2009年北京市宣武区中考数学一模试卷

2009年北京市宣武区中考数学一模试卷

‎12 2009年北京市宣武区中考数学一模试卷 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．的相反数是( )‎ A．3 B．－‎3 ‎C． D．－‎ ‎2．2008年北京市经济保持较快发展，按常住人口计算，全市人均GDP达到63029元，这个数据用科学记数法表示为( )‎ A．63.029×103元 B．0.63029×105元 C．6.3029×104元 D．6.3029×103元 ‎3．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是( )‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎4．如图，AB、CD相交于点O，∠1＝80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为( )‎ 第4题图 A．110° B．100° C．90° D．80°‎ ‎5．如图是小敏同学6次数学测验的成绩统计图，则该同学6次成绩的中位数是( )‎ A．60分 B．70分 C．75分 D．80分 第5题图 ‎6．乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是( )‎ ‎7．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是( )‎ 第7题图 A．a2＋b2＝c2 B．b＞c C．‎4a2＋b2＝c2 D．a＞c ‎8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p、q是正整数，且p≤q)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．某商场为了解本商场服务质量，随机调查了来本商场的200名顾客，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这200名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有___名．‎ 第9题图 ‎10．将抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为________．‎ ‎11．已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．‎ ‎12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝‎2cm，CD＝‎4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是________cm．‎ 第12题图 三、解答题(共5个小题，共25分)‎ ‎13．(本小题满分5分)‎ 计算：‎ ‎14．(本小题满分5分)‎ 解不等式组：‎ ‎15．(本小题满分5分)如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．‎ ‎(1)求证：△ABE≌△DFE；‎ ‎(2)连结BD、AF，请判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．‎ 第15题图 ‎16．(本小题满分5分)‎ 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交A(－3，1)、B(2，n)两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点．‎ ‎(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎(2)求的值．‎ 第16题图 ‎17．(本小题满分5分)‎ 先化简，再求值，其中．‎ 四、解答题(共2个小题，共10分)‎ ‎18．(本小题满分5分)‎ 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整：‎ 例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个解．‎ ‎(1)解法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解．‎ 解方程：x2－x－1＝0．‎ ‎(2)解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解．如图①所示，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝________的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．‎ 第18题图 ‎(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．‎ ‎①把方程x2－x－1＝0的解看成是一个二次函数y＝________的图象与一个一次函数y＝________的图象交点的横坐标；‎ ‎②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．‎ ‎19．(本小题满分5分)‎ 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝，BC＝26．‎ 求(1)cos∠DAC的值；(2)线段AD的长．‎ 第19题图 五、解答题(本题满分6分)‎ ‎20．在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种状态的可能性相等．‎ 第20题图 ‎(1)如图①，当只有1个电子元件时，P、Q之间电流通过的概率是________；‎ ‎(2)如图②，当有2个电子元件a、b并联时，请你用树状图(或列表法)表示图中P、Q之间电流能否通过的所有可能情况，并求出P、Q之间电流通过的概率；‎ ‎(3)如图③，当有3个电子元件并联时，P、Q之间电流通过的概率是________．‎ 六、解答题(共2个小题，共9分)‎ ‎21．(本小题满分5分)列方程(组)或不等式(组)解应用题：‎ 某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：‎ A B 进价(元／件)‎ ‎1200‎ ‎1000‎ 售价(元／件)‎ ‎1380‎ ‎1200‎ ‎(注：获利＝售价－进价)‎ ‎(1)该商场购进A、B两种商品各多少件；‎ ‎(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?