2009年四川省乐山市中考数学试卷(全解全析)

2009年四川省乐山市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2009•乐山）下列各数中，最小的实数是（　　）‎ ‎ A、﹣3 B、﹣1‎ ‎ C、0 D、‎‎3‎ 考点：实数大小比较。‎ 分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．‎ 解答：解：∵四个答案中只有A，B为负数，‎ ‎∴应从A，B中选；‎ ‎∵|﹣3|＞|﹣1|，‎ ‎∴﹣3＜﹣1．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查实数的概念和实数大小的比较，得分率不高，可能会出乎我们意料．其失分的根本原因是很多学生对数没有一个整体的概念，对实数的范围模糊不清，以至出现0是最小实数这样的错误答案．‎ ‎2、（2009•乐山）温家宝总理在2009年的《政府工作报告》中指出：为应对国际金融危机，实施总额4万亿元的投资计划，刺激经济增长，4万亿元用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、4×108元 B、4×1011元 ‎ C、4×1012元 D、4×1013元 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：先把4万亿元转化成4 000 000 000 000元，然后再用科学记数法记数记为4×1012元．‎ 大于10时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：4万亿=4 000 000 000 000=4×1012元．故选C．‎ 点评：将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．‎ ‎3、（2009•乐山）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=25°，∠COD=80°，则∠C=（　　）‎ ‎ A、65° B、75°‎ ‎ C、85° D、105°‎ 考点：三角形内角和定理；平行线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：要求∠C的度数，根据三角形的内角和定理，只需求得∠D的度数，显然根据平行线的性质就可解决．‎ 解答：解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A=∠D=25°，‎ ‎∵∠COD=80°．‎ 根据三角形内角和定理，得∠C=180°﹣∠D﹣∠COD=180°﹣25°﹣80°=75°．‎ 故选B．‎ 点评：两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．‎ ‎4、（2009•乐山）下列命题中，假命题是（　　）‎ ‎ A、两点之间，线段最短 B、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ‎ C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D、对角线相等的四边形是矩形 考点：命题与定理。‎ 分析：根据关于线段的公理、角平分线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定即可求解．‎ 解答：解：A是真命题；‎ B是真命题；‎ C是真命题；‎ D是假命题，例如等腰梯形；‎ 故选D．‎ 点评：解答此题的关键是要熟知真命题与假命题的概念．‎ 真命题：判断正确的命题叫真命题；‎ 假命题：判断错误的命题叫假命题．‎ ‎5、（2009•乐山）如果实数k，b满足kb＜0且不等式kx＜b的解集是x＞bk，那么函数y=kx+b的图象只可能是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：一次函数的图象。‎ 分析：先根据不等式kx＜b的解集是x＞bk判断出k、b的符号，再根据一次函数图象的性质即可解答．‎ 解答：解：∵不等式kx＜b的解集是x＞bk，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∵kb＜0，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∴函数y=kx+b的图象过一、二、四象限．‎ 故选A．‎ 点评：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：‎ ‎①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；‎ ‎②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；‎ ‎③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；‎ ‎④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．‎ ‎6、（2009•乐山）为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（　　）‎ ‎ A、众数是9 B、中位数是9‎ ‎ C、平均数是9 D、锻炼时间不低于9小时的有14人 考点：折线统计图；算术平均数；中位数；众数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：此题根据众数，中位数，平均数的定义解答．‎ 解答：解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45=9，所以平均数是9．