2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 圆的有关性质

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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 圆的有关性质 专题 05 圆的有关性质专题详解 ...........................................................1 24.1 圆的有关性质 ....................................................................2 知识框架 ...........................................................................2 一、基础知识点 .....................................................................3 知识点 1 圆的定义 .................................................................... 3 知识点 2 圆是轴对称图形 .............................................................. 4 知识点 3 垂径定理 .................................................................... 4 知识点 4 垂径定理的推论和重要公式 .................................................... 5 知识点 5 弧、弦、圆心角之间的关系 .................................................... 7 知识点 6 圆的对称性 .................................................................. 7 知识点 7 圆周角定理 .................................................................. 8 知识点 8 圆周角推论 .................................................................. 9 知识点 9 内接四边形 ................................................................. 10 二、方法与思路 ....................................................................12 方法 1 圆的半径 ..................................................................... 12 方法 2 利用转化思想求角度 ........................................................... 14 方法 3 构直径和直角 ................................................................. 18 方法 4 垂径定理与勾股定理 ........................................................... 21 方法 5 角平分线 ..................................................................... 28 方法 6 圆与等腰 ..................................................................... 31 三、典型题型 ......................................................................36 题型 1 利用圆的半径解题 ............................................................. 36 题型 2 垂径定理的证明与计算 ......................................................... 36 题型 3 垂径定理的应用 ............................................................... 38 题型 4 弧、弦、圆心角关系的计算 ..................................................... 39 题型 5 弧、弦、圆心角关系的证明 ..................................................... 40 题型 6 运用圆周角定理建立角之间的关系 ............................................... 42 题型 7 内接四边形 ................................................................... 42 四、难点题型 ......................................................................45 题型 1 圆的多解 ..................................................................... 45 题型 2 弧、弦间不等关系的推理 ....................................................... 46 题型 3 最值问题（对称性问题） ....................................................... 47 24.1 圆的有关性质 知识框架 { 基础知识点 { 图的定义 圆是轴对称图形 垂径定理 垂径定理的推论和重要公式 弧、弦、圆心角之间的关系 圆的对称性 圆周角定理 圆周角推论 内接四边形 方法与思路 { 圆的半径 { 构造等腰三角形 构造全等三角形 利用转化思想求角 { 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角 利用直径构造直角三角形转化角 构造圆内接四边形转化角 利用特殊数量关系构造特殊角转化角 构直径和直角 { 见直径，连直角 作直径，连直角 垂径定理与勾股定理 { 垂径定理求长度 { 已知直径与弦垂直 作垂直于弦的直径 利用弧的中点证垂直 方程思想 { 单勾股 双勾股 角平分线 { 平分锐角 平分直角 圆与等腰 { 圆心在三线上 圆心在腰上 典型题型 { 利用圆的半径解题 垂径定理的证明与计算 垂径定理的实际应用 弧、弦、圆心角关系的计算 弧、弦、圆心角关系的证明 运用圆周角定理及推论解题 内接四边形 难点题型 { 圆的多解 弧、弦间不等关系的推理 最值问题（对称性问题） 一、基础知识点 知识点 1 圆的定义 1）圆： 形成的定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一端点 A 所形成的轨迹。