2017年四川省成都市中考数学试卷(A卷)

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文档介绍

2017年四川省成都市中考数学试卷(A卷)

‎2017年四川省成都市中考数学试卷(A卷)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为(  )‎ A.零上3℃ B.零下3℃ C.零上7℃ D.零下7℃‎ ‎2.(3分)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(3分)总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工,届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区,晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为(  )‎ A.647×108 B.6.47×109 C.6.47×1010 D.6.47×1011‎ ‎4.(3分)二次根式中,x的取值范围是(  )‎ A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1‎ ‎5.(3分)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6 C.a3•a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6‎ ‎7.(3分)学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:‎ ‎ 得分(分)‎ ‎ 60‎ ‎ 70‎ ‎ 80‎ ‎ 90‎ ‎ 100‎ ‎ 人数(人)‎ ‎ 7‎ ‎ 12‎ ‎ 10‎ ‎ 8‎ ‎ 3‎ 则得分的众数和中位数分别为(  )‎ A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分 ‎8.(3分)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(  )‎ A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.:‎ ‎9.(3分)已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎10.(3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是(  )‎ A.abc<0,b2﹣4ac>0 B.abc>0,b2﹣4ac>0‎ C.abc<0,b2﹣4ac<0 D.abc>0,b2﹣4ac<0‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)‎ ‎11.(4分)(﹣1)0=   .‎ ‎12.(4分)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为   .‎ ‎13.(4分)如图,正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时,y1   y2.(填“>”或“<”).‎ ‎14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共54分)‎ ‎15.(12分)(1)计算:|﹣1|﹣+2sin45°+()﹣2;‎ ‎(2)解不等式组:.‎ ‎16.(6分)化简求值:÷(1﹣),其中x=﹣1.‎ ‎17.(8分)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.‎ ‎(1)本次调查的学生共有   人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是   人;‎ ‎(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.‎ ‎18.(8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.‎ ‎19.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点.‎ ‎(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;‎ ‎(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.‎ ‎20.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.‎ ‎(1)求证:DH是圆O的切线;‎ ‎(2)若A为EH的中点,求的值;[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.‎ ‎ ‎ 四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎21.(4分)如图,数轴上点A表示的实数是   .‎ ‎22.(4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根,且x12﹣x22=10,则a=   .‎ ‎23.(4分)已知⊙O的两条直径AC,BD互相垂直,分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则=   .‎ ‎24.(4分)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P′(,)称为点P的“倒影点”,直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k=   .‎ ‎25.(4分)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠‎ ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG=   cm.‎ ‎ ‎ 五、解答题(本大题共3小题,共30分)‎ ‎26.(8分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:‎ ‎ 地铁站 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ x(千米)‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11.5‎ ‎ 13‎ ‎ y1(分钟)‎ ‎ 18‎ ‎ 20‎ ‎ 22‎ ‎ 25‎ ‎ 28‎ ‎(1)求y1关于x的函数表达式;‎ ‎(2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.‎ ‎27.(10分)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是==;‎ 迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.‎ ‎①求证:△ADB≌△AEC;‎ ‎②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;‎ 拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.‎ ‎①证明△CEF是等边三角形;‎ ‎②若AE=5,CE=2,求BF的长.‎ ‎28.(10分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.‎ ‎(1)求抛物线C的函数表达式;‎ ‎(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.‎ ‎(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年四川省成都市中考数学试卷(A卷)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2017•成都)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为(  )‎ A.零上3℃ B.零下3℃ C.零上7℃ D.零下7℃‎ ‎【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:若零上记为正,则零下就记为负,直接得出结论即可.