2009年湖北省宜昌市中考数学试题（含答案）

2009年湖北省宜昌市中考数学试题（含答案）

‎2009年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试 数 学 试 题 本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟．‎ 注意事项:‎ 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．‎ 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．‎ 以下数据、公式供参考:‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是；‎ ‎ (R为半径，l为弧长)； sin30°=， cos30°=， sin45°=cos45°=.‎ 一、选择题(在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号. 本大题共10小题，每题3分，计30分)‎ ‎1. 如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是( )．‎ A． 　 B． 　 C. D.‎ ‎2. 如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示( )．‎ A．增加14% B．增加6% C．减少6% D．减少26%‎ ‎3．如图所示的圆柱体，其主视图、左视图和俯视图中至少有一个是( )．‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ‎（第3题）‎ ‎4．2009年国家将为医疗卫生、教育文化等社会事业发展投资1 500亿元．将1 500用科学记数法表示为( )． ‎ A．1.5×10－3 B． 0.15×‎103 ‎‎ C．15×103 D．1.5×‎103 ‎ ‎ ‎5．某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是( )．‎ A．1 B． C． D．0‎ ‎6．按如图方式把圆锥的侧面展开，会得到的图形是( )．‎ ‎（第6题）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如果ab<0，那么下列判断正确的是( )．‎ A．a<0，b<0 B． a>0，b>‎0 ‎‎ C． a≥0，b≤0 D． a<0，b>0或a>0，b<0‎ ‎8．如图，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( )．‎ 基本图案 ‎（第8题） A． B． C． D．‎ ‎9．设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )．‎ A． －4 B． －‎1 ‎‎ C． 1 D． 0‎ ‎10．由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )．‎ A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3‎ B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3‎ C．干旱开始时，蓄水量为200万米3‎ D．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3‎ ‎（第10题）‎ 二、填空题(请将解答结果填写在答题卡上指定的位置．本大题共5小题，每题3分计15分)‎ ‎11．当x= 时，分式没有意义．‎ ‎12．“爱心小组”的九位同学为灾区捐款，捐款金额分别为10，10，11，15，17，17，18，20，20 （单位：元）．那么这组数据的中位数是 ． ‎ ‎13．如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是 ．‎ ‎14．如图，日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆，这两个圆的位置关系是 ． ‎ ‎（第14题） （第15题）‎ ‎15．如图，艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为‎1.8米，所对的圆心角为100°，则弧长是 米．(π≈3)‎ 三、解答题(本大题共9小题，计75分)‎ ‎16．化简：． (6分)‎ ‎17．2009年有80名教师参加“城乡教师援助工程”活动，随机调查后发现，平均每位教师可以让150名学生受益．请你估算有多少学生将从这项活动中受益． (6分)‎ ‎18．已知点A(1，－k＋2)在双曲线上．求常数k的值． (7分)‎ ‎19．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．‎ ‎(1) 求证：AE=BE；‎ ‎(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长． ‎ ‎(7分)‎ ‎（第19题）‎ ‎20．已知：如图，⊙O的直径AD=2，，∠BAE=90°．‎ ‎(1)求△CAD的面积；‎ ‎(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，‎ 那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？ ‎ ‎（8分）‎ ‎（第20题）‎ ‎21．已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．‎ ‎(1)求证：AB=CD；‎ ‎(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由． ‎ ‎（8分）‎ ‎ ‎ ‎（第21题）‎ ‎22．【实际背景】 ‎ 预警方案确定:‎ 设．如果当月W<6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”． ‎ ‎【数据收集】 ‎ 今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表 ‎ 月 份 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 玉米价格(元/‎500克)‎ ‎0.7‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1‎ 猪肉价格(元/‎500克)‎ ‎7.5‎ m ‎6.25‎ ‎6‎ ‎【问题解决】‎ ‎(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；‎ ‎(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；‎ ‎(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到‎500克猪肉和‎500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”． ‎ ‎（10分）‎ ‎23．