第2章 第1节 几种常见的力-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第2章 第1节 几种常见的力-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第二讲 力与物体的平衡 第一节 几种常见的力 力是物体与物体之间的相互作用，日常生活中的物体间往往存在着力的作用。常见的力有重力、 弹力和摩擦力。 一、重力 重力即地球表面的物体由于地球的吸引而受到的力，地球表面任何物体部受到重力的作用，重 力的方向是竖直向下或者表达为垂直于水平面向下，重力的大小与物体质量成正比，可用公式表示 为G mg ，其中 g 为比例系数。通常情况下 g 取 9.8N/kg ，粗略计算中可以取 10N/kgg  。但值 得注意的是，地球上不同位置的 g 的值不尽相同，g 的值随着纬度的升高而变大，赤道处的 g 最小， 约为9.780N/kg ，两极处的 g 最大，约为9.832N/kg ，因此，同一物体在极地和在赤道所受重力大 小是不同的。 物体各个部分都受到重力作用，各部分重力的作用点分散在物体各个部位，物体所受到的总重 力可以等效地认为作用在某一点，该点即为物体的重心。对于质量分布均匀、形状规则的物体，重 心的位置在它们的几何中心。如图 4.1 所示的C 点即为常见均匀几何体的重心。 对于形状不规则、质量分布不均匀的薄板型物体，可以用悬挂法来确定重心的位置。 下面介绍计算物体重心位置的方法： 1．两个物体的重心 如图 4.2 所示，设两物体的质量分别为 1m ， 2m ，它们重心之间的距离为 L ，这两个物体所受的总重力 1 2m m g 的等效作用点即为两物体组成的系统的重心。若以不计质 量的轻细杆将 1m ， 2m 连接，再支起轻杆使其水平平衡，则支点即为物体的等效重心。设 1m ， 2m 的 重心到系统重心C 的距离分别为 1x ， 2x ，则 1 2x x L  ，由杠杆平衡条件可得 1 1 2 2m gx m gx ，解 得 2 1 1 2 mx Lm m   ， 1 2 1 2 mx Lm m   。可见，两物体重心的位置必在两物件各自重心的连线上，且 两物体的重心距离系统重心的距离与物体质量成反比，即系统重心离质量较大的物体较近。 2．几个物体的重心 现在我们讨论由处于同一平面内的几个物体纽成的系统的重心。 如果某平面内存在着若干个物体，它们的质量分别为 1m ， 2m ， 3m ， ， nm ，则可以在平面内建立 xOy 直角坐标系，并记各个物体重 心的坐标为 1 1,x y ， 2 2,x y ， 3 3,x y ，， ,n nx y ，如图 4.3 所示，则这空物体组成的系统的重心坐标可以表示为  ,C Cx y ，其 中 1 1 2 2 3 3 1 2 3 n n C n m x m x m x m xx m m m m           1 1 2 2 3 3 1 2 3 n n C n m y m y m y m yy m m m m           特殊地，如果几个物体恰在一条直线上，则只需建立一维坐标系Ox 轴即可。 例 1 (上海第 25 届大同杯复赛)如图 4.4 所示，两根长度相等的杆OA 与OB 在O 点用螺母铰接在一起，两臂间的夹角可以改变，OA 是没有质量的轻杆，而OB 杆是 有一定质量且质量均匀分布的重杆，初始时两杆间的夹角为90 ，用一根细线悬挂端 点 A，两杆处于静止状态，然后将两杆间的夹角变为100 ，两杆再次处于静止状态 时O 点相对于初始状态________(选填“上升”“下降”或“位置不变”)，为使金属杆 的顶点O (即两臂连接处)位置最高，金属杆两臂张开的角度应为________。 分析与解 由于杆 AO 为没有质量的轻质杆，因此杆 AO 与杆 BO 所组成的系统 的重心在 BO 的中点C 点，且C 点必位于悬挂点 A 的正下方，如图 4.5 所示。由于悬 挂点 A 不动，当两杆夹角变化时， O 点的轨迹是以 A 点为圆心、杆长为半径的圆， CAO 越大，O 点位置越高。不妨假设 CAO   ， ACO   ，则在 ACO△ 中， 由正弦定理可得 sin sin CO AO   ，因此 1sin sin sin2 CO AO     ，故当 90   时， 取得最大值 30 ，O 点最高。此时可得 60AOC   。当两杆间的夹角由90 增加到100 时，可知  变小， 结合 1sin sin2   可知 ， 应同时变大或变小，则 ， 均变小，O 点高度下降。 例 2 半径为 R 的均匀薄圆盘的质量为 M 。在圆盘上挖去一个半径为  r r R 的小圆孔，且小 圆孔与圆盘相切，如图 4.6 所示，求剩余部分重心的位置。 分析与解 整个圆盘可以分成两部分：被挖去部分 m 与剩余部分 M m ，这两部分的重心在圆 盘圆心O 点。圆盘单位面积的质量 2 M R   ，挖去部分的质量 2 2 2 Mrm r R     。