2017-2018学年北京市海淀区初三上数学期末试题含答案

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2017-2018学年北京市海淀区初三上数学期末试题含答案

北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 数 学 2018.1‎ 本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分。考试时间120分钟。‎ 一、选择题(本题共16分,每小题2分)‎ 第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.‎ ‎1.抛物线的对称轴是 A. B. C. D. ‎ ‎2.在△ABC中,∠C90°.若AB3,BC1,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎3.如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若AB4,AD2,DE1.5,‎ 则BC的长为 A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段 BC的延长线上,则的大小为 A.30° B.40°‎ C.50° D.60°‎ ‎5.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC3:2,∠Aα,∠Cβ,△OAB与△OCD的面积分别是和,△OAB与△OCD的周长分别是和,则下列等式一定成立的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A从(3,4)出发,绕点O顺时针旋转一周,则点A不经过 A.点M ‎ B.点N C.点P ‎ D.点Q ‎7.如图,反比例函数的图象经过点A(4,1),当时,x的取值 范围是 A.或 B. ‎ C. ‎ D. ‎ C D A O B ‎8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示,其中ACDB.两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的是 ‎ 图1 图2‎ A.小红的运动路程比小兰的长 B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 C.当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点D D.在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径 二、填空题(本题共16分,每小题2分)‎ ‎9.方程的根为 .‎ ‎10.已知∠A为锐角,且,那么∠A的大小是 °.‎ ‎11.若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是 .(写出一个即可)‎ ‎12.如图,抛物线的对称轴为,点P,点Q是抛物线与x 轴的两个交点,若点P的坐标为(4,0),则点Q的坐标为 .‎ ‎13.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为 .‎ ‎14.如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,点C,若∠P60°,PA,则AB的长为 . ‎ ‎15.在同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离.如图,在一个路 口,一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处,小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶.设小张距大巴车尾x m,若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m,红灯下沿高于小张的水平视线3.2m,若小张能看到整个红灯,则x的最小值为 .‎ ‎16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.‎ 已知:平面内一点A.‎ 求作:∠A,使得∠A30°.‎ 作法:如图,‎ ‎(1)作射线AB;‎ ‎(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;‎ ‎(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.‎ ‎∠DAB即为所求的角.‎ 请回答:该尺规作图的依据是 .‎ 三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)‎ ‎ 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎17.计算:°°.‎ ‎18.已知是关于x的方程的一个根,求的值.‎ ‎19.如图,在△ABC中,∠B为锐角, AB,AC5,,求BC的长.‎ ‎20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,记平均卸货速度为v(单位:吨/天),卸货天数为t.‎ ‎(1)直接写出v关于t的函数表达式:v= ;(不需写自变量的取值范围)‎ ‎(2)如果船上的货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?‎ ‎21.如图,在△ABC中,∠B90°,AB4,BC2,以AC为边作△ACE,∠ACE90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.‎ ‎ ‎ ‎22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究:如图(图1中为锐角,图2中为直角,图3中为钝角).