由以上可知A、B、C都对，故D错．‎ 故选D．‎ 点评：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数是所有数的和除以所有数的个数．‎ ‎7、（2009•乐山）在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（　　）‎ ‎ A、‎4‎‎3‎倍 B、‎3‎‎2‎倍 ‎ C、2倍 D、3倍 考点：三元一次方程组的应用。‎ 分析：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再求xy即可．‎ 解答：解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，‎ 由题意得‎&2x=4z‎&3y=2z+x，‎ 解得x=2z，y=‎4‎‎3‎z，故xy=‎2z‎4z‎3‎=‎3‎‎2‎．‎ 故选B．‎ 点评：本题先通过解三元一次方程组，求得用z表示的x，y的值后而求解．‎ ‎8、（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）‎ ‎ A、‎3‎ B、2‎‎3‎ ‎ C、3‎3‎ D、3‎ 考点：平面展开-最短路径问题。‎ 分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．‎ 解答：解：由题意知，底面圆的直径AB=4，‎ 故底面周长等于4π．‎ 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，‎ 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=‎8nπ‎180‎，‎ 解得n=90°，‎ 所以展开图中∠AOB=45°，‎ 根据勾股定理求得AB=3‎3‎，‎ 所以蚂蚁爬行的最短距离为3‎3‎．‎ 故选C．‎ 点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．‎ ‎9、（2009•乐山）已知x=1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数k的值为（　　）‎ ‎ A、0 B、1‎ ‎ C、0或1 D、0或﹣1‎ 考点：一元二次方程的解。‎ 专题：计算题。‎ 分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得k的值．‎ 解答：解：把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1；‎ 故选C．‎ 点评：该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．‎ ‎10、（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（　　）‎ ‎ A、‎3‎‎2‎ B、‎‎3‎‎3‎ ‎ C、‎3‎ D、2‎ 考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。‎ 分析：设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理可以求得AE=4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=5，DE=1．根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tan∠ODA=2．‎ 解答：解：设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．‎ ‎∵∠C=90°，AC=6，BC=8，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴AE=‎10+6﹣8‎‎2‎=4．‎ ‎∵⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，‎ ‎∴AD=5，则DE=1，‎ ‎∴r=‎6+8﹣10‎‎2‎=2‎ ‎∴tan∠ODA=2．‎ 故选D．‎ 点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11、（2009•乐山）|﹣‎1‎‎3‎|= ．‎ 考点：绝对值。‎ 分析：负数的绝对值是它的相反数；一个数的相反数即在这个数的前面加负号．‎ 解答：解：根据绝对值的性质，得|﹣‎1‎‎3‎|=‎1‎‎3‎．‎ 点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎12、（2010•江西）分解因式：2x2﹣8= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：解：2x2﹣8，‎ ‎=2（x2﹣4），‎ ‎=2（x+2）（x﹣2）．‎ 点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎13、（2009•乐山）若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣a|的结果是 ．‎ 考点：实数与数轴。‎ 分析：根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注意数轴上右边的数总大于左边的数．所以几次即可求解．‎ 解答：解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：‎ a+b＜0，b﹣a＞0．‎ 原式=﹣a﹣b+b﹣a=﹣2a．‎ 故|a+b|+|b﹣a|的结果是﹣2a．‎ 故答案为：﹣2a．