初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第17讲 解直角三角形

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第17讲 解直角三角形

1 第十七讲 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角 形，解直角三角形有以下两方面的应用： 1．为线段、角的计算提供新的途径． 解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突 破纯粹几何关系的局限． 2．解实际问题． 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解， 解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而 转化为解直角三角形． 【例题求解】 【例 1】 如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，如果 CD 与地面成 45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝( 2264  )m，则电线杆 AB 的长为 ． 思路点拨 延长 AD 交 BC 于 E，作 DF⊥BC 于 F，为解直角三角形创造条件． 【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，AB= 24 ，BC-1，CD= 3 ，∠ B=135°，∠C＝90°， 则∠D 等于( ) A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定 思路点拨 通过对内分割或向外补形，构造直角三角形． 注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎 样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除． 在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的 问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解． 【例 3】 如图，在△ABC 中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D 为 BC 边上一点，tan∠ 2 ADC 是方程 2)1(5)1(3 2 2  xx x x 的一个较大的根?求 CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan∠ADC 的值，解 Rt△ABC 求出 AC 值，为解 Rt△ADC 创造条件． 【例 4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD，AB=3 米，BC=0．5 米 ，车厢底部 距离地面 1．2 米，卸货时，车厢倾斜的角度θ =60°．问此时车厢的最高点 A 距离地面多 少米?(精确到 1 米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想 象，就能得到不同的解题寻路 【例 5】 如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳 光线与水平面的夹角为 30°，此时，求： (1)如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，则图中 CD 的长度就是甲楼的影子 在乙楼上的高；(2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C，求 BC 即可． 注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面 分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更 合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯， 则可逐步培养和提高我们分析探索能力． 3 学历训练 1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB= 3 1 ，BC= 10 ，则 AB 的长为 ． 2．如图，在矩形 ABCD 中．E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，若 tan∠AEH = 3 4 ，四边形 EFGH 的周长为 40cm，则矩形 ABCD 的面积为 ． 3．如图，旗杆 AB，在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30°，向旗杆前北进 10m，达到 D，在 D 处测得 A 的仰角为 45°，则旗杆的高为 ． 4．上午 9 时，一条船从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到 达 B 处，从 A、B 两处分别测得小岛 M 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 B 处船与 小岛 M 的距离为( ) A．20 海里 B．20 海里 C． 315 海里 D． 320 5．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠ B、∠ C的对边，若关于 x 的方程 02)( 2  bcaxxcb 有两个相等的实根，且 sinB·cosA—cosB·sinA＝0，则△ABC 的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC= 32 ，AD=2，则四边形 ABCD 的面积是( ) A． 24 B． 34 C． 4 D．6 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，CD=1，已知 AD、BD 的长是关于 x 的方程 02  qpxx 的两根，且 tanA—tanB=2，求 p 、 q 的值． 4 8．如图，某电信部门计划修建一条连结 B、C 两地的电缆，测量人员在山脚 A 点测得 B、 C 两地的仰角分别为 30°、45°，在 B 地测得 C 地的仰角为 60°．已知 C 地比 A 地高 200 米，则电缆 BC 至少长多少米?(精确到 0.1 米) 9．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠CBD＝30，则 DC AD = ． 10．如图，正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点．M 是 AD 上异于 D 的点，且∠NMB=∠MBC， 则 tan∠ABM＝ ． 11．在△ABC 中，AB= 26  ，BC=2，△ABC 的面积为 l，若∠B 是锐角，则∠C 的度数 是 ． 12．已知等腰三角形的三边长为 a、b、c，且 ca  ，若关于 x 的一元二次方程 022  cbxx 的两根之差为 2 ，则等腰三角形的一个底角是( ) A． 15° B．30° C．45° D．60° 13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若 AD= 3 1 AC，CE= 3 1 BC，则∠1 和∠2 的大小关系 是( ) A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1＝∠2 D．无法确定 14．如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 上一点，AE⊥AF，点 E 在 CB 的延长线上，EF 交 AB 于点 G． (1)求证：DF×FC＝BG×EC； (2)当 tan∠DAF= 时，△AEF 的面积为 10，问当 tan∠DAF= 3 2 时，△AEF 的面积是多少? 5 15．在一个三角形中，有一边边长为 16，这条边上的中线和高线长度分别为 10 和 9，求三 角形中此边所对的角的正切值． 16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极 强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中 心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以 15 千米／时的速度沿北偏东 30°方向往 C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力 达到或超过四级，则称为受台风影响． (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地 带．该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H．可 供使用的测量工具有皮尺、测角器． (1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案．具 体要求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间 距离，用 m 表示；如果测 D、C 间距离，用 n 表示；如果测角，用α 、β 、γ 等表示．测 角器高度不计)． (2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示)． 6 参考答案 7