2017-2018学年北京市海淀区初三上数学期末试题含答案

2017-2018学年北京市海淀区初三上数学期末试题含答案

北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 数 学 2018．1‎ 本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。‎ 一、选择题（本题共16分，每小题2分）‎ 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．‎ ‎1．抛物线的对称轴是 A． B． C． D． ‎ ‎2．在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎3．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB4，AD2，DE1.5，‎ 则BC的长为 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段 BC的延长线上，则的大小为 A．30° B．40°‎ C．50° D．60°‎ ‎5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC3:2，∠Aα，∠Cβ，△OAB与△OCD的面积分别是和，△OAB与△OCD的周长分别是和，则下列等式一定成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过 A．点M ‎ B．点N C．点P ‎ D．点Q ‎7．如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当时，x的取值 范围是 A．或 B． ‎ C． ‎ D． ‎ C D A O B ‎8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是 ‎ 图1 图2‎ A．小红的运动路程比小兰的长 B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D D．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．方程的根为 ．‎ ‎10．已知∠A为锐角，且，那么∠A的大小是 °．‎ ‎11．若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）‎ ‎12．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x 轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 ．‎ ‎13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．‎ ‎14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为 ． ‎ ‎15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路 口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为 ．‎ ‎16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．‎ 已知：平面内一点A．‎ 求作：∠A，使得∠A30°．‎ 作法：如图，‎ ‎（1）作射线AB；‎ ‎（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；‎ ‎（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．‎ ‎∠DAB即为所求的角．‎ 请回答：该尺规作图的依据是 ．‎ 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）‎ ‎ 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎17．计算：°°．‎ ‎18．已知是关于x的方程的一个根，求的值．‎ ‎19．如图，在△ABC中，∠B为锐角， AB，AC5，，求BC的长．‎ ‎20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．‎ ‎（1）直接写出v关于t的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）‎ ‎（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠B90°，AB4，BC2，以AC为边作△ACE，∠ACE90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．‎ ‎ ‎ ‎22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中为锐角，图2中为直角，图3中为钝角）．‎ 图1 图2 图3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在△ABC的边BC上取，两点，使，则∽∽，‎ ‎，，进而可得 ；（用表示）‎ 若AB=4，AC=3，BC=6，则 ．‎ ‎23．如图，函数（）与的图象交于点A（-1，n）和点B（-2，1）．‎ ‎（1）求k，a，b的值；‎ ‎（2）直线与（）的图象交于点P，与的图象交于点Q，当时，直接写出m的取值范围．‎ ‎24．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AF交DE于点M，若 AD4，DE5，求DM的长．‎ ‎25．如图，在△ABC中，，°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至，连接．已知AB2cm，设BD为x cm，B为y cm．‎ 小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）‎ ‎（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表： ‎ ‎0.5‎ ‎0.7‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ ‎2.0‎ ‎2.3‎ ‎1.7‎ ‎1.3‎ ‎1.1‎ ‎0.7‎ ‎0.9‎ ‎1.1‎ ‎（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．‎ ‎（3）结合画出的函数图象，解决问题：‎ 线段的长度的最小值约为__________；‎ 若，则的长度x的取值范围是_____________．‎ ‎26．已知二次函数．‎ ‎（1）该二次函数图象的对称轴是x ；‎ ‎（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求当时，的最小值；‎ ‎（3）若对于该抛物线上的两点 ，，当，时，均满足，请结合图象，直接写出的最大值．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎27．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．‎ 已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．‎ ‎（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；‎ ‎（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；‎ ‎（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．‎ ‎ ‎ ‎28．在△ABC中，∠A90°，ABAC．‎ ‎（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“”是否正确：________（填“是”或“否”）；‎ ‎（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PBPA．