‎ 点评：此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简，应特别注意：根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号．‎ ‎14、（2009•乐山）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接OC，AD，若BH：CO=1：2，AD=4‎3‎，则⊙O的周长等于 ．‎ 考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理。‎ 分析：已知BH：CO=1：2，即BH=OH=‎1‎‎2‎OC；在Rt△OCH中，易求得∠COH=60°；‎ 由于弧BC=弧BD（垂径定理），利用圆心角和圆周角的关系可求得∠DAB=30°；‎ 在Rt△ADH中，可求得DH的长；也就求出了CH的长，在Rt△COH中，根据∠COH的正弦值和CH的长，即可求出OC的半径，进而可求出⊙O的周长．‎ 解答：解：∵半径OB⊥CD，‎ ‎∴BC‎=‎BD，CH=DH；（垂径定理）‎ ‎∵BH：CO=1：2，‎ ‎∴BH=OH=‎1‎‎2‎OC；‎ 在Rt△OCH中，OH=‎1‎‎2‎OC，‎ ‎∴∠COH=60°；‎ ‎∵BC‎=‎BD，‎ ‎∴∠DAH=‎1‎‎2‎∠COH=30°；（圆周角定理）‎ 在Rt△AHD中，∠DAH=30°，AD=4‎3‎，则DH=CH=2‎3‎；‎ 在Rt△OCH中，∠COH=60°，CH=2‎3‎，则OC=4．‎ ‎∴⊙O的周长为8π．‎ 点评：本题考查的是圆周角定理、垂径定理、锐角三角函数等知识的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．‎ ‎15、（2009•乐山）已知正比例函数y1=x，反比例函数y2=‎1‎x由y1，y2构造一个新函数y=x+‎1‎x其图象如图②当x＜0时，该函数在x=﹣1时取得最大值﹣2；‎ ‎③y的值不可能为1；‎ ‎④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．‎ 其中正确的命题是 ．（请写出所有正确的命题的序号）所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：‎ ‎①该函数的图象是中心对称图形；‎ 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。‎ 专题：综合题；新定义。‎ 分析：根据“双钩函数”的定义及图象可得．‎ 解答：解：①正比例函数y1=x，反比例函数y2=‎1‎x都是中心对称的，其和函数y=x+‎1‎x也是中心对称图形，正确；‎ ‎②当x＜0时，该函数在x=﹣1时取得最大值﹣2，正确；‎ ‎③y的值不可能为1，正确；‎ ‎④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，错误．‎ 故正确的命题是①②③．‎ 点评：本题立意：考查学生对函数图象的认识，掌握，运用能力．‎ ‎16、（2009•乐山）如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：‎ ‎（1）S1= ；‎ ‎（2）通过计算可得S2009= ．‎ 考点：解直角三角形。‎ 专题：计算题；规律型。‎ 分析：（1）分析知奇数的通式为：2n﹣1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出Sn的表达式，将每个梯形的上底和下底距点O的长代入，求解即可；‎ ‎（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．‎ 解答：解：（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，‎ 则Sn=‎1‎‎2‎b×btan∠AOB﹣‎1‎‎2‎a×atan∠AOB=‎3‎‎6‎（b2﹣a2），‎ 又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，‎ ‎∴S1=‎3‎‎6‎（32﹣12）=‎4‎‎3‎‎3‎；‎ ‎（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，‎ ‎2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，‎ 下底为第2008×2+2个奇数，‎ ‎∴第2009个梯形的两边长分别为：‎ a=2×（2008×2+1）﹣1=8033，‎ b=2×（2008×2+1）+1=8035，‎ 故S2009=‎3‎‎6‎（80352﹣80332）=5356‎3‎．‎ 点评：本题考查学生分析、探究问题及运用规律解决问题的能力．有一定难度．‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17、（2009•乐山）解不等式组：‎&5x+4＞3x‎&x﹣1‎‎2‎≤‎‎2x﹣1‎‎5‎．‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 分析：由题意知将不等式组中的不等式的解集根据去分母、移项、合并同类项、系数化为1分别解出来，然后再根据解不等式组解集的口诀：大小小大中间找，来求出不等式组解．‎ 解答：解：由不等式组：‎‎&5x+4＞3x①‎‎&x﹣1‎‎2‎≤‎2x﹣1‎‎5‎②‎ 解不等式①，得x＞﹣2（3分）‎ 解不等式②，得5（x﹣1）≤2（2x﹣1）‎ 即5x﹣5≤4x﹣2‎ ‎∴x≤3，‎ ‎∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．‎ 点评：此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，利用不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），来求解．