记作： “⊙O”，读作：“圆 O”，其中端点 O 叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2） ①半径：线段 OA 叫作圆的半径（OB、OC 也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如 AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如AĈ） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径 r 相等） 3）确定一个圆的两要素{ 圆心 半径 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2 倍的半径长度 6）同圆（半径相等的圆），等长弧对应的弧相等 7）C=2휋r S=휋r2 注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的，不仅指弧长相等，弧度也相等。 例 1.下列说法正确的是（ ） A.弦是直径 B.直径是弦 C.半径是直径的一半 D.弧是半圆 【答案】：B 【解析】：直径是最长的弦，先不一定是直径，A 错误，B 正确； 半径的长度时直径的一半，C 错误； 半圆是弧，弧不一定是半圆，D 错误 例 2.下列结论正确的有： ①直径是弦；②直径只有一条；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤过圆 内一点只能作一条直径 【答案】：①、③、④ 【解析】：直径是弦，①正确； 过圆心的弦都是直径，有无数条，②错误； 半圆是弧，弧不一定是半圆，③正确； 半径相等的圆是等圆，等圆的半圆是等弧，④正确； 过圆心可以作无数条直径，⑤错误。 知识点 2 圆是轴对称图形 1）圆是轴对称图，对称轴为直径，有无数条 例 1.圆是轴对称图形，任何一条 都是圆的对称轴。 【答案】：直径 例 2.如图，把푂1和푂2这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，这个图形的对称轴是 。 【答案】：圆心连线的直线 【解析】：∵圆的对称轴是圆的直径 ∴两个圆的对称轴是公共的一条直径经过的直线，即为圆心连线的直线。 知识点 3 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连 AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB ∴AD̂ =BD̂ AĈ=CB̂ 例 1.如图，在O 中，OC⊥AB 交AĈ于点 D，交 AB 于 C 点，OD=13，AB=24，求 CD 的长。 【答案】：8 【解析】：如图，连接 OA ∵OD⊥AB，AB=24 ∴根据垂径定理，AC=12 ∵OD=13 ∴r=13=OA ∴根据勾股定理，OC=5 ∴CD=13－5=8 例 2.如图，O 的直径为 10，弦 AB 为 8，OC⊥AB，P 是弦 AB 上一点，若 OP 的长为整数，求满足条件的 点 P 有几个。 【答案】：5 个 【解析】：如图，连接 OB ∵直径为 10 ∴OB=5 ∵AB=8，OC⊥AB ∴BC=4 ∴根据勾股定理，OC=3 在△OCP 中，3≤CP≤5 ∴CP=3 或 CP=4 或 CP=5 CP=3 有 1 个点，CP=4 有 2 个点，CP=5 有 2 个点 ∴有 5 个点满足条件 知识点 4 垂径定理的推论和重要公式 1）知二推三（推论） ①CD 过圆心（直径/半径）；②CD 垂直弦 AB；③CD 平分 AB；④AĈ=CB̂；⑤AD̂ =BD̂ 垂径定理重要推论：上述 5 个条件中，任意 2 个条件成立，则其余 3 个条件必定成立，即“知二推三”。 2）重要公式：设半径为 R，|AB| = 푙，|CE|=h，根据勾股定理：푅2＝（ 푙 2 ）2 + （R − h）2 圆中常用的辅助线：连 OB，作 OE 垂直弦 AB，构造出直角三角形。 例 1.按图填空：如图，在O 中， （1）若 MN⊥AB，MN 为直径，则 、 、 ； （2）若 AB=BC，MN 为直径，则 、 、 ； （3）若 MN⊥AB，AC=BC，则 、 、 ； （4）若AM̂ = 퐵푀̂ ，MN 为直径，则 、 、 。 【答案】：（1）AC=BC；AM̂ = 퐵푀̂ ；AN̂ = 퐵푁̂ （2）MN⊥AB；AM̂ = 퐵푀̂ ；AN̂ = 퐵푁̂ （3）MN 为直径;AM̂ = 퐵푀̂ ；AN̂ = 퐵푁̂ （4）MN⊥AB；AC=BC；AN̂ = 퐵푁̂ 【解析】：垂径定理“知二推三”，五个条件为：①MN 为直径（ON 为半径）；②MN⊥AB；③AC=BC；④ AM̂ = 퐵푀̂ ；⑤AN̂ = 퐵푁̂ 例 2.如图，在O 中，弦 AB=8cm，拱高 CD=2，CD⊥AB，求O 的半径。 【答案】：5 【解析】：如图，连接 OA ∵CD⊥AB，OC 是O 的半径，AB=8 ∴AD=DB=4 设半径为 r，则 DO=r－2 在 Rt△ADO 中，根据勾股定理：푟2＝42 + （r − 2）2 解得：r=5 知识点 5 弧、弦、圆心角之间的关系 1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角 2）规定旋转一周为 360°，即圆周角为 360° 3）①C=2휋r ②半圆弧长=1 2C ③弧长= 푛° 360° C（n 为圆心角） 4）等圆（半径相同）或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长相等 5）前提条件：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②对应的弦长相等；③对应的弧长相等。这 3 个条件 中，已知其中任 1 条件，必可推导出另外 2 条件（知一推二）。 圆心角 弧长相等 弦长相等 例 1.下列说法中错误的有： ①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弦所对的弧相等；③相等的圆心角所对的弦相等。 【答案】：①、②、③ 【解析】：推论的前提条件是：同圆或等圆中，这 3 个结论都没有前提条件，全部错误。 例 2.如图，AB，CD 是两条弦，填空： （1）如果 AB=CD，那么 、 ； （2）如果퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ ，那么 、 ； （3）如果∠AOB=∠COD，那么 、 。 【答案】：（1）퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ ；∠AOB=∠COD （2）AB=CD；∠AOB=∠COD （3）AB=CD；퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ 【解析】：弧、弦、圆心角“知一推二”，此题在同一个圆中，满足前提条件。三个条件为：①AB=CD；② 퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ ；③∠AOB=∠COD 知识点 6 圆的对称性 1）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2）实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫作圆的旋转不变 性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 例 1.如图，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 上一点，C，D 分别是圆上的点，且∠CPB=∠DPB，DB̂=CB̂，是比 较 PC，PD 的大小关系。 【答案】：PC=PD 【解析】：∵∠CPB=∠DPB，DB̂ =CB̂ ∴C、D 两点关于 AB 对称 ∴PC=PD 知识点 7 圆周角定理 1）圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角 注：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交 2）圆心角和圆周角的联系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半 存在如下图 3 种情况，证明如下： ①∵AO=OC ∴∠OAC=∠ACO 又∵∠BOC=∠OAC+∠OCA ∴∠BOC=2∠BAC ②∵2∠BAO=∠BOD 2∠OAC=∠DOC ∴∠BOC=2∠BAC ③∵∠DOC=2∠DAC ∠DOB=2∠DAB ∴∠BOC=2∠BAC 例 1.