‎ 图1 图2 图3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在△ABC的边BC上取,两点,使,则∽∽,‎ ‎,,进而可得 ;(用表示)‎ 若AB=4,AC=3,BC=6,则 .‎ ‎23.如图,函数()与的图象交于点A(-1,n)和点B(-2,1).‎ ‎(1)求k,a,b的值;‎ ‎(2)直线与()的图象交于点P,与的图象交于点Q,当时,直接写出m的取值范围.‎ ‎24.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EFDE.‎ ‎(1)求证:DF是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接AF交DE于点M,若 AD4,DE5,求DM的长.‎ ‎25.如图,在△ABC中,,°,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A顺时针旋转50°至,连接.已知AB2cm,设BD为x cm,B为y cm.‎ 小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整.(说明:解答中所填数值均保留一位小数)‎ ‎(1)通过取点、画图、测量,得到了与的几组值,如下表: ‎ ‎0.5‎ ‎0.7‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ ‎2.0‎ ‎2.3‎ ‎1.7‎ ‎1.3‎ ‎1.1‎ ‎0.7‎ ‎0.9‎ ‎1.1‎ ‎(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.‎ ‎(3)结合画出的函数图象,解决问题:‎ 线段的长度的最小值约为__________;‎ 若,则的长度x的取值范围是_____________.‎ ‎26.已知二次函数.‎ ‎(1)该二次函数图象的对称轴是x ;‎ ‎(2)若该二次函数的图象开口向下,当时,的最大值是2,求当时,的最小值;‎ ‎(3)若对于该抛物线上的两点 ,,当,时,均满足,请结合图象,直接写出的最大值.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎27.对于⊙C与⊙C上的一点A,若平面内的点P满足:射线AP与⊙C交于点Q(点Q可以与点P重合),且,则点P称为点A关于⊙C的“生长点”.‎ 已知点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(-1,0).‎ ‎(1)若点P是点A关于⊙O的“生长点”,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标________;‎ ‎(2)若点B是点A关于⊙O的“生长点”,且满足,求点B的纵坐标t的取值范围;‎ ‎(3)直线与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”,直接写出b的取值范围是_____________________________.‎ ‎ ‎ ‎28.在△ABC中,∠A90°,ABAC.‎ ‎(1)如图1,△ABC的角平分线BD,CE交于点Q,请判断“”是否正确:________(填“是”或“否”);‎ ‎(2)点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA,PB,且PBPA.‎ ‎①如图2,点P在△ABC内,∠ABP30°,求∠PAB的大小;‎ ‎②如图3,点P在△ABC外,连接PC,设∠APCα,∠BPCβ,用等式表示α,β之间的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎[来源:学科网]‎ 北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 ‎ 数学参考答案及评分标准 2018.1‎ 一、选择题(本题共16分,每小题2分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ B A C B D C A D 二、填空题(本题共16分,每小题2分)‎ ‎9.或 10.60 11.(答案不唯一) 12.(,0)‎ ‎13.6 14.2 15.10‎ ‎16.三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;‎ ‎ 或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是 ‎60°,直角三角形两个锐角互余;‎ ‎ 或:直径所对的圆周角为直角,,为锐角,.‎ 三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)‎ ‎17.解:原式 = ………………3分 ‎ = ‎ ‎ = ………………5分 ‎18.解:∵ 是关于x的方程的一个根, ‎ ‎    ∴ . ‎ ‎ ∴ . ………………3分 ‎ ∴ . ………………5分 ‎19.解:作AD⊥BC于点D,‎ ‎ ∴ ∠ADB=∠ADC=90°.‎ ‎ ∵ AC=5,,‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ ∴ 在Rt△ACD中,. ………………3分 ‎ ∵ AB,‎ ‎ ∴ 在Rt△ABD中,. ………………4分 ‎ ∴ . ………………5分 ‎20.解:‎ ‎(1). ………………3分 ‎(2)由题意,当时,. ………………5分 ‎ 答:平均每天要卸载48吨.‎ ‎21.证明:∵ ∠B=90°,AB=4,BC=2,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵ CE=AC,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵ CD=5,‎ ‎ ∴ . ………………3分 ‎ ∵ ∠B=90°,∠ACE=90°,‎ ‎ ∴ ∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠DCE=90°.