2020-2021九年级数学上册圆单元同步练习2（新人教版pdf格式）

2020-2021九年级数学上册圆单元同步练习2（新人教版pdf格式）

2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：圆（二） 1．如图，⊙O 是△ ABC 外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解析】【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠BOC，再根据三角形的内角和 定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算． 【详解】 连接 OC，如图， 根据圆周角定理，得 ∠BOC=2∠A=80° ∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB= 180 2 BOC   =50°． 故选 C． 【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的 性质以及三角形的内角和定理． 2．如图，在△ ABC 中，cosB＝ 2 2 ，sinC＝ 3 5 ，AC＝5，则△ ABC 的面积是( ) A． 21 2 B．12 C．14 D．21 【答案】A 【解析】【分析】根据已知作出三角形的高线 AD，进而得出 AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】 解：过点 A 作 AD⊥BC， ∵△ABC 中，cosB= ，sinC= ，AC=5， ∴cosB= = BD AB ， ∴∠B=45°， ∵sinC= = AD AC = 5 AD ， ∴AD=3， ∴CD= 2253 =4， ∴BD=3， 则△ ABC 的面积是： 1 2 ×AD×BC= ×3×（3+4）= 21 2 ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出 AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关 键． 3．如图， O 与正方形ABCD 的两边AB，AD 相切，且DE 与 相切于点E．若 的半径为 5，且 11AB  ， 则 DE 的长度为（ ） A．5 B．6 C． 30 D． 11 2 【答案】B 【解析】【分析】连接 OE，OF，OG，根据切线性质证四边形 ABCD 为正方形，根据正方形性质和切线长 性质可得 DE=DF. 【详解】 连接 OE，OF，OG， ∵AB，AD，DE 都与圆 O 相切， ∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=AD=11，∠A=90°， ∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°， ∵OF=OG=5， ∴四边形 AFOG 为正方形， 则 DE=DF=11-5=6， 故选：B 【点评】考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键. 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝12，经过 A，D 两点的⊙O 与边 BC 相切于点 E，则⊙O 的半径 为（ ） A．4 B． 21 4 C．5 D． 25 4 【答案】D 【解析】【分析】连结 EO 并延长交 AD 于 F，连接 AO，由切线的性质得 OE⊥BC，再利用平行线的性质得 到 OF⊥AD，则根据垂径定理得到 AF=DF= 1 2 AD=6，由题意可证四边形 ABEF 为矩形，则 EF=AB=8，设 ⊙O 的半径为 r，则 OA=r，OF=8-r，然后在 Rt△ AOF 中利用勾股定理得到（8-r）2+62=r2，再解方程求出 r 即可． 【详解】 如图，连结 EO 并延长交 AD 于 F，连接 AO， ∵⊙O 与 BC 边相切于点 E， ∴OE⊥BC， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴BC∥AD， ∴OF⊥AD， ∴AF=DF= 1 2 AD=6， ∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC， ∴四边形 ABEF 为矩形， ∴EF=AB=8， 设⊙O 的半径为 r，则 OA=r，OF=8-r， 在 Rt△ AOF 中，∵OF2+AF2=OA2， ∴（8-r）2+62=r2， 解得 r= 25 4 ， 故选 D． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径， 构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用 勾股定理建立关于半径的方程． 5．如图， O 为圆心， AB 是直径， C 是半圆上的点， D 是 AC 上的点. 若 B O C 4 0  ，则 D 的大小为（ ） A． 110 B． 120 C． 130 D． 140 【答案】A 【解析】【分析】连接 BD，由 AB 是直径可得∠ADB=90°，根据圆周角定理可知∠BDC= 1 2 ∠BOC，进而可 求出∠D 的度数. 【详解】 连接 BD， ∵ AB 是直径， D 是 上的点， ∴∠ADB=90°， ∵∠BDC 与∠BOC 是弦 BC 所对的圆周角和圆心角，∠BOC=40°， ∴∠BDC= ∠BOC=20°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°. 故选 A. 【点评】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所 对的圆周角等于 90°. 6．边长为 2 的正方形内接于⊙O，则⊙O 的半径是（ ） A．1 B． 2 C．2 D．2 【答案】B 【解析】【分析】连接 OB，CO，在 Rt△ BOC 中，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：连接 OB，OC，则 OC＝OB，∠BOC＝90°， 在 Rt△ BOC 中， 2 2, 22 BCOB  ∴⊙O 的半径是 2 ， 故选：B． