人教版九年级数学上册第二十二章二次函数实际问题拱实际问题与二次函数课件

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数实际问题拱实际问题与二次函数课件

第二十二章 二次函数 人教版 九年级数学上册 商品利润最大问题 导入新课 情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关 的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大 化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 利润问题中的数量关系一 讲授新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售 额是 元，销售利润 元. 探究交流 18000 6000 数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ u涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 如何定价利润最大二 6000 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑 销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的 取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.100 52 ( 10)x    即定价65元时，最大利润是6250元. u降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000. 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 6000 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件 利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范 围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 当 时,60 5 2 ( 18) 3x     即定价57.5元时，最大利润是6050元. 即：y=-18x2+60x+6000， 25 518 ( ) 60 6000 6050.3 3y       由(1)(2)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗? 例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果 以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售 经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价 每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为 多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取 的商品总利润为y元，填空： 单件利润 （元） 销售量 （件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式： y=(10+x)(180-10x), 即：y=-10x2+80x+1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售 量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函 数的简图，利用简图和性质求出. 例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件， 经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调 整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总 利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元. （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如 图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月 获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60 70k+b=20 ∴ ∴y =－2x +160（50≤x≤70） 解得： k =－2 b = 160 ∴y =－2x +160（50≤x≤70） ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件) ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？ 变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例 题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数 关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店 每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：Q与x的函数关系式为： 60x－1800 （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）Q = 由例3可知： 若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试 确定该商品的售价x的取值范围； 解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在. 60x－1800 （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）Q = ②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218， 令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 由Q = －2(x－55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218 ∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤x≤59. x Q 0 55 1218 5951 1250 （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品 的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最 大，最大利润是多少元？ 解：由题意得： 51≤x≤59 30 (－2 x +160)≥1620 解得：51≤x≤53 ∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内， 又∵a =－2＜0， ∴当51≤x≤53时 ， Q随x的增大而增大 ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242 ∴此时售价x应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元. x Q 0 55 1242 5351 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出 （300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 元.25 当堂练习 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件， 价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣 的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之 间的函数关系式为 .(以上关系 式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1 档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获 利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增 加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一 角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352. 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大， 最大利润为1352. x y 5 16 O 7 4. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元） 之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润 最大？最大利润是多少元？ 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最 大，为25元； （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于16元？ (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.