‎ ‎18、（2009•乐山）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，G是边AB上的一点，过点G作GE∥DC交BC边于点E，F是EC的中点，连接GF并延长交DC的延长线于点H．求证：BG=CH．‎ 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：可先证△GEF≌△HCF得出GE=CH，从而把所证问题转化为BG=EG，这样就可通过证明∠B=∠GEB．‎ 解答：证明：在△GEF和△HCF中，‎ ‎∵GE∥DC，∴∠GEF=∠HCF．‎ ‎∵F是EC的中点，∴FE=FC．‎ 而∠GFE=∠CFH（对顶角相等），‎ ‎∴△GEF≌△HCF．‎ ‎∴GE=HC．‎ 四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠DCB．‎ ‎∵GE∥DC，‎ ‎∴∠GEB=∠DCB．（2分）‎ ‎∴∠GEB=∠B，∴GB=GE=HC．‎ ‎∴BG=CH．‎ 点评：本题在于考查等腰梯形的性质，也考查了转化思想．‎ ‎19、（2009•乐山）若实数x、y满足x2+6x+x﹣y+1‎‎+9=0‎，求代数式（‎1‎x﹣y‎+‎‎1‎x+y）÷yx‎2‎‎﹣y‎2‎的值．（要求对代数式先化简，再求值．）‎ 考点：分式的化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。‎ 分析：先把所求的代数式利用分式的计算法则化简后，再利用方程求得x，y的值代入即可求解．‎ 解答：解：x2+6x+x﹣y+1‎‎+9=0‎，‎ ‎∴（x+3）2+x﹣y+1‎=0，‎ ‎∴x+3=0且x﹣y+1=0，‎ 解得：x=﹣3，y=﹣2，‎ ‎（‎1‎x﹣y‎+‎‎1‎x+y）÷yx‎2‎‎﹣y‎2‎，‎ ‎=‎2x‎（x﹣y）（x+y）‎‎×‎x‎2‎‎﹣y‎2‎y，‎ ‎=‎2xy，‎ 将x=﹣3，y=﹣2代入，‎ 则上式=‎2×（﹣3）‎‎﹣2‎‎=3‎．‎ 点评：分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．‎ ‎20、（2009•乐山）如图是由边长为1的小正方形组成的方格图．‎ ‎（1）请在方格图中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣1，0）；‎ ‎（2）在x轴上画点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，并写出所有满足条件的点C 的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）‎ 考点：作图—复杂作图。‎ 分析：（1）建立平面直角坐标系，作出两点坐标，‎ ‎（2）要使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，有三种情况．‎ 解答：解：（1）所作图形如图所示；（2分）‎ ‎（2）以AB为腰的等腰三角形有△ABC1、△ABC2、△ABC3，其中点C的坐标分别为：C1（﹣6，0）、C2（4，0）、C3（7，0）．（4分）‎ 点评：本题主要考查学生动手作图的能力，作图比较复杂．‎ ‎21、（2009•乐山）如图，一次函数y=﹣‎1‎‎2‎x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=kx（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ=‎1‎‎2‎．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的判定。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．‎ ‎（2）由（1）可分别确定QC=CP，AC=OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．‎ 解答：解：（1）∵y=﹣‎1‎‎2‎x﹣2‎ 令y=0，得x=﹣4，即A （﹣4，0）‎ 由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）‎ 又∵tan∠AOQ=‎1‎‎2‎可知QC=1‎ ‎∴Q点坐标为（﹣2，1）‎ 将Q点坐标代入反比例函数得：1=k‎﹣2‎，‎ ‎∴可得k=﹣2；‎ ‎（2）证明：由（1）可知QC=PC=1，AC=CO=2，且A0⊥PQ ‎∴四边形APOQ是菱形．‎ 点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．‎ ‎22、（2009•乐山）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为‎2‎‎5‎．‎ ‎（1）求口袋中红球的个数；‎ ‎（2）把口袋中的球搅匀后摸出一个球，放回搅匀再摸出第二个球，求摸到的两个球是一红一白的概率．（请结合树状图或列表加以解答）‎ 考点：列表法与树状图法；概率公式。‎ 专题：操作型。‎ 分析：（1）根据概率的计算公式，可得关系式有‎2‎‎2+1+x=‎2‎‎5‎，解可得答案；‎ ‎（2）用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．‎ 解答：解：（1）设口袋中红球有x个，‎ 则根据概率的计算公式，有‎2‎‎2+1+x=‎2‎‎5‎，‎ 解可得，x=2；‎ 故口袋中红球有2个．‎ ‎（2）根据题意，有 分析可得，共25种情况，其中有8种情况摸到的两个球是一红一白；‎ 故其概率为‎8‎‎25‎．