以圆盘圆心O 为 坐标原点，沿着圆盘圆心O 与挖去部分的圆心 1O 连线方向建立 x 轴如图 4.7 所示，则整个圆盘重心 坐标为 0，挖去部分原来的重心坐标为 1x R r  ，由对称性，剩余部分的重心必在 x 轴上。设剩余 部分的重心坐标为 2x ，则应有  1 2 0mx M m x M    ，代入数据可解得 2 2 rx R r    ，因此剩余部 分的重心在距离O 点 2r R r 处。 例 3 (上海第 23 届大同杯复赛)均匀三角板的重心在三角形三条中线的交点上，均匀细杆的重 心在杆的中点上。现有一块等腰直角三角板和三根均 匀细杆。三根细杆的长度分别与三角板的边长相等， 将这三根细杆构成如图 4.8 所示的三角形。设三角板 的重心为 P ，三根细杆构成的三角形的重心为 P，P 与 P未在图中画出。 以下是三位同学的观点： 甲同学认为 P 和 P的位置重合； 乙同学认为 P 和 P的位置不重合，且 P 到斜边的距离大于 P到斜边的距离； 丙同学认为 P 和 P的位置不重合，且 P 到斜边的距离小于 P到斜边的距离。 请你通过分析，对以上三位同学的观点做出判断。 分析与解 对于三角形薄板，其重心 P 在三条边中线的交点，设斜边上的高为 h ，则根据中线 的性质，重心 P 到斜边的距离为 0. 33 3 3hh  。对三角形，三条边的重心分别在边的中点上，如图 4.9 的 A， B ，C 所示。为了找到三角形重心 P的位置，现以斜边上的中点C 为坐标原点，沿箬斜 边上高的方向建立如图所示的 x 轴坐标，则 2A B hx x  ， 0Cx  ，再根据边长关系设三角形的三 边 质 量 分 别 为 m ， m ， 2m ， 结 合 对 称 性 ， P 必 在 x 轴 上 ， 则 P 到 斜 边 的 高 度 2 0 2 2 0.293 2 2 2P h hm m m hx h m m m            。因为 0.333 0.293h h ，所以甲、丙同学说法错 误，乙同学说法正确。 二、弹力 (一)弹力的概念 弹力是指两个相互接触的物体之间，由于相互挤压而产生的力的作用。弹力的产生条件有两个： 两个物体直接接触，相互挤压而发生弹性形变。弹力的大小与形变程度有关。弹力的方向与施加这 个弹力的物体的形变方向相反，与受到这个弹力的物体的形变方向相同。弹力方向还可如下判断： ①压力、支持力的方向总是垂直于接触面，若接触面是曲面，则垂直于曲面的切线。②绳对物体的 拉力总是沿着绳指向绳收缩的方向。③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。如果可自由转动的轻直 杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆的弹力方向一定沿杆。 如图 4.10 给出了细杆 A与圆球 B 在几种常见情况下所受弹力的示意图。 值得注意的是，有时候物体相互接触，但却不一定挤压而发生弹性形变，因此互相接触的物体 不一定会产生弹力。大多情况下物体发生的形变很微小，肉眼难以判断。因此根据弹力产生的两个 条件来判断弹力的有无很困难。我们可以采用“假设法”来判断物体间的弹力是否存在。 如图 4.11(a)所示，球 A静置于光滑水平面上，与竖直光滑墙壁接触。竖直墙壁对球 A是否施加 了弹力，就可以用假设法判断：假设竖直墙壁对球 A施加了弹力，由于接触面均光滑，球 A必然会 向右移动，与题述球 A静止矛盾，因此竖直墙与球 A之间没有弹力作用。同样在图 4.11(b)中，悬绳 竖直，小球 B 与斜面接触。判断斜面对球 B 是否有弹力，可以先假设存在弹力，则小球 B 所受斜面 对其的弹力必垂直于斜面向上，悬绳自然会倾斜，这与题矛盾，因此该弹力不存在。 (二)弹簧的弹力 当弹簧被拉伸或者被压缩时，弹簧会对与它接触的物体产生弹力的作用，当弹簧被拉伸时，弹 簧的弹力表现为拉力；当弹簧被压缩时，弹簧的弹力表现为斥力。对于质量不计的轻弹簧，其内部 的弹力大小处处相等。 1．胡克定律 弹簧被拉伸或压缩时，会产生反抗形变的弹力，如图 4.12 所示。在弹性限度内，弹簧的弹力 F 与弹簧的形变量 x 成正比，这就是胡克定律，由英国物理学家胡克发现。胡克定律可以表示为 F kx ， 其中 k 表示弹簧的劲度系数，反映了弹簧发生形变的难易程度，由 Fk x  可知，劲度系数越大的弹 簧，发生相同形变量时所需的力 F 越大，即弹簧越不容易发生形变。弹簧的劲度系数只与弹簧的材 料、长度、粗细、匝数等因素有关，与弹簧的形变量及弹力大小无关。图 4.13 反映了弹簧弹力 F 与 弹簧的形变量 x 之间的函数关系。 应该注意的是，弹簧的形变量不能太大，否则弹簧在外力撤去时将不能恢复到原长状态，即不 能使外力超过弹簧的弹性限度。 例 4 如图 4.14 所示， A ， B 是两个相同的轻弹簧，原长 0 10cmL  ，劲度系数 500N/mk  ，如果图中悬挂的两个物体质量均为 1kgm  ，g 取10N/kg ，则两个弹簧 的总长度为( )。 A． 