‎ ‎【解答】解:若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为零下3℃.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2017•成都)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从上边看一层三个小正方形,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2017•成都)总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工,届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区,晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为(  )‎ A.647×108 B.6.47×109 C.6.47×1010 D.6.47×1011‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:647亿=647 0000 0000=6.47×1010,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2017•成都)二次根式中,x的取值范围是(  )‎ A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知:x﹣1≥0,‎ ‎∴x≥1,‎ 故选(A)‎ ‎【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2017•成都)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.‎ ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;‎ B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;‎ D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2017•成都)下列计算正确的是(  )‎ A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6 C.a3•a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6‎ ‎【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可.‎ ‎【解答】解:A.a5+a5=2a5,所以此选项错误;‎ B.a7÷a=a6,所以此选项正确;‎ C.a3•a2=a5,所以此选项错误;‎ D.(﹣a3)2=a6,所以此选项错误;‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等,关键是熟记,同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2017•成都)学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:‎ ‎ 得分(分)‎ ‎ 60‎ ‎ 70‎ ‎ 80‎ ‎ 90‎ ‎ 100‎ ‎ 人数(人)‎ ‎ 7‎ ‎ 12‎ ‎ 10‎ ‎ 8‎ ‎ 3‎ 则得分的众数和中位数分别为(  )‎ A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分 ‎【分析】‎ 根据众数的定义,找到该组数据中出现次数最多的数即为众数;根据中位数定义,将该组数据按从小到大依次排列,处于中间位置的两个数的平均数即为中位数.‎ ‎【解答】解:70分的有12人,人数最多,故众数为70分;‎ 处于中间位置的数为第20、21两个数,都为80分,中位数为80分.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题为统计题,考查众数与中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2017•成都)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(  )‎ A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.:‎ ‎【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比,根据相似多边形的性质解答.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,OA:OA′=2:3,‎ ‎∴DA:D′A′=OA:OA′=2:3,‎ ‎∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为:()2=,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的是位似变换的性质,掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2017•成都)已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值.‎ ‎【解答】解:将x=3代入﹣=2,‎ ‎∴‎ 解得:k=2,‎ 故选(D)‎ ‎【点评】本题考查一元一次方程的解,解题的关键是将x=3代入原方程中,本题属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2017•成都)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是(  )‎ A.abc<0,b2﹣4ac>0 B.abc>0,b2﹣4ac>0‎ C.abc<0,b2﹣4ac<0 D.abc>0,b2﹣4ac<0‎ ‎【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置,进而判断各结论是否正确.‎ ‎【解答】解:根据二次函数的图象知:‎ 抛物线开口向上,则a>0;‎ 抛物线的对称轴在y轴右侧,则x=﹣>0,即b<0;‎ 抛物线交y轴于负半轴,则c<0;‎ ‎∴abc>0,‎ ‎∵抛物线与x轴有两个不同的交点,‎ ‎∴△=b2﹣4ac>0,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,由图象找出有关a,b,c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况,是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)‎ ‎11.(4分)(2017•成都)(﹣1)0= 1 .‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案.‎ ‎【解答】解:(﹣1)0=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】此题主要考查了零指数幂的性质,正确把握定义是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2017•成都)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为 40° .‎ ‎【分析】直接用一个未知数表示出∠A,∠B,∠C的度数,再利用三角形内角和定理得出答案.‎ ‎【解答】解:∵∠A:∠B:∠C=2:3:4,‎ ‎∴设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x,‎ ‎∵∠A+∠B+∠C=180°,‎ ‎∴2x+3x+4x=180°,‎ 解得:x=20°,‎ ‎∴∠A的度数为:40°.‎ 故答案为:40°.‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形内角和定理,正确表示出各角度数是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2017•成都)如图,正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时,y1 < y2.(填“>”或“<”).‎ ‎【分析】由图象可以知道,当x=2时,两个函数的函数值是相等的,再根据函数的增减性即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由图象知,当x<2时,y2的图象在y1上右,‎ ‎∴y1<y2.