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题． 7．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点 B 的⊙O 的切线于点 C，如果∠CAB=30°，AB=2 3 ，则 OC 的长度为（ ） A．2 3 B．2 C．4 D．4 【答案】D 【解析】【分析】连接 OB，作 OH⊥AB 于 H，根据垂径定理求出 AH，根据余弦的定义求出 OA，根据切线 的性质定理得到∠OBC=90°，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：连接 OB，作 OH⊥AB 于 H， 则 AH=HB= 1 2 AB= 3 ， 在 Rt△ AOH 中，OA= 3 3 2 AH cosA  =2， ∠BOC=2∠A=60°， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC=90°， ∴∠C=30°， ∴OC=2OB=4， 故选 D． 【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径是解题的关键． 8．在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，以 C 为圆心，以 9cm 长为直径的⊙C 与直线 AB 的位 置关系为（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相离或相交 【答案】B 【解析】【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离 d，据直角三角形的面积公式即可求得；若 d＜r，则直 线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离． 【详解】 解：∵AC=8cm，AB=10cm， ∴BC= 22AB AC =6， S△ ABC= 1 2 AC×BC= ×6×8=24， ∴AB 上的高为：24×2÷10=4.8， 即圆心到直线的距离是 4.8， ∵r=4.5， ∴4.8＞4.5 ∴⊙C 与直线 AB 相离， 故选 B． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据三角形的面积求出斜边上的高的长度是解答此题关 键．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 9．如图，CD 为圆 O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，CE=1，半径为 25，则弦 AB 的长为( ) A．24 B．14 C．10 D．7 【答案】B 【解析】【分析】连接 OA，根据垂径定理得到 AE=EB，根据勾股定理求出 AE，得到答案． 【详解】 连接 OA， ∵CD 为圆 O 的直径，弦 AB⊥CD， ∴AE=EB， 由题意得，OE=OC-CE=24， 在 Rt△ AOE 中，AE= 22OAOE =7， ∴AB=2AE=14， 故选 B． 【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条 弧． 10．如图，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计15 圆心角的扇形部分大约需要34 片马赛克 片．已知每箱装有125 片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面（ ） A． 56 箱 B． 67 箱 C． 78 箱 D． 89 箱 【答案】B 【解析】【分析】利用扇形面积公式即可计算． 【详解】 360÷15=24，所以覆盖一个圆形的台面需 24×34=816 片马赛克片，816÷125=6.53． 故选 B． 【点评】本题看似是一个求扇形面积的题，但是不是，只要算出圆形中有几个 15 度的扇形即可求出此题． 11．如图所示，扇形纸扇完全打开后，弧 BC 6 0 c m ，弧 DE 2 0 c m ．外侧两竹条 AB ，AC 都等于 3 0 c m ， 贴纸的宽度 BD ， CE 都等于 2 0 c m ，则贴纸的面积是（ ） A． 24 0 0 c m B． 28 0 0 c m C． 21200cm D． 21600cm 【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的面积公式：S 扇形= 1 2 lr，即可求得扇形 BAC 的面积和扇形 DAE 的面积，根据贴 纸的面积是：扇形 BAC 的面积﹣扇形 DAE 的面积即可求解． 【详解】 AD=AB﹣BD=30﹣20=10cm． 扇形 BAC 的面积是： 1 2 BC •AB= 1 2 ×60×30=900cm2． 扇形 DAE 的面积是： 1 2 DE •AD= ×20×10=100cm2，∴贴纸的面积是：扇形 BAC 的面积﹣扇形 DAE 的面 积=900﹣100=800cm2． 故选 B． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，关键是理解贴纸的面积是：扇形 BAC 的面积﹣扇形 DAE 的面积， 把不规则的图形转化成规则图形的面积求解． 12．如图，△ ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，BC＝5，则△ ABC 的周长为( ) A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【解析】【分析】根据切线长定理进行求解即可. 【详解】 ∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF， ∵BE+CE＝BC＝5， ∴BD+CF＝BC＝5， ∴△ABC 的周长＝2+2+5+5＝14， 故选 B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键. 13．