22cm B． 24cm C． 26cm D． 28cm 分析与解 上方弹簧承受的拉力大小等于两物体重力之和，因此其伸长量 1 2 4cmmgx k   ， 上方弹簧的长度为 0 1 14cmL x  。下方弹簧承受的拉力大小等于 mg ，其伸长量 2 2cmmgx k   ， 下方弹簧长度为 0 2 12cmL x  ，所以两个弹簧的总长度为 26cm ，选项 C 正确。 例 5 (上海第 25 届大同杯初赛)如图 4.15 所示，劲度系数为 1k 的轻质弹簧 A—端固定在地面上 并竖直放置，质量为 m 的物块压在弹簧 A上，用一细绳跨过定滑轮，细绳一端与 m 相连，另一端与 劲度系数为 2k 的轻质弹簧 B 相连。现用手握住弹簧 B 的右端使其位于 c 点时，弹簧 B 恰好呈水平且 没有形变，将弹簧 B 的右端水平拉到 d 点时，弹簧 A恰好没有形变。已知 2 1k k ，则 c ，d 之间的 距离为( )。 A． 1 2 1 2 k k mgk k  B． 1 2 1 2 k k mgk k  C． 1 2 mg k k D． 1 2 mg k k 分析与解 当 B 弹簧处于原长状态时， A 弹簧的压缩量为 1 Δ A mgx k  ，当 A 弹簧恢复原长时， B 弹簧的伸长量为 2 Δ B mgx k  ，则 c ， d 之间的距离为  1 2 1 2 Δ ΔA B k k mgx x k k   ，选项 A 正确。 2．弹簧的串并联 (1)弹簧的串联：弹簧的串联就是把几根弹簧首尾相接，连成一根弹簧。 如图 4.16 所示，劲度系数分别为 1k ， 2k 的两个弹簧首尾相接，串联成一个新弹簧，设新弹簧劲 度系数为 k ，下面推导 k 与 1k ， 2k 的关系：若在 1k ， 2k 末端分别施加拉力 F ， 则两弹簧形变量分别为 1 1 Fx k  ， 2 2 Fx k  。当拉力 F 施加在 1k ， 2k 串联后的 新弹簧上时，由于弹簧上各处弹力均为 F ，因此 1k ， 2k 在新弹簧中发生的形 变量仍为 1x ， 2x 。而新弹簧的形变量 x 满足 1 2 Fx x x k    ，比较 1x ， 2x ， x 的表达式可得 1 2 1 1 1 k k k   。可见，两个弹簧串联之后等效的劲度系数的倒数等于两个弹簧劲度系 数的倒数之和。 将上面关系推而广之：若有 n 个弹簧串联，则有 1 2 1 1 1 1 nk k k k     。即串联后弹簧的等效劲 度系数的倒数等于各个弹簧劲度系数的倒数之和。． 特殊地，若 n 个原长为 0l 、劲度系数为 0k 的完全相同的弹簧串联，串联后新弹簧的原长为 0nl ， 劲度系数为 0k n ，可见，在其他条件相同时，弹簧的劲度系数与其长度成反比。 (2)弹簧的并联：弹簧的并联就是把几根弹簧并排放置，作为一根弹簧来使用。 如图 4.17 所示，两个原长相同的、劲度系数分别为 1k 和 2k 的弹簧并列放置，并联 成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为 k ，下面推导 k 与 1k ， 2k 的关系：若在新弹簧末端 施加拉力，由于两弹簧原长相同，因此形变量相同，设为 x ，则两弹簧弹的弹力分别为 1 1F k x ， 2 2F k x ，且有 1 2F F F  ，并联后新弹簧的形变量亦为 x ，则 F kx ，因此可得 1 2k k k  ， 可见，两个原长相同的弹簧并联之后等效的劲度系数等于两个弹簧劲度系数之和。 将上面关系推而广之：若有 n 个弹簧并联，则有 1 2 nk k k k    。即串联后弹簧的等效劲 度系数等于各个弹簧劲度系数之和。 值得一提的是，上述关系只适用于几个原长相同的弹簧并联，若弹簧原长不同，则受力时形变 量不同，没有上述关系。此时应该逐一分析弹簧形变及弹力情况，列式求解相关问题。 例 6 (上海第 20 届大同杯复赛)现有长度为 0.1m 的两根弹簧 A 和 B ，已知弹簧 A 和 B 的劲度 系数分别为100N/m 和 200N/m 。为了制成一个长度也是 0.1m 、劲度系数却为150N/m 的新弹簧， 可以分别在弹簧 A 和 B 上截取一段，然后将这两段串联成一个弹簧即可。则在弹簧 A和 B 上截取的 长度分别为( )。 A． 0.025m 和 0.075m B． 0.033m 和 0.067m C． 0.050m 和 0.050m D． 0.075m 和 0.025m 分析与解 设从 A弹簧上截取的长度为 x ，则从 B 弹簧上截取的长度为 0.1 x ，根据弹簧的劲 度系数与长度成反比，可知从弹簧 A ， B 上截取下来的部分劲度系数分别为 1 0.1 Ak kx  ， 2 0.1 0.1 Bk kx   ，又 1 2 1 1 1 150k k   ，联立解得 1 m 0.033m30x   ，故选项 B 正确。 