‎ ‎①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；‎ ‎②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎[来源:学科网]‎ 北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 ‎ 数学参考答案及评分标准 2018．1‎ 一、选择题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ B A C B D C A D 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．或 10．60 11．（答案不唯一） 12．（，0）‎ ‎13．6 14．2 15．10‎ ‎16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；‎ ‎ 或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 ‎60°，直角三角形两个锐角互余；‎ ‎ 或：直径所对的圆周角为直角，，为锐角，.‎ 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）‎ ‎17．解：原式 = ………………3分 ‎ = ‎ ‎ = ………………5分 ‎18．解：∵ 是关于x的方程的一个根， ‎ ‎　　　　∴ . ‎ ‎ ∴ . ………………3分 ‎ ∴ . ………………5分 ‎19．解：作AD⊥BC于点D，‎ ‎ ∴ ∠ADB=∠ADC=90°.‎ ‎ ∵ AC=5，，‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ ∴ 在Rt△ACD中，. ………………3分 ‎ ∵ AB，‎ ‎ ∴ 在Rt△ABD中，. ………………4分 ‎ ∴ . ………………5分 ‎20．解：‎ ‎（1）. ………………3分 ‎（2）由题意，当时，. ………………5分 ‎ 答：平均每天要卸载48吨.‎ ‎21．证明：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵ CE=AC，‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵ CD=5，‎ ‎ ∴ . ………………3分 ‎ ∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，‎ ‎ ∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.‎ ‎ ∴ ∠BAC=∠DCE. ‎ ‎ ∴ △ABC∽△CED. ………………5分 ‎22．BC，BC， ………………3分 ‎ ………………5分 ‎23．解：‎ ‎（1）∵ 函数（）的图象经过点B（-2， 1），‎ ‎ ∴ ，得. ………………1分 ‎ ∵ 函数（）的图象还经过点A（-1，n），‎ ‎ ∴ ，点A的坐标为（-1，2）. ………………2分 ‎ ∵ 函数的图象经过点A和点B，‎ ‎ ∴ 解得 ………………4分 ‎（2）且. ………………6分 ‎24．（1）证明：∵ BD平分∠ABC，‎ ‎ ∴ ∠ABD=∠CBD.‎ ‎ ∵ DE∥AB，‎ ‎ ∴ ∠ABD=∠BDE.‎ ‎ ∴ ∠CBD=∠BDE. ………………1分 ‎ ∵ ED=EF，‎ ‎ ∴ ∠EDF=∠EFD. ‎ ‎ ∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，‎ ‎ ∴ ∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.‎ ‎ ∴ OD⊥DF. ………………2分 ‎ ∵OD是半径，‎ ‎ ∴ DF是⊙O的切线. ………………3分 ‎（2）解： 连接DC，‎ ‎ ∵ BD是⊙O的直径，‎ ‎ ∴ ∠BAD=∠BCD=90°.‎ ‎ ∵ ∠ABD=∠CBD，BD=BD，‎ ‎ ∴ △ABD≌△CBD.‎ ‎ ∴ CD=AD=4，AB=BC.‎ ‎ ∵ DE=5，‎ ‎ ∴ ，EF=DE=5.‎ ‎ ∵ ∠CBD=∠BDE，‎ ‎ ∴ BE=DE=5.‎ ‎ ∴ ，. ‎ ‎ ∴ AB=8. ………………5分 ‎ ∵ DE∥AB，‎ ‎ ∴ △ABF∽△MEF.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ME=4.‎ ‎ ∴ . ………………6分 ‎25．（1）0.9. ………………1分 ‎ （2）如右图所示. ………………3分 ‎ （3）0.7， ………………4分 ‎ . ………………6分 ‎26．解：‎ ‎（1）2． ………………1分 ‎（2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，‎ ‎ ∴ 当时，y取到在上的最大值为2.[来源:学。科。网]‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ，. ………………3分 ‎ ∵ 当时，y随x的增大而增大，‎ ‎ ∴ 当时，y取到在上的最小值.‎ ‎ ∵ 当时，y随x的增大而减小，‎ ‎ ∴ 当时，y取到在上的最小值.‎ ‎ ∴ 当时，y的最小值为. ………………4分 ‎（3）4. ………………6分 ‎27．解：‎ ‎（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 ‎（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B.‎ ‎ 作MH⊥x轴于H，连接MC，‎ ‎ ∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.‎ ‎ ∵ AC是⊙O的直径，‎ ‎ ∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.‎ ‎ ∴ ∠OAM=∠HMC.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 设，则，，‎ ‎ ∴ ，解得，即点M的纵坐标为.‎ ‎ 又由，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为，‎ ‎ 故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：. ……………3分 ‎ 由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足：.……………4分 ‎ ∴ 点B的纵坐标t的取值范围是或. ‎ ‎（3）或. ………………7分 ‎28．解：‎ ‎（1）否. ………………1分 ‎（2）① 作PD⊥AB于D，则∠PDB=∠PDA=90°，‎ ‎ ∵ ∠ABP=30°，‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ ∵ ，‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 由∠PAB是锐角，得∠PAB=45°. ………………3分 ‎ 另证：作点关于直线的对称点，连接，则.‎ ‎ ∵∠ABP=30°，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴△是等边三角形.[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴. ………………2分 ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ………………3分 ‎ ② ，证明如下： ………………4分 ‎ 作AD⊥AP，并取AD=AP，连接DC，DP.‎ ‎ ∴ ∠DAP=90°.‎ ‎ ∵ ∠BAC=90°，‎ ‎ ∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP,‎ ‎ 即 ∠BAP=∠CAD.‎ ‎ ∵ AB=AC，AD=AP，‎ ‎ ∴ △BAP≌△CAD.‎ ‎ ∴ ∠1=∠2，PB=CD. ………………5分 ‎ ∵ ∠DAP=90°，AD=AP，‎ ‎ ∴ ，∠ADP=∠APD=45°.‎ ‎ ∵ ，‎ ‎ ∴ PD=PB=CD.‎ ‎ ∴ ∠DCP=∠DPC.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ∵ ∠APCα，∠BPCβ，‎ ‎ ∴ ，.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ . ………………7分