如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的函数表达式为 y＝x，点 O1 的坐标为（1，0），以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交直线 l 于点 P1，交 x 轴正半轴于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为半径画圆，交直线 l 于点 P2， 交 x 轴正半轴于点 O3，以 O3 为圆心，O3O 为半径画圆，交直线 l 于点 P3，交 x 轴正半轴于点 O4；…按此 做法进行下去，其中 2 0 1 7 2 0 1 8P O 的长为_____． 【答案】22015π 【解析】【分析】连接 P1O1，P2O2，P3O3，易求得 PnOn 垂直于 x 轴，可知 1nnPO + 为 1 4 圆的周长，再找出圆 半径的规律即可解题． 【详解】 解：连接 P1O1，P2O2，P3O3…， ∵P1 是⊙O1 上的点， ∴P1O1＝OO1， ∵直线 l 解析式为 y＝x， ∴∠P1OO1＝45°， ∴△P1OO1 为等腰直角三角形，即 P1O1⊥x 轴， 同理，PnOn 垂直于 x 轴， ∴ 1nnPO + 为 1 4 圆的周长， ∵以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交 x 轴正半轴于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为半径画圆，交 x 轴正半轴 于点 O3，以此类推， ∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…， ∴OOn＝ 12 n  ， ∴ 12 1 1 2224 nn nnPO pp-- + =鬃= ， ∴ 2015 20172018P2O  ， 故答案为：22015π． 【点评】本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中 准确找到圆半径的规律是解题的关键． 14．如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是________°． 【答案】100 【解析】【分析】首先圆上取一点 A，连接 AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°， 即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案． 【详解】 圆上取一点 A，连接 AB，AD， ∵点 A，B，C，D 在⊙O 上， ∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°. 故答案为 100°. 【点评】此题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题关键在于掌握其定义. 15．如图，边长为 6 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AF∥x 轴．将正六边形绕原点逆时针 旋转 n 次，每次旋转 60°，当 n=2019 时，顶点 A 的坐标为_____． 【答案】（3， 33 ） 【解析】【分析】将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 逆时针旋转 2019 次时，点 A 所在的位置就是原 D 点所在的 位置． 【详解】 2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形 ABCDEF 绕原点 O 逆时针旋转 3 次时点 A 的坐标是一样的． 当点 A 按逆时针旋转 180°时，与原 D 点重合． 连接 OD，过点 D 作 DH⊥x 轴，垂足为 H； 由已知 ED=6，∠DOE=60°（正六边形的性质），∴△OED 是等边三角形，∴OD=DE=OE=6． ∵DH⊥OE，∴∠ODH=30°，OH=HE=3，HD= 33． ∵D 在第四象限，∴D（3，﹣3 3 ），即旋转 2019 后点 A 的坐标是（3，﹣3 ）． 故答案为：（3，﹣3 ）． 【点评】本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关 键． 16．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于 C 点，连接 BC，如果∠A=30°，AB=2 3 ， 那么 AC 的长等于______． 【答案】6 【解析】【分析】连接 OB，首先利用切线的性质可得∠ABO=90°，接下来在△ ABO 中，利用正切与余弦的 定义即可求出 OB 与 OA 的长；然后根据圆的半径相等，并结合线段之间的关系进行解答即可. 【详解】 连接 OB，如图所示. ∵AB 是圆 O 的切线， ∴∠ABO=90°. ∵∠A=30°， ∴tanA= 3 3 OB AB  ，cosA= 3 2 AB OA  ， ∴OB=2，OA=4， ∴AC=4+2=6. 故答案为 6. 【点评】本题是一道关于直线与圆的位置关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质与锐角三角 函数的定义. 17．如图，D、E 分别是⊙O 两条半径 OA、OB 的中点， AC=CB ． （1）求证：CD=CE． （2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形 ODCE 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式． 【答案】（1）证明见解析；（2）y= 3 4 x2． 【解析】【分析】（1）连接 OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△ COD≌△COE， 根据全等三角形的性质证明； （2）连接 AC，根据全等三角形的判定定理得到△ AOC 为等边三角形，根据正切的定义求出 CD，根据三 角形的面积公式计算即可． 