2010年山西省中考数学试卷(全解全析)

2010年山西省中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）‎ ‎1、（2010•江津区）﹣3的绝对值是（　　）‎ ‎ A、3 B、﹣3‎ ‎ C、‎1‎‎3‎ D、‎‎﹣‎‎1‎‎3‎ 考点：绝对值。‎ 分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．‎ 解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．‎ 故选A．‎ 点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2、（2010•山西）如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点A、B．已知∠1=35°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎ A、165° B、155°‎ ‎ C、145° D、135°‎ 考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先求出∠2的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．‎ 解答：解：如图，∠3=∠1=35°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠3+∠2=180°，‎ ‎∴∠2=180°﹣35°=145°．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用对顶角相等和平行线的性质求解．‎ ‎3、（2010•山西）山西是我国古文明发祥地之一，其总面积约为16万平方千米，这个数据用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、0.16×106平方千米 B、16×104平方千米 ‎ C、1.6×104平方千米 D、1.6×105平方千米 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：16万平方千米=160 000平方千米．科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a应为1.6，10的指数为6﹣1=5．‎ 解答：解：16万平方千米=160 000平方千米=1.6×105平方千米．故选D．‎ 点评：将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．‎ ‎4、（2010•山西）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、（a﹣b）2=a2﹣b2 B、（﹣a2）3=﹣a6‎ ‎ C、x2+x2=x4 D、3a3•2a2=6a6‎ 考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据完全平方差公式；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；‎ B、（﹣a2）3=﹣a2×3=﹣a6，正确；‎ C、应为x2+x2=（1+1）x2=2x2，故本选项错误；‎ D、应为3a3•2a2=3×2a3+2=6a5，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了合并同类项，同底数的幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．‎ ‎5、（2010•山西）在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（　　）‎ ‎ A、扩大2倍 B、缩小2倍 ‎ C、扩大4倍 D、不变 考点：锐角三角函数的增减性。‎ 分析：根据三角函数的定义解答即可．‎ 解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变，‎ ‎∴∠A的正弦值不变．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角各边长度的变化无关．‎ ‎6、（2010•山西）估算‎31‎‎﹣2‎的值（　　）‎ ‎ A、在1和2之间 B、在2和3之间 ‎ C、在3和4之间 D、在4和5之间 考点：估算无理数的大小。‎ 专题：应用题。‎ 分析：首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断‎31‎的范围，再估算‎31‎‎﹣2‎的范围即可．‎ 解答：解：∵5＜‎31‎＜6‎ ‎∴3＜‎31‎‎﹣2‎＜4‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算‎31‎的整数部分和小数部分．‎ ‎7、（2010•山西）在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为‎1‎‎4‎，那么袋中球的总个数为（　　）‎ ‎ A、15个 B、12个 ‎ C、9个 D、3个 考点：概率公式。‎ 分析：利用红球的概率公式列出方程求解即可．‎ 解答：解：设袋中共有x个球，根据概率定义，‎ ‎3‎x‎=‎1‎‎4‎；‎ x=12．‎ 袋中球的总个数为12个．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎8、（2010•山西）下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从左面可看到从左往右2列小正方形的个数为：3，1，故选A．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎9、（2010•山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（　　）‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：三角形三边关系。‎ 分析：取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去．