福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练25解直角三角形及其应用

福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练25解直角三角形及其应用

课时训练(二十五)　解直角三角形及其应用 ‎(限时:35分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·长春]如图K25-1,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为 (　　)‎ 图K25-1‎ A.3sinα米 B.3cosα米 C.‎3‎sinα米 D.‎3‎cosα米 ‎2.[2019·河北]如图K25-2,从C点观测点D的仰角是 (　　)‎ 图K25-2‎ A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC ‎3.[2019·温州]某简易房示意图如图K25-3所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为 (　　)‎ 图K25-3‎ A.‎9‎‎5sinα m B.‎9‎‎5cosα m C.‎5‎‎9sinα m D.‎5‎‎9cosα m ‎4.[2019·重庆A卷]为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图K25-4,在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离为6米的点E处,测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 (　　)‎ 8‎ ‎(参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)‎ 图K25-4‎ A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米 ‎5.[2019·徐州]如图K25-5,无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°,测得该建筑底部C处的俯角为17°,若无人机的飞行高度AD为62 m,则该建筑的高度BC为　　　　m. ‎ ‎(参考数据:sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)‎ 图K25-5‎ ‎6.[2019·黄石]如图K25-6,一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向,该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处,再观测灯塔P位于南偏西60°方向,若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离PT为　　　　海里(结果保留根号). ‎ 图K25-6‎ ‎7.[2019·宜宾]如图K25-7,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)‎ 图K25-7‎ ‎8.[2019·广安]如图K25-8,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测 8‎ 角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线FH上,再向前走10米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°,A,B,C三点在同一水平线上.‎ ‎(1)求古树BH的高;‎ ‎(2)求教学楼CG的高.(参考数据:‎2‎≈1.4,‎3‎≈1.7)‎ 图K25-8‎ ‎|能力提升|‎ ‎9.[2019·益阳]南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图K25-9,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为 (　　)‎ 图K25-9‎ A.asinα+asinβ B.acosα+acosβ C.atanα+atanβ D.‎atanα‎+‎atanβ 8‎ ‎10.[2019·河南]数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图K25-10所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,‎3‎≈1.73)‎ 图K25-10‎ ‎|思维拓展|‎ ‎11.[2019·温州]图K25-11①是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为　　　　分米;当OB从水平状态旋转到OB'(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'-BE为　　　　分米. ‎ 图K25-11‎ 8‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.A　2.B ‎3.B　[解析]如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,‎ 则BD=1.5+0.3=1.8(m).