例 7 (上海第 28 届大同杯初赛)轻质弹簧 S 的上端固定在天花板上，下端挂一质量为 m 的物体， 平衡时弹簧的长度为 1L ，现将一根与 S 完全相同的弹簧剪为 1S 和 2S 两部分；将质量为 1m 和 2m 的 两物体分别与 1S 和 2S 相连并悬挂在天花板上 1 2m m m  ，如图 4.18 所示。平衡时 1S 与 2S 的长 度之和为 2L ，则( )。 A． 2L 一定等于 1L B． 2L —定大于 1L ，且 1m 越大， 1S 原长越长， 2L 就越长 C． 2L 一定小于 1L ，且 1m 越大， 2S 原长越长， 2L 就越短 D． 2L 一定小于 1L ，且 2m 越大， 1S 原长越长， 2L 就越短 分析与解 设长为 S 的弹簧共有 n 圈，每一圈的劲度系数为 k n ，长为 1S 的弹簧有 1n 圈，劲度系 数为 1 1 kk n  ，长为 2S 的弹簧有 2n 圈，劲度系数为 2 2 kk n  ，且 1 2n n n  。所以第一种情况下弹簧 S 的 长 度 1 mgL S nk   ， 第 二 种 情 况 下 弹 簧 的 长 度 2 2 1 1 2 2 m gmgL S n S nk k     ， 由 于 2 1 1 2 1 2 2 0m g m gmg mgL L n n n nk k k k       ，因此 1L —定大于 2L ，且 1m 越大，其差值就越大， 2L 就越短； 2n 越大(即 2S 原长越长)，其差值也越大，所以选项 C 正确。 三、摩擦力 摩擦力是指发生在物体表面，阻碍物体相对滑动或相对滑动趋势的力。摩擦力分为两类：静摩 擦力和滑动摩擦力。 (一)静摩擦力 静摩擦力发生在两个相对静止、有相对运动趋势的物体之间。 1．静摩擦力产生的条件 静摩擦力产生的条件为：①相互接触有弹力，②接触面粗糙，③有相对运动的趋势。两物体间 有弹力是这两物体间有摩擦力的必要条件(没有弹力不可能有摩擦力)。 值得注意的是，静摩擦力发生在相对静止的物体之间，即使物体在运动，也可能受到静摩擦力 的作用。这里应对“相对运动”与“运动”加以区别。 2．静摩擦力的方向 静摩擦力阻碍的是物体间相对滑动的趋势，即静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势的方向相反。 相对滑动趋势的方向就是假设接触面光滑时，物体将要滑动的方向。 图 4.19 画出了 A物体所受静摩擦力的几种情况。 3．静摩擦力的大小 静摩擦力的大小往往随着物体所受其他力的变化而变化，可以根据物体的平衡条件(比如二力平 衡)来计算静摩擦力的大小。静摩擦力的大小与接触面间的压力无关。 当物体恰好要发生相对滑动时，静摩擦力达到最大，叫做最大静摩擦力，记为 maxf 。静摩擦力 的大小范围为 max0 f f  。最大静摩擦力与压力、接触面的粗糙程度和材料都有关系，可以用公 式 max sf N 来计算最大静摩擦力。其中 s 为静摩擦因数，与接触面间的材料和粗糖程度有关，对 某两个具体的接触面而言，是一个常数。 N 表示接触面间的压力。 若要使物体发生相对滑动，就要克服最大静摩擦力。最大静摩擦力越大，物体越不容易发生相 对滑动。 例 8 (上海第 30 届大同杯初赛)如图 4.20 所示，两板间夹一木块 A，向左右两板施加压力 F 时， 木块 A静止，若将压力都增大到 2F ，则木块 A所受的摩擦力( )。 A．是原来的 2 倍 B．是原来的 4 倍 C．与原来相同 D．无法判断 分析与解 物体受竖直向下的重力和挡板对其竖直向上的静摩擦力作用，始终受力平衡。因此 A 所受静摩擦力始终等于重力大小。力 F 增大到 2F 只是使得物体与挡板间的最大静摩擦力增加为原 来的 2 倍，但并未增加物体实际受到的静摩擦力。这里应该对静摩擦力与最大静摩擦力的概念加以 区分。 例 9 (上海第 31 届大同杯初赛)如图 4.21 所示，长度为 2L 的铁链挂在宽度为 L 的桌面上，桌 面与铁链之间的静摩擦因数为 1 3 ，为保证铁链静止在桌面上，铁链左端距桌面 的最短距离 x 为( ) A． 3 L B． 4 L C． 5 L D． 6 L 分析与解 设整根铁链重力为 G ，则左端垂下部分受重力为 1 2 GG xL  ，右 端垂下部分受重力为  2 2 GG L xL   ，由于垂下部分铁链的重力经过桌角(可视为 光滑定滑轮)后转化为对桌面上铁链的水平拉力，因此左、右两边垂下的铁链对桌面上的铁链的拉力 分别为 1 1F G ， 2 2F G ，又水平拉力 1F ， 2F 对桌面受到的压力没有贡献，所以桌面上的铁链对 桌面的压力等于 2 G ，桌面上铁链所受最大静摩擦力为 max 1 2 6 Gf G  。以桌面上铁链为研究对象， 恰好静止时有 1 max 2F f F  ，解得 3 Lx  ，选项 A 正确。 (二)滑动摩擦力 滑动摩擦力是指发生在两个有相对滑动的物体之间的摩擦力。 1．滑动摩擦力的产生条件 滑动摩擦力产生的条件为：①相互接触有弹力，②接触面粗糙，③发生了相对滑动。可见，两 物体间有弹力是两物体间有摩擦力的必要条件(没有弹力不可能有摩擦力)。 