‎ ‎22．(本小题满分4分)如图，⊙O的直径AB＝‎6cm，点P是AB延长线上的动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC．若∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数．‎ 第22题图 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23．如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动)．‎ ‎(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?请写出结论，并说明理由；‎ ‎(2)如图②，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由;‎ ‎(3)如图③，若点M在点C右侧时，请你判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．‎ 第23题图 八、解答题(本题满分7分)‎ ‎24．对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：M{－1，2，3}，min{－1，2，3}＝－1；M{－1，2，a}＝，m{－1，2，a}＝‎ 解决下列问题：‎ ‎(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝________；若min{2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的取值范围是________；‎ ‎(2)①若M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，那么x＝________；‎ ‎②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么________”(填a，b，c大小关系)；‎ ‎③运用②，填空：若M{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}＝min{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}，则x＋y＝________；‎ ‎(3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)2，y＝2－x的图象(不需列表，描点)，通过图象，得出min{x＋1，(x－1)2，2－x}最大值为________．‎ 第24题图 九、解答题(本题满分8分)‎ ‎25．如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(，1)，点D是AB边上一个动点(与点A不重合)，沿OD将△OAD翻折后，点A落在点P处．‎ ‎(1)若点P在一次函数y＝2x－1的图象上，求点P的坐标；‎ ‎(2)若点P在抛物线y＝ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；‎ ‎(3)当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM＋BM最小，并求出这个最小值．‎ 第25题图 答 案 ‎12．2009年北京市宣武区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 二、填空题 ‎9．14 10．y＝(x－3)2 11．k＞－2且k≠－1 12．‎ 三、解答题 ‎13．解：‎ ‎＝－2．‎ ‎14．解：解不等式2x－1≤x，得x≤1，‎ 解不等式2(x＋1)≥－1，得．‎ 所以原不等式组的解集为．‎ ‎15．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CF，‎ ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4‎ ‎∵E是AD的中点，∴AE＝DE，‎ ‎∴△ABE≌△DFE．‎ ‎(2)四边形ABDF是平行四边形．‎ ‎∵△ABE≌△DFE，‎ ‎∴AB＝DF．又∵AB∥CF，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形．‎ 第15题答图 ‎16．解：(1)把x＝－3，y＝1代入，得：m＝－3．‎ ‎∴反比例函数的解析式为．‎ 把x＝2，y＝n代入得．‎ 把x＝－3，y＝1；x＝2，分别代入y＝kx＋b 得解得 ‎∴一次函数的解析式为．‎ 第16题答图 ‎(2)过点A作AE⊥x轴于点E．‎ ‎∵A点的纵坐标为1，∴AE＝1．‎ 由一次函数的解析式得点C的坐标为，‎ ‎．‎ 在Rt△OCD和Rt△EAD中，∠COD＝∠AED＝90°，∠CDO＝∠ADE，‎ ‎∴Rt△OCD∽Rt△EAD，‎ ‎．‎ ‎17．解：‎ ‎．‎ 当时，‎ 原式．‎ 四、解答题 ‎18．(1)解：∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴b2－‎4ac＝5．‎ ‎．‎ ‎∴原方程的解是，．‎ ‎(2)x2－x－1．‎ ‎(3)①x2 x＋1或x2－1 x等．‎ ‎②正确画出函数图象给1分．‎ ‎19．解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．‎ 第19题答图 ‎∵BC＝26，∴AB＝10．‎ ‎．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．‎ ‎；‎ ‎(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E．‎ ‎∵AD＝DC，．‎ 在Rt△ADE中，，‎ ‎∴AD＝13．‎ 五、解答题 ‎20．解：(1)0.5．‎ ‎(2)用树状图表示是：‎ 或用列表法表示是：‎ a可能出现的情况 电流通过的情况 b可能出现的情况 通电 断开 通电 ‎(通电，通电)‎ ‎(通电，断开)‎ 断开 ‎(断开，通电)‎ ‎(断开，断开)‎ P、Q之间电流通过的概率是．‎ ‎(3)．‎ 六、解答题 ‎21．解：(1)设购进A种商品x件，B种商品y件．