2013年云南省曲靖市初中学业水平考试数学试卷（含答案）

2013年云南省曲靖市初中学业水平考试数学试卷（含答案）

云南省曲靖市2013年中考数学试卷 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）（2013•曲靖）某地某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这一天的温差是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣10℃‎ B．‎ ‎﹣6℃‎ C．‎ ‎6℃‎ D．‎ ‎10℃‎ 考点：‎ 有理数的减法．‎ 分析：‎ 用最高温度减去最低温度，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：8﹣（﹣2）=8+2=10℃．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的减法运算法则，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•曲靖）下列等式成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2•a5=a10‎ B．‎ C．‎ ‎（﹣a3）6=a18‎ D．‎ 考点：‎ 二次根式的性质与化简；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ 分析：‎ 利用同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方、算术平方根定义即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：A、a2•a5=a7，故选项错误；‎ B、当a=b=1时，≠+，故选项错误；‎ C、正确；‎ D、当a＜0时，=﹣a，故选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方、算术平方根定义，理解算术平方根的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•曲靖）如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体；几何体的展开图 分析：‎ 由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，指出圆柱的侧面展开图即可．‎ 解答：‎ 解：根据几何体的三视图可以得到该几何体是圆柱，圆柱的侧面展开图是矩形，且高度=主视图的高，宽度=俯视图的周长．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了由三视图判断几何体及几何体的侧面展开图的知识，重点考查由三视图还原实物图的能力，及几何体的空间感知能力，是立体几何题中的基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•曲靖）某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量与人口数n的函数关系图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数的应用；反比例函数的图象．‎ 分析：‎ 根据题意有：=；故y与x之间的函数图象双曲线，且根据，n的实际意义，n应大于0；其图象在第一象限．‎ 解答：‎ 解：∵由题意，得Q=n，‎ ‎∴=，‎ ‎∵Q为一定值，‎ ‎∴是n的反比例函数，其图象为双曲线，‎ 又∵＞0，n＞0，‎ ‎∴图象在第一象限．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了反比例函数在实际生活中的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•曲靖）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，4）‎ B．‎ ‎（1，5）‎ C．‎ ‎（1，﹣3）‎ D．‎ ‎（﹣5，5）‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-平移．‎ 分析：‎ 根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P′的坐标即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵点P（﹣2，0）向右平移3个单位长度，‎ ‎∴点P′的横坐标为﹣2+3=1，‎ ‎∵向上平移4个单位长度，‎ ‎∴点P′的纵坐标为1+4=5，‎ ‎∴点P′的坐标为（1，5）．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•曲靖）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ a﹣b＞0‎ C．‎ ab＞0‎ D．‎ a÷b＞0‎ 考点：‎ 实数与数轴．3718684‎ 分析：‎ 根据数轴判断出a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，减法运算对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：由图可知，﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，‎ A、＜0，正确，故本选项正确；‎ B、a﹣b＜0，故本选项错误；‎ C、ab＜0，故本选项错误；‎ D、a÷b＜0，故本选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的减法运算，判断出a、b的取值范围是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•曲靖）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 梯形 B．‎ 矩形 C．‎ 菱形 D．‎ 正方形 考点：‎ 菱形的判定；平行四边形的性质．‎ 分析：‎ 首先利用平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，进而得出△AFO≌△CEO，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可．‎ 解答：‎ 解：四边形AECF是菱形，‎ 理由：∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，‎ ‎∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，‎ ‎∴在△AFO和△CEO中 ‎，‎ ‎∴△AFO≌△CEO（AAS），‎ ‎∴FO=EO，‎ ‎∴四边形AECF平行四边形，‎ ‎∵EF⊥AC，‎ ‎∴平行四边形AECF是菱形．