‎ 故答案为:<.‎ ‎【点评】本题考查了两条直线相交与平行,正确的识别图象是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2017•成都)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 15 .‎ ‎【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ,再由平行四边形的性质得出CD∥AB,BC=AD=3,∠BAQ=∠DQA,故可得出△AQD是等腰三角形,据此可得出DQ=AD,进而可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵由题意可知,AQ是∠DAB的平分线,‎ ‎∴∠DAQ=∠BAQ.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CD∥AB,BC=AD=3,∠BAQ=∠DQA,‎ ‎∴∠DAQ=∠DQA,‎ ‎∴△AQD是等腰三角形,‎ ‎∴DQ=AD=3.‎ ‎∵DQ=2QC,‎ ‎∴QC=DQ=,‎ ‎∴CD=DQ+CQ=3+=,‎ ‎∴平行四边形ABCD周长=2(DC+AD)=2×(+3)=15.‎ 故答案为:15.‎ ‎【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共54分)‎ ‎15.(12分)(2017•成都)(1)计算:|﹣1|﹣+2sin45°+()﹣2;‎ ‎(2)解不等式组:.‎ ‎【分析】(1)原式利用二次根式性质,特殊角的三角函数值,以及负整数指数幂法则计算即可得到结果.‎ ‎(2)分别求得两个不等式的解集,然后取其公共部分即可.‎ ‎【解答】解:(1)原式=﹣1﹣2+2×+4‎ ‎=﹣1﹣2++4‎ ‎=3;‎ ‎(2),‎ ‎①可化简为2x﹣7<3x﹣3,‎ ‎﹣x<4,‎ x>﹣4,‎ ‎②可化简为2x≤1﹣3,则x≤﹣1.‎ 不等式的解集是﹣4<x≤﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组,实数的运算,负整数指数幂以及特殊角的三角函数值.熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(6分)(2017•成都)化简求值:÷(1﹣),其中x=﹣1.‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把已知代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:÷(1﹣)=•=,‎ ‎∵x=﹣1,‎ ‎∴原式==.‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(8分)(2017•成都)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.‎ ‎(1)本次调查的学生共有 50 人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 360 人;‎ ‎(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.‎ ‎【分析】(1)用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;‎ ‎(2)用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案;‎ ‎(3)先画树状图展示所有12个等可能的结果数,再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:(1)4÷8%=50(人),‎ ‎1200×(1﹣40%﹣22%﹣8%)=360(人);‎ 故答案为:50,360;‎ ‎(2)画树状图,共有12根可能的结果,恰好抽到一男一女的结果有8个,‎ ‎∴P(恰好抽到一男一女的)==.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图;通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2017•成都)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.‎ ‎【分析】过B作BD⊥AC于点D,在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长,然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长.‎ ‎【解答】解:过B作BD⊥AC于点D.‎ 在Rt△ABD中,AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2(千米),‎ BD=AB•sin∠BAD=4×=2(千米),‎ ‎∵△BCD中,∠CBD=45°,‎ ‎∴△BCD是等腰直角三角形,‎ ‎∴CD=BD=2(千米),‎ ‎∴BC=BD=2(千米).‎ 答:B,C两地的距离是2千米.‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中,解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识,利用三角函数的知识求解.‎ ‎ ‎ ‎19.(10分)(2017•成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点.‎ ‎(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;‎ ‎(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.‎ ‎【分析】(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得A(﹣4,﹣2),把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得反比例函数的表达式为y=,再根据点B与点A关于原点对称,即可得到B的坐标;‎ ‎(2)过P作PE⊥x轴于E,交AB于C,先设P(m,),则C(m,‎ m),根据△POC的面积为3,可得方程m×|m﹣|=3,求得m的值,即可得到点P的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得a=﹣4,‎ ‎∴A(﹣4,﹣2),‎ 把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得k=8,‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=,‎ ‎∵点B与点A关于原点对称,‎ ‎∴B(4,2);‎ ‎(2)如图所示,过P作PE⊥x轴于E,交AB于C,‎ 设P(m,),则C(m,m),‎ ‎∵△POC的面积为3,‎ ‎∴m×|m﹣|=3,‎ 解得m=2或2,‎ ‎∴P(2,)或(2,4).‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题时注意:反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2017•成都)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥‎ AC于点H,连接DE交线段OA于点F.‎ ‎(1)求证:DH是圆O的切线;‎ ‎(2)若A为EH的中点,求的值;‎ ‎(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.‎ ‎【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;‎ ‎(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,则H是EC的中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,由OD是△ABC的中位线,得:OD=AC=,证明△AEF∽△ODF,列比例式可得结论;‎ ‎(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明△BFD∽△EFA,列比例式为:,则=,求出r的值即可.