图，当 C2过 A点，B点时为临界， 代入 A（3，2）则 9a＝2， 第 13页（共 28页） 解得：a＝ ， 代入 B（﹣1，2），则 a（﹣1）2＝2， 解得：a＝2， ∴ ． 6．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝2x2+mx+n经过点 A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点 B关于原点的对称点为 C，点 D是抛物线对称轴上一动点，且点 D纵坐标为 t， 记抛物线在 A，B之间的部分为图象 G（包含 A，B两点）．若直线 CD 与图象 G有公共 点，结合函数图象，求点 D纵坐标 t的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝2x2+mx+n经过点 A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为 y＝2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线 x＝1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数 y＝2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出 D纵坐标最小值为﹣4， 设直线 BC解析式为 y＝kx+b， 将 B与 C坐标代入得： ， 第 14页（共 28页） 解得：k＝ ，b＝0， ∴直线 BC解析式为 y＝ x， 当 x＝1时，y＝ ， 则 t的范围为﹣4≤t≤ ． 7．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与 y轴交于点 A，其对称轴 与 x轴交于点 B． （1）求点 A，B的坐标； （2）设直线 l与直线 AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的解析式； （3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1 这一段位于直线 l的上方，并且在 2＜x＜3这一段位于 直线 AB的下方，求该抛物线的解析式． 第 15页（共 28页） 【解答】解：（1）当 x＝0时，y＝﹣2， ∴A（0，﹣2）， 抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝1， ∴B（1，0）； （2）易得 A点关于对称轴直线 x＝1的对称点 A′（2，﹣2）， 则直线 l经过 A′、B， 设直线 l的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 则 ， 解得 ， 所以，直线 l的解析式为 y＝﹣2x+2； （3）∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴抛物线在 2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称， 结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线 l的上方，在﹣1＜x＜0这一 段位于直线 l的下方， ∴抛物线与直线 l的交点的横坐标为﹣1， 当 x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4， 所以，抛物线过点（﹣1，4）， 当 x＝﹣1时，m+2m﹣2＝4， 解得 m＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝2x2﹣4x﹣2． 第 16页（共 28页） 8．已知二次函数 y＝（t+1）x2+2（t+2）x+ 在 x＝0和 x＝2时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数 y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点 A（﹣3，m），求 m和 k的 值； （3）设二次函数的图象与 x轴交于点 B，C（点 B在点 C的左侧），将二次函数的图象在 点 B，C间的部分（含点 B和点 C）向左平移 n（n＞0）个单位后得到的图象记为 G，同 时将（2）中得到的直线 y＝kx+6向上平移 n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线 与图象 G有公共点时，求 n的取值范围． 【解答】（1）解：∵二次函数 y＝（t+1）x2+2（t+2）x+ 在 x＝0和 x＝2时的函数值相 等， ∴代入得：0+0+ ＝4（t+1）+4（t+2）+ ， 解得：t＝﹣ ， ∴y＝（﹣ +1）x2+2（﹣ +2）x+ ＝﹣ x2+x+ ， 第 17页（共 28页） ∴二次函数的解析式是 y＝﹣ x2+x+ ． （2）解：把 A（﹣3，m）代入 y＝﹣ x2+x+ 得：m＝﹣ ×（﹣3）2﹣3+ ＝﹣6， 即 A（﹣3，﹣6）， 代入 y＝kx+6得：﹣6＝﹣3k+6， 解得：k＝4， 即 m＝﹣6，k＝4． （3）解：由题意可知，点 B、C间的部分图象的解析式是 y＝﹣ x2+x+ ＝﹣ （x2﹣ 2x ﹣ 3 ） ＝ ﹣ （ x ﹣ 3 ） （ x+1 ） ， ﹣ 1 ≤ x ≤ 3 ， 则抛物线平移后得出的图象 G的解析式是 y＝﹣ （x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣ n， 此时直线平移后的解析式是 y＝4x+6+n， 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切， 则方程 4x+6+n＝﹣ （x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解， 即﹣ x2﹣（n+3）x﹣ n2﹣ ＝0有两个相等的实数解， 判别式△＝[﹣（n+3）]2﹣4×（﹣ ）×（﹣ n2﹣ ）＝6n＝0， 即 n＝0， ∵与已知 n＞0相矛盾， ∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切， 第 18页（共 28页） ∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点， 则两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0）， 则 0＝4（﹣n﹣1）+6+n， n＝ ， 0＝4（3﹣n）+6+n， n＝6， 即 n的取值范围是： ≤n≤6． 