【详解】 （1）证明：连接 OC， ∵ A C = C B ， ∴∠COA=∠COB， ∵D、E 分别是⊙O 两条半径 OA、OB 的中点， ∴OD=OE， 在△ COD 和△ COE 中， ODOE CODCOE OCOC    ＝ ＝ ＝ ， ∴△COD≌△COE（SAS） ∴CD=CE； （2）连接 AC， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=60°，又 OA=OC， ∴△AOC 为等边三角形， ∵点 D 是 OA 的中点， ∴CD⊥OA，OD= 1 2 OA= x， 在 Rt△ COD 中，CD=OD•tan∠COD= 3 2 ， ∴四边形 ODCE 的面积为 y= ×OD×CD×2= 3 4 x2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握 圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键． 18．如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆⊙O 上，AC=BC．以 B 为圆心，以 BC 的长为半径画圆弧交 AB 于 点 D． （1）求∠ABC 的度数； （2）若 AB=2，求阴影部分的面积． 【答案】（1）45°；（ 2）1 4  ． 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据阴影部分的面积=S△ ABC－S 扇形 DBC 即可得到结论． 【详解】 （1）∵AB 为半圆⊙O 的直径，∴∠ACB=90°． ∵AC=BC，∴∠ABC=45°； （2）∵AC=BC，∴∠ABC=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形． ∵AB=2，∴BC= 2 2 AB= 2 ，∴阴影部分的面积=S△ ABC－S 扇形 DBC= 2145(2)222360  1 4  ． 【点评】本题考查了不规则图形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积 公式是解题的关键． 19．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，M 为弧 AD 中点，连接 BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O 的半径为 2 时，求∠BOM 的度数． 【答案】（1）答案见解析；（2）135°． 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到 AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到 ABCD ，得到 BMCM ，即可得到结论； （2）连接 OA、OB、OM，根据正方形的性质求出∠AOB 和∠AOM，计算即可． 【详解】 （1）∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=CD，∴ ． ∵M 为 AD 的中点，∴ AM DM ，∴ ，∴BM=CM； （2）连接 OA、OB、OM． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠AOB=90°． ∵M 为弧 AD 的中点，∴∠AOM=45°，∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°． 【点评】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦 的关系定理是解题的关键． 20．如图,点 O 在边长为 6 2 的正方形 ABCD 的对角线 AC 上,以 O 为圆心 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 E. （1）⊙O 过点 E 的切线与 BC 交于点 F,当 0＜OA＜6 时,求∠BFE 的度数; （2）设 ⊙O 与 AB 的延长线交于点 M,⊙O 过点 M 的切线交 BC 的延长线于点 N,当 6＜OA＜12 时,利用备用 图作出图形,求∠BNM 的度数. 【答案】（1）∠BFE=45°；（ 2）∠BNM=45°. 【解析】【分析】（1）连结 OE，根据圆的半径都相等可得 OA=OE，再根据等边对等角可得∠EAO=∠AEO， 接下来再根据正方形以及切线性质即可得到∠BEF=45°，至此，再根据三角形内角和是 180°即可得到∠BFE 的度数了； （2）根据题意画出图形，连结 OM，根据等边对等角的性质和正方形的性质可得∠OAM=∠AMO=45°，至 此，再根据切线的性质以及三角形内角和定理进行求解即可； 【详解】 (1)连接 OE,如解图, ∵四边形 ABCD 为正方形,∴∠2=45°, ∵OE=OA,∴∠1=∠2=45°, ∵EF 为⊙O 的切线,∴OE⊥EF, ∴∠OEF=90°,∴∠BEF=45°, ∵∠B=90°, ∴∠BFE=45°; (2)连接 OM,如解图, ∵OM=OA, ∴∠OMA=∠OAM=45°, ∵MN 为⊙O 的切线,∴OM⊥MN, ∴∠OMN=90°,∴∠BMN=45°, ∵∠MBN=90°,∴∠BNM=45°. 【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质.切线的性质：①过切点及圆 心的线段垂直于该切线；②圆心到切点的距离等于圆的半径. 21．在△ ABC 中， 90C ，以边 AB 上一点 O 为圆心，OA 为半径的圈与 BC 相切于点 D，分别交 AB， AC 于点 E，F （I）如图①，连接 AD，若 25C A D ，求∠B 的大小； （Ⅱ）如图②，若点 F 为 AD 的中点， O 的半径为 2，求 AB 的长． 【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6. 【解析】【分析】（1）连接 OD，由在△ ABC 中, ∠C=90°，BC 是切线,易得 AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO , 继而求得答案; （2）首先连接 OF,OD,由 AC∥OD 得∠OFA=∠FOD ,由点 F 为弧 AD 的中点,易得△ AOF 是等边三角形,继而 求得答案. 