‎ ‎【解答】证明:(1)连接OD,如图1,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴△ODB是等腰三角形,‎ ‎∠OBD=∠ODB①,‎ 在△ABC中,∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB②,‎ 由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∵DH⊥AC,‎ ‎∴DH⊥OD,‎ ‎∴DH是圆O的切线;‎ ‎(2)如图2,在⊙O中,∵∠E=∠B,‎ ‎∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,‎ ‎∴△EDC是等腰三角形,‎ ‎∵DH⊥AC,且点A是EH中点,‎ 设AE=x,EC=4x,则AC=3x,‎ 连接AD,则在⊙O中,∠ADB=90°,AD⊥BD,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴D是BC的中点,‎ ‎∴OD是△ABC的中位线,‎ ‎∴OD∥AC,OD=AC=×3x=,‎ ‎∵OD∥AC,[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴∠E=∠ODF,‎ 在△AEF和△ODF中,‎ ‎∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,‎ ‎∴△AEF∽△ODF,‎ ‎∴,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=;‎ ‎(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,‎ ‎∵EF=EA,‎ ‎∴∠EFA=∠EAF,‎ ‎∵OD∥EC,‎ ‎∴∠FOD=∠EAF,[来源:学科网ZXXK]‎ 则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,‎ ‎∴DF=OD=r,‎ ‎∴DE=DF+EF=r+1,‎ ‎∴BD=CD=DE=r+1,‎ 在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,‎ ‎∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,‎ ‎∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,‎ ‎∴BF=BD=r+1,‎ ‎∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣(1+r)=r﹣1,‎ 在△BFD和△EFA中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△BFD∽△EFA,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,‎ 解得:r1=,r2=(舍),‎ 综上所述,⊙O的半径为.‎ ‎【点评】本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,第三问设圆的半径为r,根据等边对等角表示其它边长,利用比例列方程解决问题.‎ ‎ ‎ 四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎21.(4分)(2017•成都)如图,数轴上点A表示的实数是 ﹣1 .‎ ‎【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数.‎ ‎【解答】解:由图形可得:﹣1到A的距离为=,‎ 则数轴上点A表示的实数是:﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】此题主要考查了实数与数轴,正确得出﹣1到A的距离是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(4分)(2017•成都)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根,且x12﹣x22=10,则a=  .‎ ‎【分析】由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0;当x1+x2=0时,运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根,据此即可求得m的值.‎ ‎【解答】解:由两根关系,得根x1+x2=5,x1•x2=a,‎ 由x12﹣x22=10得(x1+x2)(x1﹣x2)=10,‎ 若x1+x2=5,即x1﹣x2=2,‎ ‎∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=25﹣4a=4,‎ ‎∴a=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.‎ ‎ ‎ ‎23.(4分)(2017•成都)已知⊙O的两条直径AC,BD互相垂直,分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则=  .‎ ‎【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1,P2的值即可得出答案.‎ ‎【解答】解:设⊙O的半径为1,则AD=,‎ 故S圆O=π,‎ 阴影部分面积为:π×2+×﹣π=2,‎ 则P1=,P2=,‎ 故=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题主要考查了几何概率,正确得出各部分面积是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(4分)(2017•成都)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P′(,)称为点P的“倒影点”,直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k= ﹣ .‎ ‎【分析】设点A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则A′(,),B′(,),由AB=2可得出b=a+‎ ‎2,再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组,解之即可得出k值.‎ ‎【解答】解:设点A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则A′(,),B′(,),‎ ‎∵AB=2,‎ ‎∴b﹣a=2,即b=a+2.‎ ‎∵点A′,B′均在反比例函数y=的图象上,‎ ‎∴,‎ 解得:k=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式,根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键.[来源:学。科。网]‎ ‎ ‎ ‎25.(4分)(2017•成都)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG=  cm.‎ ‎【分析】作GM⊥AC′于M,A′N⊥AD于N,AA′交EC′于K.易知MG=AB=AC′,首先证明△AKC′≌△GFM,可得GF=AK,由AN=4.5cm,A′N=1.5cm,C′K∥A′N,推出=,可得=,推出C′K=1cm,在Rt△AC′K中,根据AK=,求出AK即可解决问题.‎ ‎【解答】解:作GM⊥AC′于M,A′N⊥AD于N,AA′交EC′于K.易知MG=AB=AC′,‎ ‎∵GF⊥AA′,‎ ‎∴∠AFG+∠FAK=90°,∠MGF+∠MFG=90°,‎ ‎∴∠MGF=∠KAC′,‎ ‎∴△AKC′≌△GFM,‎ ‎∴GF=AK,‎ ‎∵AN=4.5cm,A′N=1.5cm,C′K∥A′N,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴C′K=1cm,[来源:学。科。网]‎ 在Rt△AC′K中,AK==cm,‎ ‎∴FG=AK=cm,‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ 五、解答题(本大题共3小题,共30分)‎ ‎26.