2010年广东省汕头市中考数学试卷

2010年广东省汕头市中考数学试卷

一、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎1、（2010•广东）﹣2的绝对值是 ．‎ 考点：绝对值。‎ 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ 解答：解：|﹣2|=2．‎ 故填2．‎ 点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2、（2010•广东）据中新网上海6月1日电：世博会开园一个月来，客流平稳，累计至当晚19时，参观者已超过8 000 000人次．试用科学记数法表示8 000 000= ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：用科学记数法表示8 000 000=8×106．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3、（2010•定西）分式方程‎2xx+1‎‎=1‎的解x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．‎ 解答：解：方程两边都乘x+1，得 ‎2x=x+1，‎ 解得x=1．‎ 检验：当x=1时，x+1≠0．‎ ‎∴x=1是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．‎ ‎4、（2010•广东）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=‎4‎‎5‎，则AC= ．‎ 考点：解直角三角形。‎ 分析：根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．‎ 解答：解：∵在Rt△ABC中，cosB=‎4‎‎5‎，‎ ‎∴sinB=‎3‎‎5‎，tanB=sinBcosB=‎3‎‎4‎．‎ ‎∵在Rt△ABD中AD=4，‎ ‎∴AB=ADsinB‎=‎4‎‎3‎‎5‎=‎‎20‎‎3‎．‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵tanB=ACAB，‎ ‎∴AC=‎3‎‎4‎×‎20‎‎3‎=5．‎ 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．‎ ‎5、（2010•广东）某市2007年、2009年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程： ．‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 专题：增长率问题。‎ 分析：由于设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，那么2008年商品房每平方米平均价格为4000（1+x），2009年商品房每平方米平均价格为4000（1+x）（1+x），再根据2009年商品房每平方米平均价格为5760元即可列出方程．‎ 解答：解：设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，‎ 依题意得4000（1+x）（1+x）=5760，‎ 即4000（1+x）2=5760．‎ 故填空答案：4000（1+x）2=5760．‎ 点评：此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量（1±x）2=现在的量，x为增长或减少百分率．增加用+，减少用﹣．‎ ‎6、（2010•广东）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为 ．‎ 考点：正方形的性质。‎ 专题：规律型。‎ 分析：设正方形的边长为an，a1=1，a2=‎5‎a1，a3=‎5‎a2，…由此得出边长a的通项公式a=a1•（‎5‎）n﹣1（n是自然数），将其代入正方形的面积公式解答．‎ 解答：解：设正方形的边长为a，则根据题意，得 a1=1，a2=‎5‎a1，a3=‎5‎a2，…an=a1•（‎5‎）n﹣1（n是自然数），‎ ‎∴边长a的通项公式an=a1•（‎5‎）n﹣1（n是自然数），‎ ‎∴S□A4B4C4D4=an2=a12×[（‎5‎）5﹣1]2，‎ ‎∵a1=1，‎ ‎∴S□A4B4C4D4=12×[（‎5‎）5﹣1]2=625，即正方形A4B4C4D4的面积是625．‎ 故答案为：625．‎ 点评：本题考查的是正方形的性质，在正方形中，对边平行、四条边相等、四个角都是直角．‎ 二、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）‎ ‎7、（2010•广东）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、2a+3b=5ab B、2（2a﹣b）=4a﹣b ‎ C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D、（a+b）2=a2+b2‎ 考点：整式的混合运算。‎ 分析：A、利用合并同类项的法则即可判定；B、利用去括号的法则即可判定；C、利用平方差公式即可判定；D、利用完全平方公式判定．‎ 解答：解：A、∵2a，3b不是同类项，∴2a+3b≠5ab，故选项错误；‎ B、2（2a﹣b）=4a﹣2b，故选项错误；‎ C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，正确；‎ D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了整式的运算法则，其中对于平方差公式和完全平方公式的公式结构一定要熟练．‎ ‎8、（2010•广东）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（　　）‎ ‎ A、70° B、100°‎ ‎ C、110° D、120°‎ 考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．‎ 解答：解：如图，∵∠1=70°，‎ ‎∴∠2=∠1=70°，‎ ‎∵CD∥BE，‎ ‎∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．‎ ‎9、（2010•广东）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（　　）‎ ‎ A、6，6 B、7，6‎ ‎ C、7，8 D、6，8‎ 考点：中位数；众数。‎ 分析：首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，然后利用中位数和众数的定义就可以求出结果．