要注意的是，滑动摩擦力发生在有相对运动的两个物体之间，要注意相对运动与运动的区别。 即使某物体静止，它也可能受到其他物体对它的滑动摩擦力的作用。 2．滑动摩擦力的方向 滑动摩擦力阻碍的是两物体间的相对滑动，滑动摩擦力的方向与物体相对滑动的方向相反。例 如，A物体对 B 物体的摩擦力的方向与 B 物体相对于 A物体运动的方向相反，但未必与 B 物体运动 方向相反。 3．滑动摩擦力的大小 滑动摩擦力的大小与接触面间的压力、接触面的材料和粗糙程度都有关系，可以用 f N 来 计算滑动摩擦力的大小。其中 N 表示物体间的压力大小， 是动摩擦因数，与接触面的材料和粗糖 程度有关。对某两个具体的接触面，动摩擦因数为定值。 可见，滑动摩擦力的大小与物体间相对运动的速度、接触面积无关。 由于动摩擦因数小于静摩擦因数，滑动摩擦力小于最大静摩擦力。如图 4.22(a)所示，将从零逐 渐增加的水平力 F 作用在物块上，在物块移动之前，物块受到向左的静摩擦力，且静摩擦力始终与 力 F 等大，图 4.22(b)给出了摩擦力随拉力变化的图像。当拉力 F 增加到恰好等于最大静摩擦力 maxf 时，物体将开始移动，此后，摩擦力变为滑动摩擦力，因为滑动摩擦力小于最大静摩擦力，所以在 物体移动后，摩擦力会突然减小一些并保持恒定，不再随拉力 F 的增加而变化。 例 10 如图 4.23 所示，一质量为 2kg 的物体夹在两木板之间，物体左、右两 侧面与两块木板间的动摩擦因数均为 0.2。若把该物体从上面匀速抽出，需50N 的 力。若把它从下面匀速抽出，需多大的力？木板对物体的压力为多大？(设两木板 对物体的压力不变， g 取10N/kg ) 分析与解 设木板对物块的滑动摩擦力为 f ，压力为 N ，则 f N ，注意到两侧木板对物块 均有摩擦力，向上匀速拉动时，滑动摩擦力向下，有 1 2F mg f  ，向下匀速拉动时，滑动摩擦力 向上，有 2 2F mg f  。可解得 2 10NF  ， 15Nf  ，木板对物体的压力 75NfN   。 例 11 如图 4.24 所示，物体 A 所受重力为 40N ，物体 B 所受重力 为 20N ，A 与 B ，B 与地面间的动摩擦因数均为 0.1，当向右匀速拉动 A 时，求： (1)力 F 的大小； (2)绳中的拉力。 分析与解 (1)向右拉动 A物体时，B 对 A、地面对 A 均有水平向左的滑动摩擦力的作用，B 对 A 的滑动摩擦力大小为 2NBA Bf G  ，地面对 A的摩擦力大小为  AB 6Nf G G  地 ，因 此拉力   8NBAF f f  地 。 (2)当 A 向右被拉出时， B 相对于 A 向左运动， B 受到 A对它的滑动摩擦力水平向右，大小为 2NAB BAf f  ，所以绳子中的拉力 2NABT f  。 例 12 (上海第 28 届大同杯初赛)如图 4.25 所示，在水平力 F 的作用下，物体 A贴在竖直墙上 并处于静止状态。若改变 F 的大小，则下列判断有可能正确的是( )。 A．若适当增大 F ，则物体与墙之间的摩擦力增大 B．若适当增大 F ，则物体与墙之间的摩擦力不变 C．若适当减小 F ，则物体与墙之间的摩擦力减小 D．若适当减小 F ，则物体与墙之间的摩擦力不变 分析与解 A 物体受竖直向下的重力作用，静止时，必受竖直向上的静摩擦力作用，且由二力 平衡知识，静摩擦力的大小等于重力大小。若增大 F ，则物体 A与墙壁间的压力增大，最大静摩擦 力增大，物体仍保持静止，静摩擦力不变，B 选项正确。若 F 减小，则物体 A 与墙壁间的压力变小， 最大静摩擦力变小。这会导致两种可能：若减小后的最大静摩擦力仍大于物体重力，则物体仍静止， 静摩擦力不变，D 选项正确；若减小后的最大静摩擦力小于物体重力，物体将滑下，此时受到的是 滑动摩擦力，且小于物体重力，因此摩擦力变小，C 选项芷确。本题正确选项为 BCD。 练习题 1．有一个质量分布均匀的圆形薄板，若将其中央挖掉一个小圆，则薄板的余下部分( )。 A．重力减小，重心随挖下的小圆板移走了 B．重力和重心都没改变 C．重力减小，重心位置没有改变 D．重力减小，重心不存在了 2．在弹性限度内，当弹簧的长度为16cm 时，它产生的弹力大小为 20N ；当弹簧的长度变为 7cm 时，它产生的弹力大小为10N 。则弹簧的劲度系数为( )。 A．1.25N/cm B．1.43N/cm C．3.33N/cm D．1.11N/cm 3．一根轻质弹簧，当它上端固定，下端挂一零为G 的物体时，长度为 1L ；当它下端固定在水 平面上，上端压一重为 G 的物体时，长度为 2L ，则该弹簧的劲度系数为( )。 A． 1 G L B． 2 G L C． 1 2 G L L D． 1 2 2G L L 4．如图 4.26 所示，在水平力 F 的作用下，所受重力大小为 G 的物体沿墙壁匀速 下滑，物体与墙之间的动摩擦因数为  ，物体所曼摩擦力大小等于( )。 A． F G  B． F G  C． F D．G 5．