(8分)(2017•成都)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:‎ ‎ 地铁站 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ x(千米)‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11.5‎ ‎ 13‎ ‎ y1(分钟)‎ ‎ 18‎ ‎ 20‎ ‎ 22‎ ‎ 25‎ ‎ 28‎ ‎(1)求y1关于x的函数表达式;‎ ‎(2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.‎ ‎【分析】(1)根据表格中的数据,运用待定系数法,即可求得y1关于x的函数表达式;‎ ‎(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则y=y1+y2=x2﹣9x+80,根据二次函数的性质,即可得出最短时间.‎ ‎【解答】解:(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入得:‎ ‎,‎ 解得:,‎ 故y1关于x的函数表达式为:y1=2x+2;‎ ‎(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则 y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80,‎ ‎∴当x=9时,y有最小值,ymin==39.5,‎ 答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的应用,解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值最小值,在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎27.(10分)(2017•成都)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠‎ BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是==;‎ 迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.‎ ‎①求证:△ADB≌△AEC;‎ ‎②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;‎ 拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.‎ ‎①证明△CEF是等边三角形;‎ ‎②若AE=5,CE=2,求BF的长.‎ ‎【分析】迁移应用:①如图②中,只要证明∠DAB=∠CAE,即可根据SAS解决问题;‎ ‎②结论:CD=AD+BD.由△DAB≌△EAC,可知BD=CE,在Rt△ADH中,DH=AD•cos30°=AD,由AD=AE,AH⊥DE,推出DH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD,即可解决问题;‎ 拓展延伸:①如图3中,作BH⊥AE于H,连接BE.由BC=BE=BD=BA,FE=FC,推出A、D、E、C四点共圆,推出∠ADC=∠AEC=120°,推出∠FEC=60°,推出△EFC是等边三角形;‎ ‎②由AE=5,EC=EF=2,推出AH=HE=2.5,FH=4.5,在Rt△BHF中,由∠BFH=30°,可得=cos30°,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】迁移应用:①证明:如图②‎ ‎∵∠BAC=∠DAE=120°,‎ ‎∴∠DAB=∠CAE,‎ 在△DAE和△EAC中,‎ ‎,‎ ‎∴△DAB≌△EAC,‎ ‎②解:结论:CD=AD+BD.‎ 理由:如图2﹣1中,作AH⊥CD于H.‎ ‎∵△DAB≌△EAC,‎ ‎∴BD=CE,‎ 在Rt△ADH中,DH=AD•cos30°=AD,‎ ‎∵AD=AE,AH⊥DE,‎ ‎∴DH=HE,‎ ‎∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD.‎ 拓展延伸:①证明:如图3中,作BH⊥AE于H,连接BE.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,‎ ‎∴△ABD,△BDC是等边三角形,‎ ‎∴BA=BD=BC,‎ ‎∵E、C关于BM对称,‎ ‎∴BC=BE=BD=BA,FE=FC,‎ ‎∴A、D、E、C四点共圆,‎ ‎∴∠ADC=∠AEC=120°,‎ ‎∴∠FEC=60°,‎ ‎∴△EFC是等边三角形,‎ ‎②解:∵AE=5,EC=EF=2,‎ ‎∴AH=HE=2.5,FH=4.5,‎ 在Rt△BHF中,∵∠BFH=30°,‎ ‎∴=cos30°,‎ ‎∴BF==3.‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,学会添加辅助圆解决问题,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎28.(10分)(2017•成都)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.‎ ‎(1)求抛物线C的函数表达式;‎ ‎(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.‎ ‎(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(﹣2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,把A(2,0)代入可得a=﹣,由此即可解决问题;‎ ‎(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为y=(x﹣2m)2﹣4,由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,则有,解不等式组即可解决问题;‎ ‎(3)情形1,四边形PMP′N能成为正方形.作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,推出PF=FM,∠PFM=90°,易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得M(m+‎ ‎2,m﹣2),理由待定系数法即可解决问题;情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),利用待定系数法即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(﹣2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,‎ 把A(﹣2,0)代入可得a=﹣,‎ ‎∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4.‎ ‎(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为y=(x﹣2m)2﹣4,‎ 由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,‎ 由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,‎ 则有,解得2<m<2,‎ ‎∴满足条件的m的取值范围为2<m<2.‎ ‎(3)结论:四边形PMP′N能成为正方形.‎ 理由:1情形1,如图,作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.‎ 由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,‎ ‎∴PF=FM,∠PFM=90°,‎ 易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,‎ ‎∴M(m+2,m﹣2),‎ ‎∵点M在y=﹣x2+4上,‎ ‎∴m﹣2=﹣(m+2)2+4,解得m=﹣3或﹣﹣3(舍弃),‎ ‎∴m=﹣3时,四边形PMP′N是正方形.‎ 情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),‎ 把M(m﹣2,2﹣m)代入y=﹣x2+4中,2﹣m=﹣(m﹣2)2+4,解得m=6或0(舍弃),‎ ‎∴m=6时,四边形PMP′N是正方形.‎ 综上,四边形PMP′N能成为正方形,m=﹣3或6.‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎
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