人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）5相似的判定

人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）5相似的判定

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 相似 了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比例，会利用线段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割；知道相似多边形及其性质； 认识现实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系 会用比例的基本性质解决有关 问题；会用相似多边形的性质解 决简单的问题；能利用位似变换 将一个图形放大或缩小 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和计算；会利 用三角形的相似解决实际问题 相似多边形 知道相似多边形及其性质；认识 现实生活中物体的相似 会用相似多边形的性质解决简 单问题 模块一 相似三角形的判定 ☞角对应相等、边对应成比例，三角形相似 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，在 ABC△ 与 A B C  △ 中， ', ', 'A A B B C C         ， ' ' ' ' ' ' AB BC AC A B B C A C   ，则 ABC△ 与 A B C  △ 相似，记作 ABC A B C  △ ∽△ ，符号∽ 读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是 1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相 似形”不一定是“全等形”． 【例 1】 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形．求证： MEF MBA△ ∽△ ． 相似三角形的判定 2 ☞平行定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 常见题模型如下： 方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一 般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等． 【例 2】 如图， DE BC∥ ，且 DB AE ，若 5 10AB AC ， ，求 AE 的长． 【巩固】在 ABC△ 中， BD CE ， DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ， 求证： AD BP AE CP   ． P E D C B A M P E D C B A 【拓展】如图所示，在 Rt ABC△ 中， 0 90B  ， 4 , 8BC cm AB cm  ， D E F、 、 分别为 AB AC BC、 、 边 的中点，点 P 为 AB 边上一点，过点 P 作 PQ BC∥ 交 AC 于点Q ，以 PQ 为一边作正方形 PQMN ， 若 3AP cm ，求正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积． 3 ☞三条边对应成比例，两三角形相似 如图，在 ABC△ 与 A B C  △ 中，若 AB BC AC A B B C A C        ，则有 ' ' 'ABC A B C△ ∽△ ． 方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者 根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似 导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某 种情况． 【例 3】 如图所示，如果 , ,D E F 分别在 , ,OA OB OC 上，且 ,DF AC EF BC∥ ∥ ． 求证： ABC DEF△ ∽△ ． 【巩固】如图，已知 O 是 ABC△ 内一点，D E F、 、 分另是 OA OB OC、 、 的中点．求证： ABC DEF△ ∽△ ． 4 ☞两角对应相等，两三角形相似 如图，在 ABC△ 与 A B C  △ 中，若 ', 'A A B B      ，则有 ' ' 'ABC A B C△ ∽△ ． 常见题型中的几何模型有以下几种： 方法点播：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“ A ”字形图形时，就马上想到有一个公 共角，遇到第二图的“8”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到 有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角． 【例 4】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC∥ ，过 C 作 CE AB∥ ，P 为梯形 ABCD 内一点，连接 BP 并 延长交 CD 于 F ，交 CE 于 E ，再连接 PC ．若 BP PC ． 求证： PFC PCE△ ∽△ ． 5 【巩固】如图，在矩形 ABCD 中， 1AB  ， 2BC  将其折叠使 AB 落在对角线 AC 上，得到折痕 AE ，那 么 BE 的长度为（ ） 【例 5】 如图所示， AB CD∥ , ,AD BC 交于点 ,E F 为 BC 上一点，且 EAF C   ． 求证：（1） EAF B   ；（2） 2AF FE FB  ． 【巩固】如图， ABC△ 中， 60ABC   ，点 P 是 ABC△ 内一点，使得 APB BPC CPA     ， 8 6PA PC ， ，则 PB  ． ☞两边对应成比例且夹角相等，三角形相似 6 如图，在 ABC△ 与 A B C  △ 中，若 AB BC A B B C     且 'B B   ，则有 ' ' 'ABC A B C△ ∽△ ． 方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等 的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题． 【例 6】 已知，如图， D 为 ABC△ 内一点连结 ,ED AD ，以 BC 为边在 ABC△ 外作 ,CBE ABD BCE BAD      ．求证： DBE ABC△ ∽△ ． 【巩固】在 ABC△ 和 DEF△ 中， 2 2AB DE AC DF A D    ， ， ，如果 ABC△ 的周长是16 ，面积是12 ， 那么 DEF△ 的周长、面积依次为（ ）． 【拓展】如图，在 ABC△ 中 , AD BC ，垂足为 D ，且 CE BE ，垂足为 E ，交 BA 的延长线于点 E ．求 证： BDE BAC△ ∽△ ． 7 课堂检测 1．如图，CD 是 Rt ABC△ 斜边上的中线，过点 D 作垂线直于 AB 的直线交 BC 于点 F ，交 AC 的延长线于 点 E ，求证： DCF DEC△ ∽△ ． 2．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求 EBF EBG   ． 3．如图，已知 ABC 中， : 1:3AE EB  ， : 2:1BC CD  ，AD 与CE 相交于 F ，则 AF EF FC FD  的值为（ ） 8 A ． 5 2 B ．1 C ． 3 2 D ．2 4．在 Rt ABC△ 中 590 , 2 5,sin 5C AB B     ，点 P 为边 BC 上一动点，PD∥AB，PD 交 AC 于点 D，连接 AP ． （1）求 AC BC、 的长； （2）设 PC 的长为 x ， ADP△ 的面积为 y ．当 x 为何值时， y 最大，并求出最大值． 总结复习 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． 9 课后作业 1．已知 ABC△ 的三条边长分别为 2 、5 、6 ， DEF△ 的三条边长分别为 20 、8、24 ，这两个三角形是否 相似？为什么？ 2. 如图，在直角梯形 ABCD 中， 7, 2, 3AD AB DC   ，P 为 AD 上一点，以 A BP、 、 为顶点的三角形与 以 P D C、 、 为顶点的三角形相似，那么这样的点 P 有几个？为什么？ 3．如图所示，在 Rt ABC△ 中， 90A   ， 6AB  ， 8AC  ， D 、 E 分别是边 AB AC、 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q ,过点 Q 作QR BA∥ 交 AC 于 R ，当点 Q 与点 C 重合时， 点 P 停止运动，设 ,BQ x QR y  ． （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 4．如图所示，已知四边形 BDEF 是菱形， 1 2DC BD ，且 4DC  ，求 AF 的长． 10 5. 如图，矩形 AOCB 的两边OC 、OA 分别位于 x 轴、 y 轴上，点 B 的坐标为 20B ,53     ， D 是 AB 边上 的点，将 ADO△ 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB 上的点 E 处，若点 E 在一反比例函数的 图象上，那么该函数的解析式是（ ）