(上海第 22 届大同杯初赛)如图 4.27 所示，位于水平桌面上的物块 P 由跨过定滑轮的轻绳与 物块Q 相连，滑轮到 P ，Q 的两段绳都是水平的。已知Q 与 P 之间以及 P 与桌面之间的动摩擦因数 都是  ；两物玦的质量都是 m ，轻绳与滑轮之间的摩擦不计，在水平向右的拉力 F 作用下， P 向 右做匀速运动，则 F 的大小为( )。 A． 4 mg B．3 mg C． 2 mg D． mg 6．(上海第 29 届大同杯初赛) A ，B 两物体叠放在水平桌面上，在如图 4.28 所示的三种情况下： ①图(a)中两物体静置于桌面上；②图(b)中水平恒力 F 作用在 B 物体上，使一起以 2m/s 的速度做匀 速直线运动；③图(c)中水平恒力 F 作用在 B 物体上，使—起以10m/s 的速度做匀速直线运动。比较 上述三种情况下物体 A 在水平方向的受力情况，以下说法正确的是( )。 A．三种情况下， A 在水平方向都不受力 B．三种情况下， A在水平方向都受力且受力相同 C．图(a)中 A在水平方向不受力，图(b)(c)中 A在水平方向都受力但受力不同 D．图(a)中 A 在水平方向不受力，图(b)(c)中 A在水平方向都受力且受力相同 7．(上海第 27 届大同杯初赛)如图 4.29 所示，甲和乙是叠放在水平桌面 上的两个物块，它们在丙的作用下一起向右做匀速直线运动，则( )。 A．甲对乙的摩擦力方向向右 B．甲对乙的摩擦力方向向左 C．甲可能不受摩擦力 D．将乙拿掉后，甲的运动状态一定会发生改变 8．(上海第 30 届大同杯初赛)如图 4.30 所示，水平桌面上叠放著甲、乙两个物体，在拉力 F 的 作用下，甲、乙以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力 的情况下，乙物体受到的作用力的个数有( )。 A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 9．(上海第 22 届大同杯初赛)如图 4.31 所乐， P 是位于水平粗糙桌面上的物块。用跨过定滑轮 的轻绳将 P 与装有砝码的小盘相连，小盘与砝码的总质量为 m 。在 P 运动的过程中，若不计空气阻 力，则 P 在水平方向受到的作用力与相应的施力物体分别是( )。 A．拉力和摩擦力；地球和桌面 B．拉力和摩擦力；轻绳和桌面 C．重力 mg 和摩擦力；地球和物块 D．重力 mg 和摩擦力；轻绳和桌面 10．如图 4.32 所示，物体 A 用两根细线悬挂起来，一根恰水平，一根恰竖直， 则物体 A 受到的作用力有________个，它们分别是________。 11．两根原长相同的轻质弹簧，将它们两端平齐地套在一起后，下端挂一重物， 平衡时两弹簧的弹力比为 2 :1，若将它们串接后再挂上原重物，平衡时，两弹簧的 伸长量之比为________。 12．(上海第 22 届大同杯初赛)如图 4.33 所示，两根竖直悬挂的劲度系数分别为 1k ， 2k 的轻弹簧下端用绕过轻滑轮的细绳相连，若在滑轮下挂一重为 G 的物体，则平衡后 滑轮下降的距离为________。 13．(上海第 22 届大同杯复赛)有一根长度为 L 的弹簧，它能承受的最大拉力为 F ， 在最大拉力 F 的作用下，弹簧伸长了 L 。现用剪刀将弹簧剪成长度为 3 L 和 2 3 L 的两段，则长度为 2 3 L 的弹簧能承受的最大拉力为________ F ，在这个最大拉力作用下，弹簧伸长了________ L 。 14．如图 4.34 所示为三个质量均不计的完全相同的弹簧秤，各小球质量相同，一切摩擦不计， 平衡时各弹簧秤示数分别为 1F ， 2F ， 3F ，其大小关系是________。 15．如图 4.35 所示，两木块的质量分别 1m 为 2m ，两轻质弹簧的劲度系数分别为 1k 和 2k ，上面木块压在上面的弹簧上(但不栓按)，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提 上面的木块 1m ，直到它刚离开上面的弹簧。在这个过程中木块 2m 上升的高度为 ________，木块 1m 上升的高度为________。 16．如图 4.36 所示，劲度系数均为 k 的甲、乙两轻质弹簧，甲弹簧一端固定在天花 板上，乙弹簧一端固定在水平地面上。当在甲的另一端挂一重物 G ，乙的另一端压一重物 G 时，两 弹簧的长度均为 L ，现将两弹簧并联，并在其下方系一重物 G ，此时弹簧的长度应为________。 17．如图 4.37 所示，用水平力 F 将物体压在竖直墙上，且物体处于静止状态。(1)分别画出 A物 体及墙所受摩擦力的方向；(2)若增大力物体的质量，它所受摩擦力将________；(3)若增大 F ，A 物 体所受摩擦力将________。((2)(3)均选填“增大”“不变”或“减小”) 18．如图 4.38 所示，滑轮质量不计且光滑，物体 A及所挂砝码均静止，连接物体 A的绳子恰水 平。