下列图形中的角是圆周角的是（ ） 【答案】：E 【解析】：圆周角需同时满足 2 个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交 同时满足这 2 个条件的，只有 E ∴答案为 E 例 2.如图，点 O 是O 的圆心，点 A，B，C 在O 上，AO∥BC，∠AOB=38°，求∠OAC 的度数。 【答案】：19° 【解析】：∵∠AOB=38° ∴∠ACB=19° ∵OA∥BC ∴∠OAC=∠ACB=19° 知识点 8 圆周角推论 1）推论 1：同弧或等弧所对圆周角相等 ∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3）推论 2：半圆（直径）所对的圆周角是 90°。（因为圆心角为 180°） 4）推论 3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：∵∠A=90° ∴△ACB 外接圆的圆心在 CB 上，且 CB 为直径 ∵∠D=90° ∴△BCD 外接圆的圆心在 CB 上，且 CB 为直径 ∴四点共圆 例 1.如图，点 A，B，C 在O 上，若∠A=50°，求∠BOC 的度数。 【答案】：100° 【解析】：∵∠A=50°，∠A 对应的弧为퐵퐶̂ ，∠BOC 对应的弧为퐵퐶̂ ∴∠BOC=2∠A=100° 例 2.如图，AB 为O 的直径，已知∠ACD=20°，求∠BAD 的度数。 【答案】：70° 【解析】：∵AB 是O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵∠ACD=20° ∴∠BCD=70° ∵∠BAD=∠BCD ∴∠BAD=70° 知识点 9 内接四边形 1）如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形 的外接圆。 2）圆内接四边形对角互补 证明：连接 BO，CO ∵∠A 是优弧AB̂的圆周角 ∠D 是劣弧AB̂的圆周角 ∴∠A+∠D=180° 例 1.如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 CD 延长线上一点，若∠B=110°，求∠ADE 的度数。 【答案】：110° 【解析】：∵四边形 ABCD 是O 的内接四边形 ∴∠B+∠ADC=180° ∵∠B=110° ∴∠ADC=70° ∴∠ADE=110° 例 2.如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD=90°，求∠A，∠BCD 的大小。 【答案】：∠A=45°，∠BCD=135° 【解析】：∵∠BOD=90° ∴∠A=45° ∵四边形 ABCD 为内接四边形 ∴∠C+∠A=180° ∴∠C=135° 二、方法与思路 方法 1 圆的半径 解题技巧：在同圆或等圆中，利用半径相等，提供相等线段，常可构造等腰三角形或全等三角形。 一、构造等腰三角形 例 1.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，求证：∠ACB=90°。 【答案】：见解析 【解析】：如图，连接 CO ∵CO=AO=OB=r ∴△AOC、△BOC 为等腰三角形 ∴∠A=∠OCA，∠B=∠OCB 在△ABC 中，∠A+∠B+∠ACO+∠OCB=180° ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠ACB=90° 例 2.如图，AB 为O 的直径，DE 为O 的弦，AD，BE 的延长线交于点 C，若∠C=60°，探究 DE 与 AB 的数量关系。 【答案】：AB=2DE 【解析】：如图，连接 OD、OE ∵∠C=60° ∴∠A+∠B=120° ∵OD=AO=OE=OB=r ∴∠ADO=∠A，∠OEB=∠B ∴∠ADO+∠OEB=120° ∴∠CDO+∠CEO=240° ∴∠DOE=360°－240°－60°=60° ∵OD=OE ∴△ODE 为等边三角形 ∴DE=OD=OE=r ∴AB=2DE 二、构造全等三角形 例 1.如图，AB 是O 的弦，点 C，D 在 AB 上，AC=BD，求证：OC=OD。 【答案】：见解析 【解析】：李连杰 OA，OB ∵OA=OB=r ∴∠OAC=∠OBA ∵AC=BD ∴△OCA≌△ODB（SAS） ∴OC=OD 例 2.如图，AB，CD 是O 的两条弦，且 AB=AC，求证：AO⊥BC。 【答案】：见解析 【解析】：连接 OB、OC ∵AB=AC，AO=AO，OB=OC=r ∴△AOB≌△AOC ∴∠OAB=∠OAC，AO 是∠BAC 的角平分线 ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AO⊥BC 方法 2 利用转化思想求角度 解题技巧：利用圆的有关性质转化角度是求角度常用的方法 一、利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角 解题技巧：在同圆中，弦 AB=弦 CD，则퐴퐵̂ 和퐶퐷̂ 对应的所有圆周角相等，对应的所有圆心角是圆周角的 2 倍。利用这个性质，将角度进行转化；再利用几何知识求解角度 例 1.如图，若∠A=25°，∠E=30°，求∠BOD 的度数。 【答案】：110° 【解析】：如图，连接 OC ∵∠BAC=25°，∴∠BOC=50° ∵∠CED=30°，∴∠COD=60° ∴∠BOD=110° 例 2.如图，△ABC 是O 的内接三角形，若∠OBC=70°，求∠A 的度数。 【答案】：20° 【解析】：如图，连接 OC ∵OB=OC，∠OBC=70° ∴∠OCB=70° ∴∠BOC=40° ∴∠BAC=20° 二、利用直径构造直角三角形转化角 解题技巧：直径对应的圆周角为 90°，在题干中，若有直径，则我们首选构造直径对应的圆周角。 例 1.如图，平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，D 在O 上，顶点 C 在O 的直径 BE 上，连接 AE，若∠ E=36°，求∠ADC 的大小。 【答案】：54° 【解析】：∵BE 是O 的直径 ∴∠BAE=90° ∵∠E=36° ∴∠ABE=54° ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠ADC=∠ABE=54° 例 2.如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上，∠AOD=130°，BC∥OD 交O 于 C，求∠A 的大小。 【答案】：40° 【解析】：∵AB 是O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵AOD=130°，BC∥OD ∴∠DOB=50°，∠CBA=50° ∴∠A=40° 三、构造圆内接四边形转化角 解题技巧：①内接四边形内角和为 360°；②内接四边形对边互补。利用这 2 个特点，再结合圆周角、圆 心角之间的关系，直径对应的直角等转化解题。 例 1.如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为O 的直径，点 C 为퐵퐶̂ 的中点，若∠A=40°，求∠B 的大 小。 【答案】：70° 【解析】：方法很多，此题利用四边形内角的性质解决，如图，连接 BD ∵四边形 ABCD 是内接四边形，∠A=40° ∴∠C=140° ∵点 C 是퐵퐶̂ 的中点 ∴CD=BC ∴△CDB 为等腰三角形 ∴∠CBD=∠CDB=20° ∵AB 是O 的直径 ∴∠ADB=90° ∴∠DBA=50° ∴∠ABC=50°+20°=70° 例 2.