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎23、（2009•乐山）本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．‎ 甲题：关于x的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若α+β+αβ=6，求（α﹣β）2+3αβ﹣5的值．‎ 乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=‎1‎‎4‎DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G ‎（1）求证：△ABE∽△DEF；‎ ‎（2）若正方形的边长为4，求BG的长．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；根与系数的关系；正方形的性质。‎ 分析：甲题：（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．‎ ‎（2）利用根与系数的关系，用含有k是式子表达出两根和、两根积，代入所给方程，即可确定k的值，进而求出所求代数式的值．‎ 乙题：（1）由于ABCD为正方形，所以AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，所以AE=ED，所以AEAB‎=‎‎1‎‎2‎，又因为DF=‎1‎‎4‎DC，所以DFDE‎=‎‎1‎‎2‎，所以AEAB‎=‎DFDE，所以△ABE∽△DEF．‎ ‎（2）由于ABCD为正方形，所以ED∥BG，所以EDCG=DFCF，又因为DF=‎1‎‎4‎DC，正方形的边长为4，所以ED=2，CG=6，所以BG=BC+CG=10．‎ 解答：甲题：‎ 解：（1）∵方程x2+（2k﹣3）x+k2=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，即（2K﹣3）2﹣4×1×K2＞0，‎ 解得：k＜‎3‎‎4‎；‎ ‎（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2k﹣3），αβ=k2，‎ ‎∵α+β+αβ=6，‎ ‎∴k2﹣2k+3﹣6=0，‎ 解得k=3或k=﹣1，‎ 由（1）可知：k=3不合题意，舍去．‎ ‎∴k=﹣1，‎ ‎∴α+β=5，αβ=1‎ 故（α﹣β）2+3αβ﹣5=（α+β）2﹣αβ﹣5=19．‎ 乙题：‎ ‎（1）证明：∵ABCD为正方形，‎ ‎∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，‎ ‎∵AE=ED，‎ ‎∴AEAB‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 又∵DF=‎1‎‎4‎DC，‎ ‎∴DFDE‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴AEAB‎=‎DFDE，‎ ‎∴△ABE∽△DEF．‎ ‎（2）解：∵ABCD为正方形，‎ ‎∴ED∥BG，∴EDCG=DFCF，‎ 又∵DF=‎1‎‎4‎DC正方形的边长为4，‎ ‎∴ED=2，CG=6，‎ BG=BC+CG=10．‎ 点评：甲题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ 乙题主要考查根据相似三角形的判定定理判定三角形相似．‎ ‎24、（2009•乐山）如图，某学习小组为了测量河对岸塔AB的高度，在塔底部点B的正对岸点C处，测得塔顶点A的仰角为∠ACB=60°‎ ‎（1）若河宽BC是36米，求塔AB的高度；（结果精确到0.1米）‎ ‎（2）若河宽BC的长度不易测量，如何测量塔AB的高度呢？小强思考了一种方法：从点C 出发，沿河岸前行a米至点D处，若在点D处测出∠BDC的度数θ，这样就可以求出塔AB的高度了．小强的方法可行吗？若可行，请用a和θ表示塔AB的高度，若不能，请说明理由．‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：（1）由仰角∠ACB=60°的正切函数及BC的宽可求得塔AB的高度，AB=BC•tan60°．‎ ‎（2）由∠BDC的度数θ的正切值及DC的长a可求得河宽BC的宽度，再表示塔AB的高度．‎ 解答：解：（1）在△ACB中，AB⊥BC，∠ACB=60°，BC=36，‎ ‎∴AB=BC•tan60°=36‎3‎，‎ ‎∴AB≈36×1.732≈62.352≈62.4（米）．‎ 答：塔AB的高度约为62.4米．‎ ‎（2）在△BCD中，BC⊥CD，∠BDC=θ，CD=a，‎ ‎∴BC=atanθ．‎ 在Rt△ACB中，AB=BC•tan60°=‎3‎tanθ（米）．‎ 答：塔AB的高度约为‎3‎tanθ米．‎ 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎25、（2009•乐山）如图在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B⇒C⇒D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求边BC的长；‎ ‎（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；‎ ‎（3）连接PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？‎ 考点：梯形；二次函数的最值。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：（1）作CE⊥AB于E，根据坡度的定义进行求解；‎ ‎（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即可得到关于t的方程，进行求解；‎ ‎（3）此题要分两种情况考虑：点Q在BC上，即0≤t≤3‎1‎‎3‎时；当点Q在CD上，即3‎1‎‎3‎＜t≤4‎2‎‎3‎．