(1)分别画出 A 物体及桌面所受的摩擦力的方向；(2)若增大物体 A 的质量，它所受摩擦力将 ________；(3)若增大所挂砝码的质量而物体 A仍静止，则 A所受摩擦力将________。((2)(3)均选填 “增大”“不变”或“减小”) 19．如图 4.39 所示，有一等边三角形 ABC ，在 B ，C 两点各放一个质量为 m 的小球，在 A处 放一个质量为 2m 的小球，问：这个球组的重心在何处？ 20．如图 4.40 所示， 100NAG  ， 40NBG  ，弹簧的劲度系数为500N/m ，不计绳重和摩擦， 求物体 A 对支持面的压力和弹簧的伸长量。 21．如图 4.41(a)所示，一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长 0.2m ，它们的一端固 定，另一端自由，当压缩此弹簧组合时，测得所用外力与压缩距离之间的关系图线如图 4.41(b)所示， 问：这两根弹簧的劲度系数 1k (大弹簧)和 2k (小弹簧)分別为多少？ 22．(上海第 20 届大同杯复赛)在机械制造中有一个给大飞轮定重心的工序， 该工序的目的是使飞轮的重心发生微小的移动，以使它准确位于轮轴上。如图 4.42 所示为放置在竖直平面内的一个质量为 M 、半径为 R 的金属大飞轮。用力推动飞 轮，让飞轮转动若干周后停止。多次拭验，发现飞轮边緣上的标记 A总是停在图 示位置。 (1)根据以上情况，在图上标出飞轮重心 P 的可能位置。 (2)工人在飞轮边缘上的某点 E 处，焊上质量为 m 的少量金属(不计焊锡质量)后，再用力推动飞 轮，当观察到________现象时，说明飞轮的重心已调整到轴心上了，请在图上标出点 E 的位置。 (3)为给飞轮定重心，还可以采用其他方法，例如，可以在飞轮边缘上某点Q 处，钻下质量为 1m 的少量金属，则钻下的质量 1m  ________(用 M ， R ， m 表示)，并在图中标出点Q 的位置。 参考答案 1．C。质量均匀分布的薄圆板，重心在圆心处，中央挖掉一个小圆盾，剩余部分仍为对称图形， 重心还在圆心处。 2．C。设弹簧原长为 0x ，劲度系数为 k ，当弹簧长度为16cm 时，弹簧可能处于伸长状态，则  016cm 20Nk x  ，当弹簧长度为 7cm 时，可能处于压缩状态，则  0 7cm 10Nk x   ，解得 0 10cmx  ， 3.33N / cmk  。其余的可能都只会解出 0x 为负值，舍去。本题正确选项为 C。 3．D。设弹簧原长为 0L ，劲度系数为 k ，则下端挂重物G 时，有  1 0k L L G  ，上端压重物 G 时，有  0 2k L L G  ，解得 1 2 2Gk L L   。选项 D 正确。 4．CD。物块沿着竖直墙壁匀速下滑，竖直方向仅受重力 G 和滑动摩擦力 f ，则由二力平衡， f G ，选项 D 正确。再由物体对墙的压力为 F ，滑动摩擦力 f F ，选项 C 正确。 5．A。当 P 向右移动时，Q 相对于 P 向左移动，P 对Q 的滑动摩擦力向冇，大小为 Qf mg ， 由于 Q 匀速，细线对 Q 向左的拉力 QT f mg  。对 P 而言， P 受到 Q 对它的向左的摩擦力 Pf mg ，细线对它向左的拉力 T mg  ，以及地面对它的摩擦力 2f mg地 ，所以拉力 4PF f T f mg   地 ，选项 A 正确。 6．A。本题中， A物体在水平方向上可能受到的力只能是 B 对其施加的摩擦力。判断摩擦力的 有无，除了可以依据物体间是否满足了摩擦力产生的条件以外，还可以利用假设法，即假设物体受 到或不受摩擦力，推断物体接下来所处的运动状态是否与实际情况符合，从而可以得出假设是否正 确。 A物体处于静止或匀速直线运动状态，必受力平衡。可以假设物体 A受到摩擦力的作用，则摩 擦力必沿接触面，即沿水平方向，而水平方向上并没有其他力，因此若 A 物体受到摩擦力的话，将 不能处于平衡状态，假设错误。题中三种情况下物体 A 均不曼摩擦力作用。选项 A 正确。 7．D。丙匀速下降时，甲、乙保持相对静止匀速向右运动，则乙在甲上不受摩擦力，否则乙所 受合力不为零，不会随着甲匀速运动，因此选项 A 和 B 错误。甲受绳于水平向右的拉力，则桌面一 定对甲有向左的滑动摩擦力，选项 C 错误。若将乙拿掉，甲对地面的压力变小，摩擦力变小，甲将 在绳于拉力作用下向右加速，运动状态改变，D 项正确。 8．C。由于甲随着乙做匀速直线运动，因此乙对甲没有水平方向的摩擦力。根据作用力与反作 用力的规律，甲对乙也没有水平方向的作用力，但是甲对乙有压力。同时乙受重力、地面支持力、 地面对乙的摩擦力和拉力 F ，乙共受 5 个力的作用，C 选项正确。 9．B。分析物体受力时，应先找物体一定受到的力，比如重力、拉力等，再找接触面上的弹力 和摩擦力。本题 P 在水平方向上受两个力：绳子对其施加的拉力和桌面对其施加的滑动摩擦力。因 此本题正确选项为 B。 10．2，重力和竖直细线拉力。本题用假设法。