‎ 解答：解：共有4种方案：‎ ‎①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形；‎ ‎②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形；‎ ‎③取4cm，6cm，10cm；由于6=10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立；‎ ‎④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形．‎ 所以有3种方案符合要求．故选C．‎ 点评：考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．‎ ‎10、（2010•山西）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，5）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（　　）‎ ‎ A、x＞﹣3 B、x＜﹣3‎ ‎ C、x＞3 D、x＜3‎ 考点：一次函数与一元一次不等式。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：首先根据不等式的性质知，不等式﹣kx﹣b＜0的解集即为不等式kx+b＞0的解集，然后由一次函数的图象可知，直线y=kx+b落在x轴上方的部分所对应的x的取值，即为不等式kx+b＞0的解集，从而得出结果．‎ 解答：解：观察图象可知，当x＞﹣3时，直线y=kx+b落在x轴的上方，‎ 即不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3，‎ ‎∴不等式﹣kx﹣b＜0的解集为x＞﹣3．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11、（2010•山西）计算：9x3÷（﹣3x2）= ．‎ 考点：整式的除法；同底数幂的除法。‎ 分析：根据单项式的除法和同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算．‎ 解答：解：9x3÷（﹣3x2）=﹣3x．‎ 点评：本题主要考查单项式的除法，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．‎ ‎12、（2010•山西）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，则AB= cm．‎ 考点：直角三角形斜边上的中线。‎ 分析：由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知了中线CD的长，即可求出斜边的长．‎ 解答：解：∵D是斜边AB的中点，‎ ‎∴CD是斜边AB上的中线；‎ 故AB=2CD=8cm．‎ 点评：此题主要考查的是直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ ‎13、（2010•山西）随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是 ．‎ 考点：几何概率。‎ 分析：根据面积法：求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．‎ 解答：解：∵共有12个方格，其中黑色方格占4个，‎ ‎∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是‎4‎‎12‎=‎1‎‎3‎．‎ 点评：此题考查几何概率的求法：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎14、（2010•山西）方程‎2‎x+1‎‎﹣‎‎1‎x﹣2‎=0的解为x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣2），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．‎ 解答：解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣2），‎ 得2（x﹣2）﹣（x+1）=0，‎ 解得x=5．‎ 经检验：x=5是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎15、（2010•山西）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 ．‎ 考点：反比例函数系数k的几何意义。‎ 专题：数形结合；转化思想。‎ 分析：由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积=△ABP的面积=2，然后根据反比例函数y=‎kx中k的几何意义，知△AOB的面积=‎1‎‎2‎|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．‎ 解答：解：设反比例函数的解析式为y=‎kx．‎ ‎∵△AOB的面积=△ABP的面积=2，△AOB的面积=‎1‎‎2‎|k|，‎ ‎∴‎1‎‎2‎|k|=2，‎ ‎∴k=±4；‎ 又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，‎ ‎∴k＞0．‎ ‎∴k=4．‎ ‎∴这个反比例函数的解析式为y=‎‎4‎x．‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=‎kx中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．‎ ‎16、（2010•山西）哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 （填“公平”或“不公平”）．‎ 考点：游戏公平性。‎ 分析：列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得哥哥赢的概率，进而求得弟弟赢的概率，比较即可．‎ 解答：解：列树状图得：共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是‎5‎‎9‎，那么弟弟赢的概率是‎4‎‎9‎，所以该游戏对双方不公平．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎17、（2010•山西）图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交BC于点F．则BF的长为 cm．‎ 考点：弧长的计算。‎ 分析：连接OF计算出圆心角，根据弧长公式计算即可．