2019九年级数学上册 专题突破讲练 三招判定切线试题 （新版）青岛版

2019九年级数学上册 专题突破讲练 三招判定切线试题 （新版）青岛版

三招判定切线 直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力！‎ 第一招：确定直线和圆交点的个数。‎ 如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。‎ 第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。‎ 如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。‎ 说明：‎ 第三招：利用切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：‎ 点A是直线AB与圆O的公共点，如果OA⊥AB，那么直线AB是圆O的一条切线。‎ 说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。‎ 例题1 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为‎1cm的圆P的圆心在射线OA上，开始时，PO=‎6cm，如果圆P以‎1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当圆P的运动时间t（秒）满足什么条件时，圆P与直线CD相切？‎ 解析：要想保证圆P与直线CD相切，就要使点P到直线CD的距离等于‎1cm。符合条件的圆有两个，圆心分别在点O的两侧。‎ 答案：如下图 8‎ ‎（1）当圆P运动到点P1时，可得，又因为∠AOC=30°，所以 =‎2cm，所以圆P运动到圆所用的时间（秒）；‎ ‎（2）当圆P继续向B运动，当点P到达点P2时，F P2=‎1cm同理可得：（秒）。‎ 点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。‎ 例题2 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点D、E，且。判断直线与圆O的位置关系，并证明你的结论。‎ 解析：本题是常见的切线问题，根据图形中各个角的关系得出∠ODB=90°即可。‎ 答案：直线与⊙O相切。证明如下：‎ 如图，连结OD。∵∠C=90°，‎ ‎∴∠CDB+∠CBD=90°。又∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°。∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°。∴直线BD与⊙O相切。‎ 点拨：若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直。‎ 直线和圆相切中的辅助线 切线的判定定理是比较常用的一个定理，用该定理证明问题时，往往用到辅助线。这部分的辅助线主要包括：“作半径”、“作垂线段”。‎ 满分训练 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，CD为半径画圆，判断⊙D与AB的位置关系并说明理由。‎ 8‎ 解析：根据角平分线的性质，可得点D到AC和AB的距离相等，即圆心D到AB的距离等于圆的半径。‎ 答案：作DF⊥AB，垂足为点F，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DC，即圆心D到AB的距离等于圆的半径，所以⊙D与AB相切。‎ 点拨：“证半径”就是计算圆心到直线距离的过程，“作垂线，证半径”是解这一类题的另一种常用思路。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ ‎1. 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当时，直线l与⊙O的关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对 ‎2. 若∠OAB=30°，OA=‎10cm，则以O为圆心，‎6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 ‎3. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径的圆必与（ ）‎ A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相离 ‎4. 矩形的两条邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）‎ A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 ‎5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=‎4 cm，以点C为圆心，以‎2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 ‎6. 以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角平分线为半径的圆，必与底边（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 ‎*7. 圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，r、d是方程的两根，则直线l与圆O的位置关系是 。‎ ‎8. 如图，已知45°，M为OB边上一点，以M为圆心、‎2cm为半径作，若点M在OB上运动，当OM= cm时，圆M与OA相切。‎ 8‎ ‎*9. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F。求证：直线EF是⊙O的切线。‎ ‎*10. 在同一平面直角坐标系中有5个点：（1，1），（，），（，1），（，），（0，）。‎ ‎（1）画出△的外接圆⊙，并指出点与⊙的位置关系；‎ ‎（2）若直线经过点（，），（0，），判断直线与⊙的位置关系。‎ ‎**11. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC。‎ 8‎ ‎（1）求证：MN是半圆的切线；‎ ‎（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F。‎ 求证：FD＝FG ‎**12. 如图，AB是圆O的直径，BCAB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC，弦DFAB于点G。‎ ‎（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线。‎ ‎**13. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC。‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r。‎ 8‎ ‎ ‎ ‎1. B 解析：根据直线和圆的位置关系的性质可得，当时，直线l与⊙O的关系为相切。‎ ‎2. A 解析：点O到射线AB的距离为10×=‎5cm，即d＜r，所以圆与射线AB的位置关系是相交。‎ ‎3. C 解析：点到x轴的距离为1，正好等于圆的半径，即该圆必与x轴相切。‎ ‎4. D 解析：该圆的半径为2.5，圆心到矩形的另外三边的距离都为2.5，所以三边都和圆相切。‎ ‎5. B 解析：点C到线段AB的距离为‎2cm，即圆C的半径，所以⊙C与AB的位置关系是相切。‎ ‎6. C 解析：等腰三角形顶角的顶点到底边的距离为顶角平分线的长度，正好等于圆的半径，即底边与该圆相切。‎ ‎*7. 相离或相交 解析：解方程的两根为4和5；当r=4，d=5时，直线l与⊙O的位置关系是相离，当d=4，r=5时，直线l与⊙O的位置关系是相交。‎ ‎8. 2 解析：⊙M与OA相切时，设切点为D，则OD=MD=‎2cm，又因为45°，所以OM===2。‎ ‎*9. 证明：连接OE，‎ ‎∵OB=OE，∴∠B=∠OEB。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴∠OEB=∠C。‎ ‎∴OE∥AC。∵EF⊥AC，∴OE⊥EF。∴直线EF是⊙O的切线。‎ ‎*10. 解析：（1）所画⊙如图所示。由图可知，⊙的半径为。连结，‎ ‎∵，∴点在⊙上。‎ ‎（2）直线与⊙相切。理由如下：连结。‎ 8‎ ‎∵直线过点（，），（0，），∴，，。‎ ‎∴。∴△是直角三角形，且。∴。‎ ‎∴直线与⊙相切。‎ ‎**11. 证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90º，∴∠CAB+∠ABC＝90º。‎ ‎∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90º，即MA⊥AB。∴MN是半圆的切线。‎ ‎（2）∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD。∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90º，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90º。∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG。‎ ‎**12. 证明：（1）∵，∴。∴，∴。‎ ‎（2）连接。‎ 由（1）知，在和中，，。‎ ‎∴。∴。‎ 又∵，∴，即是的切线。‎ ‎**13. 解析：（1）连接OA，OD，‎ 则OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，‎ 8‎ ‎∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC =90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90°，∴OA⊥AC。‎ ‎∴AC是⊙O的切线。‎ ‎（2）∵⊙O半径是r。‎ 当F在半径OE上时，OD=r，OF=8－r，‎ 在Rt△DOF中，r2+（8－r）2=（）2。∴（舍）‎ 当F在半径OB上时，OD=r，OF=r－8，‎ 在Rt△DOF中，，∴，（舍）‎ 即⊙O的半径r为。‎ 8‎