如图 A，B，C 是O 上的三个点，若∠AOC=100°，求∠ABC 的大小。 【答案】：130° 【解析】：注意，四边形 ABCO 不是内接四边形，因此需要先构造内接四边形。如图，在O 上任取一点 D，连接 AD，CD ∵∠AOC=100° ∴∠ADC=50° ∴∠ABC=130° 四、利用特殊数量关系构造特殊角转化角 解题技巧：特殊的角主要为：30°；45°；60°；120°等，这些角的三角形中，边是存在一些特殊长度 关系的。若涉及到这些特殊边的关系，可以想办法将图形构造为三角形（主要利用垂径定理，作垂线够三 角形），利用角和边的特殊关系推断出角的大小。 例 1.如图，O 的半径为 2，弦퐵퐶 = 2√3，点 D 为O 上一点（异于 B、C），求∠BDC 的大小。 【答案】：60° 【解析】：如图，过点 O 作 BC 的垂线，交 BC 于点 A，连接 OC ∵OA⊥BC，BC=2√3 ∴根据垂径定理，AC=√3 ∵半径为 2，∴OC=2 ∵在 Rt△OAC 中，OC=2，∠AC=√3 ∴∠C=30°，∠AOC=60° ∴∠BOC=120° ∴∠BDC=60° 例 2.如图，O 的半径为 1，弦 AB= √2，弦 AC=√3，求∠BOC 的大小 【答案】：150° 【解析】：连接 OA，过点 O 作 AB 的垂线，交 AB 于点 D，过点 O 作 AC 的垂线，交 AC 于点 E ∵AB=√2，∴AD=√2 2 ∵半径为 1，∴AO=1 ∵在 Rt△AOD 中，AO=1，AD=√2 2 ∴∠AOD=45° ∴∠AOB=90° 同理，∠AOC=120° ∴∠COB=150° 方法 3 构直径和直角 一、见直径，连直角 解题技巧：已知直径的情况下，通常连直径上 2 点的圆周角，构造直角。 例 1.如图，AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，∠ACD=60°，求∠BAD 的大小。 【答案】：30° 【解析】：如图，连接 BC，构造直角 ∵AB 是O 的直径 ∴∠ADB=90° ∵∠ACD=60° ∴∠ABD=60° ∴∠BAD=30° 例 2.如图，AB 为O 的直径，C，E 在O 上，∠BOE=20°，求∠ACE 的大小。 【答案】：100° 【解析】：可以利用四边形内角和解题，此处我们用直径对应直角解题，如图，连接 BC ∵AB 是O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵∠EOB=20° ∴∠ECB=10° ∴∠ACE=100° 二、作直径，连直角 解题技巧：圆中已知圆周角为直角，这直角在圆上的两个端点连线是直径。 例 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，半径为 1 的B 经过点 C，点 P 是B 上的一 点，且∠APC=90°，求 CP 的长。 【答案】：2√21 7 【解析】：如图，延长 AP 交B 于点 D，连接 BD ∵∠ACP=90°，∴∠CPD=90° ∴CD 是B 的直径，C、B、D 三点共线 ∵B 的半径为 1，∴CB=BD=1，CD=2 ∵∠CAB=30°，∠ACB=90° ∴AC=√3，AB=2 在 Rt△ACD 中，AD=√7 ∵∠CAP+∠CDP=90°，∠PCD+∠CDP=90° ∴∠CAP=∠PCD ∵∠ACD=∠CPD=90° ∴△ACD∽△CPD ∴퐴퐶 퐴퐷 = 퐶푃 퐶퐷 解得：CP=2√21 7 例 2.如图，O 的两条弦 AC 与 BD 互相垂直，OE⊥BC 于点 E。 （1）求证：OE=1 2 퐴퐷； （2）设O 的半径为 R，求证：퐴퐵2 + 퐶퐷2 = 4푅2 【答案】：见解析 【解析】：（1）如图，连接 CO 并延长，交O 于点 F，连接 BF，AF ∵CF 是O 的直径 ∴∠CFB=∠CAF=90° ∵点 O 是 CF 的中点，OE⊥BC，BF⊥BF ∴OE 是△CBF 的中位线 ∴OE=1 2BF ∵FA⊥AC，BD⊥AC ∴FA∥BD 补充： 如图，在O 中，弦 AB∥CD，则 AB=CD，CB=AD，证明如下： 过点 O 作 AB 的垂线，交 CD 与点 F，交 AB 于点 E ∵AB∥CD，∴OF⊥CD 根据垂径定理，AE=EB，CF=FD ∵OE=OE，∠AEO=∠BEO=90° ∴△AEO≌△BEO，∴∠AOE=∠BOE 同理，△COF≌△DOF，∠COF=∠DOF ∴∠COA=∠BOD ∴CA=BD，∠BCD=∠ADC ∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BDC=∠ADB+∠ADC 又∵∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠ADC ∴∠ACD=∠BDC ∴AD=BC，得证 根据补充 ∵AF∥BD，∴FB=AD ∴OE=1 2 AD （2）连接 FD △FDC 为直角三角形 ∴퐹퐷2 + 퐶퐷2 = 퐶퐹2 ∵AF∥BD，∴AB=FD ∴퐴퐵2 + 퐶퐷2 = 퐶퐹2，即퐹퐷2 + 퐶퐷2 = 4푅2 方法 4 垂径定理与勾股定理 解题技巧：垂径定理构造直角三角形，勾股定理利用直角三角形建立边长关系。 一、垂径定理求长度 （1）已知直径与弦垂直 解题技巧：已知直径（半径）与弦垂直，则满足垂径定理中的 2 个条件（直径和垂直），利用垂径定理的 “知二推三”，可直接得出另外三个结论。 例 1.如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD=4，EM=8，求퐶퐸퐷̂所在圆的半径。 【答案】：17 4 【解析】：已知 CM⊥CD，可直接利用垂径定理，如图，连接 OD ∵EM⊥CD，CD=4 ∴MD=2 设半径为 r，则 OD=r，OM=8－r 在 Rt△OMD 中：22 + （8 − 푟）2 = 푟2 解得：r=17 4 例 2.如图，AB 是O 的弦，OD⊥AB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上。若∠BED=30°，O 的半径为 4，求弦 AB 的长。 【答案】：4√3 【解析】：垂直+半径，可直接利用垂径定理。如图，连接 OB ∵∠E=30° ∴∠DOB=60° ∵OD⊥AB ∴∠AOD=∠BOD=60° ∴∠OAC=30° ∵半径为 4，∴OA=4 在 Rt △AOC 中，OA=4，∠A=30° ∴OC=2，AC=2√3 ∴AB=4√3 （2）作垂直于弦的直径 解题技巧：过原点作弦的垂线，连接圆心与弦的端点，构造出直角三角形，利用垂径定理结合勾股定理计 算线段长度关系。 例 3.如图，AB 是O 的直径，P 为 AB 上一点，过 P 作弦 MN，∠NPB=45°，MP=3，NP=5，求 AB 的 长。 【答案】：2√17 【解析】：如图，过点 O 作 MN 的垂线，交 MN 于点 C，连接 ON ∵OC⊥MN，MP=3，PN=5 ∴CM=CN=4，CP=2 ∵∠NPB=45° ∴△CPO 是等腰直角三角形 ∴CO=1 在 Rt△CON 中，ON=√17 ∴AB=2√17 例 4.如图，半径为 2√5的O 内有两条互相垂直的弦 AB、CD 交于点 P，AB=8，CD=6，求 OP 的长。 【答案】：√15 【解析】：如图，过点 O 分别作 AB、CD 的垂线，交 AB 于点 M、CD 于点 N，连接 OB，OD ∵AB=8，OM⊥AB，半径为 2√5 ∴MB=4，OB=2√5 ∴在 Rt△OBM 中，MO=2 同理，ON=√11 ∵AB⊥CD，∴∠DPB=90° ∵∠OMA=90°，∠ONC=90° ∴四边形 PMON 是矩形 ∴NP=MO=2，∠PNO=90° ∴在 Rt△PNO 中，PO=√15 （3）利用弧的中点证垂直 解题技巧：直径（半径）+弧的中点，依旧满足垂径定理中的 2 个条件，则原点与弧中点的连线垂直弦， 构造出直角三角形，再利用垂径定理和勾股定理计算。 例 5.如图，O 的直径为 20，弦 AB=16，点 C 是퐴퐵̂ 的中点，求 AC 的长。 