‎ 解答：解：连接OF，‎ ‎∵OO′=‎1‎‎2‎OF ‎∴∠OFO′=30°‎ ‎∴∠FOO′=60°‎ ‎∴BF=‎60π×3‎‎180‎=π．‎ 点评：本题的关键是求出圆心角．‎ ‎18、（2010•山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是 ．‎ 考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质。‎ 分析：过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出△ABC的面积；连接CD，由于AD=BD，则△ADC、△BCD等底同高，它们的面积相等，由此可得到△ACD的面积；进而可根据△ACD的面积求出DE的长．‎ 解答：解：过A作AF⊥BC于F，连接CD；‎ ‎△ABC中，AB=AC=13，AF⊥BC，则BF=FC=5；‎ Rt△ABF中，AB=13，BF=5；‎ 由勾股定理，得AF=12；‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎BC•AF=60；‎ ‎∵AD=BD，‎ ‎∴S△ADC=S△BCD=‎1‎‎2‎S△ABC=30；‎ ‎∵S△ADC=‎1‎‎2‎AC•DE=30，即DE=‎2×30‎AC=‎60‎‎13‎．‎ 点评：此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．‎ 三、解答题（共8小题，满分76分）‎ ‎19、（2010•山西）（1）计算：‎9‎‎+（﹣‎1‎‎2‎‎）‎‎﹣3‎﹣‎2‎sin45‎°+‎‎（‎3‎﹣2‎‎）‎‎0‎ ‎（2）先化简，再求值：‎（‎3xx﹣1‎﹣xx+1‎）‎•x‎2‎‎﹣1‎‎2x，其中x=﹣3．‎ 考点：特殊角的三角函数值；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂。‎ 分析：（1）先把根式化成最简根式，把三角函数化为实数，再计算；‎ ‎（2）先对括号里的分式通分、对x‎2‎‎﹣1‎‎2x分解因式，再去括号化简求值．‎ 解答：解：（1）原式=3+（﹣8）﹣‎2‎‎×‎‎2‎‎2‎+1 （4分）‎ ‎=3﹣8﹣1+1‎ ‎=﹣5． （5分）‎ ‎（2）原式=‎3x（x+1）﹣x（x﹣1）‎‎（x+1）（x﹣1）‎•‎（x+1）（x﹣1）‎‎2x（1分）‎ ‎=‎3x‎2‎+3x﹣x‎2‎+x‎2x（2分）‎ ‎=‎‎2x‎2‎+4x‎2x ‎=‎2x（x+2）‎‎2x（3分）‎ ‎=x+2． （4分）‎ 当x=﹣3时，‎ 原式=﹣3+2=﹣1． （5分）‎ 点评：考查了实数的运算和分式的化简求值，熟练掌握和运用有关法则是关键．‎ ‎20、（2010•山西）山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美．图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的，图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图．‎ ‎（1）根据图2将图3补充完整；‎ ‎（2）在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形．‎ 考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案。‎ 专题：开放型；操作型。‎ 分析：（1）仔细观察会发现正方形的右上角是用圆规做出的两个半圆的一部分．另两角是一垂线，依此做出即可．‎ ‎（2）根据轴对称图形的性质设计．下面我主要是利用正方形和圆弧来设计的．‎ 解答：解：（1）将图3补充完整得（3分）（画出虚线不扣分）‎ ‎（2）（3分）‎ 点评：本题主要考查了轴对称图形的性质，及学生仔细观察的习惯．‎ ‎21、（2010•山西）某课题小组为了了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专卖店第一季度该品牌A、B、C、D四种型号的销售做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）‎ ‎（1）该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆？‎ ‎（2）把两幅统计图补充完整；‎ ‎（3）若该专卖店计划订购这四款型号的电动自行车1800辆，求C型电动自行车应订购多少辆？‎ 考点：条形统计图；扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）根据B品牌210辆占总体的35%，即可求得总体；‎ ‎（2）根据（1）中求得的总数和扇形统计图中C品牌所占的百分比即可求得C品牌的数量，进而补全条形统计图；根据条形统计图中A、D的数量和总数即可求得所占的百分比，从而补全扇形统计图；‎ ‎（3）根据扇形统计图所占的百分比即可求解．‎ 解答：解：‎ ‎（1）210÷35%=600（辆）．‎ 答：略．‎ ‎（2）C品牌：600×30%=180；‎ A品牌：150÷600=25%；D品牌：60÷600=10%．‎ ‎（3）1800×30%=540（辆）．‎ 答：略．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．‎ 读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．‎ ‎22、（2010•山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．‎ ‎（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求∠ADE的正弦值．‎ 考点：切线的判定。‎ 分析：（1）相切．连接OD，证OD⊥CD即可．根据圆周角定理，∠AOD=90°，又AB∥CD，可得∠ODC=90°，得证；‎ ‎（2）连接BE，则∠AEB=90°，∠ADE=∠ABE．在△ABE中根据三角函数定义求解．‎ 解答：解：‎ ‎（1）CD与⊙O相切．‎ 理由是：连接OD．‎ 则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，‎ ‎∴∠CDO=∠AOD=90°．‎ ‎∴OD⊥CD，‎ ‎∴CD与⊙O相切．‎ ‎（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．‎ 在Rt△ABE中，‎ sin∠ABE=AEAB=‎5‎‎6‎，‎ ‎∴sin∠ADE=sin∠ABE=‎5‎‎6‎．