九年级数学上册 2121 配方法教学 新版新人教版

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21.2 　解一元二次方程 21.2.1 　配方法 知识点一 知识点二 知识点一 利用平方根的定义解一元二次方程 一般地 , 对于方程 x 2 =p , (1) 当 p> 0 时 , 根据平方根的意义 , 方程 x 2 =p 有两个不相等的实数根 , x 1 = , x 2 =- ; (2) 当 p= 0 时 , 根据平方根的意义 , 方程 x 2 =p 有两个相等的实数根 , x 1 =x 2 = 0; (3) 当 p< 0 时 , 因为对任意实数 x , 都有 x 2 ≥ 0, 所以方程 x 2 =p 无实根 . 知识点一 知识点二 名师解读 : 利用平方根的定义解一元二次方程的方法也叫做直接开平方法 , 适合解一边是关于某个未知数的完全平方式 , 另一边是非负数的形式的一元二次方程 . 具体步骤如下 : (1) 将方程化为 x 2 =a ( a ≥ 0) 或 ( ax+b ) 2 =c ( c ≥ 0) 的形式 ; (2) 两边开平方 , 得 知识点一 知识点二 例 1 　 用直接开平方法解下列方程 : (1) x 2 - 9 = 0; (2)4( x- 2) 2 - 3 = 0; (3) x 2 - 6 x+ 9 = 7; (4)( x- 2) 2 = (2 x+ 5) 2 . 分析 : (1) 先变形得到 x 2 = 27, 然后利用直接开平方法求解 ; (2) 先变形得到 ( x- 2) 2 = , 然后利用直接开平方法求解 ; (3) 先变形得到 ( x- 3) 2 = 7, 然后利用直接开平方法求解 ; (4) 先两边开方得到 x- 2 = ± (2 x+ 5), 然后解一元一次方程即可 . 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 (1) 用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有 : x 2 =a ( a ≥ 0); ax 2 =b ( a , b 同号且 a ≠0); ( x+a ) 2 =b ( b ≥ 0); a ( x+b ) 2 =c ( a , c 同号且 a ≠0) . 法则 : 先把方程化为 “ 左平方 , 右常数 ” , 再开平方取正负 , 分开求得方程解 . (2) 运用整体思想 , 可把被开方数看成整体 . 知识点一 知识点二 知识点二 用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法 , 叫做配方法 . 名师解读 : 配方法就是通过配方 , 使一元二次方程转化为可以用直接开平方法求解的形式 , 最终实现了 “ 降次 ” 的目的 , 这种方法 “ 原则 ” 上适用于任何形式的一元二次方程求解 . 一般步骤如下 : (1) 将方程化成一般形式并把二次项系数化成 1 . ( 方程两边都除以二次项系数 ) (2) 移项 , 使方程左边只含有二次项和一次项 , 右边为常数 . (3) 配方 , 方程两边都加上一次项系数一半的平方 . 知识点一 知识点二 (4) 原方程变为 ( x+n ) 2 =p 的形式 : ① 当 p> 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 ② 当 p= 0 时 , 方程有两个相等的实数根 x 1 =x 2 =-n ; ③ 当 p< 0 时 , 因为对任意实数 x , 都有 ( x+n ) 2 ≥ 0, 所以方程无实根 . 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 对于二次项系数为 “ 1” 的一元二次方程的配方 , 只需要利用等式的基本性质 , 左右两边都加上一次项系数一半 ( 与系数的符号无关 ) 的平方即可 . 知识点一 知识点二 例 3 　 用配方法解方程 : x 2 +x- 20 = 0 . 分析 : 因为题目要求用配方法解一元二次方程 , 故按照配方法的一般步骤进行即可 . 解 : ∵ x 2 +x- 20 = 0, ∴ x 2 +x= 20 . 知识点一 知识点二 选择用配方法解一元二次方程时 , 最好使方程的二次项的系数为 1 . 知识点一 知识点二 例 4 　 用配方法解方程 :2 x 2 - 4 x= 1 . 分析 : 题目要求利用配方法解一元二次方程 , 观察发现方程的二次项的系数不为 1, 因此先把二次项系数化成 1, 然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方 , 把左边配成完全平方式 , 右边化为常数即可 . 知识点一 知识点二 用配方法解一元二次方程 , 当二次项系数不为 “ 1” 时 , 先化成 “ 1”, 然后按照二次项系数为 “ 1” 的方法进行即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点一 特殊配方巧解一元二次方程 例 1 　 解方程 4 x 2 - 4 x- 1 = 0 . 分析 : 方法一 : 按照常规的配方法去解 ; 方法二 : 按照常规的配方法去解 , 但是不需要先把二次项系数化成 1, 观察等号的左边二次项的系数是一个完全平方数 , 只要在方程的左右两边同时加上 2, 左端即变成一个完全平方式 , 右端是一个非负数 , 就可以直接平开方求出方程的解 . 拓展点一 拓展点二 拓展点一 拓展点二 此种解法告诉我们配方法可以灵活运用 , 当左边二次项系数为一个数的完全平方时 , 可以不必将二次项系数化成 1, 只要按照方法二的解法进行即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点二 利用配方法判定二次三项式的符号 例 2 　 用配方法 证明 : 不论 x 为任何实数 , 代数式 x 2 - 6 x+ 10 的值恒大于 0 . 分析 : 本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于 0, 说明一个二次三项式恒大于 0 的方法是通过配方将二次三项式化成 “ a 2 + 正数 ” 的形式 , 根据完全平方的非负性来证明 . 拓展点一 拓展点二 证明 : x 2 - 6 x+ 10 =x 2 - 6 x+ 9 - 9 + 10 = ( x- 3) 2 + 1, 又 ∵ ( x- 3) 2 ≥ 0, ∴ ( x- 3) 2 + 1 > 0, 即 x 2 - 6 x+ 10 > 0 . ∴ 不论 x 为任何实数 , 代数式 x 2 - 6 x+ 10 的值恒大于 0 . 拓展点一 拓展点二 要说明一个式子恒大于 0, 只要把这个式子表示成 “ a 2 + 正数 ” 的形式即可 ; 若要说明一个式子恒小于 0, 只要把这个式子表示成 “ -a 2 - 正数 ” 即可 .