在Rt△ABD中,∠ADB=90°,cosB=BDAB,所以AB=BDcosα=‎1.8‎cosα=‎9‎‎5cosα(m).故选B.‎ ‎4.C　[解析]如图,延长DC交EA于点F,‎ 则CF⊥EA.‎ ‎∵山坡AC坡度i=1∶2.4,AC=26米,‎ ‎∴令CF=k,则AF=2.4k,‎ 由勾股定理,得k2+(2.4k)2=262,‎ 解得k=10或k=-10(舍),‎ 从而AF=24米,CF=10米,EF=30米.‎ 在Rt△DEF中,tanE=DFEF,‎ 故DF=EF·tanE=30×tan48°≈30×1.11=33.3(米),∴CD=DF-CF=23.3(米),‎ 故选C.‎ ‎5.262　[解析]过A作AE⊥BC于E,则四边形ADCE为矩形,‎ 在Rt△ACD中,‎ ‎∵AD=62,∠ACD=∠EAC=17°,‎ ‎∴AE=CD=ADtan17°‎≈‎62‎‎0.31‎=200.‎ ‎∵AE⊥BE,∠BAE=45°,‎ ‎∴∠ABE=∠BAE,∴BE=AE=200,‎ ‎∴BC=CE+BE=AD+BE=62+200=262(m).‎ 8‎ ‎6.15‎3‎　[解析]根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离为PT”得PT⊥MN,利用锐角三角函数关系进行求解,由题意得,MN=15×2=30(海里).‎ ‎∵∠PMN=30°,∠PNT=60°,‎ ‎∴∠MPN=∠PMN=30°,∴PN=MN=30海里,‎ ‎∴PT=PN·sin∠PNT=15‎3‎(海里).‎ ‎7.解:设AM=x米,‎ 在Rt△AFM中,∠AFM=45°,‎ ‎∴FM=AM=x.‎ 在Rt△AEM中,tan∠AEM=AMEM,‎ 则EM=AMtan∠AEM=‎3‎‎3‎x,‎ 由题意得,FM-EM=EF=CD,‎ 即x-‎3‎‎3‎x=40,解得x=60+20‎3‎,‎ ‎∴AB=AM+MB=60+20‎3‎+1=61+20‎3‎(米).‎ 答:该建筑物的高度AB为(61+20‎3‎)米.‎ ‎8.解:(1)在Rt△EFH中,∠HEF=90°,∠HFE=45°,‎ ‎∴HE=EF=10,‎ ‎∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5,‎ ‎∴古树BH的高为11.5米.‎ ‎(2)在Rt△EDG中,∠GED=60°,‎ ‎∴DG=DEtan60°=‎3‎DE.‎ 设DE=x米,则DG=‎3‎x米,‎ 在Rt△GFD中,∠GDF=90°,∠GFD=45°,‎ ‎∴GD=DF=EF+DE,‎ ‎∴‎3‎x=10+x,解得:x=5‎3‎+5.‎ ‎∴CG=DG+DC=‎3‎x+1.5=‎3‎(5‎3‎+5)+1.5=16.5+5‎3‎≈25.‎ ‎∴教学楼CG的高约为25米.‎ ‎9.C　[解析]在Rt△ABD中,∵tanβ=BDAB,∴BD=atanβ.‎ 在Rt△ABD中,∵tanα=BCAB,∴BC=atanα.‎ ‎∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.‎ 8‎ ‎10.解:由题意可得:CE=55,AB=21,∠A=34°,∠CBD=60°.‎ 在Rt△ACE中,∵tanA=CEAC=‎55‎AC,‎ 即tan34°=‎55‎AC≈0.67,‎ ‎∴AC≈82.1,‎ ‎∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1.‎ 在Rt△BCD中,‎ ‎∵tan∠CBD=CDBC=CD‎61.1‎,‎ ‎∴tan60°=CD‎61.1‎≈1.73,‎ ‎∴CD≈61.1×1.73≈105.7,‎ ‎∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51.‎ 答:炎帝塑像DE的高度约为51 m.‎ ‎11.(5+5‎3‎)　4　[解析]如图①,过点O分别作OL⊥MD,ON⊥AM,垂足分别为点L,N,则∠LON=90°,四边形NMLO是矩形,∴MN=LO.‎ ‎∵OC=OD=10分米,∠COD=60°,∴∠COL=30°,CL=‎1‎‎2‎CD=5,OL=OC‎2‎-CL‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎5‎‎2‎=5‎3‎.‎ ‎∵∠AOC=90°,∴∠AON=30°,∴AN=‎1‎‎2‎AO=5,‎ ‎∴AM=5+5‎3‎.‎ 如图②,过点F分别作FQ⊥OB,FP⊥OC,垂足分别为点Q,P. ‎ 在Rt△OFQ中,∠OQF=90°,∠BOD=60°,‎ ‎∴OQ=‎1‎‎2‎OF=2,FQ=2‎3‎.‎ 在Rt△EFQ中,∠EQF=90°,FQ=2‎3‎,EF=6,∴QE=2‎6‎,BE=10-2-2‎6‎=8-2‎6‎;‎ 8‎ 同理可得OP=2,PE'=2‎6‎,‎ ‎∴B'E'=2+10-2‎6‎=12-2‎6‎,‎ ‎∴B'E'-BE=(12-2‎6‎)-(8-2‎6‎)=4.‎ 8‎