【答案】：4√5 【解析】：如图，连接 OC，与 AB 相交于点 D ∵点 C 是퐴퐵̂ 的中点，AB=16 ∴AD=8，OC⊥AB ∴△AOD 为直角三角形、△ADC 为直角三角形 ∵直径为 20 ∴AO=10 ∴在 Rt△AOD 中，OD=6 ∴DC=4 ∴在 Rt△ACD 中，AC=4√5 二、方程思想 解题技巧：利用圆中的垂径定理，可构造出直角三角形。在求解边的过程中，可以利用勾股定理构建等 式，若等式中的长度未知，我们通常利用方程思想，设未知边为未知数，构造方程求解。其中，设半径为 未知数时最常见的方法。 （1）单勾股 例 1.如图，AB=BC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 E，CD⊥AB 于点 D。若 CD=6，CE=2，求 CO 的 长。 【答案】：3√5 【解析】：连接 AE ∵AB 是O 的直径，∴∠AEB=90° ∵AB⊥CD，∴∠CDB=90° ∵CB=AB，∠B=∠B ∴△CBD≌△ABE ∴BD=BE 设 BE=x，则 BD=x，BC=x+2 ∴在 Rt△BDC 中，푥2 + 62 = （푥 + 2）2 解得：x=8 ∴CB=10, ∴AB=AO=5，AD=2 ∴BO=3 ∴在 Rt△CDO 中，CO=3√5 例 2.如图，CD 是△ABC 的外角∠ECA 的平分线，CD 交过 A，B，C 三点的O 于点 D。若 AB=2， BD=√10，求O 的半径。 【答案】：5 3 【解析】：∵CD 是∠ACE 的角平分线 ∴∠ECD=∠DCA ∵∠ECD+∠DCB=180°，∠DCB+∠DAB=180° ∴∠ECD=∠DAB ∵∠DBA=∠DCA ∴∠DBA=∠ECD=∠DAB ∴△ABD 是等腰三角形，AD=BD 如图，连 DO，延长线交 AB 于点 F，连 OB ∵O 是△ABD 的外接圆 ∴点 O 是 BA 垂直平分线上的点 ∵△ABD 是等腰三角形 补充：如下图，O 是等腰△ABC 的外接圆，AB=AC，则 AO⊥BC，证明见方法 6。 根据补充知：DF⊥BA，且 FB=FA ∵BA=2，∴BF=1 ∵BD=√10，∴在 Rt△BDF 中，DF=3 设半径为 r，则 OB=r，OF=3－r ∴在 Rt△OFB 中：12 + （3 − 푟）2 = 푟2 解得：r=5 3 （2）双勾股 解题技巧：在利用垂径定理构造直角三角形时，是可以构建多个直角三角形的。有时，因已知条件较少或 方程难以求解，无法仅利用一个直角三角形构造的方程求解未知数。此刻，我们通常利用 2 个直角三角 形，构建出 2 个方程帮助求解未知数。通常，我们选取有公共边的 2 个直角三角形来构建 2 组勾股定理方 程。 例 3.如图，在O 中，퐴퐵̂ = 퐴퐶̂ ，连接 AO，过 B 作 BM∥OA 交 CA 的延长线于点 M。若 CM=16， OA=5，求 BM 的长。 【答案】：64 5 【解析】：如图，连接 AB，OB，羊场 AO 交 BC 于点 E ∵퐴퐵̂ = 퐴퐶̂ ，∴AB=AC，△ABC 是等腰三角形 根据例 2 中补充知：AE⊥BC，BE=EC ∵MB∥OA，点 E 是 BC 的中点 ∴AE 是△CBM 的中位线，2EA=MB，点 A 是 MC 的中点 ∵MC=16，∴AC=8=AB 设 OE=x，则 AE=x+5 在 Rt△ABE 中，퐵퐸2 = 퐴퐵2 − 퐴퐸2 = 82 − （푥 + 5）2 在 Rt△OBE 中，퐵퐸2 = 푂퐵2 − 푂퐸2 = 52 − 푥2 ∴82 − (푥 + 5)2 = 52 − 푥2 解得：x=7 5 ∴AE=7 5 + 5 = 32 5 ∴MB=64 5 例 4.如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别与边 BC 和 AC 相交于点 E 和 F，过点 E 作 EH⊥CF 于点 H，连接 OH。若 OH=√7，HC=1，求O 的半径长。（若解题有困哪，可先学习方法 6） 【答案】：2 【解析】：如图，连接 EF，OE，过点 O 作 AC 的垂线角 AC 于点 G ∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵四边形 ABCF 为内接四边形 ∴∠B+∠AFE=180° ∵∠AFE+∠EFC=180° ∴∠EFC=∠C，△FEC 为等腰三角形 ∵EH⊥AC ∴FH=HC ∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE=∠C ∴OE∥AC ∴OE⊥EH ∴四边形 OGHE 为矩形，EH=OG ∵OA=OF，OG⊥AC ∴AG=GH 设圆的半径为 r 在 Rt△OEH 中，퐸퐻2 = 푂퐻2 − 푂퐸2 = （√7）2 − 푟2 GF=GH－FH=OE－HC=r－1 在 Rt△FOG 中，퐸퐻2 = 푂퐺2 = 푂퐹2 − 퐺퐹2 = 푟2 − （푟 − 1）2 ∴（√7）2 − 푟2 = 푟2 − （푟 − 1）2 解得：r=2 方法 5 角平分线 解题技巧：角平分线与圆结合，可得到一些结论 一、平分锐角 解题技巧：已知 AB 是O 的直径，C 是圆上任一点（不与 A、B 重合），AD 是∠CAB 的角平分线，延长 AC、BD 交于点 G，连接 OD，则有如下结论： ①퐶퐷̂ = 퐵퐷̂ ，且∠BAD=∠CAD=∠ADO=∠CBD； ②OE 是三角形 ABC 的中位线，即：OE⊥BC，OE∥AC，2OE=AC； ③AG=AB，且 BD=DG 证明：∵AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠CAD=∠DAB ∴퐶퐷̂ = 퐵퐷̂ ∵AO=OD，퐶퐷̂ = 퐶퐷̂ ∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=∠CBD，①得证 ∵∠DOB=2∠DAB，∴∠DOB=∠DAB+∠CAD=∠CAB ∴AC∥OD，OE⊥CB ∵点 O 是 AB 的中点 ∴OE 是三角形 ABC 的中位线 ∴2OE=AC，②得证 ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，即 AD⊥BG ∵AD 是∠CAB 的角平分线 ∴△ABG 是等腰三角形，AB=AG，BD=DG，③得证 例 1.如图，AB 是O 的直径，C，P 是퐴퐵̂ 上两点，AB=13，AC=5，若点 P 是퐵퐶̂ 的中点，求 PA 的长。 【答案】：3√13 【解析】：连接 CB、PB、OP 根据结论得：OE 是△ABC 的中位线 ∵AC=5，AB=13，∴CB=12 ∴OE=5 2 ，BE=6，∠PEB=90° ∵r=13 2 ，∴EP=4 ∴在 Rt△EPB 中，PB=2√13 ∴在 Rt△APB 中，AP=3√13 例 2.如图，AB 是O 的直径，퐵퐷̂ =퐶퐷̂ ，若 AD=3√13，AB=13，求 AC 的长。 【答案】：5 【解析】：连接 CB、BD、OD 同上，在 Rt△ABD 中，可求得：BD=2√13 设 OE=x，则 AC=2x，ED=13 2 − 푥 在 Rt△DEB 中，퐸퐵2 = 퐵퐷2 − 퐷퐸2 = （2√13）2 − （ 13 2 − 푥）2 在 Rt△OEB 中， 퐸퐵2 = 퐵푂2 − 푂퐸2 = （ 13 2 ）2 − 푥2 ∴（2√13）2 − (13 2 − 푥) 2 = （ 13 2 ）2 − 푥2 解得：x=5 2 ∴AC=5 二、平分直角 解题技巧：已知 AB 是O 的直径，C 是圆上任意不与 A、B 重合的一点，CD 是∠ACB 的角平分线。