‎ 根据题意，得 解得 答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．‎ ‎(2)由于A种商品购进400件，获利为 ‎(1380－1200)×400＝72000(元)．‎ 从而B种商品售完获利应不少于81600－72000＝9600(元)．‎ 设B种商品每件售价为x元，则120(x－1000)≥9600．‎ 解得x≥1080．‎ 答：B种商品最低售价为每件1080元．‎ ‎22．解：∠CMP的大小不发生变化．‎ 第22题答图 连结OC．‎ ‎∵PC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCP＝90°．‎ ‎∵PM是∠CPA的平分线，‎ ‎∴∠APC＝2∠APM．‎ ‎∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．‎ ‎∴∠COP＝∠A＋∠ACO＝2∠A．‎ 在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，‎ ‎∴∠COP＋∠OPC＝90°,‎ ‎∴2∠A＋2∠APM＝90°,‎ ‎∴∠CMP＝∠A＋∠APM＝45°.‎ 即∠CMP的大小不发生变化．‎ 七、解答题 ‎23．解：(1)判断：EN＝MF，点F在直线NE上．‎ 证明：如图①，连结DE、DF、EF．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC．‎ 又∵D、E、F是三边的中点，‎ ‎∴DE、DF、EF为△ABC的中位线．‎ ‎∴DE＝DF＝EF，∴∠FDE＝∠DFE＝60°．‎ ‎∵△DMN是等边三角形，‎ ‎∴∠MDN＝60°,DM＝DN．‎ ‎∴∠FDE＋∠NDF＝∠MDN＋∠NDF,‎ ‎∴∠MDF＝∠NDE．‎ 在△DMF和△DNE中，DF＝DE，∠MDF＝∠NDE，DM＝DN，‎ ‎∴△DMF≌△DNE．∴MF＝NE．‎ 设EN与BC交点为P，连结NF．‎ ‎ ‎ ‎① ② ③‎ 第23题答图 由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形，‎ ‎∴∠MDN＝∠BDF＝60°，‎ ‎∴∠MDN－∠BDN＝∠BDF－∠BDN，‎ 即∠MDB＝∠NDF．‎ 在△DMB和△DNF中，DM＝DN，‎ ‎∠MDB＝∠NDF，DB＝DF，‎ ‎∴△DMB≌△DNF．∴∠DBM＝∠DFN．‎ ‎∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠DBM＝120°，‎ ‎∴∠NFD＝120°．‎ ‎∴∠NFD＋∠DFE＝120°＋60°＝180°．‎ ‎∴N、F、E三点共线，∴F与P重合，F在直线NE上．‎ ‎(2)成立．‎ 证明：如图②，连结DE、DF、EF．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点，‎ ‎∴DE，DF，EF为△ABC的中位线．‎ ‎∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．‎ 又∠MDF＋∠FDN＝60°，‎ ‎∠NDE＋∠FDN＝60°，‎ ‎∴∠MDF＝∠NDE．‎ 在△DMF和△DNE中，DF＝DE，‎ ‎∠MDF＝∠NDE，DM＝DN，‎ ‎∴△DMF≌△DNE．∴MF＝NE．‎ ‎(3)MF＝NE仍成立．‎ 八、解答题 ‎24．解：(1)，0≤x≤1；‎ ‎(2)①1，②a＝b＝c，③－4‎ ‎(3)图象如图所示，‎ min{x＋1，(x－1)2，2－x}最大值为1．‎ 第24题答图 九、解答题 ‎25．解：(1)∵B(，1)，‎ ‎∴BC＝OA＝OP＝1，OC＝．‎ ‎∵点P在一次函数y＝2x－1的图象上，‎ ‎∴设P(x，2x－1)．‎ 如图①，过P作PH⊥x轴于H．‎ 在Rt△OPH中，PH＝2x－1，OH＝x，OP＝1，‎ ‎∴x2＋(2x－1)2＝1‎ 解得：，x2＝0(不合题意，舍去)．‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎(2)解法1：连结PB、PC．‎ ‎①若PB＝PC，则P在BC中垂线上．‎ ‎∴设．如图②，过P作PH⊥x轴于H．‎ 在Rt△OPH中，，OH＝x，OP＝1，‎ ‎．‎ 解得：，(不合题意，舍去)．‎ ‎．‎ ‎，‎ 解得：．．‎ ‎②若BP＝BC，则BP＝1．‎ 连结OB．‎ ‎∵OP＝1，‎ ‎∴OP＋PB＝2．‎ ‎∵在Rt△OBC中，‎ ‎∠OCB＝90°，．‎ ‎∴OP＋PB＝OB，‎ ‎∴O、P、B三点共线，P为线段OB中点．‎ 又B(，1)‎ ‎．‎ ‎，‎ 解得：．‎ ‎．‎ ‎③若CP＝CB，则CP＝1，‎ ‎∵OP＝1，‎ ‎∴PO＝PC，则P在OC中垂线上．‎ ‎∴设．过P作PH⊥x轴于H．‎ 在Rt△OPH中，PH＝｜y｜，，OP＝1，‎ ‎．‎ 解得：，．‎ 或．‎ 当点时，∠AOP＝120°，此时∠AOD＝60°，点D与点B重合，符合题意．‎ 若点，则，解得：．．‎ 若点，则，解得：．‎ ‎．‎ 解法2：由题意，点P在以O为圆心、1为半径的一段120°的圆孤上(如图③)，‎ ‎①若PB＝PC，则点P是BC垂直平分线与以O为圆心、1为半径的一段120°的圆弧的交点(如图④)．‎ ‎③‎ 可求得：．，解得．．‎ ‎②若BP＝BC，则点P是以B为圆心、BC长为半径的圆与以O为圆心、1为半径的一段120°的圆弧的交点(如图⑤)．‎ ‎∵OC＝,BC＝1，‎ ‎∴BO＝2＝1＋1，∴⊙O与⊙B外切，‎ 可求得：．，解得：．．‎ ‎③若CP＝CB，则点P是以C为圆心、CB长为半径的圆与以O为圆、1为半径的一段120°的圆弧的交点(如图⑥)．‎ ‎∵OC＝＜1＋1，‎ ‎∴⊙O与⊙C相交，可求得：或．‎ 若点，则，解得．‎ ‎．‎ 若点，则，解得：．‎ ‎．‎ ‎(3)如图⑦，∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处，‎ ‎∴OD垂直平分AP．‎ ‎∵PC⊥OD，‎ ‎∴A、P、C三点共线．‎ 在Rt△AOD中，∠OAD＝90°，OA＝1，‎ 又可得：∠AOD＝30°，‎ ‎，‎ ‎．‎ 作点B关于直线AC的对称点B '，过点B '作B 'N⊥AB于点N，连结DB '，DB '与AC交点为M，此点为所求点．‎ ‎∵∠ACB'＝∠ACB＝60°，∠ACO＝30°，‎ ‎∴∠B 'CO＝30°．‎ ‎∵B 'C＝BC＝1，‎ ‎，．‎ 在Rt△B 'ND中，∠B 'ND＝90°，，，‎ ‎．‎ ‎∴DM＋BM的最小值为．‎ ‎⑦‎