9．在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与 x轴交 于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C． （1）求点 A的坐标； （2）当∠ABC＝45°时，求 m的值； （3）已知一次函数 y2＝kx+b，点 P（n，0）是 x轴上的一个动点，在（2）的条件下， 过点 P垂直于 x轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 y＝mx2+（m﹣3）x ﹣3（m＞0）的图象于 N．若只有当﹣2＜n＜2时，点 M位于点 N的上方，求这个一次 函数的解析式． 【解答】解：（1）∵点 A、B是二次函数 y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与 x轴 的交点， ∴令 y＝0，即 mx2+（m﹣3）x﹣3＝0 整理，得 （x+1）（mx﹣3）＝0 解得 x1＝﹣1， 又∵点 A在点 B左侧且 m＞0 ∴点 A的坐标为（﹣1，0） 第 19页（共 28页） （2）由（1）可知点 B的坐标为 ∵二次函数的图象与 y轴交于点 C ∴点 C的坐标为（0，﹣3） ∵∠ABC＝45° ∴OB＝ ， ∴m＝1 （3）由（2）得，二次函数解析式为 y1＝x2﹣2x﹣3， ∵只有当﹣2＜n＜2时，点 M位于点 N的上方， ∴当﹣2＜n＜2时，y1＜y2， 即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和 2， 由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3）， 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y＝kx+b中， 得 ，解得： ∴一次函数解析式为 y＝﹣2x+1． 10．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝﹣ x2+ x+m2﹣3m+2 与 x轴的交点分别为 第 20页（共 28页） 原点 O和点 A，点 B（2，n）在这条抛物线上． （1）求点 B的坐标； （2）点 P在线段 OA上，从 O点出发向点 A运动，过 P点作 x轴的垂线，与直线 OB交 于点 E．延长 PE到点 D．使得 ED＝PE．以 PD为斜边，在 PD右侧作等腰直角三角形 PCD（当 P点运动时，C点、D点也随之运动）①当等腰直角三角形 PCD的顶点 C落 在此抛物线上时，求 OP的长；②若 P点从 O点出发向 A点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA上另一点 Q从 A点出发向 O点作匀速运动，速度为每秒 2个单位 （当 Q点到达 O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过 Q点作 x轴的垂线，与直线 AB交于点 F．延长 QF到点 M，使得 FM＝QF，以 QM为斜边，在 QM的左侧作等腰直 角三角形 QMN（当 Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若 P点运动到 t秒时，两个 等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t的值． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣ x2+ x+m2﹣3m+2经过原点， ∴m2﹣3m+2＝0， 解得 m1＝1，m2＝2， 由题意知 m≠1， ∴m＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x， ∵点 B（2，n）在抛物线 y＝﹣ x2+ x上， ∴n＝4， ∴B点的坐标为（2，4）． （2）设直线 OB的解析式为 y＝k1x， 求得直线 OB的解析式为 y＝2x， 第 21页（共 28页） ∵A点是抛物线与 x轴的一个交点，可求得 A点的坐标为（10，0）， 设 P点的坐标为（a，0）， 则 E点的坐标为（a，2a）， 根据题意作等腰直角三角形 PCD， 如图 1，可求得点 C的坐标为（3a，2a）， 由 C点在抛物线上， 得：2a＝﹣ ´（3a）2+ ´3a， 即 a2﹣ a＝0， 解得 a1＝ ，a2＝0（舍去）， ∴OP＝ ． 依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB的解析式为 y＝k2x+b， 由点 A（10，0），点 B（2，4），求得直线 AB的解析式为 y＝﹣ x+5， 当 P点运动到 t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以 下三种情况： 第一种情况：CD与 NQ在同一条直线上． 如图 2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时 OP、DP、AQ的长可依次表示为 t、 4t、2t个单位． ∴PQ＝DP＝4t， ∴t+4t+2t＝10， ∴t＝ ． 第二种情况：PC与 MN在同一条直线上．如图 3所示．可证△PQM为等腰直角三 角形．此时 OP、AQ的长可依次表示为 t、2t个单位． ∴OQ＝10﹣2t， ∵F点在直线 AB上， ∴FQ＝t， ∴MQ＝2t， ∴PQ＝MQ＝CQ＝2t， ∴t+2t+2t＝10， 第 22页（共 28页） ∴t＝2． 第三种情况：点 P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图 4所示．此时 OP、 AQ的长可依次表示为 t、2t个单位． ∴t+2t＝10， ∴t＝ ． 综上，符合题意的 t值分别为 ，2， 第 23页（共 28页） 11．