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)与 是否相等？请你说明理由；‎ ‎(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．‎ 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) ‎ ‎（11分）‎ 图1 图2 图3‎ ‎（第23题）‎ ‎24．已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)， B(s，t)，C(，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．‎ ‎(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；‎ ‎(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．‎ ‎ (12分)‎ ‎（第24题）‎ ‎2009年湖北省宜昌市初中学业考试 数学试题评分说明及参考答案 一、选择题:(每小题3分，计30分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B C B D C C D A B A 二、填空题:(每小题3分，共15分)‎ 题 号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答 案 ‎3‎ ‎17‎ 矩形 相交 ‎3‎ 说明：第15题如果填写为3.1或3.14均得3分；第12题若填写17元，得3分.‎ 三、解答题：(本大题有9小题，计75分)‎ ‎16．解： ‎ ‎=（3分）‎ ‎ =2． (6分)‎ ‎17．解： 由题意， （4分）‎ ‎=12 000（名）． （6分）‎ 答：有12 000名学生将从这项活动中受益． ‎ 说明：12 000后不带单位不扣分．‎ ‎18．解：由题意，． (4分)‎ ‎ 解得 （7分）‎ ‎19．解：(1) 在Rt△ACE和Rt△BDE中， ‎ ‎∵∠AEC与∠BED是对顶角，∴∠AEC=∠BED． (1分)‎ ‎∵∠C=∠D=90°， AC=BD ． ‎ ‎∴Rt△ACE≌Rt△BDE， （3分）‎ ‎∴AE=BE． （4分）‎ ‎ (2) ∵∠AEC=45°， ∠C=90°，‎ ‎∴∠CAE=45°． (5分)‎ ‎∴CE=AC=1． (7分)‎ ‎20．解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=∠BAE=90°． （1分）‎ ‎∵ ，∴ ∠BAC=∠CAD=∠DAE ．（2分）‎ ‎∴∠BAC=∠CAD=∠DAE =30°．‎ ‎∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1， AC=2cos30°= ．（3分）‎ ‎∴S△ACD=AC×CD =． （4分）‎ ‎(2) 连BD，∵∠ABD=90°， ∠BAD= =60°，‎ ‎∴∠BDA=∠BCA= 30°，∴BA=BC.‎ 作BF⊥AC，垂足为F，（5分）‎ ‎∴AF=AC= ，∴BF=AFtan30°= ， （6分）‎ ‎∴S△ABC=AC×BF = ， ∴SABCD= ． （7分）‎ ‎∵S⊙O=π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率==．（8分）‎ 说明：若π取3得结果或再取的近似值出现计算误差均不扣分．‎ ‎（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M． （5分）‎ ‎∵∠BCA=∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD．‎ ‎∴四边形ABCD为等腰梯形．（6分）‎ ‎∵CM=ACsin30°=，∴SABCD=(BC+AD)CM=．（7分）‎ ‎∵S⊙O=π， ∴P点落在四边形ABCD区域的概率== ．（8分）‎ ‎21．解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．‎ ‎∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．（ 1分）‎ ‎∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．（ 2分） ‎ 在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD ‎∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．‎ ‎∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． 注：证全等也可得到AC=AB ‎∴AB=CD． （3分）‎ ‎ ‎ ‎(2)∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．‎ ‎∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA， ∴∠MPC=∠CDA． （4分）‎ ‎∴∠MPF=∠CDM． （5分）‎ ‎∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE． 注：证全等也可得到CE=BE ‎∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM． （6分） 注：证全等也可得到CM=BM ‎∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一) ‎ ‎∴∠CME=∠BME． 注：证全等也可得到∠CME=∠BME ‎ ‎∵∠BME=∠PMF，‎ ‎∴∠PMF=∠CME， （7分）‎ ‎∴∠MCD=∠F(三角形内角和)． （8分） 注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F ‎22．解：‎ ‎（1）由题意， ， ‎ 解得： m=7.2． （1分）‎ ‎（2）从2月~5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每‎500克增长0.1元．