连 接 AD，BD，OD，过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 于点 E，过点 D 分别作 CB、CA 的垂线，交于点 M，N，有 如下结论： ①퐴퐷̂ = 퐵퐷̂ ②△ABD、△ACE 是等腰直角三角形，则：OD⊥AB（点 D 在点 O 的正下方）； CE=CA=√2 2 AC ③四边形 CMDN 是正方形，则：CA+CB=√2퐶퐷；푆四边形퐴퐶퐵퐷 = 푆四边形퐶푀퐷푁 = 1 2 퐶퐷2 证明：∵CD 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACD=∠BCD ∴퐴퐷̂ = 퐵퐷̂ ，①得证 ∴∠ACD=∠ABD=∠DCB=∠DAB ∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90° ∴∠ACD=∠ABD=∠DCB=∠DAB=45° ∴△ABD 是等腰直角三角形，∴OD⊥AB，DA=DB ∵AE⊥CD，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE=CA=√2 2 AC，②全部得证 ∵CD 是∠ACB 的角平分线，DM⊥CB，ND⊥CA ∴DN=DM ∵∠NCM=∠CMD=∠CND=90° ∴四边形 CMDN 是正方形 ∴푆四边形퐴퐶퐵퐷 = 푆四边形퐶푀퐷푁 = 1 2 퐶퐷2（菱形面积为对角线乘积的一半） ∵∠AND+∠ADM=90°，∠ADM+∠MDB=90° ∴∠AND=∠MDB 又∵AD=DB，∠AND=∠DMB=90° ∴△DAN≌△DBM ∴AN=BM，∴AC+CB=AM+CN=√2퐶퐷，③全部得证 例 1.如图，O 的直径 AB 为 10，弦 AC 为 6，∠ACB 的角平分线交O 于点 D，求 BC，AD，BD 的 长。 【答案】：BC=8，AD=BD=5√2 【解析】：根据结论，△ABD 是等腰直角三角形 在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6，∴BC=8 在等腰 Rt△ABD 中，AB=10，∴AD=BD=5√2 例 2.如图，△ABC 内接于O，弦 CD 平分∠ACB，∠ACB=90°。求证：AC+CB=√2퐶퐷。 【答案】：见解析 【解析】：过角平分线作垂线，如下图，过点 D 作 CB、CA 的垂线，分别交于点 M，N 具体过程见上述结论证明 易证△AND≌△BMD，四边形 CBDA 是正方形 ∴AC+CB=AM+CN=√2퐶퐷 方法 6 圆与等腰 解题技巧：外接圆与等腰三角形有一些特殊的关系，结合这些特殊的关系和勾股定理，再求解线段长度。 一、圆心在三线上 解题技巧：如下图，O 是△ABC 的外接圆，AB=AC，连接 CO 并延长，交O 于点 E，连接 EB，则： ①AO 三线合一，即：AO⊥BC；BD=CD； ②OD∥BE，且 OD=1 2BE； ③∠BOD=∠COD=∠BAC=∠BEC； 以上几条结论主要用于 Rt△ADC 和 Rt△ODC 中的勾股定理 证明：如上图，取 BC 的中点 D，连接 OD，AD ∵O 是△ABC 的外接圆，点 D 是 BC 的中点 ∴OD 是 BC 的垂直平分线，即 OD⊥BC ∵点 D 是 BC 的中点，∴AD 是△ABC 的中线 ∵AB=AC，∴AD 是△ABC 的垂线，即 AD⊥BC ∴AD 与 OD 重合 ∴AO⊥BC，BD=CD，即 AO 是等腰三角形 ABC 的“三线合一”，①得证 ∴∠BOD=∠DOC=∠BAC=∠BEC，③得证 ∵CE 是O 的直径，∴∠EBC=90° ∴EB∥OD ∵点 O 是 EC 的中点 ∴OD 是△CBE 的中位线 ∴OD∥EB，且 2OD=EB，②得证 例 1.如图，O 为△ABC 的外接圆，AB=AC=√30，O 的半径为 3，求 BC 的长。 【答案】：2√5 【解析】：连接 AO 并延长，交 BC 于点 D，连接 OB ∵AB=AC，∴AD⊥BC，BD=DC 设 OD=x，则 AD=3+x 在直角三角形 OBD 中，퐵퐷2 = 푂퐵2 − 푂퐷2 = 32 − 푥2 在直角三角形 ABD 中，퐵퐷2 = 퐴퐵2 − 퐴퐷2 = （√30）2 − （3 + 푥）2 ∴32 − 푥2 = （√30）2 − （3 + 푥）2 解得：x=2 ∴BD=√5 ∴BC=2√5 例 2.如图，点 A，D，C，E 在以 AC 为直径的O 上，且∠DAC=2∠ACE。 （1）求证：퐸퐶̂ = 퐸퐷̂ ； （2）若 AD=6，CE=4√5，求 AC 的长。 【答案】：（1）见解析 （2）10 【解析】：（1）连接 CD，连 EO 并延长交 DC 于点 F ∴∠AOE=2∠ACE ∵∠DAC=2∠ACE ∴∠DAC=∠AOE ∴AD∥EO ∵AC 为O 的直径 ∴∠ADC=90° ∴EO⊥DC ∴ED=EC，퐸퐷̂ = 퐸퐶̂ （2）∵AD=6，∴OF=3 设半径为 r 在直角三角形 OFC 中，퐹퐶2 = 푂퐶2 − 푂퐹2 = 푟2 − 32 在直角三角形 EFC 中，퐹퐶2 = 퐸퐶2 − 퐸퐹2 = （4√5）2 − （3 + 푟）2 ∴푟2 − 32 = （4√5）2 − （3 + 푟）2 解得：r=5 ∴AC=10 二、圆心在腰上 解题技巧：△ABC 是等腰三角形，AB=AC，以 AB 为圆心作O，交△ABC 于点 D，F，过点 D 作 DF⊥ AC 交 AC 于点 F，则： ①点 D 是 BC 的中点，即：AD⊥BC；∠BAD=∠CAD ②AB 是O 的直径，即：BE⊥AC；BC∙AD=AC∙BE ③∠OBD=∠ODB=∠DCE=∠DEC，即：BD=CD=DE；퐵퐷̂ = 퐷퐸̂ ；EF=CF；DF 为△BEC 的中位线 以上几条结论主要用于：Rt△ABD，Rt△ABE，Rt△BCE 中的勾股定理或面积。 证明：锐角三角形和钝角三角形虽然图形不同，但思路完全相同，结论也完全相同，仅根据锐角三角形图 形证明 如下图，连接 OD ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB 设∠BAD=x，则∠BOD=2x ∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=x 在△OBD 中，∠ODB+∠OBD=2x=180° ∴∠ODB+x=90°，∴∠BDO+∠ODA=90°=∠ADB ∵AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 ∴点 D 是 BC 的中点 ∴AD⊥BD，∠BAD=∠DAC，①得证 ∵AB 是O 的直径 ∴∠AEB=90° ∵푆△퐴퐵퐶 = 1 2 ∙ 퐵퐶 ∙ 퐴퐷 = 1 2 ∙ 퐴퐶 ∙ 퐵퐸 ∴BC∙AD=AC∙BE，②得证 ∵四边形 ABDE 为内接四边形 ∴∠ABD+∠AED=180° ∵∠AED+∠DEC=180° ∴∠ABD=∠DEC ∵AB=AC，OB=OD ∴∠ABD=∠ODB=∠DEC=∠DCE ∴BD=DC=DE，퐵퐷̂ = 퐷퐸̂ ∵DF⊥EC，△DEC 为等腰三角形 ∴EF=CF，DF∥BE ∵点 D 为 BC 中点 ∴DF 是△BCE 的中位线，③全部得证 例 1.如图，△ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于 D，E，BE=4CE，AD=√10。 （1）求证：AD=CD； （2）求푆△퐴퐵퐶。 【答案】：（1）见解析 （2）30 【解析】：如图，连接 BD，AE ∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°，BD⊥AC ∵AB=BC，∴AD=DC （2）设 AE=x，则 BE=4x，AB=5x ∴在 Rt△ABE 中，AE=3x ∵AD=√10，∴AC=2√10 ∴在 Rt△ACE 中，퐶퐸2 + 퐴퐸2 = 퐴퐶2，即푥2 + （3푥）2 = （2√10）2 解得：x=2 ∴BC=10，AE=6 ∴푆△퐴퐵퐶 = 1 2 ∙ 퐵퐶 ∙ 퐴퐸 = 1 2 ∙ 10 ∙ 6 = 30 例 2.如图，△ABC 中，AB=AC，AB 为O 的直径，O 分贝交 AC，BC 于点 D，E，了解 DE，AE。 （1）求证：∠CED=2∠CAE； （2）若 DE=15，AE=20，求 CD 的长。 【答案】：（1）见解析 （2）18 【解析】：（1）根据结论，∠CED=∠ECD=∠CAB，ED=BE ∴∠CAE=∠EAB ∴∠CED=2∠CAE （2）∵DE=15，∴BE=15 ∴在 Rt△AEB 中，AB=25=AC 连接 BD，则∠ADB=90° 根据结论：AC∙ 퐷퐵 = 퐵퐶 ∙ 퐴퐸 ∴BD=24 ∴在 Rt△ABD 中，AD=7 ∴CD=18 三、典型题型 题型 1 利用圆的半径解题 解题技巧：在同圆或等圆中，圆的半径相等。