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，根据已知得出EO=FO是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•曲靖）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 射线OE是∠AOB的平分线 B．‎ ‎△COD是等腰三角形 ‎　‎ C．‎ C、D两点关于OE所在直线对称 D．‎ O、E两点关于CD所在直线对称 考点：‎ 作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．‎ 分析：‎ 连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；‎ 根据作图得到OC=OD，判断B正确；‎ 根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE是CD的垂直平分线，判断C正确；‎ 根据作图不能得出CD平分OE，判断D错误．‎ 解答：‎ 解：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．‎ ‎∵在△EOC与△EOD中，‎ ‎，‎ ‎∴△EOC≌△EOD（SSS），‎ ‎∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；‎ B、根据作图得到OC=OD，‎ ‎∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；‎ C、根据作图得到OC=OD，‎ 又∵射线OE平分∠AOB，‎ ‎∴OE是CD的垂直平分线，‎ ‎∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；‎ D、根据作图不能得出CD平分OE，‎ ‎∴CD不是OE的平分线，‎ ‎∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形、轴对称的性质，从作图语句中提取正确信息是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）。‎ ‎9．（3分）（2013•曲靖）﹣2的倒数是　　．‎ 考点：‎ 倒数．‎ 分析：‎ 根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．‎ 解答：‎ 解：﹣2的倒数是﹣．‎ 点评：‎ 主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．‎ 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•曲靖）若a=1.9×105，b=9.1×104，则a　＞　b（填“＜”或“＞”）．‎ 考点：‎ 有理数大小比较；科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 还原成原数，再比较即可．‎ 解答：‎ 解：a=1.9×105=190000，b=9.1×104=91000，‎ ‎∵190000＞91000，‎ ‎∴a＞b，‎ 故答案为：＞．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的大小比较和科学记数法的应用，注意：科学记数法化成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=　40°　．‎ 考点：‎ 对顶角、邻补角；角平分线的定义．‎ 分析：‎ 根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义解答．‎ 解答：‎ 解：∵∠BOD=40°，‎ ‎∴∠AOC=∠BOD=40°，‎ ‎∵OA平分∠COE，‎ ‎∴∠AOE=∠AOC=40°．‎ 故答案为：40°．‎ 点评：‎ 本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•曲靖）不等式和x+3（x﹣1）＜1的解集的公共部分是　x＜1　．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．‎ 分析：‎ 先解两个不等式，再用口诀法求解集．‎ 解答：‎ 解：解不等式，得x＜4，‎ 解不等式x+3（x﹣1）＜1，得x＜1，‎ 所以它们解集的公共部分是x＜1．‎ 故答案为x＜1．‎ 点评：‎ 本题考查一元一次不等式组的解法，求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是　﹣2　（只需填一个）．‎ 考点：‎ 二次根式的定义．‎ 分析：‎ 先求出x的取值范围，再根据算术平方根的定义解答．‎ 解答：‎ 解：∵|x|≤3，‎ ‎∴﹣3≤x≤3，‎ ‎∴当x=﹣2时，==3，‎ x=3时，==2．‎ 故，使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）．‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的定义，熟记常见的平方数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•曲靖）一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出2013支“穿心箭”是　　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 根据图象规律得出每6个数为一周期，用2013除以6，根据余数来决定2013支“穿心箭”的形状．‎ 解答：‎ 解：根据图象可得出“穿心箭”每6个一循环，‎ ‎2013÷6=335…3，‎ 故2013支“穿心箭”与第3个图象相同是．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图象的变化规律，根据已知得出图形变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•曲靖）如图，将△ABC绕其中一个顶点顺时针连续旋转n′1、n′2、n′3所得到的三角形和△ABC的对称关系是　关于旋转点成中心对称　．‎ 考点：‎ 旋转的性质．‎ 分析：‎ 先根据三角形内角和为180°得出n′1+n′2+n′3=180°，再由旋转的定义可知，将△ABC绕其中一个顶点顺时针旋转180°所得到的三角形和△ABC关于这个点成中心对称．‎ 解答：‎ 解：∵n′1+n′2+n′3=180°，‎ ‎∴将△ABC绕其中一个顶点顺时针连续旋转n′1、n′2、n′3，就是将△ABC绕其中一个顶点顺时针旋转180°，‎ ‎∴所得到的三角形和△ABC关于这个点成中心对称．‎ 故答案为：关于旋转点成中心对称．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形内角和定理，旋转的定义与性质，比较简单．正确理解顺时针连续旋转n′1、n′2、n′3，就是顺时针旋转180°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD=　3　．‎ 考点：‎ 直角梯形．‎ 分析：‎ 过点D作DE⊥BC于E，则易证四边形ABED是矩形，所以AD=BE=1，进而求出CE的值，再解直角三角形DEC即可求出CD的长．