（2分）‎ ‎（或：设y＝kx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9），‎ ‎（5，1）代入都符合，可评2分，再得到（6，1.1）时不再给分）‎ ‎∴6月玉米的价格是：1.1元/‎500克;（3分）‎ ‎∵5月增长率： ，∴6月猪肉的价格：6(1－)=5.76元/‎500克.‎ ‎∴W==5.24<6， 要采取措施． （4分）‎ 说明：若答：∵5月的W=6，而6月时W的分子（猪肉价格下降）减小，且分母（六月的玉米价格增长）增大，∴6月的W<6，未叙述减小和增大理由时可扣1分．‎ ‎（3）7月猪肉价格是：元/‎500克； ‎ ‎7月玉米价格是：元/‎500克； ‎ 由题意，+=5.5， （6分）‎ 解得， ．（7分） 不合题意，舍去． （8分） ‎ ‎∴， （9分）， ，∴不(或：不一定)需要采取措施．（10分）‎ ‎23．解：(1)如图； （1分）‎ ‎(2)与不相等．‎ ‎ 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC． (2分)‎ ‎∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．‎ ‎∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．‎ ‎∵据题意，P与D不重合，‎ ‎∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾． ‎ ‎∴假设不成立．‎ ‎∴不成立． （3分）‎ ‎(2) 解法2：与不相等．‎ 理由如下：‎ ‎∵P， A关于MN对称，∴MN垂直平分AP．‎ ‎∴cos∠FAN=． (2分)‎ ‎∵∠D=90°， ∴cos∠PAD=．‎ ‎∵∠FAN=∠PAD，∴=．‎ ‎∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP．‎ ‎∴≠;从而≠． (3分)‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°，‎ ‎∴∠CMP＋∠AMB=90°．‎ ‎∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．‎ ‎∵MN垂直平分，∴MA=MP，‎ ‎∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD． (4分)‎ ‎∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4－x，‎ ‎∴BM=PC=4－x． (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J．( 6分)‎ ‎∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°．‎ ‎∴矩形HDCJ． (7分)‎ ‎∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， (8分)‎ ‎∴OJ:CP=MO:MP=1:2，‎ ‎∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． (9分)‎ ‎∵MC2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． (10分)‎ 解得:x=1．即PD=1，PC=3，‎ ‎∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．‎ 由此画图(图形大致能示意即可)． (11分)‎ ‎（3）解法2：‎ 连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO．（4分） ‎ 由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，‎ ‎∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． （5分）‎ ‎∵AM，AH与⊙O相切于点M，H，‎ ‎∴∠AMO=∠AHO=90°，‎ ‎∵OM=OH， AO=AO，‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO． (6分)‎ ‎∴设AM=x，则 AM=AH=x，‎ 由切线性质得，AM⊥PM，‎ ‎∴∠AMP=90°，∴∠BMA+∠CMP=90°．‎ ‎∵∠BMA+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMP ，‎ ‎∵∠B=∠MCP=90°，‎ ‎∵MN为AP的中垂线，∴AM=MP．‎ ‎∴△ABM≌△MCP ． (7分)‎ ‎∴四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，(8分)‎ Rt△ABM中，BM=，‎ ‎∴MJ==JC，（9分）‎ ‎∴AB=MC．∴4=2()，∴ （10分）‎ ‎∴AD=BC==7，‎ ‎∴PC==3． ‎ 由此画图(图形大致能示意即可)．（11分）‎ ‎24．解：‎ A B C ‎（1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC．‎ ‎∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，‎ 故BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（，1）．（1分，）‎ 即s=，t=1．直角梯形如图所画．（2分）‎ ‎（大致说清理由即可）‎ ‎（2）由题意，y=x2+mx－m与 y=1（线段AB）相交， ‎ 得， （3分）∴1＝x2+mx－m，‎ 由 (x－1)(x+1+m)=0，得． ‎ ‎∵=1<，不合题意，舍去． （4分）‎ ‎∴抛物线y=x2+mx-m与AB边只能相交于（，1）， ‎ ‎ ∴≤－m－1≤，∴ ． ①（5分） ‎ 又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，‎ ‎∴，即 ． ② （6分） ‎ ‎∵，‎ ‎（或者抛物线y=x2+mx－m顶点的纵坐标最大值是1）‎ ‎∴点P一定在线段AB的下方． （7分） ‎ 又∵点P在x轴的上方，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ． （*8分）‎ ③（9分） ‎ 又∵点P在直线y=x的下方，∴，（10分）即 ‎ （*8分处评分后，此处不重复评分）‎ ‎ ④ ‎ ‎ 由①②③④ ，得．（12分） ‎ ‎ 说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．‎