【详解】 解:(1)如解图①,连接 OD, ∵BC 切⊙O 于点 D, ∴∠ODB=90°, ∵∠C=90°, ∴AC∥OD, ∴∠CAD=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°, ∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°, ∵∠ODB=90°, ∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°; (2)如解图②,连接 OF,OD, ∵AC∥OD, ∴∠OFA=∠FOD, ∵点 F 为弧 AD 的中点, ∴∠AOF=∠FOD, ∴∠OFA=∠AOF, ∴AF=OA, ∵OA=OF, ∴△AOF 为等边三角形, ∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°, ∴∠B=30°, ∵在 Rt△ ODB 中,OD=2, ∴OB=4, ∴AB=AO＋OB=2＋4=6. 【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的 判定与性质，含 30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△ AOF 为等边三角 形是解（2）的关键. 22．如图，已知△ ABC 中，以 AB 为直径的半⊙O 交 AC 于 D，交 BC 于 E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE 的度数． 【答案】∠DOE =40°． 【解析】【分析】连接 AE，判断出 AB=AC，根据∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根据同弧所对的圆周角 等于圆心角的一半，求出∠DOE 的度数． 【详解】 连接 AE， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC， ∵BE=CE，∴AB=AC， ∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE， ∴∠BAC=40°， ∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．同圆或等圆中， 圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. 23．一个边长为 4 的等边三角形 ABC 的高与⊙O 的直径相等，如图放置，⊙O 与 BC 相切于点 C，⊙O 与 AC 相交于点 E， （1）求等边三角形的高； （2）求 CE 的长度； （3）若将等边三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为 α（0°＜α＜360°），求 α 为多少时，等边三角形的 边所在的直线与圆相切． 【答案】（1）2 3 ；（ 2）3；（ 3）α＝60°或 120°或 180°或 300°. 【解析】【分析】（1）作 AM⊥MC 于 M,在直角三角形 ACM 中,利用勾股定理即可解题, （2）连接 EF,在直角三角形 CEF 中, 利用勾股定理即可解题, （3）画出图形即可解题. 【详解】 解：（1）如图，作 AM⊥MC 于 M． ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠MAC＝∠MAB＝30°， ∴CM＝ 1 2 AC＝2， ∴AM＝ 22AC CM ＝ 2242 ＝2 3 （2）∵CF 是⊙O 直径， ∴CF＝CM＝2 ，连接 EF，则∠CEF＝90°， ∵∠ECF＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴EF＝ CF＝ ， ∴CE＝ 22CF EF ＝    22 2 3 3  ＝3． （3）由图象可知，α＝60°或 120°或 180°或 300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,属于简单题,作辅助线和利用勾股定理求边长是解题关键. 24．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝12，弦 CD⊥AB 于点 E，∠DAB＝30°． (1)求扇形 OAC 的面积； (2)求弦 CD 的长． 【答案】（1）12π；（ 2）63. 【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理求出∠CAB，根据三角形内角和定理 求出∠AOC，根据扇形面积公式计算；（2）根据正弦的定义求出 CE，根据垂径定理计算即可． 【详解】 （1）∵弦 CD⊥AB， ∴ ， ∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∴扇形 OAC 的面积＝ ＝12π； （2）由圆周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°， ∴CE＝OC×sin∠COE＝3 ， ∵弦 CD⊥AB， ∴CD＝2CE＝6 ． 【点评】本题考查了扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键． 25．如图，AB 为半圆 O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为 BC 的中点，作 DE⊥AC，交 AB 的延长线于点 F，连接 DA． （1）求证：EF 为半圆 O 的切线； （2）若 DA＝DF＝6 3 ，求阴影区域的面积．（结果保留根号和 π） 【答案】（1）证明见解析 （2） 2 7 3 2 ﹣6π 【解析】【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出 OD⊥EF，即可得出答案； （2）直接利用得出 S△ ACD＝S△ COD，再利用 S 阴影＝S△ AED﹣S 扇形 COD，求出答案． 