此类题型，常常连接半径，构造等腰三角形或全等三角形。 例 1.如图，已知 AB 为O 的直径，半径 OC⊥AB，E 为 OB 上一点，弦 AD⊥CE 交 OC 于 F，CE 于 G， 求证：OE=OF。 【答案】：见解析 【解析】：∵CO⊥AB，AD⊥CE，∴∠AOF=∩COE=90° ∴∠A+∠AFO=90°，∠C+∠CFG=90° ∵∠AFO=∠CFG，∴∠A=∠C ∵OA=OC=r ∴△AOF≌△COE ∴OE=OF 例 2.如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于 D，交 BC 于 E，若∠C=70°，求∠DOE 的度数。 【答案】：40° 【解析】：设∠A=x，∠OBE=y ∵AO=OD=r，OE=OB=r ∴∠ADO=x，∠OEB=y ∴∠CDO=180－x，∠CEO=180－y 在△ACB 中，x+y+70=180，化简得：x+y=110 在四边形 CDOE 中，70+（180－x）+∠DOE+（180－y）=360 化简得：70－（x+y）+∠DOE=0 将 x+y=110 代入得：∠DOE=40° 题型 2 垂径定理的证明与计算 解题技巧：如下图，垂径定理中，“知二推三”。 ①CD过圆心；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④AĈ=CB̂；⑤AD̂ =BD̂ 上述5个条件中，已知任意2个条件，则我们可以直接得出另外3个条件也成立。因此，若在圆中满足上 述的任2条件，则圆关于CD对称，△AEO≌△BEO，∠AEO=∠BEO=90°。 作垂直于弦的直径得到直角，借助勾股定理将弦与半径联系起来求解。常见辅助线是向弦作垂线（作中 线），并连接圆心与弦的端点，构造出直角三角形AOE（或直角三角形BOE）。 例1.在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（ ） A．10． B．6． C．5． D．4． 【答案】：C 【解析】：此题是垂径定理的简单应用，如下图所示，OC⊥AB ∵OC过圆心，OC⊥AB ∴图形满足垂径定理的“知二求三”，连接OB，构造直角△OCB ∴AC=BC ∵AB=6 ∴BC=AC=3 在Rt△BOC中，满足勾股定理：OB2 = OC2 + BC2 ∴OB2 = 42 + 32 解得：OB=5，即半径r=5 例 2.如图，O 的弦 AB，CD 相较于点 P，AB=CD，求证：OP 平分∠BPD。 【答案】：见解析 【解析】：如图，过点 O 分别作 AB、CD 的垂线，交于点 M、N，连接 OA，OC ∵AB=CD，∴AM=CN ∵AO=CO=r，푀푂2 = 퐴푂2 − 퐴푀2，푁푂2 = 퐶푂2 − 퐶푁2 ∴OM=ON ∴PO 是∠BPD 的角平分线 题型 3 垂径定理的应用 解题技巧：此类题型，需要利用垂径定理来解决图中的计算问题。具体求解方法，与题型 2 的方法相同。 例1.如图，“圆材埋壁”和我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大 小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB垂直CD 于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（ ） A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】：B 【解析】：∵CD为直径（过圆心），AB⊥CD ∴此题满足垂径定理模型，如图，连接AO，构造直角三角形AOE ∵AB=10 ∴AE=5 设半径为r，则AO=r，OE=r－1 在Rt△AOE中，满足勾股定理：OA2 = OE2 + AE2 即：r2 = （r − 1）2 + 52 解得：r=13 答案为B 例 2.如图，一条公路的转弯处时一段圆弧（AB），点 O 是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点 C 是 AB 的中 点，且 CD=10m，则这段弯路所在半径为（ ） A.25m B.24m C.30m D.60m 【答案】：A 【解析】：∵点 C 是 AB 的中点，点 O 是这段弧的圆心 ∴连接 OC，OB 满足垂径定理模型，如下图 ∵AB=40 ∴DB=20 设半径为r，则BO=r，OD=r－10 在Rt△BOD中，满足勾股定理：OB2 = OD2 + BD2 即：r2 = （r − 10）2 + 202 解得：r=25 答案为A 题型 4 弧、弦、圆心角关系的计算 解题技巧：此类题型，主要考察以下几个知识点 ①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半 ②在等圆或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长、圆周角相等。 ③半圆（直径）所对的圆周角是 90°。 例 1.如图，在⊙O 中，AB̂ = AĈ，∠C=70°，求∠A 的度数。 【答案】：40° 【解析】：∵AB̂ = AĈ ∴AB=AC ∴∠B=∠C=70° ∴∠A=40° 例2.如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80° (1)若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小 (2)若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小 【答案】：（1）∠ACD=40° （2）∠ACD=40°或∠ACD=140° 【解析】：（1）∵AO是圆的半径，且OA⊥BD 又∵∠AOB=80° ∴∠DOA=∠BOA=80° ∴∠DCA=40° （2）如下图，存在两点 当在퐶1处时，∠A퐶1D=∠ACD=40° 当在퐶2处时，四边形A퐶2퐷퐶1为圆的内接四边形 ∠A퐶2퐷+∠A퐶1퐷=180° ∴∠A퐶2퐷 = 140° 题型 5 弧、弦、圆心角关系的证明 解题技巧：证弦相等，只需要证明对应圆心角或弧相等即可； 同样，证弧相等只需证对应弦或圆心角相等即可；证圆心角相等，只需证明对应弧或弦相等即可。 例1.如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD 【答案】：如解析 【解析】：设AB与CD的交点为点E ∵∠ADC与∠ABC对应的弧都是AC ∴∠ADE=∠CBE 在△ADE与△CBE中 { ∠퐴퐷퐸 = ∠퐶퐵퐸 ∠퐴퐸퐷 = ∠퐶퐸퐵 퐴퐷 = 퐶퐵 ∴△ADE≌△CBD ∴AE=EC，DE=BE ∴AB=CD 例2.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC． （1）求证：∠ACB＝2∠BAC； （2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数． 【答案】：（1）答案如解析 （2）∠AOC=135° 【解析】：（1）证明：∵∠AOB=2∠ACB，∠COB=2∠BAC 又∵∠AOB=∠2∠BOC ∴2∠ACB=2×2∠BAC ∴2∠ACB=2∠BAC （2）设∠BAC=x° ∵AC平分∠OAB ∴∠OAC=∠BAC=x ∵∠ACB=2∠BAC ∴∠ACB=2x ∴∠AOB=4x ∵∠CAB=x ∴∠COB=2x ∵OA=OC=r ∴∠OCA=∠OAC=x 则在△OAC中： ∠OAC=∠OCA=x，∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x+2x=6x 则：x+x+6x=180° 解得：x=22.5 ∴∠AOC=22.5°×6=135° 例 3.如图，∠AOB=90°，C，D 是AB̂的三等分点，AB 分别交 OC，OD 于点 E，F。