‎ 解答：‎ 解：过点D作DE⊥BC于E．‎ ‎∵AD∥BC，∠B=90°，‎ ‎∴四边形ABED是矩形，‎ ‎∴AD=BE=1，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=3，‎ ‎∵∠C=45°，‎ ‎∴cosC==，‎ ‎∴CD=3．‎ 故答案为3．‎ 点评：‎ 此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质以及特殊角的锐角三角函数值，此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8个小题，共72分）‎ ‎17．（6分）（2013•曲靖）计算：2﹣1+|﹣|++（）0．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 分析：‎ 分别进行零指数幂、负整数指数幂的运算，然后合并即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：原式=++2+1=4．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的运算，解答本题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2013•曲靖）化简：，并解答：‎ ‎（1）当x=1+时，求原代数式的值．‎ ‎（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？‎ 考点：‎ 分式的化简求值；解分式方程．‎ 分析：‎ ‎（1）原式括号中两项约分后，利用乘法分配律化简，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值；‎ ‎（2）先令原式的值为﹣1，求出x的值，代入原式检验即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=[﹣]•‎ ‎=﹣‎ ‎=，‎ 当x=1+时，原式==1+；‎ ‎（2）若原式的值为﹣1，即=﹣1，‎ 去分母得：x+1=﹣x+1，‎ 解得：x=0，‎ 代入原式检验，分母为0，不合题意，‎ 则原式的值不可能为﹣1．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•曲靖）某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用．‎ 分析：‎ 设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，就有x+y=16和1000x=600y，由这两个方程构成方程组，求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，由题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ 答：设安排6人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立建立反映全题等量关系的两个方程是关键．本题时一道配套问题．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•曲靖）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人7天产品中每天出现的次品数情况绘制成如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：‎ 相关统计量表：‎ ‎ 量 ‎ 数 人 ‎ 众数 中位数 ‎ 平均数 ‎ 方差 ‎ 甲 ‎　2　‎ ‎　2　‎ ‎ 2‎ 乙 ‎ 1‎ ‎ 1‎ ‎ 1‎ 次品数量统计表：‎ ‎ 天 ‎ 数 人 ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 甲 ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ 0‎ ‎ 3‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 乙 ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ 2‎ ‎ 1‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎　2　‎ ‎（1）补全图、表．‎ ‎（2）判断谁出现次品的波动小．‎ ‎（3）估计乙加工该种零件30天出现次品多少件？‎ 考点：‎ 折线统计图；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数；方差 分析：‎ ‎（1）根据平均数、众数、中位数的定义分别进行计算，即可补全统计图和图表；‎ ‎（2）根据方差的意义进行判断，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，即可得出答案；‎ ‎（3）根据图表中乙的平均数是1，即可求出乙加工该种零件30天出现次品件数．‎ 解答：‎ 解：（1）：从图表（2）可以看出，甲的第一天是2，‎ 则2出现了3次，出现的次数最多，众数是2，‎ 把这组数据从小到大排列为0，1，2，2，2，3，4，最中间的数是2，‎ 则中位数是2；‎ 乙的平均数是1，则乙的第7天的数量是1×7﹣1﹣0﹣2﹣1﹣1﹣0=2；‎ 填表和补图如下：‎ ‎ 量 ‎ 数 ‎ 众数 中位数 ‎ 平均数 ‎ 方差 ‎ 人 甲 ‎2‎ ‎2 ‎ ‎ 2‎ 乙 ‎ 1‎ ‎ 1‎ ‎ 1‎ 次品数量统计表：‎ ‎ 天 ‎ 数 人 ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 甲 ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ 0‎ ‎ 3‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 乙 ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎ 2‎ ‎ 1‎ ‎ 1‎ ‎ 0‎ ‎2 ‎ ‎（2）∵S甲2=，S乙2=，‎ ‎∴S甲2＞S乙2，‎ ‎∴乙出现次品的波动小．‎ ‎（3）∵乙的平均数是1，‎ ‎∴30天出现次品是1×30=30（件）．‎ 点评：‎ 此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、众数、中位数、方差的意义、用样本估计总体；读懂折线统计图和图表，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•曲靖）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．‎ ‎（1）求暗箱中红球的个数．‎ ‎（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；概率公式．‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解；‎ ‎（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）设红球有x个，‎ 根据题意得，=，‎ 解得x=1；‎ ‎（2）根据题意画出树状图如下：‎ 一共有9种情况，两次摸到的球颜色不同的有6种情况，‎ 所以，P（两次摸到的球颜色不同）==．‎ 点评：‎ 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．‎ ‎（1）求证：△DCF≌△ADG．‎ ‎（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．‎ 分析：‎ ‎（1）根据正方形的性质求出AD=DC，∠ADC=90°，根据垂直的定义求出∠CFD=∠CFG=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，从而得到∠AGD=∠CFD，再根据同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角边”证明△DCF和△ADG全等即可；‎ ‎（2）设正方形ABCD的边长为2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠ADG的正弦，即为α的正弦．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，‎ ‎∵CF⊥DE，‎ ‎∴∠CFD=∠CFG=90°，‎ ‎∵AG∥CF，‎ ‎∴∠AGD=∠CFG=90°，‎ ‎∴∠AGD=∠CFD，‎ 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，‎ ‎∠DCF+∠CDE=90°，‎ ‎∴∠ADG=∠DCF，‎ ‎∵在△DCF和△ADG中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCF≌△ADG（AAS）；‎ ‎（2）设正方形ABCD的边长为2a，‎ ‎∵点E是AB的中点，‎ ‎∴AE=×2a=a，‎ 在Rt△ADE中，DE===a，‎ ‎∴sin∠ADG===，‎ ‎∵∠ADG=∠DCF=α，‎ ‎∴sinα=．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，同角的余角相等的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握各图形的性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．‎ ‎（1）求证：DF⊥AF．‎ ‎（2）求OG的长．‎ 考点：‎ 切线的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）连接BD，根据，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°；‎ ‎（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．‎ 解答：‎ 解：（1）连接BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，‎ ‎∴∠ADF=∠ABD=60°，‎ ‎∴∠CAD+∠ADF=90°，‎ ‎∴DF⊥AF．‎ ‎（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，‎ ‎∴BD=5，‎ ‎∵=，‎ ‎∴OG垂直平分AD，‎ ‎∴OG是△ABD的中位线，‎ ‎∴OG=BD=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．‎ ‎（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算；‎ ‎（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．‎ 解答：‎ 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，0），B（0，4）．‎ ‎∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，‎ ‎∴，‎ 解得：b=﹣3，c=4，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．‎ ‎（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．‎ ‎∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，‎ ‎∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，‎ ‎∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，‎ ‎∴点E坐标为（m，8+m）．‎ ‎∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，‎ ‎∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．‎ ‎∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，‎ S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．‎ ‎（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．‎ ‎∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似 ‎∴△DBE必为等腰直角三角形．‎ i）若∠BED=90°，则BE=DE，‎ ‎∵BE=OC=﹣m，‎ ‎∴DE=BE=﹣m，‎ ‎∴CE=4+m﹣m=4，‎ ‎∴E（m，4）．‎ ‎∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，‎ ‎∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，‎ ‎∴D（﹣3，1）；‎ ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，‎ 在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，‎ ‎∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，‎ ‎∴E（m，4﹣m）．‎ ‎∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，‎ ‎∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，‎ ‎∴D（﹣2，2）．‎ 综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．‎ ‎　‎