【详解】 （1）证明：连接 OD， ∵D 为弧 BC 的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°， ∴OD⊥EF， ∴EF 为半圆 O 的切线； （2）解：连接 OC 与 CD， ∵DA＝DF， ∴∠BAD＝∠F， ∴∠BAD＝∠F＝∠CAD， 又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°， ∴∠F＝30°，∠BAC＝60°， ∵OC＝OA， ∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°， ∵OD⊥EF，∠F＝30°， ∴∠DOF＝60°， 在 Rt△ ODF 中，DF＝6 3 ， ∴OD＝DF•tan30°＝6， 在 Rt△ AED 中，DA＝6 ，∠CAD＝30°， ∴DE＝DA•sin30°＝3 ，EA＝DA•cos30°＝9， ∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°， 由 CO＝DO， ∴△COD 是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∴∠DCO＝∠AOC＝60°， ∴CD∥AB， 故 S△ ACD＝S△ COD， ∴S 阴影＝S△ AED﹣S 扇形 COD＝ 216093362360  ＝ 27 3 62  ． 【点评】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积 求法等知识，得出 S△ ACD＝S△ COD 是解题关键． 26．如图，已知半圆 O 的直径 DE12cm ，在 A B C 中， ACB 90  ， ABC 30  ， BC12cm ， 半圆 以 2 c m / s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D 、E 始终在直线 BC 上．设运动时间为  ts ， 当 t 0 s 时，半圆 在 的左侧，OC8cm ．  1 当 t 为何值时， 的一边所在直线与半圆 所在的圆相切？   2 当 的一边所在直线与半圆 所在的圆相切时，如果半圆 与直线 DE 围成的区域与 三边 围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】（1）1s 或 4s 或 7s 或 16s；（ 2） 29π cm（ ）或 29 3 6π cm （ ）． 【解析】【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点 E 与点 C 重合时，AC 与半圆相切，②当点 O 运 动到点 C 时，AB 与半圆相切，③当点 O 运动到 BC 的中点时，AC 再次与半圆相切，④当点 O 运动到 B 点 的右侧时，AB 的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间． （2）在 1 中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为 90°，半径为 6cm 的扇形， 故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S△ POB+S 扇形 DOP． 【详解】 解：（1）①如图，当点 E 与点 C 重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以 AC 与半圆 O 所在的圆相切，此时 点 O 运动了 2cm，所求运动时间为：t= 2 2 =1（s）； ②如图，当点 O 运动到点 C 时，过点 O 作 OF⊥AB，垂足为 F． 在 Rt△ FOB 中，∠FBO=30°，OB=12cm，则 OF=6cm，即 OF 等于半圆 O 的半径，所以 AB 与半圆 O 所在 的圆相切．此时点 O 运动了 8cm，所求运动时间为：t= 8 2 =4（s）； ③如图，当点 O 运动到 BC 的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以 AC 与半圆 O 所在的圆相切．此时点 O 运动了 14cm，所求运动时间为：t= 14 2 =7（s）； ④如图，当点O 运动到B 点的右侧，且OB=12cm 时，过点 O 作OQ⊥AB，垂足为Q．在 Rt△ QOB 中，∠OBQ=30°， 则 OQ=6cm，即 OQ 等于半圆 O 所在的圆的半径，所以直线 AB 与半圆 O 所在的圆相切．此时点 O 运动了 32cm，所求运动时间为：t= 32 2 =16（s）． 综上所述：t=1s 或 4s 或 7s 或 16s． （2）当△ ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切时，半圆 O 与直径 DE 围成的区域与△ ABC 三边 围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形． ①如图②，设 OA 与半圆 O 的交点为 M，易知重叠部分是圆心角为 90°，半径为 6cm 的扇形，所求重叠部 分面积为：S 扇形 EOM= 1 4 π×62=9π（cm2）； ②如图③，设 AB 与半圆 O 的交点为 P，连接 OP，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H． 则 PH=BH．在 Rt△ OBH 中，∠OBH=30°，OB=6cm，则 OH=3cm，BH=3 3 cm，BP=6 cm，S△ POB= 1 2 ×6 3 ×3=9 （cm2），又因为∠DOP=2∠DBP=60°，所以 S 扇形 DOP= 26 0 6 360   =6π（cm2），所求重叠部分面积 为：S△ POB+S 扇形 DOP=9 +6π（cm2）． 综上所述：重叠面积为 29 π cm（ ）或 29 3 6 π cm （ ）． 【点评】本题利用了直线与圆相切的概念，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概 念求解．