‎ 根据三角形的面积公式建立函数关系式，再进一步求解．‎ 解答：解：（1）作CE⊥AB于E，则四边形ADCE是矩形．‎ 则CE=AD=6．‎ 又BC的坡度i=3：4，即CE：BE=3：4，‎ 则CE：BC=3：5，‎ 则BC=10；‎ ‎（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即PB=CQ．‎ 由（1），得AB=4+8=12，则PB=12﹣2t．‎ 则12﹣2t=3t﹣10，‎ t=4.4．‎ ‎（3）当0≤t≤3‎1‎‎3‎时，则BP=12﹣2t，QF=‎3‎‎5‎×3t=‎9‎‎5‎t，‎ y=‎1‎‎2‎×‎9‎‎5‎t（12﹣2t）=﹣‎9‎‎5‎t2+‎54‎‎5‎t，‎ 当t=3时，y最大，是16.2；‎ 当3‎1‎‎3‎＜t≤4‎2‎‎3‎时，则y=‎1‎‎2‎×6×（12﹣2t）=﹣6t+36，‎ 则t=3‎1‎‎3‎时，y最大，是16．‎ 综上所述，则当t=3时，y最大，是16.2．‎ 点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定、解直角三角形的知识、三角形的面积公式．能够借助函数的知识讨论图形的面积最值问题．‎ ‎26、（2009•乐山）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且∠DAB=45°．‎ ‎（1）求抛物线对应的二次函数解析式；‎ ‎（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2，试求的d1+d2的最大值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）通过解方程即可求得OA、OB的长，从而得到点A、B的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用点A、B的坐标求得点D的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，则∠CAB=45°，设出点C的横坐标，那么其纵坐标应为m+1，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得点C的坐标；‎ ‎（3）易得AC、AD的长，由于△ACD是直角三角形，那么AC•AD=AP•d1+AP•d2，由此可得d1+d2=‎ AC•ADAP‎，过A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面积可求得AM的长，在Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤AC•ADAM，而AC、AD、AM的长都已求得，由此可确定d1+d2的最小值．‎ 解答：解：（1）解方程x2﹣4x+3=0得：‎ x=1或x=3，而OA＜OB，‎ 则点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；（1分）‎ ‎∵A、B关于抛物线对称轴对称，‎ ‎∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，‎ ‎∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，﹣2）；‎ 令抛物线对应的二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，‎ ‎∵抛物线过点A（﹣1，0），‎ ‎∴则0=4a﹣2得a=‎1‎‎2‎，‎ 故抛物线对应的二次函数解析式为y=‎1‎‎2‎（x﹣1）2﹣2（或写成y=‎1‎‎2‎x2﹣x﹣‎3‎‎2‎）；（4分）‎ ‎（2）∵CA⊥AD，∠DAC=90°，（5分）‎ 又∵∠DAB=45°，‎ ‎∴∠CAB=45°；‎ 令点C的坐标为（m，n），则有m+1=n，（6分）‎ ‎∵点C在抛物线上，‎ ‎∴n=‎1‎‎2‎（m﹣1）2﹣2；（7分）‎ 化简得m2﹣4m﹣5=0‎ 解得m=5，m=﹣1（舍去），‎ 故点C的坐标为（5，6）；（8分）‎ ‎（3）由（2）知AC=6‎2‎，而AD=2‎2‎，‎ ‎∴DC=AD‎2‎‎+‎AC‎2‎‎=4‎‎5‎；‎ 过A作AM⊥CD，‎ 又∵‎1‎‎2‎AC×AD=‎1‎‎2‎DC×AM，‎ ‎∴AM=‎24‎‎4‎‎5‎‎=‎‎6‎‎5‎‎5‎，（9分）‎ 又∵S△ADC=S△APD+S△APC∴‎1‎‎2‎‎×AC×AD=‎1‎‎2‎AP×d‎1‎+‎1‎‎2‎AP×‎d‎2‎，（11分）‎ d1+d2=‎24‎AP‎≤‎24‎AM=24×‎5‎‎6‎‎5‎=4‎‎5‎；‎ 即此时d1+d2的最大值为4‎5‎．（12分）‎ 点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、三角形面积的计算方法以及不等式的应用等重要知识，涉及知识面广，难度较大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ huangling；xinruozai；MMCH；lzhzkkxx；yangjigang；zhehe；CJX；zhjh；kuaile；yingzi；lanchong；wdxwwzy；lanyuemeng；Linaliu；zzz0929；weibo；hnaylzhyk；zhxl；ljj；zhangchao；thx；caicl；mengcl；leikun。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月19日