已知关于 x的一元二次方程 2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数． （1）求 k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数 y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下 平移 8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折，图 象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 y＝ x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，△＝16﹣8（k﹣1）≥0． ∴k≤3． ∵k为正整数， ∴k＝1，2，3； （2）设方程 2x2+4x+k﹣1＝0的两根为 x1，x2，则 x1+x2＝﹣2，x1•x2＝ ． 当 k＝1时，方程 2x2+4x+k﹣1＝0有一个根为零； 当 k＝2时，x1•x2＝ ，方程 2x2+4x+k﹣1＝0没有两个不同的非零整数根； 当 k＝3时，方程 2x2+4x+k﹣1＝0有两个相同的非零实数根﹣1． 综上所述，k＝1和 k＝2不合题意，舍去，k＝3符合题意． 当 k＝3时，二次函数为 y＝2x2+4x+2，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析 式为 y＝2x2+4x﹣6； 第 24页（共 28页） （3）设二次函数 y＝2x2+4x﹣6的图象与 x轴交于 A、B两点，则 A（﹣3，0），B（1，0）． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线 y＝ x+b经过 A点时，可得 b＝ ； 当直线 y＝ x+b经过 B点时，可得 b＝﹣ ． 由图象可知，符合题意的 b（b＜3）的取值范围为 ＜b＜ ． （3）依图象得，要图象 y＝ x+b（b小于 k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有 两段． 而因式分解得 y＝2x2+4x﹣6＝2（x﹣1）（x+3）， 第一段，当 y＝ x+b过（1，0）时，有一个交点，此时 b＝﹣ ． 当 y＝ x+b过（﹣3，0）时，有三个交点，此时 b＝ ．而在此中间即为两个交点，此 时﹣ ＜b＜ ． 第二段，将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折后， 开口向下的部分的函数解析式为 y＝﹣2（x﹣1）（x+3）． 显然， 当 y＝ x+b与 y＝﹣2（x﹣1）（x+3）（﹣3＜x＜1）相切时，y＝ x+b与这个二次函数图 象有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点． 因为 b＜3，而 y＝ x+b（b小于 k，k＝3），所以当 b＝3时，将 y＝ x+3代入二次函数 y＝﹣2（x﹣1）（x+3）整理得， 4x2+9x﹣6＝0，△＞0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图 象相交只有两个公共点．这种情况故舍去． 综上，﹣ ＜b＜ ． 第 25页（共 28页） 12．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2+bx+c与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的 左侧），与 y轴交于点 C，点 B的坐标为（3，0），将直线 y＝kx沿 y轴向上平移 3个单位 长度后恰好经过 B，C两点． （1）求直线 BC及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，点 P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点 P的坐 标； （3）连接 CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数． 【解答】解：（1）∵y＝kx沿 y轴向上平移 3个单位长度后经过 y轴上的点 C， ∴C（0，3）． 设直线 BC的解析式为 y＝kx+3． ∵B（3，0）在直线 BC上， ∴3k+3＝0． 解得 k＝﹣1． ∴直线 BC的解析式为 y＝﹣x+3．（1分） ∵抛物线 y＝x2+bx+c过点 B，C， 第 26页（共 28页） ∴ 解得 ， ∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3．（2分） （2）由 y＝x2﹣4x+3． 可得 D（2，﹣1），A（1，0）． ∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2． 可得△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝45°，CB＝3 ． 如图 1，设抛物线对称轴与 x轴交于点 F， ∴AF＝ AB＝1． 过点 A作 AE⊥BC于点 E． ∴∠AEB＝90度． 可得 BE＝AE＝ ，CE＝2 ． 在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF， ∴△AEC∽△AFP． ∴ ， ． 解得 PF＝2．∵点 P在抛物线的对称轴上， ∴点 P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．（5分） （3）解法一： 如图 2，作点 A（1，0）关于 y轴的对称点 A'，则 A'（﹣1，0）． 连接 A'C，A'D， 可得 A'C＝AC＝ ，∠OCA'＝∠OCA． 由勾股定理可得 CD2＝20，A'D2＝10． 又∵A'C2＝10， ∴A'D2+A'C2＝CD2． ∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D＝90°， 第 27页（共 28页） ∴∠DCA'＝45度． ∴∠OCA'+∠OCD＝45度． ∴∠OCA+∠OCD＝45度． 即∠OCA与∠OCD两角和的度数为 45度．（7分） 解法二： 如图 3，连接 BD． 同解法一可得 CD＝ ，AC＝ ． 在 Rt△DBF中，∠DFB＝90°，BF＝DF＝1， ∴DB＝ ． 在△CBD和△COA中， ， ， ． ∴ ． ∴△CBD∽△COA． ∴∠BCD＝∠OCA． ∵∠OCB＝45°， ∴∠OCA+∠OCD＝45度． 即∠OCA与∠OCD两角和的度数为 45度．（9分） 第 28页（共 28页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/1/19 9:49:57；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号： 335385