2014年山东省济南市中考数学试题（含解析）

2014年山东省济南市中考数学试题（含解析）

济南市2014年初三年级学业水平考试 数 学 试 题 解 析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为45分；第Ⅱ卷共6页，满分为75分．本试卷共8页，满分为120分．考试时间为120分钟．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共45分）‎ 注意事项：‎ ‎ 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．‎ 一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．4的算术平方根是 A．2 　　　 B．－2 　　　 　C．±2 　　　　D．16‎ A B O ‎2‎ ‎1‎ 第2题图 ‎【解析】4算术平方根为非负数，且平方后等于4，故选A．‎ 2． 如图，点Ｏ在直线AB上，若，则的度数是 A． 　　　 B． 　　　 　C． 　　　　D．‎ ‎【解析】因为，所以，故选C．‎ 3． 下列运算中，结果是的是 A． ‎ 　　　 B． 　　　 　C． 　　　　D．‎ ‎【解析】由同底的幂的运算性质，可知A正确．‎ ‎4．我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．嫦娥三号探测器的发射总质量约3700千克，3700用科学计数法表示为 A． 　　 B． 　　　C． 　　　D．‎ ‎【解析】3700用科学计数法表示为，可知B正确．‎ 5． 下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ‎ A． 　　 B． 　　　 C． 　　　 D．‎ ‎【解析】图A为轴对称图但不是中心对称图形；图B为中心对称图但不是轴对称图形；‎ ‎ 图C既不是轴对称图也不是中心对称图形；‎ ‎ 正面 第6题 ‎ 图D既是轴对称图形又是中心对称图形．‎ 6． 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，‎ ‎ 下列关于这个几何体的说法正确的是 A． 主视图的面积为5 　 B．左视图的面积为3‎ ‎ C．俯视图的面积为3 　D．三种视图的面积都是4 ‎ ‎【解析】主题图、俯视图均为4个正方形，其面积为4，左视图为3个正方形，其面积为3，故选B．‎ ‎7．化简 的结果是 ‎ A． 　　 B． 　　　 C． 　　　 D．‎ ‎【解析】，故选 A．‎ ‎8．下列命题中，真命题是 ‎ ‎　　A．两对角线相等的四边形是矩形 　 B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两对角线相等的四边形是等腰梯形 ‎ ‎【解析】两对角线相等的四边形不一定是矩形，也不一定是等腰梯形，所以A，D都不是真命题．又两对角线互相垂直如果不平分，此时的四边形不是菱形，故选B．‎ ‎9．若一次函数的函数值随的增大而增大，则 ‎ A． 　　 B． 　　　 C． 　　　 D．‎ ‎【解析】由函数值随的增大而增大，可知一次函数的斜率，所以，故选C．‎ A B C D E F 第10题图 10． 在□中，延长AB到E，使BE＝AB，连接DE交BC 于F，则下列结论不一定成立的是 ‎ A． 　　 B． ‎ ‎ C． 　　　 D．‎ ‎【解析】由题意可得，于是A，B都一定成立；‎ ‎ 又由BE＝AB，可知，所以C所给结论一定成立，于是不一定成立的应选D．‎ 11． 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为 ‎ A． 　　 B． 　　　 C． 　　　 D．‎ ‎【解析】用H，C，N分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团，‎ ‎ 　　　用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．‎ ‎　　　　于是可得到（H，H），（H，C），（H，N），‎ ‎　　　　　　　　　（C，H），（C，C），（C，N），[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎　　　　　　　　　（N，H），（N，C），（N，N），共9中不同的选择结果，‎ ‎ 而征征和舟舟选到同一社团的只有（H，H），（C，C），（N，N）三种，‎ Ａ Ｂ Ｏ Ｏ＇‎ x y ‎ 所以，所求概率为，故选C．‎ 12． 如图，直线与轴，轴分别交于两点，‎ 把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是 ‎ A． 　　 B． 　 ‎ C． 　　　 D．‎ ‎【解析】连接，由直线可知,故,点为点O关于直线的对称点,故，是等边三角形，点的横坐标是长度的一半，纵坐标则是的高3，故选A．‎ A B C D E ‎．O 第13题图 13． 如图，的半径为1，是的内接等边三角形，‎ 点D，E在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是 ‎ A．2 　　 B． C． 　　　 D．‎ ‎【解析】，知，所以矩形的面积是．‎ ‎14．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列，将其中的每个数换成该数在中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列：（2，2，1，2，2）．若可以为任意序列，则下面的序列可以作为的是 ‎ A．（1，2，1，2，2） 　　 B．（2，2，2，3，3） ‎ ‎ C．（1，1，2，2，3） 　　　 D．（1，2，1，1，2）‎ ‎1‎ Ｂ Ｏ x y ‎4‎ ‎【解析】由于序列含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A，B中所给序列不能作为； 又如果中有3，则中应有3个3，所以C中所给序列也不能作为，故选D．‎ 15． 二次函数的图象如图，对称轴为．‎ 若关于的一元二次方程（为实数）‎ 在的范围内有解，则的取值范围是 ‎ ‎ ‎ A． 　　 B． ‎ ‎ C． 　　　 D．‎ ‎【解析】由对称轴为，得，‎ 再由一元二次方程在的范围内有解，得，‎ 即，故选C．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共75分）‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）‎ ‎16．________．‎ ‎【解析】，应填10．‎ 17． 分解因式：________．‎ ‎【解析】，应填．‎ 18． 在一个不透明的口袋中，装有若干个出颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有３个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为____________.‎ ‎【解析】设口袋中球的总个数为，则摸到红球的概率为，所以，应填15．‎ 19． 若代数式和的值相等，则　　　．‎ ‎【解析】解方程，的，应填7．‎ ‎20．如图，将边长为12的正方形ABCD是沿其对角线AC剪开，再把沿着AD方向平移，得到，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离等于________.