求证：AE=BF=CD. 【答案】：见解析 【解析】：如图，连接 AC ∵C、D 是AB̂的三等分点，∠AOB=90° ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°AC=CD=BD ∴∠COB=60° ∴∠CAB=1 2 ∠퐶푂퐵=30° ∵OA=OC=r，∴∠OAC=∠OCA=75° 在△ACE 中，∠ACE=75°，∠CAE=30°，∴∠AEC=75° ∴AE=AC 同理，BD=BF ∴AE=CD=BF 题型 6 运用圆周角定理建立角之间的关系 解题方法：圆周角定理在解中，主要用在角度的转换当中：同弧或等弧对应的圆周角等于圆心角的一半。 例 1.如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC。求证：∠ACB=2∠BAC。 【答案】：见解析 【解析】：∵∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB 又∵∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB=2∙2∠BAC ∴∠ACB=2∠BAC 例 2.如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，作∠BAC 的外角平分线 AE 交⊙O 于点 E，连接 DE。求证：DE=AB。 【答案】：见解析 【解析】：∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵AE 平分∠FAC，∴∠FAE=∠CAE ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠FAE+∠EAC+∠BAC=180° ∴∠B=∠C=∠FAE=∠CAE ∴AE∥BC ∵∠EAC=∠EDC ∴∠B=∠EAC=EDC ∴AB∥DE ∴四边形 ABDE 是平行四边形 ∴DE=AB 题型 7 内接四边形 解题方法：此类题型，常考查内接四边形对边互补这个性质。若四边形是圆的内接四边形，且告知一个角的 度数 n，则对角的度数为 180°－n。内接四边形的性质和四边形内角和通常结合起来用。 注：此性质仅在内接四边形中满足，若不是圆的内接四边形，是不满足这个性质的。 例1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数 为 . 【答案】：110° 【解析】：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形 ∴∠B+∠ADC=360° ∵∠B=110° ∴∠ADC=250° ∴∠ADE=360°－250°=110° 例2.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=90°，则∠A= ，∠BCD= 。 【答案】：∠A=45°，∠BCD=135° 【解析】：同弧所对圆周角是圆心角的一半 ∵∠BOD=90° ∴∠A=45° ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180° ∴∠BCD=135° 例3.如图，AB是半圆O的直径，D为AĈ的中点，∠B=40°，则∠A= ，∠C= 。 【答案】：∠A=70°，∠C=110° 【解析】：如图，连接OD ∵点D为AĈ的中点 ∴AD̂ = DĈ ∵∠B=40° ∴DĈ的圆周角为40°，则圆心角为80° ∵AD̂ = DĈ，∠DOA为AD̂ 的圆心角 ∴∠DOA=80° ∵OD=OA=r ∴△AOD为等腰三角形，∠A=∠ADO=70° ∵四边形ABCD为圆O的的内接四边形 ∴∠A+∠C=180° ∴∠C=110° 四、难点题型 题型 1 圆的多解 解题技巧：圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合条件的线段或角会出现不止一种情况，计算是要考虑 多解的情况。 例 1.已知 AB，CD 是⊙O 内两条互相平行的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，如果⊙O 的半径为 5cm，求弦 AB， CD 之间的距离。 【答案】：1cm 或 7cm 【解析】：∵无图形，圆是对称图形，会存在多解情况。过点 O 作 AB、CD 垂线，分别交于点 E、F 情况一：AB、CD 在半圆同一侧 ∵AB=8cm，CD=6cm ∴根据垂径定理，AE=4cm，CF=3cm ∵r=5cm ∴根据勾股定理，OE=3cm，OF=4cm ∴两弦间距离 d=4－3=1cm 情况二：AB、CD 不在半圆同一侧 距离 d=OE+OF=3+4=7cm 例 2.已知⊙O 的半径 OA=1，弦 AB，AC 的长分别是√2，√3，求∠BAC 的度数。 【答案】：15°或 75° 【解析】：∵无图形，圆是对称图形，会存在多解的情况。过点 O 作 AB、AC 的垂线，分别交于点 D、E 情况一：如下图 ∵AB=√2，AC=√3 ∴根据垂径定理，AD=√2 2 ，AE=√3 2 ∵OA=1 ∴根据直角三角形边的关系，∠DAO=45°，∠EAO=30° ∴∠BAC=45°－30°=15° 情况二：如下图 ∠BAC=45°+30°=75° 综上得：∠BAC=15°或∠BAC=75° 题型 2 弧、弦间不等关系的推理 解题技巧：类似截长补短的思想，将短弧补成长弧（或将长弧截成短弧），在利用三角形两边之和大于第三 边进行证明。 注：在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等，但不能引申为若干倍的弦长对应若干倍的弧长。 例 1.如图，在⊙O 中，AB̂=2CD̂，求证：AB＜2CD。 【答案】：见解析 【解析】： 方法一：如下图，作弦 DE，使得 CD=DE ∴퐶퐷̂ = 퐷퐸̂ ∵퐴퐵̂ = 2퐶퐷̂ ∴퐴퐵̂ = 퐶퐷̂ + 퐷퐸̂ = 퐶퐸̂ ∴AB=CE ∵在△CDE 中，CD+DE＞CE，即 2CD＞CE ∴2CD＞AB 方法二：取 AB 弦的中点 F，连接 OF 交 AB 于点 E ∴퐴퐹̂ = 퐹퐵̂ ∵퐴퐵̂ = 2퐶퐷̂ ∴2퐴퐹̂ = 2퐶퐷̂ ∴AF=CD ∵在△AFB 中，AB＜AF+FB=2CD ∴2CD＞AB 题型 3 最值问题（对称性问题） 解题技巧：直径垂直于弦，则弦的两个端点关于直径对称。利用对称性，解决最值问题。 例 1.如图，AC，CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，求 PA+PC 的最小值。 【答案】：7√2 【解析】：根据对称知识点中的最短距离知，求 AP+PC 的最短距离问题，关键在于找到点 P。作点 C 关于 MN 的对称点，即点 D，连接 AD 与 MN 的交点即为点 P。如下图，连接 AO、OC，过点 D 作 DG⊥AB 交 AB 于点 G ∵AB=8，CD=6，r=5 ∴根据垂径定理，AE=EB=4，CF=FD=3，∴EG=3，∴AG=7 ∴根据勾股定理，OE=3，OF=4，∴GD=7 ∴在 Rt△AGD 中，AG=7，GD=7，AD=7√2 即 PA+PC 的最小值为 7√2 例 2.在圆 O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8，AĈ = CD̂ = BD̂ ，如图，M 是 AB 上一动点，CM+DM 的最小值 是多少？ 【答案】：8 【解析】：取 D 点关于 AB 对称的点 E，连接 OC，OD，OE ∵AĈ = CD̂ = BD̂ ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60° ∵点 E、D 关于 AB 对称 ∴∠EOB=∠BOD=60° ∵∠COD+∠DOB+∠EOB=180° ∴点 C、O、E 三点共线 ∴点 O 即 CE 连线与 AB 的交点，即点 M 取在点 O 处有最小值 CM+DM 的最小值为 CE=AB=8