‎ 点评：此题考查了切线的判定及三角函数等知识点，难度不大．‎ ‎23、（2010•山西）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；‎ ‎（2）说出抛物线y=x2﹣2x﹣3可由抛物线y=x2如何平移得到？‎ ‎（3）求四边形OCDB的面积．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求出C点的坐标，令y=0，可求出A、B的坐标；将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；‎ ‎（2）将抛物线的解析式化为顶点式，然后再根据“左加右减，上加下减”的平移规律来进行判断；‎ ‎（3）由于四边形OCDB不规则，可连接OD，将四边形OCDB的面积分成△OCD和△OBD两部分求解．‎ 解答：解：（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，‎ 解得x1=﹣1，x2=3‎ ‎∵A在B的左侧，‎ ‎∴点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）（2分）‎ 当x=0时，y=﹣3‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣3）（3分）‎ 又∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4‎ ‎∴点D的坐标为（1，﹣4）（4分）‎ ‎（也可利用顶点坐标公式求解）‎ 画出二次函数图象如图（6分）‎ ‎（2）抛物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y=x2﹣2x=3（8分）‎ ‎（3）解法一：连接OD，作DE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F S四边形OCDB=S△OCD+S△ODB=‎1‎‎2‎OC•DE+‎1‎‎2‎OB•DF ‎=‎1‎‎2‎×3×1+‎1‎‎2‎×3×4=‎15‎‎2‎（10分）‎ 解法二：作DE⊥y轴于点E S四边形OCDB=S梯形OEDB﹣S△CED=‎1‎‎2‎（DE+OB）•‎1‎‎2‎CE•DE ‎=‎1‎‎2‎（1+3）×4﹣‎1‎‎2‎×1×1=‎15‎‎2‎（10分）‎ 解法三：作DF⊥x轴于点F S四边形OCDM=S梯形OCDF+S△FDB=‎1‎‎2‎（OC+DF）•OF+‎1‎‎2‎FB•FD ‎=‎1‎‎2‎（3+4）×1+‎1‎‎2‎×2×4=‎15‎‎2‎．（10分）‎ 点评：此题考查了二次函数与坐标轴交点及顶点坐标的求法，二次函数图象的平移以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时，其面积通常要转化为规则图形的面积的和差．‎ ‎24、（2010•山西）某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．‎ ‎（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？‎ ‎（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？‎ 考点：一元一次不等式组的应用。‎ 专题：方案型。‎ 分析：（1）找到关键描述语“用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服”，进而找到所求的量的等量关系，列出不等式组求解．‎ ‎（2）根据利润=售价﹣成本，分别求出甲款，乙款的利润相加后再比较，即可得出获利最大方案．‎ 解答：解：设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服（30﹣x）套，由题意，得（1分）‎ ‎（1）‎&350x+200（30﹣x）≥7600‎‎&350x+200（30﹣x）≤8000‎（2分）‎ 解这个不等式组，得‎32‎‎3‎‎≤x≤‎‎40‎‎3‎（3分）‎ ‎∵x为整数，∴x取11，12，13‎ ‎∴30﹣x取19，18，17（4分）‎ 答：方案①甲款11套，乙款19套；②甲款12套，乙款18套；③甲款13套，乙款17套．（5分）‎ ‎（2）解法一：设该店全部出售甲、乙两款运动服后获利y元，‎ 则y=（400﹣350）x+（300﹣200）（30﹣x）‎ ‎=50x+3000﹣100x=﹣50x+3000（6分）‎ ‎∵﹣50＜0，∴y随x增大而减小（7分）‎ ‎∴当x=11时，y最大．（8分）‎ 解法二：三种方案分别获利为：‎ 方案一：（400﹣350）×11+（300﹣200）×19=2450（元）‎ 方案二：（400﹣350）×12+（300﹣200）×18=2400（元）‎ 方案三：（400﹣350）×13+（300﹣200）×17=2350（元）（6分）‎ ‎∵2450＞2400＞2350（7分）‎ ‎∴方案一即甲款11套，乙款19套，获利最大（8分）‎ 答：甲款11套，乙款19套，获利最大．‎ 点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．‎ ‎25、（2010•山西）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．‎ ‎（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．‎ 考点：旋转的性质；直角三角形全等的判定；正方形的性质。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFC都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1=∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AH⊥CG．‎ ‎（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠AEH=90°﹣∠6，即∠7+∠AEH=90°，由此得证．‎ 解答：解：（1）答：AE⊥GC；（1分）‎ 证明：延长GC交AE于点H，‎ 在正方形ABCD与正方形DEFG中，‎ AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，‎ DE=DG，‎ ‎∴△ADE≌△CDG，‎ ‎∴∠1=∠2；（3分）‎ ‎∵∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠1+∠3=90°，‎ ‎∴∠AHG=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴AE⊥GC．（5分）‎ ‎（2）答：成立；（6分）‎ 证明：延长AE和GC相交于点H，‎ 在正方形ABCD和正方形DEFG中，‎ AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，‎ ‎∴∠1=∠2=90°﹣∠3；‎ ‎∴△ADE≌△CDG，‎ ‎∴∠5=∠4；（8分）‎ 又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°﹣∠DCE=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴∠6=∠7，‎ 又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，‎ ‎∴∠CEH+∠7=90°，‎ ‎∴∠EHC=90°，‎ ‎∴AE⊥GC．（10分）‎ ‎（其它证法可参照给分）‎ 点评：本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．‎ ‎26、（2010•山西）在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=‎3‎‎5‎．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；‎ ‎（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的判定；直角梯形。‎ 专题：综合题；压轴题；存在型；分类讨论。‎ 分析：（1）过B作BH⊥x轴于H，则OH=BC=3，进而可求得AH的长，在Rt△ABH中，根据勾股定理即可求出BH的长，由此可得B点坐标；‎ ‎（2）过E作EG⊥x轴于G，易得△OGE∽△OHB，根据相似三角形的对应边成比例可求出EG、OG的长，即可得到E点的坐标，进而可用待定系数法求出直线DE的解析式；‎ ‎（3）此题应分情况讨论：‎ ‎①以OD、ON为边的菱形ODMN，根据直线DE的解析式可求出F点的坐标，即可得到OF的长；过M作MP⊥y轴于P，通过构建的相似三角形可求出M点的坐标，将M点向下平移OD个单位即可得到N点的坐标；‎ ‎②以OD、OM为边的菱形ODNM，此时MN∥y轴，延长NM交x轴于P，可根据直线DE的解析式用未知数设出M点的坐标，进而可在Rt△OMP中，由勾股定理求出M点的坐标，将M点向上平移OD个单位即可得到N点的坐标；‎ ‎③以OD为对角线的菱形OMCN，根据菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得M、N 的纵坐标，将M点纵坐标代入直线DE的解析式中即可求出M点坐标，而M、N关于y轴对称，由此可得到N点的坐标．‎ 解答：解（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，‎ ‎∴OH=CB=3，（1分）‎ ‎∴AH=OA﹣OH=6﹣3=3‎ 在Rt△ABH中，BH=BA‎2‎+AH‎2‎=‎（3‎5‎）‎‎2‎‎﹣‎‎3‎‎2‎=6（2分）‎ ‎∴点B的坐标为（3.6）（3分）‎ ‎（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BH ‎∴△OEG∽△OBH（4分）‎ ‎∴OEOB‎=OGOH=‎EGBH又∵OE=2EB ‎∴OEOB‎=‎‎2‎‎3‎，∴‎2‎‎3‎=OG‎3‎‎=‎EG‎6‎，‎ ‎∴OG=2，EG=4‎ ‎∴点E的坐标为（2，4）（5分）‎ 又∵点D的坐标为（0，5）‎ 设直线DE的解析式为y=kx+b 则‎&2k+b=4‎‎&b=5‎，解得k=﹣‎1‎‎2‎，b=5‎ ‎∴直线DE的解析式为：y=﹣‎1‎‎2‎x+5（7分）‎ ‎（3）答：存在（8分）‎ ‎①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD ‎∴MPOF‎=PDOD=‎MDFD又∵当y=0时，﹣‎1‎‎2‎x+5=0，解得x=10，‎ ‎∴F点的坐标为（10，0），∴OF=10‎ 在Rt△ODF中，FD=OD‎2‎+OF‎2‎=‎5‎‎2‎‎+‎‎10‎‎2‎=5‎5‎，∴MP‎10‎‎=PD‎5‎=‎‎5‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴MP=2‎5‎，PD=‎5‎，∴点M的坐标为（﹣2‎5‎，5+‎5‎）‎ ‎∴点N的坐标为（﹣2‎5‎，‎5‎）（10分）‎ ‎②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．‎ ‎∵点M在直线y=﹣‎1‎‎2‎+5上 ‎∴设M点坐标为（a，﹣‎1‎‎2‎a+5）‎ 在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2‎ ‎∴a2+（﹣‎1‎‎2‎a+5）2=52，‎ 解得：a1=4，a2=0（舍去），∴点M的坐标为（4，3）‎ ‎∴点N的坐标为（4，8）（12分）‎ ‎③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分 ‎∴yM=yN=OP=‎‎5‎‎2‎ ‎∴﹣‎1‎‎2‎xM+5=‎‎5‎‎2‎ ‎∴xM=5，∴xN=﹣xM=﹣5‎ ‎∴点N的坐标为（﹣5，‎5‎‎2‎）（14分）‎ 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1（﹣2‎5‎，‎5‎），N2（4，8），N3（﹣5，‎5‎‎2‎）．‎ ‎（其它解法可参照给分）‎ 点评：此题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、一次函数解析式的确定以及菱形的判定和性质等知识的综合应用，需注意的是（3）题要根据菱形的不同构成情况分类讨论，以免漏解．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhangchao；MMCH；lanchong；Linaliu；HJJ；张伟东；kuaile；lanyuemeng；zxw；xinruozai；CJX；nhx600；haoyujun；shenzigang；huangling。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日