‎ 解答：解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，6元，6元，7元，8元，9元，10元，‎ ‎∴中位数为7‎ ‎∵6这个数据出现次数最多，‎ ‎∴众数为6．‎ 故选B．‎ 点评：本题结合众数与中位数考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数只要找次数最多的即可．‎ ‎10、（2010•广东）左下图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从上面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从上面看可得到三个左右相邻的长方形，故选D．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎11、（2010•汕头）如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（　　）‎ ‎ A、AB=BE B、AD=DC ‎ C、AD=DE D、AD=EC 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：根据折叠前后对应线段相等易判断A、C正确；根据∠C=45°可判断△CDE是等腰直角三角形，EC=DE，CD＞DE．故D正确，B错误．‎ 解答：解：根据折叠性质，有AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEC=90°．‎ ‎∴A、C正确；‎ 又∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，EC=DE，CD＞DE．‎ ‎∴D正确，B错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．‎ ‎12、（2010•汕头）已知方程x2﹣5x+4=0的两跟分别为⊙O1与⊙O2的半径，且O1O2=3，那么两圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、相交 B、外切 ‎ C、内切 D、相离 考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法。‎ 分析：解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ 解答：解：解方程x2﹣5x+4=0得x1=1，x2=4，‎ ‎∵O1O2=3，x2﹣x1=3，‎ ‎∴O1O2=x2﹣x1‎ ‎∴⊙O1与⊙O2内切．‎ 故选C．‎ 点评：此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断方法．‎ ‎13、（2010•汕头）已知一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数y=‎‎2‎x的图象的一个交点坐标为（2，1），那么另一个交点的坐标是（　　）‎ ‎ A、（﹣2，1） B、（﹣1，﹣2）‎ ‎ C、（2，﹣1） D、（﹣1，2）‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：把交点坐标代入一次函数可求得一次函数的解析式，让一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组即可求得另一交点的坐标．‎ 解答：解：∵（2，1）在一次函数解析式上，‎ ‎∴1=2k﹣1，‎ 解得k=1，‎ y=x﹣1，‎ 与反比例函数联立得：‎&y=x﹣1‎‎&y=‎‎2‎x；‎ 解得x=2，y=1；或x=﹣1，y=﹣2．‎ 故选B．‎ 点评：点在函数图象上，那么点适合函数图象，注意也可根据反比例函数上的点的横纵坐标的积为2可很快得到答案．‎ 三、解答题（共11小题，满分98分）‎ ‎14、（2010•广东）计算：‎‎4‎‎+（﹣‎1‎‎2‎‎）‎‎﹣1‎﹣2cos60°+（2﹣π‎）‎‎0‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的锐角三角函数值4个考点，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：‎‎4‎‎+（﹣‎1‎‎2‎‎）‎‎﹣1‎﹣2cos60°+（2﹣π‎）‎‎0‎ ‎=2﹣2﹣1+1‎ ‎=0．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎15、（2010•广东）先化简，再求值x‎2‎‎+4x+4‎x+2‎‎÷（x‎2‎+2x）‎，其中x=‎2‎．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．‎ 解答：解：‎x‎2‎‎+4x+4‎x+2‎‎÷（x‎2‎+2x）‎ ‎=（x+2）•‎‎1‎x（x+2）‎ ‎=‎1‎x．‎ 当x=‎2‎时，原式=‎1‎‎2‎=‎2‎‎2‎．‎ 点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．‎ ‎16、（2010•广东）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3）．‎ ‎（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；‎ ‎（2）将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．‎ 考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。‎ 专题：作图题。‎ 分析：（1）将三角形三点分别沿x轴向右移动5个单位得到它们的对应点，顺次连接即可．‎ ‎（2）将A、C两点绕B顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接各对应点，即成Rt△A2B2C2．‎ 解答：解：（1）从图中可以看出点A1的坐标为（﹣1，0），‎ ‎．‎ ‎（2）．‎ 点评：本题主要考查了平移变换作图和旋转变换作图，这两题作图的关键都是找对应点．‎ ‎17、（2010•广东）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．‎ ‎（1）求∠POA的度数；‎ ‎（2）计算弦AB的长．‎ 考点：切线的性质。‎ 分析：（1）根据PA与⊙O相切于A点可知，OA⊥AP，再依据锐角三角函数的定义即可求出；‎ ‎（2）根据直角三角形中∠AOC=60°，OA=2可求出AC的长，再根据垂径定理即可求出弦AB的长．‎ 解答：解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，‎ ‎∴△OAP是直角三角形，‎ ‎∵OA=2，OP=4，‎ ‎∴cocs∠POA=OAOP=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴∠POA=60°．