‎ ‎ ∴ ∠BAC=∠DCE. ‎ ‎ ∴ △ABC∽△CED. ………………5分 ‎22.BC,BC, ………………3分 ‎ ………………5分 ‎23.解:‎ ‎(1)∵ 函数()的图象经过点B(-2, 1),‎ ‎ ∴ ,得. ………………1分 ‎ ∵ 函数()的图象还经过点A(-1,n),‎ ‎ ∴ ,点A的坐标为(-1,2). ………………2分 ‎ ∵ 函数的图象经过点A和点B,‎ ‎ ∴ 解得 ………………4分 ‎(2)且. ………………6分 ‎24.(1)证明:∵ BD平分∠ABC,‎ ‎ ∴ ∠ABD=∠CBD.‎ ‎ ∵ DE∥AB,‎ ‎ ∴ ∠ABD=∠BDE.‎ ‎ ∴ ∠CBD=∠BDE. ………………1分 ‎ ∵ ED=EF,‎ ‎ ∴ ∠EDF=∠EFD. ‎ ‎ ∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,‎ ‎ ∴ ∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.‎ ‎ ∴ OD⊥DF. ………………2分 ‎ ∵OD是半径,‎ ‎ ∴ DF是⊙O的切线. ………………3分 ‎(2)解: 连接DC,‎ ‎ ∵ BD是⊙O的直径,‎ ‎ ∴ ∠BAD=∠BCD=90°.‎ ‎ ∵ ∠ABD=∠CBD,BD=BD,‎ ‎ ∴ △ABD≌△CBD.‎ ‎ ∴ CD=AD=4,AB=BC.‎ ‎ ∵ DE=5,‎ ‎ ∴ ,EF=DE=5.‎ ‎ ∵ ∠CBD=∠BDE,‎ ‎ ∴ BE=DE=5.‎ ‎ ∴ ,. ‎ ‎ ∴ AB=8. ………………5分 ‎ ∵ DE∥AB,‎ ‎ ∴ △ABF∽△MEF.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ME=4.‎ ‎ ∴ . ………………6分 ‎25.(1)0.9. ………………1分 ‎ (2)如右图所示. ………………3分 ‎ (3)0.7, ………………4分 ‎ . ………………6分 ‎26.解:‎ ‎(1)2. ………………1分 ‎(2)∵ 该二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线,‎ ‎ ∴ 当时,y取到在上的最大值为2.[来源:学。科。网]‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ,. ………………3分 ‎ ∵ 当时,y随x的增大而增大,‎ ‎ ∴ 当时,y取到在上的最小值.‎ ‎ ∵ 当时,y随x的增大而减小,‎ ‎ ∴ 当时,y取到在上的最小值.‎ ‎ ∴ 当时,y的最小值为. ………………4分 ‎(3)4. ………………6分 ‎27.解:‎ ‎(1)(2,0)(答案不唯一). ………………1分 ‎(2)如图,在x轴上方作射线AM,与⊙O交于M,且使得,并在AM上取点N,使AM=MN,并由对称性,将MN关于x轴对称,得,则由题意,线段MN和上的点是满足条件的点B.‎ ‎ 作MH⊥x轴于H,连接MC,‎ ‎ ∴ ∠MHA=90°,即∠OAM+∠AMH=90°.‎ ‎ ∵ AC是⊙O的直径,‎ ‎ ∴ ∠AMC=90°,即∠AMH+∠HMC=90°.‎ ‎ ∴ ∠OAM=∠HMC.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 设,则,,‎ ‎ ∴ ,解得,即点M的纵坐标为.‎ ‎ 又由,A为(-1,0),可得点N的纵坐标为,‎ ‎ 故在线段MN上,点B的纵坐标t满足:. ……………3分 ‎ 由对称性,在线段上,点B的纵坐标t满足:.……………4分 ‎ ∴ 点B的纵坐标t的取值范围是或. ‎ ‎(3)或. ………………7分 ‎28.解:‎ ‎(1)否. ………………1分 ‎(2)① 作PD⊥AB于D,则∠PDB=∠PDA=90°,‎ ‎ ∵ ∠ABP=30°,‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ ∵ ,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 由∠PAB是锐角,得∠PAB=45°. ………………3分 ‎ 另证:作点关于直线的对称点,连接,则.‎ ‎ ∵∠ABP=30°,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴△是等边三角形.[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴. ………………2分 ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ………………3分 ‎ ② ,证明如下: ………………4分 ‎ 作AD⊥AP,并取AD=AP,连接DC,DP.‎ ‎ ∴ ∠DAP=90°.‎ ‎ ∵ ∠BAC=90°,‎ ‎ ∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP,‎ ‎ 即 ∠BAP=∠CAD.‎ ‎ ∵ AB=AC,AD=AP,‎ ‎ ∴ △BAP≌△CAD.‎ ‎ ∴ ∠1=∠2,PB=CD. ………………5分 ‎ ∵ ∠DAP=90°,AD=AP,‎ ‎ ∴ ,∠ADP=∠APD=45°.‎ ‎ ∵ ,‎ ‎ ∴ PD=PB=CD.‎ ‎ ∴ ∠DCP=∠DPC.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ∵ ∠APCα,∠BPCβ,‎ ‎ ∴ ,.‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ . ………………7分
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