‎ D C A Ｏ x y B 第21题图 ‎【解析】设，则，解之4或8，应填4或8．‎ A D C B A D A’‎ B’‎ C C’‎ 第20题图 ‎21．如图，和都是等腰直角三角形，,反比例函数在第一象限的图象经过点B，若，则的值为________.‎ ‎【解析】设点B的坐标为，则,[来源:学.科.网]‎ ‎ 于是，所以应填6．‎ 三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 22． ‎（本小题满分7分）‎ ‎（1）化简：．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎【解析】由得；由得．‎ ‎ 所以原不等式组的解为．‎ ‎23．（本小题满分7分）‎ ‎（1）如图，在四边形是矩形，点E是AD的中点，求证：．‎ A B C D E 第23题（1）图 ‎【解析】在和中，‎ ‎,‎ ‎ 于是有 ，所以．‎ ‎（2）如图，AB与相切于C，，的半径为6，AB＝16，求OA的长.‎ ‎【解析】在中，A B C O 第23题（2）图 ，‎ ‎　　　　连接，则有，‎ ‎　　　　所以．‎ ‎24．（本小题满分8分）2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？‎ ‎【解析】设小李预定了小组赛球票张，淘汰赛球票张，由题意有 ‎ ‎ ，解之．‎ 所以，小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张．‎ ‎[来源:学科网]‎ 25． ‎（本小题满分8分）在济南市开展的“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如下图所示：‎ ‎0‎ 时间（时）‎ 人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎30‎ ‎18‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ 劳动时间（时）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率 ‎0.5‎ ‎12‎ ‎0.12‎ ‎1[来源:学&科&网]‎ ‎30‎ ‎0.3‎ ‎1.5‎ ‎0.4‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎1‎ ‎（1）统计表中的　　　，　　　，　　　；‎ ‎（2）被调查同学劳动时间的中位数是　　　　时；‎ ‎（3）请将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．‎ ‎【解析】（1）由于频率为0.12时，频数为12，所以频率为0.4时，频数为40，即；‎ ‎ 频数为18，频率应为0.18时，即；．‎ ‎ （2）被调查同学劳动时间的中位数为1.5时；‎ ‎ （3）略 ‎ （4）所有被调查同学的平均劳动时间为 ‎ 时．‎ ‎26．（本小题满分9分）如图1，反比例函数的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，），射线AC与轴交于点C，轴，垂足为D．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值及直线AC的解析式；‎ ‎（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于N，连接CM，求面积的最大值．[来源:学科网ZXXK]‎第26题图1‎ A B C D O x y ‎【解析】（1）由反比例函数的 图象经过点A（，1），得；‎ （2） 由反比例函数得 点B的坐标为（1，），于是有 ‎，，‎ AD=，则由可得CD=2，C点纵坐标是-1，直线AC的截距是-1，而且过点A（，1）则直线解析式为．‎ 第26题图2‎ A B C D O x y M N l ‎（3）设点M的坐标为，‎ 则点N的坐标为，于是面积为 ‎，‎ 所以，当时，面积取得最大值．‎ 27． ‎（本小题满分9分）如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点Ｄ且垂直于于点Ｅ，分别交于点Ｆ，Ｇ，．‎ ‎（1）　　　　，正方形的边长＝　　　　；‎ ‎（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．‎ ‎①写出与的函数关系并给出证明；‎ ‎②若，求菱形的边长．‎ A E’‎ D’‎ B’‎ C’‎ G’‎ A B C D E F G ‎【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，，知,‎ ‎ 又，所以正方形的边长为．‎ ‎ （2）①过点作垂直于于点M，在中, ,,故，所以互余，与之和为，故=－.‎ ‎②过E点作ON垂直于分别交于点O，N，‎ 若,，,故, , ，‎ 由勾股定理可知菱形边长为.‎ 28． ‎（本小题满分9分）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．‎ ‎（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；‎ ‎（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：‎ ‎ ①为何值时为等腰三角形；‎ ‎ ②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．‎ A Ｂ Ｃ Ｄ ｘ y O 第28题图1‎ P A B C M N x y O 第28题图2‎ ‎【解析】（1）设平移后抛物线的解析式，‎ 将点A（8，,0）代入，得.顶点B（4,3），‎ ‎=OC×CB＝12.‎ ‎（2）直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，‎ ‎①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，‎ 由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.‎ 当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知,‎ MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：‎ ‎＝12（舍去）.‎ 当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立.‎ 故.‎ ‎②方法一：作PN的中点C，连接CM，则CM＝PC＝PＮ，‎ 当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，‎ 此时＝3，证明如下：‎ 假设＝3时M记为，C记为 若M不在处，即M在左侧或右侧，‎ 若C在左侧或者C在处，则CM一定大于,而PC却小于，这与CM＝PC矛盾，‎ 故C在右侧，则PC大于,相应PN也会增大，‎ 故若M不在处时 PN大于处的PN的值，‎ 故当＝3时，MQ＝3, ,根据勾股定理可求出PM＝与MN＝,．‎ 故当＝3时，PN取最小值为．‎ 方法二：由所在直线方程为，与直线AB的解析式联立，‎ 得点N的横坐标为，即，‎ 由判别式，得或，又，‎ 所以的最小值为6，此时＝3，‎ 当＝3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．‎