‎ ‎（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，‎ ‎∴AC=OA•sin60°=2×‎3‎‎2‎=‎3‎．‎ ‎∵AB⊥OP，‎ ‎∴AB=2AC=2‎3‎．‎ 点评：本题考查了圆的切线性质，及三角函数的定义及特殊角的三角函数值．‎ ‎18、（2010•广东）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．‎ ‎（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；‎ ‎（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．‎ 考点：游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：（1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；‎ ‎（2）由（1）进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可．‎ 解答：解：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种情况，所以欢欢胜的概率是‎6‎‎12‎=‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎19、（2010•广东）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．‎ ‎（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．‎ 考点：抛物线与x轴的交点。‎ 分析：（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；‎ ‎（2）令y=0，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y＞0时，x的取值范围．‎ 解答：解：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得 ‎&﹣1﹣b+c=0‎‎&c=3‎‎，解得‎&b=2‎‎&c=3‎．‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）令y=0，解方程﹣x2+2x+3=0，‎ 得x1=﹣1，x2=3，抛物线开口向下，‎ ‎∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．‎ 点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞0时，自变量x的取值范围．‎ ‎20、（2010•广东）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；‎ ‎（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．‎ 解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，‎ ‎∴AB=2BC，‎ 又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，‎ ‎∴∠AEF=30°‎ ‎∴AE=2AF，且AB=2AF，‎ ‎∴AF=CB，‎ 而∠ACB=∠AFE=90°‎ ‎∴△AFE≌△BCA，‎ ‎∴AC=EF；‎ ‎（2）由（1）知道AC=EF，‎ 而△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠DAC=60°‎ ‎∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，‎ 而EF⊥AB，‎ ‎∴EF∥AD，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形．‎ 点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．‎ ‎21、（2010•广东）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．‎ ‎（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；‎ ‎（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？‎ 考点：一元一次不等式组的应用。‎ 专题：方案型。‎ 分析：（1）设租用甲车x辆，则乙车（10﹣x）辆．‎ 不等关系：①两种车共坐人数不小于340人；②两种车共载行李不小于170件．‎ ‎（2）因为车的总数是一定的，所以费用少的车越多越省．‎ 解答：解：（1）设租用甲车x辆，则乙车（10﹣x）辆．根据题意，得 ‎&40x+30（10﹣x）≥340‎‎&16x+20（10﹣x）≥170‎‎，‎ 解，得 ‎4≤x≤7.5．‎ 又x是整数，‎ ‎∴x=4或5或6或7．‎ 共有四种方案：‎ ‎①甲4辆，乙6辆；‎ ‎②甲5辆，乙5辆；‎ ‎③甲6辆，乙4辆；‎ ‎④甲7辆，乙3辆．‎ ‎（2）因为乙车的租金少，所以乙车越多，总费用越少．‎ 故选方案①．‎ 点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系．‎ ‎22、（2010•广东）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．‎ ‎（1）求证：△EGB是等腰三角形；‎ ‎（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．‎ 考点：梯形；等腰三角形的判定。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，从而证明结论；‎ ‎（2）要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．再根据30°的直角三角形的性质即可求解．‎ 解答：（1）证明：根据题意，得 ‎∠EBG=30°=∠E．‎ 则△EGB是等腰三角形．‎ ‎（2）解：要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．‎ 设BC与DE的交点是H．‎ 在直角三角形DFH中，∠FDH=60°，DF=‎1‎‎2‎DE=2，‎ 则FH=‎3‎．‎ 则CH=BC﹣BH=2‎3‎﹣（2﹣‎3‎）=3‎3‎﹣2．‎ 即此梯形的高是3‎3‎﹣2．‎ 点评：此题主要是考查了30°的直角三角形的性质．