假设水平细线对小球有拉力，则坚直细线将会倾 斜，与题意不符，因此小球不受水平细线的拉力。 11．1: 2 。两弹簧原长相同，形变量相同时弹力之比为 2 :1，则劲度系数之比为 2 :1。当两弹 簧串接后再挂上原重物，两弹簧弹力大小相等，伸长量与劲度系数成反比，为1: 2 。 12．  1 2 1 24 k k G k k  。设挂上重物 G 后，弹簧 1k ， 2k 伸长量分别为 1x ， 2x ，则滑轮下降高度为 1 2 2 x xh  ，由两弹簧弹力相等得 1 1 2 2k x k x ，又 1 1 2 2k x k x G  ，解得 1 12 Gx k  ， 2 22 Gx k  ，所 以  1 21 2 1 22 4 k k Gx xh k k   。 13．1， 2 3 。设长度为 L 的弹簧劲度系数为 k ，则有 FL k   ，设长度为 3 L 和 2 3 L 的两段弹簧劲 度系数分别为 1k ， 2k ，由于弹簧劲度系数与长度成反比，可知 1 22k k ，且 1 2 1 1 1 k k k   ，解得 1 3k k ， 2 3 2k k 。原弹簧最大承受力为 F ，由于弹簧各处受力相同，因此长度为 2 3 L 的弹簧的最大承受力 也为 F ，其最大伸长量 2 2Δ Δ3 3 2 F FL Lk k    。 14． 1 2 3F F F  。提示：弹簧拉力的大小等于小球重力的大小。 15． 1 2 m g k ， 1 1 2 1 1m g k k      。系统平衡时，弹簧 1k 的压缩量为 1 1 1 m gx k  ，弹簧 2k 的压缩量为  1 2 2 2 m m gx k  。当物块 1m 刚离开弹簧 1k 时， 1k 恢复到原长，而弹簧 2k 压缩量减小为 2 2 2 m gx k   ， 因 此 2m 上 升 的 高 度  1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 m m g m g m gh x x k k k       。 木 块 1m 上 升 的 高 度 为 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1m g m gh x h m gk k k k           。 16． 2 GL k  。由题可知，甲弹簧原长为 GL L k  甲 ，乙弹簧的原长为 GL L k  乙 。当两弹簧 并联，并在其下方系一重物 G 时，设弹簧长度为 L ，则两弹簧弹力分别为   F k L L 甲 甲 ，  F k L L 乙 乙 ，又 F F G 甲 乙 ，可解得 2 GL L k    。 17．增大；不变。提示：物体受到的静摩擦力大小等于物体的重力。 18．画图略；不变；增大。提示： A 物体所受静摩擦力大小等于砝码的重力。 19．在 BC 边中线的中点处。由于 B ，C 两球质量相同，因此它们的重心在 BC 的中点 D 处， 相当于在 D 点存在一个质量为 2m 的物体， A球与 D 点的等效物体的重心在 AD 的中点。因此三个 球的重心应在 BC 边中线的中点处。 20． 60N ，8cm 。物体 B 所受绳子的拉力T 等于 B 的重力， 40NBT G  ，弹簧收缩的力 40NF T  ，则弹簧伸长量 40N 0.08m 8cm500N/m Fx k     ， A 物体对支持面的压力的大小 等于 A的重力与弹簧收缩力 F 的差，即 100N 40N 60NAN G F     。 21． 1 100N/mk  ， 2 200N/mk  。由于两根弹簧原长不同，它们并未同时发生形变。在 0 0.2m 范围内，只有大弹簧发生形变，则 1 1 1 20N 100N/m0.2m Fk x    ，在 0.2 0.3m 范围内，两 弹 簧 均 发 生 形 变 ， 但 是 小 弹 簧 比 大 弹 簧 的 形 变 量 少 0.2m ， 因 此 有  1 20.3m 0.3m 0.2m 50Nk k     ，解得 2 200N/mk  。 22．(1)由于飞轮重心不在轮轴上，飞轮在静止时，其重心必在圆心正下方，否则不能平衡。因 此，重心必在图 4.43 所示的半径OB 上。 (2)如图 4.44 所示，设飞轮重心在O 点正下方的C 点，OC x ，则要使重心回到圆心O ，应在 CO 连线上且位于O 点另一侧的 E 点焊接上质量为 m 的少量金属。当观察到用力转动飞轮，最后飞 轮停止转动时 A点的位置是任意的时，说明飞轮重心回到了O 点。 据此我们可以求出 x 的值，由 Mx mR ，得 mRx M  。 (3)若要钻去；小部分质量为 1m 的金属，使飞轮重心回到O 点，则钻孔部位 Q 应在 OC 连线上 且与 C 点同侧，如图 4.45 所示。整个飞轮的质量 M 可以看做由钻去部分 1m 和剩余部分 1M m 组 成，这两部分的重心在 C 点，而 1M m 部分的重心在 O 点，于是有    1 1M m x m R x   ，将 mRx M  代入，解得 1m m 。