‎ ‎23、（2010•广东）阅读下列材料：‎ ‎1×2=‎1‎‎3‎（1×2×3﹣0×1×2），‎ ‎2×3=‎1‎‎3‎（2×3×4﹣1×2×3），‎ ‎3×4=‎1‎‎3‎（3×4×5﹣2×3×4），‎ 由以上三个等式相加，可得：‎ ‎1×2+2×3+3×4=‎1‎‎3‎×3×4×5=20．‎ 读完以上材料，请你计算下列各题：‎ ‎（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；‎ ‎（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= ；‎ ‎（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9= ．‎ 考点：规律型：数字的变化类。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：可得规律：a×b=‎1‎‎3‎[a×b×（b+1）﹣（a﹣1）×a×b]．‎ 解答：解：‎ ‎1×2=‎1‎‎3‎（1×2×3﹣0×1×2）；‎ ‎2×3=‎1‎‎3‎（2×3×4﹣1×2×3）；‎ ‎3×4=‎1‎‎3‎（3×4×5﹣2×3×4）；‎ ‎…‎ ‎10×11=‎1‎‎3‎（10×11×12﹣9×10×11）；‎ ‎…‎ n×（n+1）=‎1‎‎3‎[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]．‎ ‎（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11‎ ‎=‎1‎‎3‎（1×2×3﹣0×1×2）+‎1‎‎3‎（2×3×4﹣1×2×3）+‎1‎‎3‎（3×4×5﹣2×3×4）+…+‎1‎‎3‎（10×11×12﹣9×10×11）‎ ‎=‎1‎‎3‎（10×11×12）=440；‎ ‎（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）‎ ‎═‎1‎‎3‎（1×2×3﹣0×1×2）+‎1‎‎3‎（2×3×4﹣1×2×3）+‎1‎‎3‎（3×4×5﹣2×3×4）+…+‎1‎‎3‎[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=‎1‎‎3‎[n×（n+1）×（n+2）]；‎ ‎（3）1×2×3=‎1‎‎4‎（1×2×3×4﹣0×1×2×3）；‎ ‎2×3×4=‎1‎‎4‎（2×3×4×5﹣1×2×3×4）；‎ ‎3×4×5=‎1‎‎4‎（3×4×5×6﹣2×3×4×5）；‎ ‎…‎ ‎7×8×9=‎1‎‎4‎（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；‎ ‎∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9‎ ‎=‎1‎‎4‎（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+‎1‎‎4‎（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+‎1‎‎4‎（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+‎1‎‎4‎（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；‎ ‎=‎1‎‎4‎（7×8×9×10）=1260．‎ 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎24、（2010•广东）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：‎ ‎（1）说明△FMN∽△QWP；‎ ‎（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？‎ ‎（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．‎ 考点：勾股定理的逆定理；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；‎ ‎（2）当△PMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，当MF⊥FN时，证得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4﹣x=2x，求得x此时的值，当MG⊥FN时，点M 与点A重合，点N与点G重合，此时x=AD=4；‎ ‎（3）当点F、M、N在同一直线上时，MN最短，可求由比例式求得x的值．‎ 解答：解：（1）∵PQ∥FN，PW∥MN ‎∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF ‎∴∠QPW=∠MNF 同理∠PQW=NFM，‎ ‎∴△FMN∽△QWP ‎（2）由于△FMN∽△QWP，故当△PMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，‎ 作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD﹣DF=4，GN=GB﹣BN=4﹣x，DM=x，‎ ‎①当MF⊥FN时，‎ ‎∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°‎ ‎∴∠DFM=∠GFN ‎∵∠D=∠FGN=90°‎ ‎∴△DFM∽△GFN ‎∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2‎ ‎∴GN=2DM ‎∴4﹣x=2x ‎∴x=‎4‎‎3‎，‎ ‎②当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，‎ ‎∴x=AD=GB=4‎ ‎∴当x=4或‎4‎‎3‎时，△QWP为直角三角形，当0＜x＜‎4‎‎3‎，‎4‎‎3‎＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．‎ ‎（3）当点M、N、F在同一直线上时，MN最短．‎ ‎∵DF∥AN ‎∴AN：DF=AM：DM ‎∴‎6﹣x‎2‎=‎x﹣4‎x 解得x=2+2‎3‎（负值舍去）．‎ 点评：本题为动点变化的题，主要利用了相似三角形的判定和性质，平行线的性质求解．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；CJX；zhangCF；fuaisu；张伟东；xinruozai；huangling；mama258；zxw；nhx600；lanchong；hbxglhl；HJJ；zhjh；shenzigang；zhehe；智波。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日